TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya, dapatkah dibagu suatu lapaga baru yag memuat akar dari persamaa tersebut? Misal didefiisika i sebuah bilaga yag memeuhi i = 1, tetapi ada dua buah akar dari x + 1 = 0, yag maakah yag aka dipilih sebagai i? Jika sudah dipilih i, apakah perlu medefiisika persamaa x 4 + 1 = 0 sebagai j atau cukup dega defiisi sebelumya, sehigga semua poliom di lapaga baru tersebut mempuyai akar-akarya. 1
Pedahulua (lajuta) Sebuah bilaga kompleks dapat disajika dalam dua betuk : 1. z = x + iy. z = x, y x adalah bilaga riil da y adalah bagia imagierya da bisa ditulis sebagai : re z = x im z = y Cotoh : + i re + i = im + i = Bidag Kompleks Bilaga kompleks digambarka dalam suatu bidag kompleks seperti peggambara suatu titik pada bidag kartesius xy. sumbu x = sumbu riil sumbu y = sumbu imagier
Bidag Kompleks (lajuta) Operasi pada bidag kompleks : Jika z 1 = x 1 + iy 1 da z = x + iy 1. Pejumlaha z 1 + z = x 1 + x + i y 1 + y. Perkalia z 1. z = x 1 x y 1 y + i x 1 y + x y 1. Pembagia z 1 = x 1+iy 1 = x 1+iy 1 x iy z x +iy x +y x +iy x iy = x 1x +y 1 y + i x y 1 x 1 y x +y Bidag Kompleks (lajuta) Cotoh : Diketahui z 1 = 1 + i da z = i 1. Pejumlaha z 1 + z = 1 + + i 1 = i. Perkalia z 1. z = 1. 1. + i 1. +. 1 = 4. Pembagia z 1 = 1.+(1. ) + i.1 (1. ) = 0 + i 4 = 1 i z +( ) +( ) 8 8
Bidag Kompleks (lajuta) Sifat-sifat operasi : 1. Komutatif z 1 + z = z + z 1 z 1. z = z. z 1. Asosiatif z 1 + z + z = z 1 + z + z z 1 z. z = z 1. z z. Distributif z 1 z + z = z 1. z +z 1. z Bidag Kompleks (lajuta) Sifat-sifat operasi : 4. Idetitas 0 + z = z + 0 = z z. 1 = z z + z = z + z = 0 4
Bilaga Sekawa Jika z = x + i, maka sekawa dari z diotasika dega z dapat diyataka sebagai berikut : z = x iy Jika dihubugka dega ilai z dega z, maka bagia riil da imajier dapat diyataka sebagai berikut : x = 1 y = 1 i z + z da z z Latiha 1 Diketahui z 1 = + i da z = 4i 1. z 1 + z. z 1. z. z 1 + z z 1 4. z 1 +z 5. z 1 z 1 6. z + z 5
Betuk Polar (lajuta) Bilaga kompleks utuk koordiat bidag polar (r, ) dapat dibuat hubuga sebagai berikut : x = r cos θ y = r si θ r = z = x + y θ = arg z = arc tg y x r disebut modulus z disebut argume z Jadi z dapat ditulis dalam betuk : z = r cos θ + i r si θ = r cos θ + i si θ Betuk Polar (lajuta) Secara geometrik, r merupaka jarak titik z terhadap titik asalya (0,0), sedagka merupaka sudut z yag diukur dari sumbu x positif da tidak terdefiisi pada z = 0. Nilai prisipil didefiisika pada - < <, dikareaka sifat dari yag berulag, maka haya diguaka ilai pada selag tersebut. 6
Betuk Polar (lajuta) Utuk memudahka dapat diguaka sifat operasi pada bidag kompleks dega : z 1 = r 1 Cos θ 1 + ir 1 Si θ 1 da z = r Cos θ + ir Si θ 1. Perkalia : z 1. z = r 1 r Cos θ 1 + θ + i Si θ 1 + θ. Pembagia : z 1 = r 1 z r Cos θ 1 θ + i Si θ 1 θ Hasil operasi tersebut megguaka sifat : Cos θ 1 ± θ = Cos θ 1 Cos θ ± Si θ 1 Si θ Si θ 1 ± θ = Si θ 1 Cos θ ± Cos θ 1 Si θ Betuk Polar (lajuta) Cotoh : Diketahui z 1 = 1 + i da z = + i a. Tetuka modulus z 1 z da ilai prisipil argume z 1 z b. Tetuka modulus z 1 z da ilai prisipil argume 1 z z Jawaba : Jika z 1 da z ditulis dalam betuk polar : z 1 = Cos π 4 + i Si π 4 da z = Cos π 6 + i Si π 6 7
Betuk Polar (lajuta) π a. z 1 z = Cos + π + i Si π + π 4 6 4 6 = Cos 5π 5π + i Si 1 1 Sehigga modulus z 1 z = da argume z 1 z = 5π b. z 1 z = Cos π 4 π 6 + i Si π 4 π 6 Cos π + i Si π 1 1 Sehigga modulus z 1 = da argume z 1 z z = = π 1 1 Latiha Jika diketahui : 1. z 1 = 1 + i da z = 1 i. z 1 = 1 i da z = 1 + i Tetuka modulus z 1 z da z 1 z da z 1 z. z 1 z, serta ilai prisipil argume 8
Betuk Pagkat da Akar Dari hasil operasi perkalia betuk polar dapat diperoleh betuk pagkat bilaga kompleks z yaitu : z = r. r r Cos θ + θ + + θ + i Si θ + θ + + θ = r Cos θ + i Si θ Betuk pagkat z dikeal dega rumus De Moivre, yag dari betuk tersebut dapat dituruka betuk akar z yag diperoleh dega cara sebagai berikut : Diketahui betuk akar bilaga kompleks z = W. W mempuyai betuk polar W = R Cos β + icos β, sedagka z = r Cos θ + icos θ. Betuk Pagkat da Akar (lajuta) Nilai R da β ii aka dicari berdasarka ilai r da θ. Dari betuk W = z, dapat diperoleh betuk W = z. Dari rumus De Moivre W = R Cos β + icos β maka didapatka persamaa berikut : R = r β = θ + πk k : bilaga bulat Nilai R da β bisa diperoleh : R = r 1/ β = θ+πk k : bilaga bulat = z, 9
Betuk Pagkat da Akar (lajuta) Jika dicoba memasukka ilai k mulai dari 0, 1,, aka diperoleh bahwa ilai aka kembali periodik utuk k =, yag artiya : ilai W aka sama utuk k = 0 da k =, ilai W aka sama utuk k = 1 da k = + 1, da seterusya. Karea diigika ilai W yag berbeda saja, maka : β = θ+πk utuk k = 0, 1,, 1 Betuk Pagkat da Akar (lajuta) Jadi akar-akar yag dicari adalah w 1, w,, w dimaa utuk : k = 0 w 1 = r 1/ k = 1 w = r 1/ k = 1 w = r 1/ Cos θ + i Si θ Cos θ+π Cos θ+π + i Si θ+ 1 π + i Si θ+ 1 π 10
Betuk Pagkat da Akar (lajuta) Utuk kasus khusus =, yaitu akar bilaga kompleks yag berbetuk z dapat juga dicari dega megguaka persamaa berikut : z = ± z +x + sig y i z +x dega ketetua sig y = 1 jika y 0 da sig y = 1 jika y < 0. Rumusa ii diperoleh dega megguaka sifat : Cos θ = Cos θ 1 da Cos θ = 1 Si θ Betuk Pagkat da Akar (lajuta) Cotoh : Tetuka semua ilai z yag memeuhi z + 1 = 0 Jawaba : z + 1 = 0 z = 1 z = 1 (betuk akar pagkat ) Bilaga kompleks 1 memiliki r = 1 da θ = π, jika w 1, w,, w adalah akar-akar dari 1, maka : 11
Betuk Pagkat da Akar (lajuta) k = 0 w 1 = 1 Cos π + i Si π = 1 + i k = 1 w = 1 Cos π+π + i Si π+π k = w = 1 Cos π+4π + i Si π+4π Jadi akar-akar yag dimaksud adalah : 1 + i, 1, da 1 + i = 1 = 1 + i Latiha Tetuka semua ilai z yag memeuhi : 1. z z + i = 0. z + z i = 0 1
Turua Diketahui fugsi bilaga kompleks yag berbetuk : f z = u x, y + i v(x, y) Fugsi tersebut ekuivale dega dua fugsi riil u(x, y) da v(x, y) yag masig-masig tergatug pada dua variabel riil x da y. Limit Fugsi : lim z z 0 f(z) = L Pegertia limit fugsi adalah utuk semua z yag dekat dega z 0, maka ilai f(z) aka dekat dega ilai L. Turua (lajuta) Pegertia dekat dega z 0 adalah bialga kompleks yag terletak di dalam cakram buka dega pusat z 0 dega jari-jari yag sagat kecil. f(z) dikataka kotiu di titik z 0, jika : lim f(z) = f(z 0 ) z z 0 f(z) dikataka differetiable di titik z 0 f z 0, jika : atau lim z 0 f z f(z 0 ) z = f z 0 ada f z f(z 0 ) lim = f z z z 0 z z 0 ada 0 1
Turua (lajuta) Cotoh : 1. Periksa apakah x + i y mempuyai turua? Jika ada, tetuka turuaya!. Diketahui f z = z + z, tetuka f (1 + i)! Jawaba : 1. f z = f x, y = x + i y f z f z+ z f(z) = lim z 0 z f x+iy+ x+iy f x+iy z 0 x+iy = lim Turua (lajuta) f x+ x+i y+ y f x+iy z 0 x+iy = lim x+ x+i y+ y x+iy = lim z 0 x+iy = (limitya ada) Jadi fugsi bilaga kompleks f z turua f z =. Jawaba (lajuta) : = x + i y mempuyai 14
Turua (lajuta) Jawaba (lajuta) :. Diketahui f z = z + z, jika f z diberika dalam betuk variabel z saja, maka dapat dituruka secara lagsug dega atura peurua biasa. Jadi f (z) = 6z +, sehigga f 1 + i = 6 1 + i + = 8 + 6i Latiha 4 a. Tetuka turua dari fugsi berikut : 1. f x, y = x + x y. f z = z + z b. Tetuka f 1 + i dari fugsi berikut : 1. f z = (z 1). f x, y = x y x + i(xy y) 15
Terima kasih da Semoga Lacar Studiya! 16