BAB 2 KAJIAN TEORITIS

Transkripsi

1 BAB KAJIAN TEORITIS Desrps Teor Utu ebera dasar peulsa srps, terlebh dahulu pada baga aa dgabara secara rgas osep dasar yag berhubuga dega rptograf sepert defs rptograf, algorta rptograf, sste rptograf, serta jes-jes rptograf, blaga bulat, algorta pebaga, pebag perseutua terbesar, grup, gelaggag, lapaga, da sebagaya Krptograf Krptograf cryptography) berasal dar bahasa Yua, terdr dar dua suu ata yatu rpto da grapha Krpto artya eyebuya, sedaga grapha artya tulsa Krptograf adalah lu yag epelajar te-te ateata yag berhubuga dega aspe eaaa foras, sepert erahasaa data, eabsaha data, tegrtas data, serta autetas data Meezes, Oorschot ad Vastoe, 996) Tetap tda seua aspe eaaa foras dapat dselesaa dega rptograf Krptograf dapat pula darta sebaga lu atau se utu ejaga eaaa pesa Keta suatu pesa dr dar suatu tepat e tepat la, s pesa tersebut ug dapat dsadap oleh pha la yag tda berha utu egetahu s pesa tersebut Utu ejaga pesa, aa pesa tersebut dapat dubah ejad suatu ode yag tda dapat degert oleh pha la Erps adalah sebuah proses peyada yag elaua perubaha sebuah ode pesa) dar yag bsa degert plates) ejad sebuah ode yag tda bsa degert cphertes) Sedaga proses

2 5 ebalaya utu egubah cphertes ejad plates dsebut derps Proses erps da derps eerlua suatu ease da uc tertetu Krptoaalss cryptaalyss) adalah ebala dar rptograf, yatu suatu lu utu eecaha ease rptograf dega cara edapata uc dar cphertes yag dguaa utu edapata plates Krptolog cryptology) adalah lu yag ecaup rptograf da rptoaalss Ada epat tujua edasar dar rptograf yag juga erupaa aspe eaaa foras, yatu Kerahasaa, adalah aspe yag berhubuga dega pejagaa s foras dar sapapu ecual yag el otortas atau uc rahasa utu ebua foras yag telah derps Itegrtas data, adalah aspe yag berhubuga dega pejagaa dar perubaha data secara tda sah Utu ejaga tegrtas data, sste harus el eapua utu edetes apulas data oleh pha-pha yag tda berha, atara la peyspa, peghapusa, da pesubstusa data la e dala data yag sebearya 3 Autetas, adalah aspe yag berhubuga dega detfas atau pegeala, ba secara esatua sste aupu foras tu sedr Dua pha yag salg berouas harus salg epereala dr Iforas yag dra harus dautetas easla, s dataya, watu pegra, da lala 4 No-repudato eola peyagala), adalah usaha utu ecegah terjadya peyagala terhadap pegra suatu foras oleh yag egra, atau harus dapat ebuta bahwa suatu pesa berasal dar

3 6 seseorag, apabla a eyagal egr foras tersebutmeezes, Oorschot ad Vastoe, 996) A Algorta Krptograf Algorta rptograf atau serg dsebut dega cpher adalah suatu fugs ateats yag dguaa utu elaua erps da derps Scheer, 996) Ada dua aca algorta rptograf, yatu algorta setrs syetrc algorths) da algorta asetrs asyetrc algorths) Algorta Setrs Algorta setrs adalah algorta rptograf yag egguaa uc erps yag saa dega uc derpsya Algorta egharusa pegr da peera eyetuju suatu uc tertetu sebelu erea salg berouas Keaaa algorta setrs tergatug pada uc, ebocora uc berart bahwa orag la dapat egerps da ederps pesa Agar ouas tetap aa, uc harus tetap drahasaa Algorta setrs serg juga dsebut dega algorta uc rahasa, algorta uc tuggal atau algorta satu uc Sfat uc yag sepert ebuat pegr harus selalu easta bahwa jalur yag dguaa dala pedstrbusa uc adalah jalur yag aa atau easta bahwa seseorag yag dtuju ebawa uc utu dpertuara adalah orag yag dapat dpercaya Masalahya aa ejad rut apabla ouas dlaua secara bersaa-saa oleh sebaya peggua da setap dua pha yag elaua pertuara uc, aa aa terdapat sebaya C! = = )!)! ) uc rahasa yag harus dpertuara secara aa

4 7 Gabar Sea Algorta Setrs Cotoh dar algorta rptograf setrs adalah Cpher Perutas, Cpher Substtus, Cpher Hll, OTP, RC6, Twofsh, Mageta, FEAL, SAFER, LOKI, CAST, Rjdael AES), Blowfsh, GOST, A5, Kasu, DES da IDEA Algorta Asetrs Algorta asetrs, serg juga dsebut dega algorta uc publ, egguaa dua jes uc, yatu uc publ publc ey) da uc rahasa secret ey) Kuc publ erupaa uc yag dguaa utu egerps pesa Sedaga uc rahasa dguaa utu ederps pesa Kuc publ bersfat uu, artya uc tda drahasaa sehgga dapat dlhat oleh sapa saja Sedaga uc rahasa adalah uc yag drahasaa da haya orag-orag tertetu saja yag boleh egetahuya Keutuga utaa dar algorta adalah ebera jaa eaaa epada sapa saja yag elaua pertuara foras espu d atara erea tda ada esepaata egea eaaa pesa terlebh dahulu aupu salg tda egeal satu saa laya Gabar Sea Algorta Asetrs

5 8 Algorta asetrs pertaa al dpublasa oleh Dffe da Hella pada tahu 976 dala paperya yag berjudul New Drectos Cryptography Meurut Dffe da Hella, ada beberapa syarat yag perlu dperhata pada algorta asetrs, yatu: Peera B ebuat pasaga uc, yatu uc publ pb da uc rahasa rb Pegr A dega uc publ B da pesa x, pesa derps da dperoleh cphertes c = e x) pb 3 Peera B utu ederps cphertes egguaa uc prvat B utu edapata ebal pesa aslya d rb e x) ) = d c) x = pb 4 Dega egetahu uc publ pb, bag peyerag aa esulta utu edapata uc rahasa 5 Dega egetahu uc publ pb da cphertes c, bag peyerag aa egala esulta utu egetahu pesa x Cotoh dar algorta asetrs adalah RSA, ElGaal, McElece, LUC da DSA Dgtal Sgature Algorth) Dala elaua proses erps, serg dguaa plates berupa data ataupu pesa yag besar, sehgga ebutuha watu yag laa apabla dlaua proses sealgus pada plates tersebut Oleh area tu, plates dapat dpotogpotog ejad beberapa blo-blo yag saa pajag Keuda dar blo-blo yag dperoleh tersebut dlaua proses erps, da hasl cphertesya dapat dderps rb

6 9 da dgabuga ebal ejad plates Algorta rptograf yag egguaa ease sepert dsebut dega cpher blo bloc cpher) B Sste Krptograf Defs Stso, 995) Sste rptograf cryptosyste) adalah suatu 5-tuple P, C, K,ε, D) yag eeuh ods sebaga berut : P adalah hpua plates, C adalah hpua cphertes, 3 K atau ruag uc eyspace), adalah hpua uc, 4 ε dalah hpua fugs erps : P C 5 D adalah hpua fugs derps : C P e d 6 Utu setap K terdapat ε ε da d D Setap : P C da e d : C P erupaa fugs sedea hgga d ε x) ) x, utu setap = plates x P Suatu sste rptograf terdr dar sebuah algorta, seluruh euga plates, cphertes da uc-ucya Sste rptograf erupaa suatu fasltas utu egoversa plates ejad cphertes, da sebalya Setelah egetahu osep rptograf, algorta rptograf serta jes-jesya, berut dbahas egea blaga bulat da hasl yag dapat dperoleh dar blaga bulat yag dguaa sebaga ladasa utu ebahas osep ateats pada algorta ElGaal

7 0 Blaga Bulat Hpua seua blaga bulat yag dotasa dega Z adalah hpua { L, 3,,,0,,,3,L} Hpua berpera sagat petg dala rptograf area baya algorta rptograf yag egguaa sfat-sfat hpua seua blaga bulat dala elaua prosesya Pada hpua berlau sfat assosatf, outatf da dstrbutf terhadap operas pejulaha da pergadaa basa A Dvsbltas Defs Bucha, 000) Dbera a, Z Blaga bulat a dataa ebag dvdes) ja terdapat b Z sedea hgga = ab Ja a ebag, aa a dsebut pebag dvsor), da dsebut elpata ultple) a Blaga bulat a yag ebag dtuls a Cotoh 5 30 da 7 4 Teorea Bucha, 000) Dbera a, b, c Z Ja a b da b c, aa a c Ja a b, aa ac bc utu setap c Z 3 Ja c a da c b, aa c da + eb) utu setap d, e Z 4 Ja a b da b 0, aa a b 5 Ja a b da b a, aa a = b

8 But: Ja a b da b c, aa terdapat p, q Z sedea hgga b = ap c = bq Abatya c = bq = ap) q = a pq) Karea p, q Z, dperoleh a c Ja a b, aa terdapat p Z sedea hgga b = ap Abatya, utu da sebarag c Z dperoleh bc = ap) c = p ac) Terbut bahwa ac bc, utu setap c Z 3 Ja c a da c b, aa terdapat p, q Z sedea hgga a = cp da b = cq Abatya, utu sebarag d, e Z dperoleh da + eb = dcp + ecq = c dp + eq), dega ata la c da + eb) 4 Ja a b da b 0, aa terdapat p Z, p 0 sedea hgga b = ap Abatya b = ap a 5 Detahu a b da b a Ja a = 0, aa b = 0 Sebalya ja a 0 aa b 0 Dega egguaa hasl 4) dperoleh bahwa a b da a b, abatya a = b B Algorta Pebaga pada Blaga Bulat Berut dbera sebuah teorea yag dsebut dega algorta pebaga pada blaga bulat, sepert djelasa pada Teorea Defs Bucha, 000) Utu setap blaga real α R ddefsa [ α ] = { z Z : z α} ax Dega dea, [ α ] erupaa blaga bulat terbesar yag lebh ecl atau saa dega α

9 Cotoh [ 3,75] = 3 [ 5,4] = 6 Teorea Bucha, 000) Ja a da b blaga bulat dega b > 0, aa terdapat dega tuggal blaga bulat q da r sedea hgga a = bq + r dega a 0 r < b, yatu q = b da r = a bq But: Dabl sebarag blaga bulat a da b dega b > 0, aa dtujua bahwa terdapat a q = Z b da r Z sedea hgga a = bq + r dega 0 r < b Karea a a, b Z da b > 0, egguaa Defs dperoleh blaga q = Z b sehgga dperoleh b pebag dar a, aa a bq Abatya terdapat r Z, r 0 sehgga a = bq + r Ja a = bq sehgga dperoleh r = 0 Ja b bua pebag dar a, a aa a = qb + r dega hasl bag q = Z b, da r Z adalah ssa a dbag b Ja a dabl r = b, aa a = b q +) sehgga q =, abatya terjad otrads b dega yag detahu yatu a q = b Selajutya, dar hasl terahr da area b > 0, aa 0 r < b Utu ebuta etuggalaya, sala terdapat q, q, r, r Z sedea hgga a = qb + r da a = bq + r Abatya dperoleh

10 3 bq + r ) bq + r ) 0 atau b q q ) + r r ) 0 = = Karea a q = b da a q = b, aa q = q, sehgga dperoleh q q = 0 Abatya r r = 0, sehgga dperoleh r = r Terbut bahwa q da r tuggal Dega dea teorea terbut Pada teorea, blaga bulat q dsebut dega hasl bag quotet) da r dsebut ssa reader) dar pebaga a dega b, dtuls r = a od b Cotoh 3 Dbera blaga bulat 5 da 70 Megguaa Defs dperoleh blaga 70 = 5 = bulat [,8] Megguaa Teorea terdapat dega tuggal blaga bulat q da r sedea hgga 70 = 5q + r, dega 0 r < 5 yatu q = da r = 0 Dapat dlhat bahwa 70 = 5) + 0, dega 0 0 < 5 Blaga bulat 0 erupaa ssa pebaga, dtuls 0 = 70 od 5 C Represetas Blaga Bulat Blaga bulat erupaa blaga yag dtuls dega espas desal, sedaga pada oputer yag dguaa adalah espas ber Secara uu, blaga bulat dapat drepresetasa egguaa espas b-adc yag aa djelasa pada Defs 3 Teorea 3 d bawah dapat dguaa sebaga algorta utu erepresetasa sebarag blaga bulat postf e dala suatu espas b-adc yag dga

11 4 Teorea 3 Rose, 99) Dbera blaga bulat postf b dega b > Utu setap blaga bulat postf a dapat dsaja secara tuggal e dala betu espas, a = r b + r b + + rb + r0 dega adalah blaga bulat oegatf, r j adalah blaga bulat dega 0 r j < b utu j = 0,,, = da r 0 But: Megguaa algorta pebaga, lagah pertaa, a dbag dega b, dperoleh: Ja q 0 0, aa q 0 dbag dega b, dperoleh: a = bq 0 + r 0, 0 r 0 < b ) q = +, 0 r < b ) 0 bq r Selajutya, ja proses dterusa, aa dperoleh: q = +, 0 r < b bq r bq3 r3 q = +, 0 r < b 3 M q, 0 r < b = bq + r q +, 0 r < b = b0) r Pada lagah terahr dar proses perhtuga, terlhat bahwa ssa terahr yag dperoleh adalah 0 Jelas bahwa, Pada persaaa ) detahu: a > q > q > q > K 0 0 a = bq 0 + r 0

12 5 Megguaa persaaa ) dperoleh: a = b + bq + r ) + r0 = b q + rb r0 Selajutya, egguaa substtus utu q q,,, dperoleh:, q 3 a = b q + rb + rb + r 0 M a = b q + r b + L + r b + r 0 a = b q + r b + L + rb + r0 = r b + r b + L + rb + r0 dega 0 r j < b utu j = 0,,, da r 0, sebab r = q adalah ssa terahr yag tda ol Dega dea terbut bahwa a dapat dsaja e dala betu espas, a = r b + r b + + rb + r0 L Selajutya, utu ebuta etuggalaya, dasusa terdapat dua betu espas dar a, yatu: a = r b + r b + + rb + r0 L 3) da a = c b + c b + + cb + c0 L 4) dega 0 r < b da 0 c < b Dar persaaa 3) da 4) dperoleh: r c ) b + r c ) b + + r c ) b + r c ) 0 L 0 0 = 5) Ja persaaa 3) da 4) berbeda, aa terdapat blaga bulat terecl j, 0 j, sedea hgga rj c j Berart dar persaaa 5) dperoleh betu:

13 6 j+ j r c ) b + r c ) b + L + r c ) b + r c ) b 0 j+ j+ j j = atau j r c ) b + + r c ) b + r c )) 0 b L j j+ j+ j j = dperoleh j r c ) b + L + r c ) b + r c ) 0 j+ j+ j j = atau Dar s, dperoleh b r j c ) r j c r ) b + + c r )b c = L j j j+ j+ j j c r ) b + + c r )) = j+ j+ b L Karea 0 r j < b da 0 c j < b, aa b < r c b Selajutya, area j j < b r j c j ) da b < rj c j < b, abatya r j = c j Kotrads dega asus bahwa edua espas berbeda, yag bear adalah edua betu espas adalah saa Dega ata la terbut bahwa espas dar a adalah tuggal Pada Teorea 3 dperoleh suatu barsa r, r, K, r r ), yag eleeya dperoleh dar betu espas suatu blaga bulat 0, yatu barsa Defs 3 Bucha, 000) Barsa r, r, K, r r ), 0 dar Teorea 3 dsebut dega espas b-adc dar blaga bulat a Elee-eleeya dsebut dgts Blaga bulat b pada Teorea 3 dsebut dega bass Ja b =, barsaya dsebut espas ber Ja b = 6, barsaya dsebut espas hesadesal Barsa r, r, K, r, r0 ) dega bass b dtuls dega r, r, K, r, r0 ) b atau r r Kr r0 ) b

14 7 Cotoh 4 Espas dega bass 7 dar 5 adalah 5 = )7 ) + 3)7) + 6 = 36) 7 Espas ber 0000) = ) 7 )+ ) 4 )+ ) )+ = 47 Berut dbera sebuah algorta yag dapat dguaa utu erepresetasa suatu blaga bulat e dala espas yag dga Algorta ddasara pada Teorea 3 Algorta : Represetas Blaga Bulat Meezes, Oorschot ad Vastoe, 996) Iput : Blaga bulat a da b, dega a 0, b Output : Espas b-adc a r r Kr r0 ) b Lagah :, x a, q, r x qb) =, 0 da r 0 ja x 0 b Whle > 0 q, laua lagah berut: +, x q, q, r x qb) 3 Output r Kr )) r r0 D Pebag Perseutua Terbesar x b Berut djelasa pegerta da sfat-sfat suatu blaga yag dsebut dega pebag perseutua terbesar Defs 4 Bucha, 000) Pebag perseutua dar blaga bulat a, a, K, a adalah suatu blaga bulat yag ebag a, a, K, a

15 8 Cotoh 5 Dbera 30,50 Z, aa 5,0 Z adalah pebag perseutua dar 30 da 50, sebab 5 da 0 ebag 30 da 50 Defs 5 Bucha, 000) Dbera a, a, K, a Z Suatu blaga bulat oegatf d dsebut pebag perseutua terbesar greatest coo dvsor) dar a, a, K, ja: a Blaga bulat d erupaa pebag perseuta dar a, a, K, a, yatu d ebag a, a, K, a Utu sebarag blaga bulat c, ja c ebag a, a, K, a, aa c ebag d Blaga bulat d tersebut dotasa dega d a, a, ) = gcd K Dega ata la, pebag perseutua terbesar adalah la asu dar seua pebag perseutua, yatu a, a, K, a ) ax{ Z : a & a & & } gcd = K a a Cotoh 6 Dbera 50,75 Z, aa: gcd 50,75) = ax{ Z : 50 & 75} = ax = 5 { 5, 5,,,5,5}

16 9 Selajutya, djelasa sebuah cara utu erepresetasa pebag perseutua terbesar blaga bulat Dbera otas sebaga berut, { a z + a z + + a z : z Z, } a Z + a Z + K + a Z = K h yatu hpua seua obas lear blaga bulat dar a, Cotoh 7 Hpua seua obas lear dar 4 da 5 adalah: { 4z + 5z : z z Z} 4 Z + 5Z =, Teorea 4 Bucha, 000) Hpua seua obas lear dar blaga bulat a da b adalah hpua seua blaga bulat elpata gcd a,b), yatu: But: az + bz = gcd a, b)z 6) Utu a = b = 0, persaaa 6) bear Dabl a atau b tda ol, dbetu hpua I = az + bz Dabl g I, yatu blaga bulat postf terecl dala I Dla bahwa I = gz Dabl sebuah elee ta ol c I Aa dtujua bahwa c = qg utu suatu q Z Megguaa algorta pebaga, terdapat q, r Z dega c = qg + r da 0 r < g Abatya, r = c qg I Aa tetap, area g adalah blaga bulat postf terecl dala I, aa r = 0 da c = qg Selajutya, aa dtujua bahwa g gcd a, b) = Karea a, b I, aa g adalah pebag perseutua dar a da b Karea g I, aa terdapat x, y Z dega g = xa + yb Oleh area tu, ja d adalah pebag perseutua dar a da b, aa d juga erupaa pebag

17 0 perseutua dar g Megguaa Teorea dperoleh bahwa d g Terbut bahwa g gcd a, b) = Abat Bucha, 000) Utu setap a, b, Z persaaa ax + by = epuya peyelesaa yatu blaga bulat x da y ja da haya ja gcd a,b) ebag But: Msala terdapat blaga bulat x da y yag eeuh ax + by =, aa az + bz Megguaa Teorea 4 dperoleh bahwa gcd a, b)z, sala a, b) z' = gcd utu suatu z' Z Dar s dperoleh bahwa adalah elpata dar gcd a,b) Dega ata la, a,b) gcd ebag Msala adalah elpata dar a,b) gcd, aa gcd a, b)z Megguaa Teorea 4 dperoleh bahwa az + bz Abatya terdapat x, y Z sedea hgga = ax + by Abat Bucha, 000) Dbera a, b Z, aa terdapat x, y Z dega ax by = gcd a, b) But: + Karea gcd a,b) ebag drya sedr, dega egguaa Abat aa Abat terbut

18 Defs 6 [Stso, 995), Bucha, 000)] Dbera a, b Z Ja, b) gcd a =, aa a dataa relatf pra dega b Blaga bulat a, a, K, a dataa salg relatf pra ja, a,, ) gcd a K = a Cotoh 8 Karea gcd7,30) =, aa 7 relatf pra dega 30 Teorea 5 Fralegh, 000) Ja blaga bulat a da b relatf pra da a b, aa a But: Detahu a da b relatf pra, yatu gcd, b) = a da a b Megguaa Abat aa terdapat x, y Z sedea hgga ax + by = Selajutya, edua ruas dala dega Z, dperoleh ax + by = Karea a ax da a by, aa a E Algorta Euclde Berut dbera sebuah algorta yag dapat dguaa utu eghtug la pebag perseutua terbesar dar dua blaga bulat dega sagat efse Algorta ddasara pada teorea d bawah Teorea 6 Bucha, 000) Dbera a, b Z Ja = 0 Ja 0 b, aa a, b) = a gcd b, aa a, b) gcd b, a odb) gcd =

19 But: Dega sedrya lagsug terbut, sebab a, b) = gcd a, 0) = a Msala d gcd a, b) gcd = da r = a odb Meurut Teorea, terdapat q Z dega a = qb + r Karea r = a bq aa d r Aa dtujua bahwa b r) d = gcd, Dabl sebarag blaga bulat t sedea hgga t b da t r, yatu terdapat, Z sedea hgga b = t da r = t Dperoleh bahwa q ) a = tq + t = t + atau a aa t d da d t Detahu d gcd a, b) =, area t a da t b t Terbut bahwa d gcd a, b) = gcd b, a odb) = Msal dbera blaga bulat postf r 0 da r, dega r0 r Selajutya dhtug egguaa algorta pebaga sebaga berut: r 0 = qr + r, 0 < r < r r = qr + r3, 0 < r 3 < r M r + = q r r, 0 < r < r r = q r Megguaa Teorea 6, dapat dtujua bahwa r, r ) = gcd r, r ) = = gcd r, r ) = gcd r, 0) = r gcd 0 K Ja dbera blaga bulat a da b dega a b, aa dega eetua r 0 = a da r = b, Teorea 6 dapat dsaja sebaga algorta yag dapat dguaa utu eghtug la gcd a,b) Algorta dsebut dega algorta Euclde

20 3 Algorta : Algorta Euclde Meezes, Oorschot ad Vastoe, 996) Iput : Blaga bulat oegatf a da b, Output : gcd a,b) Lagah : a b Whle b 0 do : Set r a odb, a b, b r Output a) Cotoh 9 Bucha, 000) Aa dhtug la gcd00,35) Megguaa algorta Euclde dperoleh: Lagah : gcd00,35) = gcd35,00 od 35) = gcd35,30) Lagah : gcd35,30) = gcd30,35 od 30) = gcd30,5) Lagah 3 : gcd30,5) = gcd5,30 od 5) = gcd5,0) Lagah 4 : gcd5,0) = 5 Jad, gcd00,35) = gcd35,30) = gcd30,5) = gcd5,0) = 5 Tabel Perhtuga gcd00,35) egguaa algorta Euclde F Algorta Euclde yag Dperluas Dega algorta Euclde dapat dhtug la pebag perseutua terbesar dar blaga bulat a da b Meurut Abat, terdapat blaga bulat x da y dega gcd a, b) = ax + by Selajutya, algorta Euclde dapat dperluas sedea hgga dapat dguaa utu eghtug la x da y tersebut Pada pebahasa tetag

21 4 algorta Euclde detahu bahwa dperoleh barsa ssa yatu r 0, r, K, r da barsa hasl bag yatu q, q, K, q Selajutya, dotrus dua barsa x ) da ) y yag dperoleh dar barsa ssa da hasl bag sedea hgga pada teras terahr dperoleh x ) x ) ) y ) y = = da Pertaa, dtetua la awal yatu x 0 =, x = 0, y 0 0 = da y = Selajutya, dbera persaaa x + q x + x da y + q y + y, 0 = = Teorea 7Bucha, 000) Ja dega x 0 =, x = 0, y 0 0 =, y = dega x q x x da y + q y + y, aa: + = + = r + ) x ) a + ) y b =, utu 0 + ) But: Aa dbuta egguaa dus Utu = 0 dperoleh Selajutya, ) a ) b = x a y b r0 = a = ) a + ) b = x a) y ) r + = b = 0 b Msala peryataa bear utu, aa peryataa bear utu = yatu: r + ) x ) a + ) y b = ) Aa dbuta bahwa peryataa bear utu = +, yatu: r + + ) x ) a + ) y b ) =

22 5 Dar pebahasa tetag algorta Euclde, detahu bahwa r q r r = + Oleh area tu, r q r r = + ) ) b y a x q b y a x ) ) ) ) ) ) ) ) = ) )b y q y a x q x ) ) ) ) ) ) ) ) + + = ) )b y q y a x q x ) ) ) ) ) ) ) ) = ) ) ) )b y q y a x q x = + + ) ) b y a x ) ) = dega dea Teorea 7 terbut Cotoh 0 Bucha, 000) Sepert pada Cotoh 9, aa dhtug la gcd00,35) Daa ) 5 3)35) )00) 00,35 gcd = + =, dperoleh hasl yag saa pada Cotoh 9 Tabel Perhtuga x da y egguaa Teorea 7

23 6 Algorta 3 : Algorta Euclde yag Dperluas Meezes, Oorschot ad Vastoe, 996) Iput : a, b Z, a b = da x, y Z yag eeuh ax + by = d Output : d gcd a, b) Lagah : Ja b = 0, aa set d a, x, y 0, output d, x, y) Set x, x 0, y 0, y 3 Whle b > 0 : a q b, r a qb, x x qx, y y qy a b, b r, x x, x x y, y y, y 4 Set d a, x x, y y, output d, x, y) Cotoh Bucha, 000) Sepert pada Cotoh 9 dperoleh gcd 00,35) )00) + 3)35) = 5 =, blaga bulat x = -) da y = 3 Megguaa Algorta 3, dperoleh hasl perhtuga sepert pada tabel d bawah Tabel 3 Perhtuga egguaa algorta Euclde yag dperluas Da teryata dperoleh hasl yag saa sepert pada Cotoh 0

24 7 G Fatorsas e Blaga Pra Selajutya, djelasa pegerta da sfat-sfat suatu blaga yag dsebut dega blaga pra, yatu blaga yag haya dapat dbag oleh da blaga tu sedr Blaga pra eaa pera yag petg pada beberapa algorta rptograf uc publ, sepert algorta ElGaal da RSA Defs 7 Bucha, 000) Suatu blaga bulat p > dsebut pra ja p haya epuya tepat dua blaga pebag postf yatu da p Ja tda, p dsebut opost Ja p blaga pra yag ebag suatu blaga bulat a, aa p dsebut pebag pra dar a Cotoh Blaga bulat, 3, 5, 7 da adalah blaga pra Sedaga 4, 6, 8, 9 da 0 adalah blaga opost Teorea 8 Bucha, 000) Setap blaga bulat a > epuya blaga pebag pra But: Detahu blaga bulat a epuya suatu pebag yag lebh besar dar, yatu a sedr Padag seua pebag a yag lebh besar dar, sala p adalah yag terecl Maa p pastlah pra, sebab ja tda, aa p aa epuya suatu pebag b dega < b < p a Tbul otrads dega asus bahwa p adalah pebag terecl dar a yag lebh besar dar

25 8 Cotoh 3 ) 00 epuya pebag pra yatu da 5 ) 3 epuya pebag pra yatu 3 sedr Lea Bucha, 000) Ja suatu blaga pra ebag hasl perala dar dua blaga bulat, aa blaga pra tersebut ebag palg sedt satu fatorya But: Dbera, a, b Z da blaga pra p yag ebag ab tetap tda ebag a Karea p blaga pra, aa gcd, p) = a Meurut Abat, terdapat x, y Z sedea hgga = ax + py Abatya b = abx + pby, sehgga p ebag abx da pby Megguaa Teorea dperoleh bahwa p erupaa pebag dar b Abat 3 Bucha, 000) q = Ja suatu blaga pra p ebag dega q,, q, K q adalah blaga-blaga pra, aa p saa dega salah satu dar q,, q, K q But: Utu =, p jelas erupaa pebag dar q yatu p = q Utu >, p ebag q ) q ) q )) q K Megguaa Lea dperoleh bahwa p ebag q atau 3 q ) q ) K q ) Ja p = q aa but selesa Ja p q, aa p ebag 3 q 3 ) q )) q K Sehgga p ebag q atau q 3 ) K q ) Ja p = q aa but

26 selesa Ja q dea terdapat q, p, aa p ebag q 4 ) q )) 3 sedea hgga p = q 9 q K, da seterusya Dega Teorea 9 Bucha, 000) Setap blaga bulat a > dapat dsaja sebaga hasl al dar sejulah blaga pra berhgga secara tuggal But: Aa dbuta egguaa dus Dbera sebarag blaga bulat a > Utu a =, aa jelas a erupaa hasl al dar blaga pra Utu a >, dasusa bear utu a da utu setap dega a Aa dtujua bahwa a erupaa hasl al dar sejulah blaga pra Ja a erupaa blaga pra, aa but selesa Ja a erupaa blaga opost, aa a dapat dyataa sebaga a = ) ) K ) dega N da < < a, Meurut asus yag dabl d atas, aa adalah hasl al dar sejulah blaga pra Abatya, a = ) ) K ) juga erupaa hasl al dar sejulah blaga pra Utu ebuta etuggalaya, sala a = p ) p ) K p ) da r a = q) q ) K qs ), dega p, p, K pr, q, q, Kqs adalah blaga-blaga pra Aa dtujua bahwa peyaja blaga bulat a adalah tuggal, yatu r = s Dasusa bear utu setap dega a Karea a = p ) p ) K p ) = q ) q ) K q ), aa p ebag q ) q ) K q ) r s s Megguaa Abat 3, dperoleh bahwa p adalah salah satu dar q, q, Kqs Tapa egurag euua, dabl p = q Berdasara asus dus, fatorsas

27 30 pra dar a a = adalah tuggal Sehgga dperoleh bahwa r = s Terbut bahwa p q peyaja blaga bulat a adalah tuggal Utu egece apaah suatu blaga bulat gajl a > adalah blaga pra, dlaua suatu tes epraa pralty test), yatu suatu algorta utu ebuta bahwa suatu blaga bulat postf gajl adalah blaga pra atau opost Berut dbera sebuah tes epraa yag ddasara pada Defs 7 Algorta 4 : Tes Kepraa Basa Iput : Blaga bulat gajl a > Output : Peryataa pra atau opost Lagah : Set b Repeat : b b + c a odb 3 Utl c = 0 4 Ja a = b, aa output pra ) 5 Ja a b, aa output opost ) 3 Dasar StruturAljabar Selajutya, pada subbab djelasa beberapa osep dasar strutur aljabar sepert relas euvales, grup, grup sl, grup fator, hooorfsa, gelaggag da

28 3 lapaga Kosep petg, area pada pebahasa selajutya egea algorta ElGaal, perhtuga-perhtugaya dlaua d dala suatu strutur aljabar A Parts da Relas Euvales Berut djelasa tetag parts, relas euvales da las euvales pada suatu hpua Defs 3 Fralegh, 000) Suatu parts pada hpua ta osog S adalah suatu deoposs S e dala subset-subset yag salg asg sedea hgga setap elee dar S berada pada tepat satu subset Subset yag dea daaa cell Defs 3 Fralegh, 000) Dbera hpua ta osog S da ~ adalah relas atar elee-elee S Relas ~ dsebut relas euvales ja eeuh sfatsfat berut Utu setap a, b, c S Reflesf, yatu a ~ a, Setrs, yatu ja a ~ b, aa b ~ a, 3 Trastf, yatu ja a ~ b da b ~ c, aa a ~ c Dega adaya suatu relas euvales pada S, aa dapat dtetua suatu parts pada S Parts edeoposs S ejad cell-cell Cell yag euat a S dlabaga dega a { x S : x ~ a} euvales yag euat a B Grup = Cell sepert dsebut dega las Grup erupaa suatu hpua ta osog yag dlegap dega operas ber da eeuh beberapa sfat, sepert djelasa berut

29 3 Defs 33 Fralegh, 000) Dbera sebarag hpua tda osog G da operas ber * pada G, aa G dsebut grup terhadap operas ber * da dtuls G,*) ja dpeuh: Operas ber * pada G bersfat assosatf, Terdapat dega tuggal elee dettas yatu e G sedea hgga utu setap a G berlau e * a = a * e = a, 3 Utu setap a G terdapat elee versya, yatu a G sedea hgga berlau a a = a * * a = e Suatu grup G,*) dsebut Abela ja operas berya bersfat outatf Selajutya, grup G,*) dapat dtulsa dega G apabla operas berya telah detahu Defs 34 Fralegh, 000) Dbera grup G da subset ta osog H G Subset H dsebut subgrup G ja terhadap operas ber yag saa pada G, aa H ebetu grup, dtuls H < G Selajutya dbera beberapa defs da teorea yag ejelasa sfat-sfat grup da elee grup Sepert subgrup, order, grup sl, pebagu, oset da subgrup oral Dbera grup G da subset ta osog H G Teorea 35 Fralegh, 000) Subset ta osog H erupaa subgrup G ja da haya a * b H, utu setap a, b H

30 33 Defs 36 Fralegh, 000) Ja G epuya baya elee yag berhgga, aa G dsebut grup berhgga fte group) da bayaya elee G dsebut order G, dtuls G Defs 37 Fralegh, 000) Dbera H subgrup G da a G Ddefsa hpua Ha = { h * a : h H} da ah = { a h : h H} *, aa Ha dsebut dega oset aa da ah dsebut dega oset r Ja ah = Ha, aa H dsebut subgrup oral da dtuls H < G Defs 38 Fralegh, 000) Ja terdapat a G sedea hgga utu setap x G, x = a = a * 4 a * K 43 * a, utu suatu Z, aa G dsebut grup sl fator yag dbagu oleh a Selajutya, a dsebut pebagu G da dsebut dega espoe, dtuls G { a Z} = a = : Berut dbera sebuah teorea yag eyataa bahwa order dar subgrup past ebag order grup Teorea 3 d bawah dsebut dega teorea Lagrage Teorea 3 Fralegh, 000) Ja G = da H subgrup G dega H =, aa C Hooorfsa Grup Selajutya dbera pegerta tetag hooorfsa grup, yatu suatu peetaa dar suatu grup e grup yag la

31 Defs 39 Fralegh, 000) Dbera grup, ) G da G ', ' ) ' φ : G G dsebut hooorfsa grup ja utu setap a, b G, φa*b) =φa) ' φb) 34 Suatu peetaa Selajutya, ja φ bersfat jetf aa φ dsebut ooorfsa grup Ja φ bersfat surjetf, aa φ dsebut eporfsa grup Ja φ bersfat bjetf, aa dsebut soorfsa grup Ja terdapat soorfsa dar G e G, aa G dataa soorfs dega G, dtuls ' G G Selajutya, dega eaha sfat soorfsa, dapat dspula bahwa ja ' G G aa G da G epuya strutur yag det Dega dea, utu eyeld G cuup dega eyeld G, da juga sebalya ' Defs 30 Fralegh, 000) Dbera φ : G G, da dbera A G da ' B G Peta A adalah hpua φ[ A ] = {φ a):a A} Rage φ adalah hpua φ[ G ] Prapeta yatu φ [ ] aa φ [ '}] B = { x G : φx) B } Ja e ' adalah elee dettas grup G, {e = { x G : φx) = e } dsebut erel φ, dtuls erφ ) Dapat dlhat bahwa hooorfsa φ aa bersfat jetf apabla erφ ) = {} e, dega e adalah elee dettas grup G, da aa bersfat surjetf apabla φ [ ] ' G = G Berut dbera pegerta tetag suatu grup yag dsebut dega grup fator Selajutya, pada grup dapat dbetu suatu soorfsa dega peta soorfsaya

32 Defs 3 Fralegh, 000) Dbera H subgrup oral dar grup G,*) Ddefsa hpua G { ah a G} H = : da operas ber * pada 35 G sebaga H berut Utu sebarag ah, bh G : H Hpua ah * bh = a * b)h G yag dlegap dega operas ber * aa ebetu suatu grup H yag dsebut dega grup fator dar G odulo H Selajutya, dbera sebuah teorea yag ejelasa hubuga atara suatu grup, grup fator da peta hooorfsaya Teorea dsebut dega teorea fudaetal hooorfsa Utu lebh jelasya, dbera pada Teorea 3 d bawah Teorea 3 Fralegh, 000) Ja dbera hooorfsa grup φ : G dega erφ) = H, aa φ [ G ] erupaa subgrup da dapat dbetu suatu ' G soorfsa μ : G φ [ G ] dega atura utu sebarag H ah G H, aa [ ah ] μ = φa), dega a G Ja γ : G G dega atura γ a ) = ah adalah H hooorfsa, aa φa) = μ γ a)), a G D bawah dbera lustras yag eujua hubuga atara G, φ [ G ] sepert djelasa pada teorea fudaetal hooorfsa G da H

33 36 Gabar 3 Hubuga atara G, G da φ [ G ] H Karea terdapat soorfsa atara grup fator G da φ H [ G ], aa G H φ [ G ] D Gelaggag da Lapaga Berut dpereala suatu strutur aljabar yag la, yatu gelaggag da lapaga Serta dbera beberapa defs yag berhubuga dega gelaggag da lapaga Defs 3 Fralegh, 000) Suatu gelaggag rg) R,+, ) adalah hpua R ta osog yag dlegap dega dua operas ber yatu operas pejulaha + da operas pergadaa yag eeuh ) R,+ ) erupaa grup Abela, ) Operas pergadaa bersfat assosatf, 3) Utu setap a b, c R, berlau sfat dstrbutf r, yatu a b c) = ab + ac sfat dstrbutf aa yatu a b) c = ac + bc + + da Gelaggag R,+, ) dapat dtulsa dega R apabla operas berya detahu Jelas bahwa pada gelaggag R euat elee dettas terhadap operas pejulaha yatu 0 R sedea hgga a + 0 = 0 + a = a, utu setap a R

34 37 Defs 33 Fralegh, 000) Dbera gelaggag R da S R, S Ø Subset S dsebut gelaggag baga subrg) R ja S erupaa gelaggag terhadap operas ber yag saa pada R Dbera pegerta tetag gelaggag outatf, yatu gelaggag yag operas pergadaaya bersfat outatf Serta pegerta tetag ut, ut da gelaggag pebag Defs 34 Fralegh, 000) Suatu gelaggag R yag operas pergadaaya bersfat outatf dsebut gelaggag outatf Suatu gelaggag yag epuya elee dettas terhadap pergadaa dsebut gelaggag dega ut, elee dettas terhadap pergadaa yatu R dsebut dega ut Defs 35 Fralegh, 000) Dbera gelaggag R dega ut 0 Suatu elee u R dsebut ut ja u epuya vers terhadap operas pergadaa Ja utu setap elee ta ol d R adalah ut, aa R dsebut gelaggag pebag dvso rg) Defs 36 Fralegh, 000) Dbera suatu gelaggag gelaggag R, K Dbetu R = R = +, ), R, +, ),, R, +, ), yatu R = { r, r,, r ): r R } K Ddefsa operas + da pada R sebaga berut, utu setap r r,, r ), s, s,, s ) R, K K : r r, K, r ) + s, s, K, s ) = r + s, r + s,, r + s ), K

35 38 da r r,, r ) s, s, K, s ) = r s, r s,, r s ), K K Dapat dtujua bahwa R,+, ) erupaa gelaggag Selajutya, dbera pegerta tetag suatu gelaggag yag dbetu dar suatu hpua yag elee-eleeya erupaa poloal, gelaggag dsebut dega gelaggag poloal Lebh jelasya dbera pada defs berut Defs 37 Fralegh, 000) Dbera gelaggag R da suatu sbol x yag dsebut detert Suatu poloal f x) dega oefse dala R adalah f x) = = 0 a ) x = a + a ) x + K + a 0 ) x + K dega a R, da a 0 utu la-la yag bayaya berhgga, sedaga yag laya seuaya ol Elee a R dsebut oefse-oefse dar f x) Teorea 33 Fralegh, 000) Dbera R [ x] yatu hpua seua poloal dala x dega oefse dala gelaggag R Hpua R [ x] erupaa gelaggag terhadap operas ber pejulaha poloal da pergadaa poloal Utu setap [] x f x), g x) R, yatu f x) = a0 + a) x + K + a ) x + K da g x) = b0 + b ) x + K + b ) x +K, aa: f x) + g x) = c0 + c ) x + K + c ) x +K dega c = a + b, f x) g x) = d 0 + d) x + K + d ) x +K dega d = a ) b = 0

36 Ja R adalah gelaggag outatf, aa R [ x] erupaa gelaggag outatf Gelaggag R [ x] sepert dsebut dega gelaggag poloal atas R Selajutya, dbera osep pebag ol, daerah tegral da hooorfsa gelaggag da lapaga Saa halya sepert pada hooorfsa grup, pada hooorfsa gelaggag juga erupaa peetaa atar gelaggag da bersfat egaweta operas 39 Defs 38 Fralegh, 000) Dbera gelaggag outatf R da a R, a 0 Elee a dsebut pebag ol ja terdapat b R, b 0 sedea hgga ab = 0 Suatu gelaggag R dsebut daerah tegral ja operas pergadaaya bersfat outatf, euat ut da tda euat pebag ol Jad, utu suatu daerah tegral R, ja ab = 0 aa a = 0 atau b = 0 dega a, b R Defs 39 Fralegh, 000) Dbera gelaggag,+, ) R da R ', + ', ' ) Suatu ' peetaa φ : R R dsebut hooorfsa gelaggag ja utu sebarag a, b R ' φ a + b) = φ a) + φ b ) φ a b) = φ a ) ' φ ) b Selajutya, ja φ bersfat jetf, aa φ dsebut ooorfsa gelaggag, ja φ bersfat surjetf, aa φ dsebut eporfsa gelaggag da ja φ bersfat bjetf, aa φ dsebut soorfsa gelaggag

37 40 Defs 30 Fralegh, 000) Suatu gelaggag pebag yag bersfat outatf dsebut dega lapaga feld) Ja suatu lapaga F euat elee sebaya berhgga, aa F dsebut lapaga berhgga Defs 3 Fralegh, 000) Dbera lapaga F Subset ta osog S F dsebut lapaga baga subfeld) ja S erupaa lapaga terhadap operas ber yag saa pada F 4 Persaaa Kogrue Da Hpua Blaga Bulat Modulo D s aa dbahas egea persaaa ogrue, hpua blaga bulat odulo, gelaggag blaga bulat odulo, resdue class rg da suatu grup berorder pra Juga dbahas beberapa algorta utu suatu grup Abela berhgga Pebahasa petg area edasar beberapa perhtuga pada algorta ElGaal A Persaaa Kogrue Defs 4 Bucha, 000) Dbera blaga bulat a da b, da blaga bulat postf Blaga bulat a dataa ogrue b odulo ja b a), dtuls a b od ) Selajutya, blaga bulat dsebut odulus, da persaaa dsebut persaaa ogrue odulo Cotoh 4 4, sebab 4 9 = 3)5) ) 9 od5), sebab 7 = 4)7) ) 7 od 7)

38 4 ogrue Berut dbera beberapa teorea yag ejelasa sfat-sfat persaaa Teorea 4 Bucha, 000) Dbera persaaa ogrue a b od ) c da d od ), aa berlau a b od ), a c b + d) od ) od ) ac bd) But: + da Karea ebag a b), aa juga ebag a + b), abatya terbut a b od ) Karea ebag a b) da c d), aa juga ebag a b + c d ) = a + c) b + d ), dega ata la terbut a c b + d) od ) Utu ebuta ac bd) od ) b + l) d + ) = bd + ld + b l) +, sala a = b + l da c = d +, aa ac = + atau dega ata la ebag ac bd ), terbut bahwa ac bd) od ) Teorea 4 Stso, 995) Dbera sebarag a, b Z, Z postf, r = a od da r b od But: Detahu a b od ) Karea a b od ) =, aa a b od ) ja da haya ja r = r dega Z postf, aa dtujua bahwa r = r aa egguaa algorta pebaga pada blaga bulat Teorea ) terdapat q, q Z da r, r Z yag tuggal sedea hgga: a = q +, 0 r < r

39 4 da b = q +, 0 r < r Dar Defs 4, area a b od ), aa ebag a b) Berart terdapat blaga bulat sedea hgga a b = + 0 Sehgga dperoleh bahwa: a b = + 0 dapat dlhat bahwa r r = 0 atau r = r Detahu r q + r ) q + r ) = 0 + q q ) + r r ) = 0 + r =, aa dtujua bahwa a b od ) r r = r r = a b 0 0 od ) a = b +, Z a b dega dea, teorea terbut od ), aa: Dapat dtujua bahwa persaaa ogrue adalah suatu relas euvales pada blaga bulat, abatya dapat dbetu las euvales yag euat a Z Lebh jelasya dbera pada defs berut

40 43 Defs 4 Bucha, 000) Dbera relas euvales persaaa ogrue odulo pada hpua blaga bulat Z Klas euvales yag euat a Z adalah: a = { x Z : x a od ) } { a + Z} = : = a + Z Klas euvales sepert dsebut dega resdue class a od Cotoh 4 Resdue class od 4 adalah { + 4 : } = {, ± 4, ± )4,) ± 3)4), K } = {,,6, 6,0, 0,,K} = Z B Gelaggag Blaga Bulat Modulo Dbera blaga bulat > Ddefsa hpua Z { x x Z} = od :, aa Z erupaa hpua ssa pebaga seua blaga bulat dega Selajutya, elee-elee hpua Z dapat dpadag sebaga las-las salg asg yag eyataa hpua blaga bulat yag epuya ssa Z K Ja a Z, aa yag saa apabla dbag dega, yatu = { 0,,,, } { x Z x a} a = : od = Utu epersgat peulsa, hpua dtuls { 0,,,, } Z = K Hpua Z sepert dsebut dega hpua blaga bulat odulo Pada hpua Z berlau operas pejulaha odulo da pergadaa odulo, yatu utu setap a b Z, aa a b = a + b) od + da

41 od ) ab = ab) Jelas bahwa edua operas tersebut erupaa operas ber pada Z Selajutya, hpua dapat ebetu grup ),+ 44 Z yag dlegap dega operas pejulaha odulo Z dega 0 Z adalah elee dettas Z Dbera grup Z,+) dega + adalah operas pejulaha basa pada hpua bulat Ddefsa peetaa φ : Z dega atura bahwa utu setap x Z, Z φ x) = x od Dapat dtujua bahwa φ erupaa hooorfsa grup dega φ [ ] erφ ) = { x Z : φ x) 0 = } { z z Z} = Z = : Z = da Selajutya, egguaa Teorea 3 teorea fudaetal hooorfsa) dapat dbetu grup fator,+) Z Z Z dega Z { a + Z a Z} = : Z Dega eperhata Defs 4, dapat dlhat bahwa Z erupaa Z hpua seua resdue class od Defs operas pejulaha pada Z adalah Z sebaga berut, utu sebarag a, b Z, aa a + b = a + b Lebh lajut, dapat Z dbetu suatu soorfsa μ : Z Z Z dega atura utu sebarag a Z, Z μ a) = μ a + Z ) = φ a) Dega dea dapat dataa bahwa grup,+) Z soorfs dega ) Z Z,+

42 45 Gabar 4 Hubuga atara Z, Z da Z Z Selajutya, pada hpua Z atau Z dapat dbetu gelaggag dega operas Z ber pergadaa sebaga berut Utu sebarag a, b Z, a ) b) = ab Detahu Z bahwa Z,+, ) adalah gelaggag outatf dega ut Teorea 43 Bucha, 000) Ja adalah blaga bulat dega >, aa ),+, Z adalah gelaggag outatf dega ut Z Selajutya, gelaggag Z sepert dsebut dega gelaggag blaga bulat odulo Teorea 44 Bucha, 000) Ja adalah blaga bulat dega >, aa,+, ) Z adalah gelaggag outatf dega ut = + Z Selajutya, Z gelaggag sepert dsebut dega resdue class rg odulo But: Detahu bahwa,+) a b = a + b = b + a = b + a Z adalah grup Dabl sebarag Z +, aa,+) b) c) ) a bc) = a bc) = ab) c = ab) c = a) b )c a, b, c Z Karea Z Z Abela Selajutya, area Z a = ), dperoleh bahwa operas pergadaa bersfat assosatf Dapat dtujua bahwa eeuh dstrbutf r da dstrbutf

43 46 a + = + = + = + = + = + da aa, yatu b c) a b c) a b c) ab ac ab ac a) b) a) c) a b) c = a + b) c = a + b) c = ac + bc = ac + bc = a) c) + b) c) + Dapat dtujua operas pergadaa bersfat outatf, yatu a ) b) = ab = ba = b) a) Selajutya, terdapat Z sedea hgga a )) = a = a da ) a ) = a = a Dega Z dea terbut bahwa,+, ) Z adalah gelaggag outatf dega ut Z C Pebaga pada Gelaggag Blaga Bulat Modulo Pada pebahasa egea sfat dvsbltas pada blaga bulat Defs ), sfat dapat dterapa pada elee-elee gelaggag Sfat tersebut djelasa pada Defs 43 d bawah Defs 43 Bucha, 000) Dbera gelaggag,+, ) R da a, R Elee a dataa ebag ja terdapat b R sehgga = ab Elee a dega sfat sepert dsebut pebag dvsor) da dsebut elpata ultple) a Elee a yag ebag dtulsa dega a Selajutya, aa dseld elee-elee dar Z aa saja yag erupaa ut, yatu epuya vers terhadap operas pergadaa Perlu dperhata bahwa a Z erupaa ut dala Z saa halya dega egataa bahwa persaaa ogrue, ) ax od 7) epuya peyelesaa utu a, x Z Utu selajutya, peryataa vers yag dasud adalah vers terhadap operas pergadaa

44 47 Teorea 45 Bucha, 000) Elee a, ) Ja gcd a, ) = gcd = But: Msala g gcd a, ), aa vers a tuggal a Z erupaa ut ja da haya ja = da x Z ejad solus peyelesaa dar persaaa ogrue 7) Karea g gcd a, ) =, aa g da g a Meurut Defs 4, aa g ax ) Oleh area tu, g Karea pebag dar adalah sedr, aa dperoleh gcd, ) = a Dbera gcd, ) = a egguaa Abat aa terdapat blaga bulat x da y sedea hgga ax + y = Megguaa Abat dperoleh bahwa x adalah solus peyelesaa dar persaaa ogrue 7) sehgga x adalah vers dar a Z Utu ebuta sfat etuggala x sebaga vers dar a dguaa lagah sebaga berut Dabl v sebaga vers yag la dar a, aa ax av od ) Z Abatya a x v) Karea gcd a, ) = ebuta bahwa x v od ) adalah tuggal, aa adalah pebag dar x v Hal Dega ata la terbut bahwa vers dar a Selajutya, dapat dlhat bahwa suatu a, a 0 dapat erupaa pebag Z ol atau juga erupaa ut Cotoh 43 Dbera = 8, a Z8 erupaa ut dala 8 Z ja gcd a,8) = Dar s dperoleh bahwa elee-elee Z 8 yag epuya vers adalah, 3, 5 da 7, asg-asg versya adalah, 3, 5 da 7

45 48 Dar Teorea 45 dapat dlhat bahwa persaaa ogrue 7) dapat dselesaa egguaa algorta Euclde yag dperluas, sebab aa dperoleh dua hal sealgus yatu a, ) a, ) = ax + y gcd gcd serta blaga bulat x da y sedea hgga Meurut Teorea 45, persaaa ogrue 7) aa epuya peyelesaa ja gcd a, ) = Apabla dperoleh gcd, ) = a, aa vers a Z juga dapat dperoleh, yatu a od = x Berut dbera algorta yag dapat dguaa utu eghtug vers pergadaa egguaa algorta Euclde yag dperluas pada hpua blaga bulat odulo, dega blaga bulat postf Algorta 5 : Mecar Ivers Pergadaa Modulo Meezes, Oorschot ad Vastoe, 996) Iput : a Z, blaga bulat postf Output : a od Lagah : Tetua x, y Z yag eeuh ax y = d egguaa algorta Euclde yag dperluas Algorta 3) + dega d = gcd a, ) Ja d >, aa a od tda ada Ja tda, output x) Cotoh 44 Aa dhtug 35 od00 Dar Cotoh dperoleh gcd00,35) = 5, x = - da y = 3 Karea d = gcd00,35) = 5 >, aa 35 od00 tda ada

46 Teorea 46 Bucha, 000) Gelaggag Z,+, ) erupaa lapaga berhgga ja da haya ja adalah blaga pra But: 49 Adaa bua blaga pra, aa = ab dega < a, b < Karea Z erupaa lapaga, aa setap elee ta olya past epuya vers Msala c adalah vers dar b, berart bc od ) da abc a od ) = ab, aa ab 0 od ), abatya a od ) pegadaa d atas, yag bear erupaa blaga pra Detahu adalah blaga pra Karea Karea 0 Tbul otrads dega Z erupaa gelaggag, aa aa dbuta bahwa setap elee ta ol epuya vers Karea adalah blaga pra, aa gcd, a) = sedea hgga + ya =, utu 0 < a < Abatya terdapat blaga bulat x da y x yag berart ya od ), dperoleh y a od ) Jad terbut bahwa setap elee ta olya epuya vers Dega ata la, adalah lapaga berhgga Oleh area tu resdue class rg odulo,+, ) Z Z juga erupaa Z lapaga berhgga ja da haya ja adalah blaga pra Utu selajutya, lapaga sepert dsebut dega resdue class feld odulo D Grup Pergadaa Blaga Bulat Modulo Teorea 47 Bucha, 000) Hpua seua ut dala Z yag dlegap dega operas pergadaa ebetu suatu grup Abela berhgga

47 50 But: Karea hpua erupaa hpua seua ut dala Z, aa dega sedrya teorea terbut Utu selajutya, grup sepert djelasa pada Teorea 47 dsebut dega grup pergadaa blaga bulat odulo da dotasa dega Z, ) Dega dea dapat dtuls bahwa Z, ) = { a Z : gcd a, ) = } Cotoh 45 Dbera gelaggag Z 5 Karea 5 adalah blaga pra, aa Z 5 adalah lapaga Selajutya, egguaa sfat lapaga dperoleh bahwa setap elee dala Z 5 ecual ol past epuya vers Dega ata la, setap elee Z 5 ecual ol erupaa ut Jad,, ) {,,3,4 } Z 5 = Selajutya, dapat dbetu grup, ) Z yatu grup pergadaa yag Z eleeya erupaa seua ut dala gelaggag Z,+, ) Grup, ) Z dsebut dega ultplcatve group of resdues odulo Z sepert Z Berut djelasa suatu fugs yag eyataa order dar grup pergadaa blaga bulat odulo, ), Z Ddefsa fugs ϕ : N N dega: ϕ ) = order Z, ), =, > Fugs ϕ sepert dsebut dega Euler ϕ-fucto Dega dea, ϕ ) adalah bayaya a {,, K, } dega gcd, ) = a

48 5 Cotoh 46 Bucha, 000) Tabel 4 Beberapa la Euler ϕ-fucto Dar Tabel 4, dperoleh bahwa ϕ ) =, ϕ ) =, ϕ 3) =, da seterusya Artya, order dar Z, ) adalah, order dar ) Z 3, adalah, da seterusya Teorea 48 Bucha, 000) Ja p adalah blaga pra, aa ϕ p) = p But: Dbera sebarag blaga pra p Megguaa Teorea 46 aa Z,+, ) adalah lapaga dega order p Selajutya, dapat dbetu grup, ) Z yag orderya dotasa dega ϕ p) Karea Z p adalah lapaga, aa setap elee ta olya past epuya vers, dega ata la ada sebaya p elee yag epuya vers, yag seuaya ejad aggota Z, ) order ) p, Z adalah p, terbut bahwa ϕ p) = p p Dega dea dperoleh bahwa Pada Teorea 48 detahu bahwa ja p adalah blaga pra, aa ϕ p) = p D bawah dbera sebuah teorea tetag Euler ϕ-fucto p p Teorea 49 Bucha, 000) Dbera blaga bulat postf da d,, d, K d adalah seua pebag postf yag berbeda, aa: = ϕ d ) =

49 5 But: Karea hpua seua pebag postf dar adalah dperoleh bahwa: = ϕ d = ) ϕ = d d : =,, K,, aa Selajutya, utu setap, aa, ϕ adalah bayaya blaga bulat a d d dala hpua,, K, dega gcd, = d a Oleh area tu d ϕ d erupaa bayaya blaga bulat b d dala hpua {,,, } gcd b, ) = d Karea Oleh area tu = aa berabat bahwa: { b : b da gcd b, ) = d } ϕ d ) = = {,, K, } U{ b : b da gcd b, ) = d } = ϕ d ) = =, = { b : b da gcd b, ) = d} = = dega dea teorea terbut K dega

50 53 Cotoh 47 Dbera = 0 Blaga bulat postf pebag 0 adalah,, 5 da 0 Megguaa Teorea 49 dperoleh: 4 = ϕ d ) = ϕ) + ϕ) + ϕ5) + ϕ0) = = 0 E Order Elee-Elee Grup Selajutya dpereala osep order elee-elee grup Dbera grup G terhadap operas pergadaa dega elee dettas Defs 44 Bucha, 000) Dbera sebarag g G Ja terdapat blaga bulat postf sedea hgga berlau g = g g = 443 K g, aa blaga bulat fator postf terecl sepert dsebut order g Ja sebalya, order g adalah ta hgga fte) Oleh area tu, utu sebarag g G, order g adalah order subgrup yag dbagu oleh g Teorea 40 Bucha, 000) Dbera sebarag g G da u Z u postf, aa g = ja da haya ja u dapat dbag dega order g But: Msala order dar g adalah Ja u = h, aa: h h g ) = = u h g = g =

51 54 u Detahu g = dega u = q + r, 0 r < Dperoleh: q g ) = r uq u g = g = g Karea adalah blaga bulat postf terecl sehgga g = da area 0 r <, dperoleh r = 0, sehgga u = q utu suatu q Z Abat 4 Bucha, 000) Dbera g G da, l Z, aa l g = g ja da haya ja l od order g) But: Dtetua u l u = l Megguaa Teorea 40 aa g = g = ja da haya ja order g l ) Terbut bahwa l od order g) Teorea 4 Bucha, 000) Ja g G epuya order h da ja Z, aa order g h = gcd, h ) But: Msala g gcd h, ) = da = order g Aa dbuta bahwa = h g Oleh area g ) h ) g h = g g = = g, egguaa Teorea 40 dperoleh bahwa h Msala utu suatu Z g berlau: g ) = g =

52 55 Berdasara Teorea 40 berabat bahwa h, sehgga dperoleh bahwa h Karea g h g = order g, aa h, d la pha detahu g Abatya, dperoleh = h g Dega ata la order g = h gcd h, ) Teorea 4 Bucha, 000) Ja G adalah grup sl da berhgga, aa G epuya pebagu sebaya ϕ G ) da order setap pebaguya saa dega order G But: Dbera g G yag epuya order s, aa g ebagu suatu subgrup g dega g = s Selajutya, suatu elee G yag ebagu G epuya order G Aa dseld elee-elee G yag epuya order G Msala g adalah pebagu G, aa G = { g 0 G } : Megguaa Teorea 4, elee dar hpua epuya order G ja da haya ja gcd, G ) = eujua bahwa bayaya pebagu dar G ada sebaya ϕ G ) F Teorea Ferat Hal Berut dbera sebuah teorea yag cuup tereal dala rptograf Teorea dsebut dega teorea Ferat, sepert dbera pada Teorea 43 d bawah Teorea 43 Bucha, 000) Utu sebarag, ) ) ϕ a ) od a berlau Z

53 56 But: Dbetu grup Z, ) dega adalah blaga bulat postf Dabl sebarag ) a, Karea ) Z ϕ adalah order grup Z ) ϕ 44 dperoleh bahwa a ) od ),, aa egguaa Defs Teorea 44 Bucha, 000) Ja dbera grup G da sebarag g G, aa order g ebag order G But: Karea order g erupaa order dar subgrup yag dbagu oleh g, aa egguaa Teorea 3 dperoleh bahwa order subgrup yag dbagu oleh g ebag order grup G Dega dea teorea terbut Berut dbera sebuah teorea yag erupaa geeralsas dar teorea Ferat Teorea ddasara pada Teorea 44 Teorea 45 Bucha, 000) Utu setap g G, g = But: Berdasara Teorea 44 aa utu setap G g G dperoleh bahwa order g G Megguaa Teorea 40 dperoleh bahwa g = Masalah yag euda ucul adalah bagaaa ja a da blaga ϕ ) pada teorea Ferat erupaa blaga bulat yag besar, aa perhtuga aa ejad sult da rut G

54 57 Berut djelasa suatu etode yag dapat dguaa utu eghtug secara cepat pagat blaga bulat hususya utu blaga bulat yag besar G Metode Fast Expoetato Dbera sebarag grup G, g G da blaga bulat postf z Utu eghtug z g dlaua lagah berut Dbetu espas ber dar blaga bulat z, yatu z = = 0 a ) ) Karea z dtuls dala espas ber, aa a { 0,} Sehgga, a ) ) z = 0 g = g = g a g ) = = 0, a = Dega hasl dperoleh cara yag cepat utu eghtug z g yag dsebut dega etode fast expoetato, yatu: ) Htug la g, 0 ) Nla z g erupaa hasl dar perala la-la g, dega a = Dperoleh bahwa: g ) + g = Cotoh 48 Bucha, 000) Aa dhtug la dar 6 73 od00 Pertaa, dtetua espas ber dar 73: ) ) + ) ) + ) ) atau 0000) =

55 58 Selajutya dhtug = 6, =, 6 = od00), od00) 6 56 od00), od00), od00) 4 dperoleh: Jad, 6 73 od00 = )6 3 )6 6 ) od00) 6)6)96) od00) od00) 6, Sehgga Algorta 6 : Metode Fast Expoetato Meezes, Oorschot ad Vastoe,996) Iput : a Z, Z postf da blaga bulat, 0 < dega represetas Output : Lagah : ber dar a od = t = 0 Set b Ja = 0 Set A a 3 Ja 0 =, aa set b a, aa outputb) 4 Utu dar sapa t erjaa: 4 Set A A od 4 Ja =, aa set b Ab od 5 Outputb)

56 59 Berut dbera sebuah cotoh perhtuga pagat blaga bulat odulo yag besar egguaa Algorta 6 Cotoh 49 Meezes, Oorschot ad Vastoe, 996) Dhtug od34 egguaa Algorta 6 Tabel 5 Perhtuga od34 Dar Tabel 5 dapat dlhat bahwa od34 = 03 H Peghtuga Order Elee Grup Dala rptograf, serg dguaa suatu elee grup dega order yag besar Pada subbab dbahas bagaaa eeua la dar order suatu elee g d dala grup berhgga G atau eujua apaah ja dbera sebarag blaga bulat postf, aa blaga tu erupaa order g atau tda Teorea d bawah eujua bagaaa eghtug order g ja detahu fatorsas pra dar order G, yatu: G = = p e p ), dega p, adalah blaga pra yag ebag G

57 60 Ja fatorsas pra dar G tda detahu, aa tda udah utu ecar order g Khususya pada algorta ElGaal, order grup da fatorsas praya telah detahu Teorea 46 Bucha, 000) Detahu grup G da fatorsas pra G = = p e p ) Ja g G da f p ) adalah blaga bulat terbesar sedea hgga g G f p p ) =,, aa: But: order g = = p e p ) f p ) Msala fatorsas pra dar G adalah G = = p e p ) Megguaa Teorea G f ) p p 40 dperoleh bahwa G g = ja da haya ja order g ebag ) f p p atau e p p = order g ebag f p ) p ) Abatya order g ebag p = e p ) f p ) Dperoleh bahwa order g = = p x p ) dega x p ) e p ) f p ), utu setap, 0 p p Karea f p ) adalah blaga bulat terbesar sedea hgga g = aa x p ) = e p ) f p ), utu setap, Dega dea dperoleh bahwa: p G f p ) order g = = p x p ) = = p e p ) f p )

58 6 Cotoh 40 Bucha, 000) Dbera grup G =, ) Z 0 Grup epuya order 00 = )5 ) Detahu e ) = e5) = Aa dhtug order dar Pertaa, dhtug la f p) egguaa Teorea 46, dperoleh: )5 ) od0) Oleh area tu f ) = 0 Selajutya, Oleh area tu 5) = 0 od0) 0 95 )5) 0 f, jad order dar, ) Z adalah 00 Selajutya, Abat 4 d bawah dapat dguaa utu eujua bahwa suatu blaga bulat erupaa order g G atau tda Hal petg area dguaa utu eetua pebagu dar suatu grup sl Abat 4 Bucha, 000) Dbera N Ja g = da g utu setap p yatu pebag pra dar, aa adalah order dar g But: p Detahu N, g G da g = Msala = = p e p ) adalah fatorsas pra p dar Karea g, utu setap,, aa f ) = 0 Megguaa Teorea 46 dperoleh bahwa adalah order g p

59 6 Cotoh 4 Bucha, 000) 5 0 Aa dbuta apaah 5 erupaa order dar, ) 5 5 od0) da 95 od0) aa 5 erupaa order dar, ) I Poloal Z Detahu 5 5 Oleh area tu, egguaa Abat Z Dbera gelaggag outatf R dega ut 0 da poloal: f x) = a a x ) + a x ) + K + a x) + 0 dega x adalah peubah detert) da oefse a 0, a, K, a adalah elee R, dega a = 0, utu > Hpua seua poloal atas R dega peubah x dotasa dega R [] x deg Msal dbera a 0, aa dsebut derajat dar poloal f x), dtuls f x) ) = Selajutya, a dsebut oefse leadg leadg coeffcet) Ja setap oefse ecual oefse leadg adalah ol, aa poloal f x) dsebut ooal Cotoh 4 Bucha, 000) Dbera poloal x + x + ), x +, 5 Z[ x] 3 Dapat dlhat bahwa poloal x 3 + x + epuya derajat 3, poloal x + epuya derajat, da poloal 5 epuya derajat 0 Ja r R, aa f r) = a r ) + K a0 adalah la dar f pada r Ja + f r) = 0, aa r dsebut pebuat ol zero of ) f

60 63 Cotoh 43 Bucha, 000) Nla dar poloal x + x + Z[ x] 3 3 pada adalah ) + ) + = Poloal + Z [] x epuya pebuat ol yatu x J Poloal atas Lapaga ol Dbera lapaga F, aa gelaggag poloal F [ x] tda euat pebag Lea 4 Bucha, 000) Ja f x), g x) F[ x] deg f x) g x) ) = deg f x) ) + deg g x) ) da f x), g x) 0, aa Sepert pada hpua blaga bulat, pada F [ x] juga dapat dterapa tetag osep algorta pebaga yag dsebut dega algorta pebaga poloal sepert dbera pada Teorea 47 d bawah Teorea 47 Bucha, 000) Dbera f x), g x) F[] x dega g x) 0, aa terdapat dega tuggal poloal q x), r x) F[] x dega f x) = q x) g x) + r x) da x) = 0 r atau deg x) ) deg g x) ) r < Pada Teorea 47 d atas, q x) dsebut hasl bag quotet) da r x) dsebut ssa reader) dar pebaga f x) dega g x), dtuls r x) = f x) od g x)

61 Abat 43 Bucha, 000) Ja f x) F[ x] 64 adalah poloal tda ol da ja a adalah pebuat ol f x), aa f x) = x a) q x) dega q x) F[] x But: Megguaa Teorea 47, terdapat poloal q x), r x) F[] x dega f x) = x a) q x) + r x) da x) = 0 sehgga dperoleh f x) = x a) q x) r atau deg x) ) < r Abatya 0 = f a) = r x) Cotoh 44 Bucha, 000) Poloal Z [ x] pebuat ol yatu, da + = x ) x x + epuya elee Abat 44 Bucha, 000) Poloal x) F[ x], f x) 0 palg baya deg x) ) But: f pebuat ol Aa dbuta egguaa dus pada deg f x) ) f epuya = Utu = 0 jelas bear berlau, sebab f x) F[] x da f x) 0 Selajutya, dbera > 0 Ja f x) tda epuya pebuat ol, aa jelas peryataa bear Ja f x) epuya pebuat ol, sala a adalah pebuat ol f x), egguaa Abat 43 berabat bahwa f x) x a) q x) = da deg q x) ) = Megguaa asus dus, dperoleh bahwa q x) epuya palg baya pebuat ol Dega ata la, f x) epuya palg baya pebuat ol

62 65 K Grup Ut atas Lapaga Berhgga Dbera lapaga berhgga F yag euat sebaya q elee Ddefsa suatu grup F, ), yatu grup yag eleeya adalah seua ut dala lapaga F dega operas ber pergadaa dala F Grup, ) F epuya order q, sebab setap elee ta ol dala F erupaa ut Selajutya, grup F, ) sepert dsebut dega grup ut ut group) Teorea 48 Bucha, 000) Dbera lapaga berhgga F yag euat q elee Ja d adalah blaga bulat postf yag ebag q, aa terdapat d) But: ϕ elee dega order d dala grup ut, ) F Dbera blaga bulat d yag ebag q Ddefsa ψ d) adalah bayaya elee berorder d dala F Dasusa bahwa ψ d) > 0, aa dbuta bahwa ψ d) = ϕ d) Dbera a adalah elee berorder d dala F, ), aa a, 0 < d erupaa elee yag berbeda da seuaya erupaa pebuat ol dar poloal d x Megguaa Abat 44, terdapat palg baya d pebuat ol dar d poloal x dala F Oleh area tu, poloal epuya tepat d pebuat ol da seuaya erupaa elee yag dperoleh dar peagata a Selajutya, d setap elee dala F dega order d adalah pebuat ol dar x da erupaa hasl peagata dar a Megguaa Teorea 4, suatu pagat a epuya order d ja da haya ja gcd, ) = d Oleh area ψ d) > 0, aa berabat ψ d) = ϕ d) Selajutya, aa dbuta bahwa ψ d) > 0 Msala

63 66 ψ d) = 0 utu suatu pebag d dar q, aa utu seua blaga bulat postf d, d, K, yag ebag q, d q = ψ d ) < ϕ d ) = = Kotrads dega Teorea 49 Yag bear adalah ψ d) > 0 Cotoh 45 Bucha, 000) Dbera lapaga Z 3 Grup ut dar Z 3 epuya order Pada grup terdapat satu elee dega order, satu elee dega order, dua elee dega order 3, dua elee dega order 4, dua elee dega order 6, da epat elee dega order Ja F adalah lapaga berhgga dega q elee, aa egguaa Teorea 48, F euat ϕ q ) elee yag epuya order q Abat 45 Bucha, 000) Ja F adalah lapaga berhgga dega q elee, aa grup ut, ) But: Detahu, ) ) F sl da epuya ϕ q ) pebagu F epuya order q ) Karea suatu elee yag epuya order q erupaa pebagu, egguaa Teorea 48 aa, ) F euat ϕ q ) pebagu, abatya F, ) sl Dega dea teorea terbut

64 67 L Strutur Grup Pergadaa Blaga Bulat Modulo Pra Dbera grup pergadaa blaga bulat odulo p, Z p, ) dega p adalah blaga pra Karea ut, sebab setap elee, ) Z adalah lapaga berhgga, aa, ) p Z erupaa ut p Z erupaa grup p Abat 46 Bucha, 000) Grup, ) But: Z sl dega order p Detahu Z, ) adalah grup ut Megguaa Abat 45 dperoleh bahwa Z, ) p epuya elee pebagu, serta euat p elee sebab haya elee 0 yag bua erupaa ut Dega dea, terbut bahwa Z p, ) adalah grup sl dega order p sl, ) p Berut dbera osep tetag suatu elee yag ebagu grup Z Elee atya berpera sagat petg dala algorta ElGaal, p area dguaa sebaga salah satu ucya p Defs 45 Bucha, 000) Suatu elee yag ebagu, ) elee prtf prtve root) od p Z dsebut p Cotoh 46 Bucha, 000) Dbera p = 3 Karea 3 adalah blaga pra, aa egguaa Teorea 48 dperoleh ϕ 3) = = Keuda dhtug order dar asg-asg elee Z 3, ) Dar s dperoleh epat elee yag epuya order da saa

65 dega order dar Z 3, ), yatu Karea elee yag epuya order adalah pebagu, aa elee tersebut adalah elee prtf Epat elee tersebut adalah, 6, 7 da Dega dea, elee prtf Z 3, ) adalah, 6, 7 da 68 5 Tes Kepraa Salah satu hal yag berpera sagat petg dala algorta rptograf uc publ adalah uc, sea besar uc aa tgat eaaa sste aa sea tgg pula Pada algorta ElGaal, blaga pra dguaa sebaga salah satu ucya Utu edapata blaga pra yag besar dperlua suatu pebagu uc yag juga harus besar Sebeluya telah dbera sebuah algorta tes epraa Algorta 4), aa tetap algorta sagat tda efse utu egece blaga yag besar D s djelasa dua buah tes epraa yag dapat dguaa utu blaga bulat postf gajl yag besar, yatu tes Ferat da tes Mller-Rabb A Tes Ferat Tes Ferat ddasara pada teorea Ferat Teorea 43) yag sedt drubah sepert dbera pada Teorea 5 d bawah Teorea 5 Bucha, 000) Ja p adalah blaga pra, aa a p But: od p), utu sebarag a, ) Z p Utu selajutya, a dsebut dasar base) Teorea 43 egataa bahwa utu sebarag, ) ϕ berlau a ) od ) a da blaga bulat, Dar s dabl = p, dega p blaga pra Z

66 69 Megguaa Teorea 48 dperoleh bahwa φ p ) = p Sehgga dperoleh p a a φ ) od p) Dega dea teorea terbut Dega hasl yag dperoleh pada Teorea 5, dapat dbetu sebuah algorta tes epraa, sebaga berut: Algorta 7 : Tes Ferat Meezes, Oorschot ad Vastoe, 996) Iput : Sebuah blaga bulat postf gajl p 3 da sebuah paraeter t Output : Peryataa pra atau opost Lagah : Utu dar sapa t erjaa: Dabl sebarag blaga bulat postf a, a p p Htug y a od p) 3 Ja y, aa output opost ) Output pra ) Nau pada eyataaya, la y od p) p adalah pra Berut dbera cotohya tda selaaya eja bahwa Cotoh 5 Bucha, 000) Dbera p = 34 Dabl a =, dega tes Ferat dperoleh od 34) 340 yag eyataa bahwa 34 adalah blaga pra Nau hal tda bear area 34 adalah blaga opost, yatu 34 = )3) Dar s terbut, walaupu dperoleh

67 70 y =, teryata p bua blaga pra Utu eujua bahwa p bear erupaa blaga opost dlaua tes Ferat seal lag Selajutya dabl a = 3, dega tes Ferat dperoleh 56 od 34) blaga opost yag bear eujua bahwa 34 adalah Cotoh d atas eperlhata bahwa pegabla dasar, ) a sagat epegaruh hasl ahr perhtuga I ejad salah satu eleaha dar tes Ferat Keleaha la dar tes Ferat adalah gagal saat harus edetes eoposta suatu blaga tertetu yag daaa blaga Carchael B Blaga Carchael Blaga Carchael adalah blaga bulat postf opost yag tda dapat dbuta eopostaya egguaa tes Ferat, utu seua dasar yag dabl Z p Defs 5 Bucha, 000) Dbera sebarag blaga bulat postf opost Ja utu setap Z a berlau a od ), aa dsebut pseudopre e dasar a Ja pseudopre e seua dasar a dega gcd a, ) = blaga Carchael, aa p dsebut Cotoh 5 Bucha, 000) Blaga 56 = 3))7) erupaa blaga Carchael yag palg ecl) Dteuaya blaga Carchael ebuat tes Ferat tda lag optal utu dguaa sebaga tes epraa Berut djelasa egea tes Mller-Rabb, yatu sebuah tes epraa yag eggata tes Ferat

68 7 C Tes Mller-Rabb Tes Mller-Rabb erupaa peyepuraa dar tes Ferat Pada tes epraa, eleaha yag terdapat dala tes Ferat telah dapat dhlaga Tes Mller-Rabb ddasara pada teorea d bawah Teorea 5 Bucha, 000) Dbera sebarag blaga bulat postf gajl p 3 Dabl blaga bulat s ejad pagat terbesar sedea hgga s ebag p, yatu: Keuda dhtug d ) a, berlau: Z p r { r N : ebag } s = ax p p ) = Ja p adalah blaga pra, aa utu sebarag s a d od p) atau terdapat { 0,,,, s } r K sedea hgga a r d ) od p) p But: Dbera sebarag blaga bulat postf gajl 3 r bulat s = ax{ r N : ebag p } adalah blaga pra, aa order dar, ) Teorea 4, ja adalah order dar Ja 0 = =, aa: a d p da a, ) Selajutya, dhtug p Z p Dabl blaga p ) d = Msala p s s Z adalah p = d) Megguaa d a, aa erupaa suatu pagat dar od p)

69 7 Ja >, aa l = dega l s Megguaa Teorea 4, l d ) a epuya order Karea p epuya order, hal berabat a r d ) p od p) utu r = l da 0 r s Algorta 8 : Tes Mller-Rabb Meezes, Oorschot ad Vastoe, 996) Iput : Sebuah blaga bulat postf gajl p 3 da sebuah paraeter t Output : Peryataa pra atau opost Lagah : s Tuls p = r), dega r blaga bulat postf gajl Utu dar sapa t erjaa: Dabl sebarag blaga bulat postf a, a p r Htug y a od p) egguaa etode fast expoetato 3 Ja y da y p erjaa: 3 Set j 3 Whle j s da y p erjaa: 3 Set y y od p 3 Ja y =, aa output opost ) 33 Set j j + 33 Ja y p, aa output opost ) 3 Output pra )

70 73 Cotoh 53 Bucha, 000) Telah detahu bahwa 56 adalah blaga Carchael da tes Ferat gagal utu ebuta eopostaya Selajutya aa dguaa tes Mller-Rabb utu ebuta eoposta blaga Dabl a =, s = 4, da r = 35 Dar s dperoleh od 56), od 56), od 56 ) 35 od 56) 8 Jad, terbut bahwa 56 adalah blaga opost 4, 6 Masalah Logarta Dsret Msala G adalah grup sl dega order, α adalah pebagu G da adalah elee dettas G Dbera β G Perasalaha yag ducula adalah bagaaa eetua suatu blaga bulat oegatf terecl a sedea hgga: a β = α Blaga bulat a sepert dsebut dega logarta dsrt dscrete logarth) dar β dega bass α Selajutya, asalah bagaaa eetua blaga bulat a sepert dsebut dega asalah logarta dsrt dscrete logarth proble) Masalah logarta dsrt ejad sult apabla dguaa grup dega order yag besar Bucha, 000) Masalah Logarta Dsret pada Grup Pergadaa Blaga Bulat Modulo, ) p Pra Dbera blaga pra p, egguaa Abat 46, dperoleh bahwa Z adalah grup sl yag epuya order p Abatya terdapat suatu elee yag ebagu, ) Z yag dsebut dega elee prtf Msala p

71 α, ) adalah elee prtf, aa utu sebarag, ) Z p espoe { 0,,, p } a K sedea hgga: p) β α a od Z p 74 β terdapat suatu Espoe a erupaa logarta dsrt dar β dega bass α Utu eetua logarta dsrt tersebut bualah perasalaha yag udah, apalag bla dguaa blaga pra da logarta dsrt yag besar Bucha, 000) Salah satu etode yag dapat dguaa utu ecar la logarta dsrt adalah etode eueras, yatu dega egece seluruh euga, ula dar 0,,, da seterusya sapa ahrya dteua la a yag tepat Metode eueras ebutuha sebaya a proses pergadaa odulo da sebaya a perbadga Apabla dguaa la a yag lebh besar, aa etode ebutuha proses perhtuga da watu yag lebh baya lag Cotoh 6 Bucha, 000) Aa dhtug la logarta dsrt dar 3 dega bass 5 pada Z 07, ) Megguaa etode eueras dperoleh la logarta dsrtya, yatu 030 Metode ebutuha sebaya 09 proses pergadaa odulo 07 Nau pada pegguaa yag sebearya, dguaa la logarta dsrt yag besar sepert 60 a Oleh area tu, dega egguaa etode eueras drasaa ejad sa-sa area dbutuha palg sedt sebaya 60 proses perhtuga, sehgga dbutuha watu yag sagat laa utu ecar la logarta dsrt tersebut

72 75 7 Algorta ElGaal Algorta ElGaal erupaa algorta rptograf asetrs Pertaa al dpublasa oleh Taher ElGaal pada tahu 985 Algorta ddasara atas asalah logarta dsrt pada grup, ) Z p Algorta ElGaal terdr dar tga proses, yatu proses pebetua uc, proses erps da proses derps Algorta erupaa cpher blo, yatu elaua proses erps pada blo-blo plates da eghasla blo-blo cphertes yag euda dlaua proses derps, da haslya dgabuga ebal ejad pesa yag utuh da dapat degert Utu ebetu sste rptograf ElGaal, dbutuha blaga pra p da elee prtf grup Z p, ) Utu lebh jelasya egea algorta ElGaal, berut dbera suatu sste rptograf ElGaal, yatu sste rptograf yag egguaa algorta ElGaal, defs hpua-hpua plates, cphertes da uc, serta proses erps da derps, sepert dbera pada gabar berut Gabar 5 Sste rptograf ElGaal pada, ) Z Stso, 995) p

73 76 Peelta Releva Peelta yag perah dlaua yatu pada 976 saat Dffe da Hella epublasa New Drectos Cryptography Tulsa epereala osep revolusoer rptograf uc publ da juga ebera etode baru utu pertuara uc, eaaa yag berdasar pada euata asalah logarta dsrt Mespu Dffe da Hella tda el realsas prats pada de erps uc publ saat tu, deya sagat jelas da eubuha etertara yag luas pada outas rptograf Pada 978 Rvest, Shar da Adlea eeua racaga erps uc publ yag searag dsebut RSA Racaga RSA berdasar pada asalah fatorsas blaga yag sult, da eggata ebal usaha utu eeua etode yag lebh efse utu pefatora Sste la yag erupaa racaga uc publ dteua oleh Taher ElGaal pada tahu 985 Racaga berdasar pada asalah logarta dsrt Salah satu otrbus petg dar rptograf uc publ adalah tada taga dgtal Pada 99 stadar terasoal pertaa utu tada taga dgtal dadops Stadar berdasar pada racaga uc publ RSA Pada 994 peertah Aera Serat egadops Dgtal Sgature Stadard, sebuah ease rptograf yag berdasar pada algorta ElGaal 3 Keraga Berpr Megguaa teor-teor egea algorta ElGaal datas, aa aa dbuat suatu progra peyada pesa sederhaa yag dasuda utu ejaga eaaa pegra pesa rahasa elalu eda teret

74 77