II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode

Transkripsi

1 II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses peelta utuk megaalss aproksmas fugs dega metode mmum orm pada ruag hlbert C[ab] (Stud kasus: fugs rasoal) peuls megguaka defs teorema da kosep dasar sebaga berkut:.. Aproksmas Fugs Suatu fugs tdak memerluka peelesaa tetap fugs tersebut haa dapat devaluas apabla la varabela dberka. Msala suatu fugs varabel dataka oleh (t) = t dega t 8. Suatu fugs juga dapat drepresetaska dalam deret pagkat tak hgga. Suatu fugs ag dekspas dalam deret pagkat tak hgga ~ = c z tdak dapat dselesaka dega perhtuga basa utuk medapatka la eksaka. Oleh karea tu utuk mecar laa dapat dlakuka dega pegguaa suatu pedekata. Perhtuga dega suatu aproksmas meghaslka la pedekata ( Mur 6 ).

2 6 Ada dua jes pegguaa aproksmas pada suatu fugs atu:. Meggatka fugs-fugs ag rumt dega fugs ag lebh sederhaa sehgga baak operas umum sepert fugs rasoal da fugs tegral atau bahka megevaluas fugs tersebut dapat dlakuka dega mudah.. Utuk memperoleh kembal suatu fugs dar formas sebaga megea fugs tu msala dar suatu tabel la ( Satoso 3 )... Kesalaha Aproksmas Fugs Dalam perhtuga dega aproksmas mugk aka terjad suatu kesalaha terhadap la eksaka. Meurut Tratmodjo () terdapat tga jes kesalaha ag mugk terjad dalam perhtuga dega aproksmas atu kesalaha bawaa kesalaha pembulata (roud-off error) da kesalaha pemotoga (trucato error). Defs... Kesalaha Bawaa Kesalaha bawaa adalah kesalaha dar la data ag terjad karea kekelrua dalam meal data salah membaca skala atau kesalaha karea kuraga pegerta megea hukum-hukum fsk dar data ag dukur (Tratmodjo ). Mur (6) meebut kesalaha bawaa dega stlah kesalaha ekspermetal atu kesalaha ag tmbul dar data ag dberka msala karea kesalaha pegukura ketdaktelta alat ukur da sebagaa.

3 7 Defs... Kesalaha Pembulata (roud-off error). Kesalaha pembulata adalah kesalaha ag terjad karea tdak dperhtugkaa beberapa agka terakhr dar suatu blaga (Tratmodjo ). Kesalaha pembulata msala dapat dbulatka mejad 34. Defs..3. Kesalaha Pemotoga (trucato error). Kesalaha pemotoga adalah kesalaha ag terjad karea haa dperhtugkaa beberapa suku pertama dar suatu deret tak hgga (Tratmodjo ). Sela defs d atas kesalaha pemotoga (trucato error) juga ddefska sebaga kesalaha ag tmbul dar pegguaa suatu aproksmas peggat prosedur matematka ag eksak (Chapra ). Kesalaha pemotoga terjad msala pada pegguaa aproksmas dega deret Talor. Kesalaha (error) ag mucul dalam pegguaa aproksmas dharapka berla sagat kecl sehgga la ag dperoleh medekat atau hampr sama dega la eksaka. Oleh karea tu dalam meghampr suatu fugs deret pagkat tak hgga la kesalahaa aka berla semak kecl jka suku-suku deret ag dguaka utuk meghampr fugs tersebut semak baak..3. Teorema Proeks Teorema proeks merupaka prsp dasar dalam peelesaa masalah optmsas. Sebelum ke Teorema proeks terlebh dahulu aka dperkealka kosep ortogoaltas.

4 8 Defs.3. (Lueberger 969) Dalam suatu ruag pre-hlbert X vektor X dkataka ortogoal jka < >= dotaska dega. Suatu vektor dkataka ortogoal dega hmpua S dotaska S jka s utuk setap s S. Lemma berkut meujukka bahwa Teorema Phtagorea dalam geometr bdag merupaka akbat dar kosep ortogoaltas. Lemma.3. Msalka X suatu ruag Hlbert da X. Jka maka Bukt : = =. Selajuta aka dbahas suatu masalah optmsas ag berhubuga dega Teorema proeks. Msalka X suatu ruag Pre-Hlbert dberka suatu vektor X da M ruag baga dar X maka aka dtetuka vektor m M ag terdekat ke atu vektor ag memmalka m. Jka berada d M maka peelesaaa trval atu vektor sedr. Secara umum ada empat perataa petg dalam peelesaa masalah tersebut atu :. Adakah vektor m M ag memmalka m?. Apakah peelesaaa tuggal? 3. Kods apa ag harus dpeuh agar ada peelesaa optmal?

5 9 4. Bagamaa meetuka peelesaa optmal? Perataa omor da 3 aka djawab dega Teorema proeks. Ada dua vers Teorema proeks satu vers pada ruag Pre-Hlbert da satu vers ag la pada ruag Hlbert dega hpotess da kesmpula ag lebh kuat. Teorema.3. (Teorema Proeks d Ruag pre-hlbert) Msalka X suatu ruag Pre-Hlbert M suatu ruag baga dar X da sebarag vektor d X. Jka ada vektor m M sedemka sehgga mo m m M maka m tuggal. Sarat perlu da cukup m M suatu vektor mmal tuggal d M adalah vektor selsh m ortogoal terhadap M. Bukt : Aka d tujukka jka m adalah vektor mmal maka m ortogoal terhadap M. Adaka kods sebalka terdapat m M ag tdak ortogoal terhadap m. Tapa megurag keumuma bukt dmsalka m da < m m> =. Ddefska vektor m M sebaga m = m + m maka m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m

6 I berart m dega m = m + m sehgga m m berart m buka vektor mmal. Jad m vektor mmal maka m ortogoal terhadap M atau ( m ) m m M terhadap M maka m buka vektor mmal.. Dega demka jka m tdak ortogoal Selajuta aka dtujukka jka vektor m ortogoal terhadap M dambl sebarag mm berdasarka Teorema Phtagorea : m m m m m m m sehgga m m utuk m m. Dalam dmes tga teorema proeks dapat dataka sebaga berkut : Ruag baga M adalah bdag ag melalu ttk asal da d ruag dmes tga X. Jka ada vektor mmal m M maka m tuggal da vektor selsh m tegak lurus terhadap bdag M sepert dgambarka dalam gambar d bawah : ( m ) M Gambar. Teorema d atas belum mejam keberadaa vektor mmal tetap jka ada vektor mmal m maka m tuggal da vektor selsh m ortogoal terhadap ruag baga M. Dega hpotess ag lebh kuat ddapatka kesmpula ag

7 lebh kuat atu terjama keberadaa vektor mmal. Hal dataka dalam teorema berkut. Teorema.3.3 Teorema Proeks Klask Msalka H ruag Hlbert da M ruag baga tertutup dar H maka utuk sebarag vektor H terdapat tuggal vektor m M sedemka hgga mo m m M. Sarat perlu da cukup m M suatu vektor mmal tuggal adalah vektor selsh m ortogoal terhadap ruag baga M. Bukt : Ketuggala da ortogoaltasa telah dbuktka pada Teorema.3. sehgga tggal membuktka keberadaa vektor mmal. Jka M da m = maka bukt selesa. Msalka M da ddefska f m aka dtetuka m M dega mm m. Msalka {m } suatu barsa vektor dalam M da m. Meurut hukum jajara gejag (parallelogram) ( mj ) ( m ) ( mj ) ( m ) mj m dega meusu kembal persamaa d atas ddapatka : j m m = mj m - 4 m m j utuk setap j. Da vektor m m j berada d M. Karea M ruag baga ler sehgga dar defs da ddapatka : m m j

8 m j m m m 4 j karea m Maka m j m j. Dega demka {m } adalah barsa Cauch da karea M ruag baga tertutup dar ruag legkap maka barsa {m } mempua lmt m d dalam M. Dega kekotua orm maka m. Jad dalam peulsa Teorema proeks klask mejam keberadaa da ketuggala peelesaa optmal serta kods ag harus dpeuh agar keberadaa vektor mmal ada peelesaa optmala peelesaa optmala sedr belum dapat dtetuka. Selajuta teorema proeks d atas aka dtetapka utuk membagu sfat struktural tambaha dar suatu ruag Hlbert atara la adalah dalam sebarag ruag baga tertutup dar ruag Hlbert sebarag vektor dapat dtuls sebaga jumlaha dua vektor satu vektor d ruag baga tertutup da vektor ag la ortogoal terhadapa. Defs.3. (Lueberger 969) Msalka... bass dar M. Dberka sebarag vektor H da aka dcar vektor m d M ag terdekat ke. Jka vektor m dataka dalam sukusuku dalam vektor sebaga :

9 3 m o = Maka masalah tersebut ekuvale dega meemuka skalar =... ag memmalka.... Meurut Teorema proeks vektor mmal tuggal m adalah proeks ortogoal pada M atau vektor selsh m ortogoal terhadap setap vektor. Dega demka :... utuk =.... Atau < > - < > - < > < > = < > - < > - < > < > = < > - < > - < > < > = Atau < > + < > < > = < > < > + < > < > = < > < > + < > < > = < > Persamaa dalam koefse sebaak kal dkeal sebaga persamaa ormal utuk masalah mmalsas. Matrks ag berhubuga dega vektor... atu : G = G(... ) =

10 4 dsebut matrks Gram dar Matrks adalah trapose dar matrks koefse ormal. Teorema.3.4 Determa Gram g = g(. ) jka da haa jka. bebas lear. Bukt : Perataa tersebut ekuvale dega perataa vektor vektor. bergatug lear jka da haa jka g = g(. ) =. Msalka bergatug ler berart terdapat ag tdak sama dega ol sedemka sehgga. Karea barsa-barsa pada determa Gram bergatug pada maka determaa ol. Msalka g = g(. ) =. Maka ada kebergatuga ler d atara barsa-barsaa sehgga terdapat kostata I ag tdak semuaa ol sedemka hgga j utuk semua j. Dega demka atau. Sehgga da vektor j. bergatug ler. Walaupu persamaa ormal tdak memlk peelesaa tuggal jka bergatug ler tetap selalu ada palg sedkt satu peelesaa. Jka g =

11 5 maka selalu dhaslka peelesaa ag tdak tuggal buka peelesaa ag tdak kosste. Teorema berkut meataka jarak mmum suatu vektor ke ruag baga dapat dcar dega determa matrks Gram. Teorema.3.5 Msalka.. bebas lear da jarak mmum vektor ke ruag baga M ag dbagu oleh atu : m... maka g(... ) g(... ) Bukt : Meurut defs Meurut teorema proeks - ortogoal terhadap M sehgga secara khusus karea M maka : < - > = sehgga... atau... persamaa bersama persamaa ormal memberka + persamaa ler dalam + varabel.... Dega atura Cramer ddapatka

12 6 )... ( )... ( g g.4. Deret Maclaur Kasus khusus pada deret Talor adalah bla fugs dperluas sektar t = maka dereta damaka deret Maclaur ag juga merupaka deret Talor baku sebaga berkut: t = + ()! t + "()! t + () 3! t 3 + = ()! t = (Purcell 4) Cotoh.4. Fugs ( t = t + dt 8 t 8 ) Meetuka deret Maclaur dar fugs t = t + dt 8 da pedekata ke la. t = t + () = t = t+ =

13 7 Sehgga dperoleh deret Maclaur dar fugs t = t + = + = + t! t + 8 t + dt.5. Fugs Irasoal Fugs Irasoal adalah akar dar fugs polom. Betuk umuma : (Albar ) m = + c + c + + c tdak bulat m ε R m