TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

Transkripsi

1 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM Sudaro Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstrak Sstem yag dbetuk oleh beberapa kompoe, ragkaaya dapat secara ser atau paralel. Utuk megetahu suatu sstem berfugs atau tdak, dapat dlhat dar fugs betuk. Dar fugs betuk, fugs relabltas sstem aka dapat dtetuka. Selajutya berdasarka fugs relabltas sstem, dapat dketahu umur sstem. Khusus dalam tulsa, umur kompoeya dasumska berdstrbus seragam. Dega megetahu umur sstem, maka dapat dtetuka waktu garas produk. Kata kuc : Fugs Betuk, Fugs Relabltas, Umur Sstem. 1. PENDAHULUAN Bayak kejada dalam telekomukas, trasms da trasportas terjad sstem yag meghubugka atara kompoe (tempat) yag satu dega laya secara ser atau paralel agar memudahka cara bekerjaya. Secara ser utuk mempercepat waktu proses yag dbutuhka da secara paralel utuk member alteratf jala yag dlalu agar apabla ada gaggua jala yag satu, mash dapat melalu jalur la. Sehgga proses yag terjad pada sstem mash tetap bsa berjala (Frak ad Frsch, 1971). Dalam Mahja, 1995, dkataka bahwa relabltas mutu adalah peluag produk mash berfugs sampa waktu yag telah dtetuka. Relabltasya dpegaruh oleh desa, proses produks, perawata da pemakaa yag bear. Dega memperhatka faktor-faktor yag mempegaruh relabltas, maka produk tersebut dapat dbuat utuk mecapa relabltas yag dgka, agar kosume puas. Sedagka pada Ross, 1997, fugs relabltas merupaka peluag sstem aka berfugs, yatu peluag fugs betuk hdup. Karea fugs betuk meggambarka sstem tersebut hdup atau mat. Pada makalah meaksr umur sstem bak dhubugka secara ser atau paralel, dega umur kompoe berdtrbus seragam. Dalam meaksr umur sstem memaka dasar fugs relabltas. Sela tu juga mempredks umur 1

2 Taksra Umur Sstem Dega Umur Kompoe Berdstrbus. (Sudaro) maksmal dar sstem tersebut. Dega mampu meaksr umur sstem, dharapka bergua utuk meetuka waktu garas dar alat.. FUNGSI BENTUK DAN FUNGSI RELIABILITAS.1. FUNGSI BENTUK Msal terdapat sstem yag terdr dar kompoe, da tap-tap kompoe ada yag berfugs atau tdak. Utuk meujukka apakah kompoe ke- berfugs atau tdak, ddefska varabel dkator x dega x 1, jka kompoe ke - berfugs 0, jka kompoe ke - tdak berfugs. ( 1 Vektor x x,, x ) dsebut vektor state, yag meujukka kompoekompoeya berfugs atau tdak. Sehgga utuk megetahu sstem tersebut berfugs atau tdak dapat dlhat dar vektor x. Msal terdapat fugs (x) sedemka hgga (x) 1, jka sstem berfugs 0, jka sstem mat. Fugs (x) dsebut fugs betuk dar sstem tersebut. Suatu sstem ser berfugs jka da haya jka semua kompoeya berfugs. Sehgga fugs betukya dberka dega ( x) m (x1,, x ) x. (1) 1 Sedagka suatu sstem paralel berfugs jka da haya jka sekurag-kuragya satu kompoeya berfugs. Maka, fugs betukya dberka dega 1,, x ) 1(1 x ) 1 ( x) maks (x. () 13

3 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : berkut : Suatu cotoh sstem ser dar sstem paralel dberka pada Gambar 1, Gambar 1. Sstem ser dar sstem paralel dega 5 kompoe. Utuk sstem ser dar sstem paralel dega 5 kompoe sepert pada Gambar 1, fugs betukya dapat dyataka dega ( x) maks (x, x, x ) {1 (1 x ) (1 x maks (x, x ) ) (1 x )} {1 (1 x 4 ) (1 x )}. 5 (3).. FUNGSI RELIABILITAS Adaka meyataka state kompoe ke-, yag merupaka varabel acak sedemka hgga P{ 1} p 1 P{ 0}. Nla p,yag sama dega peluag kompoe ke- berfugs, dsebut relabltas kompoe ke-. Jka ddefska r dega r P{ ( ) 1}, dega ( 1,, ) maka r dsebut relabltas sstem tersebut. Bla kompoeya, yatu varabel acak, 1, adalah depede maka r dapat dyataka sebaga fugs relabltas dar kompoe tersebut, yatu r r p ), dega p ( p,, p ). Fugs ( 1 r (p) dsebut fugs relabltas. Fugs relabltas utuk sstem ser dar kompoe depede adalah r( p) P{ ( ) 1} P{ 1, 1,, }. (4) p 1 Sedagka fugs relabltas utuk sstem paralel dar kompoe depede dberka dega 14

4 Taksra Umur Sstem Dega Umur Kompoe Berdstrbus. (Sudaro) r( p) P{ ( ) 1} P{ 1 P{ 1, 1,, } 0, 1,, } 1 1 (1 p ). Berdasarka sstem sepert pada Gambar 1, fugs relabltasya dyataka dega r( p) P{ ( ) 1} (6) {1 (1 p1)(1 p)(1 p3)}{1 (1 p4)(1 p5)}. (5) 3. TAKSIRAN UMUR SISTEM DAN BATAS MAKSIMAL RATAAN UMUR SISTEM PARALEL 3.1. TAKSIRAN UMUR SISTEM Utuk varabel acak berdstrbus G, ddefska bahwa G( a) 1 G( a), yag meyataka peluag varabel acak lebh besar dar a. Padag sstem yag kompoe ke- berfugs utuk umur acak berdstrbus F da selajutya tdak berfugs. Maksudya, kompoe sekal tdak berfugs, maka daggap tdak aka berfugs lag. Jad perbaka sstem tdak dberlakuka. Dega megaggap umur kompoe tap-tap dvdu adalah depede. Maka dstrbus umur sstem sebaga fugs dar fugs relabltas sstem r(p) da dstrbus umur kompoe dvdu F, 1,,. Sekarag perhatka bahwa sstem aka berfugs utuk umur t atau lebh besar jka da haya jka sstem mash berfugs pada waktu t. Artya, dega megambl F meyataka dstrbus umur sstem, ddapat F( t) P{Umur sstem t} P{Sstem berfugs pada waktu t}. Karea meurut defs r(p), 15 P{Sstem berfugs pada waktu t} r( p1( t),, p ( t)) dega p ( t) P{Kompoe berfugs pada waktu t} P{Umur t} F ( t). Sehgga F ( t) r( F1 ( t),, F ( t)). Akbatya utuk sstem ser berlaku 1 F ( t) F ( t). (7)

5 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : Umur sstem ser berlaku umur mmal kompoe. Dega kata la, umur sstem ser lebh besar t jka da haya jka umur semua kompoeya lebh besar t. Sedagka dalam sstem paralel berlaku F ( t) 1 F ( t). (8) 1 Umur sstem paralel berlaku umur maksmal kompoe. Dega kata la, umur sstem paralel lebh besar t jka da haya jka terdapat umur kompoe yag lebh besar t. Selajutya dsajka rataa umur sstem dapat dtetuka dar fugs relabltas r(p) da dstrbus umur kompoe F, 1,,. Karea umur sstem aka berumur t atau lebh jka da haya jka sstem mash berfugs pada waktu t, dperoleh P{Umur sstem t} r( F( t)) dega F ( t) ( F1 ( t),, F ( t)). Maka utuk sembarag varabel acak tak egatf, berlaku E [ ] P{ x} dx. Dalam hal berart bahwa 0 0 E[Umur sstem] r( F ( t)) dt. (9) Msal sstem sepert pada Gambar 1, dasumska setap kompoeya adalah depede da berdstrbus seragam atas (,). Maka t 1, t F ( t) (10) 0, t. Berdasarka Persamaa (6) da (10), ddapat 3 t t r( F ( t)) (11) da meurut Persamaa (9) da (11), dperoleh bahwa rataa umur sstem adalah t t E 3 [Umur sstem] 1 1 dt. (1) 3 Jka sstem sepert pada Gambar 1, dasumska setap kompoe depede da berdstrbus seragam atas (0,10) bula. Maka 16

6 Taksra Umur Sstem Dega Umur Kompoe Berdstrbus. (Sudaro) F t 1, 0 t 10 ( t) 10 0, t 10 da rataa umur sstem adalah t t t E[Umur sstem] 1 5, dt 0 bula. 3.. BATAS MAKSIMAL RATAAN UMUR SISTEM PARALEL Msal terdapat sstem paralel kompoe, yag mempuya umur tdak harus depede. Umur sstem parallel dapat dyataka dega maks dega adalah umur kompoe, 1,,. Batas maksmal umur sstem, utuk sembarag kostata c adalah maks c ( c) dega 1 adalah baga postf dar x, yatu sama dega x jka x 0 da sama dega 0 jka x 0. Pertdaksamaa vald karea jka maks c maka ruas kr sama x dega maks da ruas kaa sama dega c. Sebalkya, jka ( ) maks c maka ruas kaa sekurag-kuragya sebesar c ( ( ) c) ( ). Dega megambl ekspektasya ddapat batas maksmal la harapa umur sstem Emaks c adalah varabel acak tak egatf, maka 1 E[( c) ]. Karea ( c) E[( c) ] Dega demka ddapat c P{( c) x} dx 0 0 P{ y} dy. P{ c x} dx c E maks P{ y} dy. (13) c 1 Karea bear utuk semua c, maka berart dperoleh batas terbak dega megambl c sama dega la yag memmalka ruas kaa d atas. Utuk 17

7 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : meetuka la tersebut, dferesalka ruas kaa terhadap c da ambl hasl sama dega 0, dperoleh 1 P{ c} 0. Akhrya ddapat la mmal c yatu c sedemka hgga P{ c } 1. Msal umur kompoe ke- berdstrbus seragam atas (, ). Nla mmal c yatu c sedemka hgga 1 P{ c } c 1 1 c 1, ddapat. (14) da meurut Persamaa (13), batas maksmal rataa umur sstem adalah E maks c c 1 t dt. (15) 1 Utuk sstem sepert Gambar 1, msal umur kompoe ke- berdstrbus seragam atas (0,10) bula. Pada sstem baga I, la c = 0/3 da batas maksmal rataa umur sstem adalah 0/ t 1 dt = 8,333 bula. Sedagka pada 0/ 3 10 sstem baga II, la c = 5 da batas maksmal rataa umur sstem adalah 5 + t 1 dt = 7,5 bula. Dega demka taksra umur maksmal rataa sstem adalah 7,5 bula, karea berupa sstem ser dar sstem paralel. 4. KESIMPULAN Sstem dbetuk dar beberapa kompoe. Ragkaaya dapat secara ser atau paralel. Umur sstem dpegaruh oleh umur kompoe da jes ragkaaya. Umur sstem ser berlaku umur mmal kompoe. Sedagka umur sstem paralel berlaku umur maksmal kompoe. Taksra umur sstem merupaka fugs dar fugs relabltasya. Taksra umur maksmal sstem ser dar sstem paralel sesua dega taksra umur mmal sstem paralel. Dega 18

8 Taksra Umur Sstem Dega Umur Kompoe Berdstrbus. (Sudaro) megetahu taksra umur sstem, maka dapat dtetuka waktu garas dar produk tersebut. DAFTAR PUSTAKA Barlow, R.E., ad Proscha, F., Statstcal Theory of Relablty ad Lfe Testg, Holt, New York, Frak, H., ad Frsch, I., Commucato, Trasmsso, ad Trasportato Network, Addso-Wesley, Readg, Massachusetts, Gertsbakh, I.B., Statstcal Relablty Theory, Marcel Dekker, New York ad Basel, Mahja, M., Statstcal Qualty Cotrol, Revsed Edto, Dhapart Ra & Sos, New Delh, Ross, S.M., Itroducto to Probablty Models, Sxth Edto, Academc Press, New York, Ross, S.M., Stochastc Processes, Secod Edto, Joh Wley & Sos, Ic., New York,