METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam betuk poliom o Fugsi yag rumit mejadi sederhaa dega deret Taylor
DERET TAYLOR Deiisi : Adai kata da semua turuaya,,,, meerus di dalam selag [a,b]. Misalka : o є[a,b], maka ilai-ilai di sekitar o da є[a,b], dapat diperluas diekspasi ke dalam deret Taylor :
DERET TAYLOR Jika - o =h, maka : Cotoh : Hampiri ugsi =si ke dalam deret Taylor di sekitar o =1. Peyelesaia : = si = -cos = - si = - cos 4 = si dst.
DERET TAYLOR maka : si si1 hcos1 h si1 h 6 3 cos1 4 h si1... 4 3 0,8415 0,5403h 0,408h 0,0901h 0,0351h Kasus khusus adalah bila ugsi diperluas di sekitar o =0, maka deretya diamaka deret Maclauri yag merupaka deret Taylor baku. Cotoh 1 : = si dimaa o = 0 4...
Peyelesaia : Cotoh : =e dimaa o =0 Peyelesaia : cos0 6 si0 cos0 si0 si 3 h h h... 4! 0 3! 0! 0 1! 0 0 4 3 0 0 0 e e e e e... 10 6 si 5 3... 4! 3!! 1 4 3 0 e e DERET TAYLOR
Karea suku-suku deret Taylor tidak berhigga bayakya, maka utuk alasa praktis deret Taylor dipotog sampai suku order tertetu. Deret Taylor yg dipotog s/d order ke- diamaka deret Taylor terpotog yg diyataka:!...! 1! '' 0 ' R o o o o o o / ; 1! 1 1 residu sisa galat disebut c c R o o DERET TAYLOR
Dega demikia deret Taylor yg dipotog sampai suku order ke- dapat ditulis : dimaa : R P DERET TAYLOR! 1 o k k k o k P 1! 1 1 c R o
DERET TAYLOR Cotoh : =si; o =1; utk deret Taylor orde ke- Peyelesaia : 1 1 P4 si1 cos1 1!! si1 1 3! 3 cos1 41 5 1 41 1 Galat R4 c cos c 4 1! 5! 1 4! 4 si1
ANALISIS GALAT a. Apa itu galat? b. Megapa harus ada galat? c. Bagaimaa meghitug galat? d. Bagaimaa galat timbul?
ANALISIS GALAT o Solusi dega metode umerik adalah solusi hampira aproksimasi terhadap solusi eksak o Galat ε adalah perbedaa atara solusi hampira dega solusi eksak. o Deiisi: ε= a - â
ANALISIS GALAT Galat Mutlak a ^ a Galat relati Galat relati : R 100% a hampira : 100% RA ^ a
ANALISIS GALAT Misalka : ^ a adalah ilai hampira terhadap ilai sejati a, maka : ^ Cotoh : a a disebut galat ^ a 10,5; a 10,45 10,4510,5 0, 05
Cotoh : Diketahui : a= 10/3; â = 3,333 Hitug : a. Galat! b. Galat mutlak! c. Galat relati! d. Galat relati hampira! Peyelesaia : a. Galat : ε = a-â = 10/3 3,333 = 10.000/3000 9999/3000 = 1/3000 = 0,000333
b. Galat Mutlak a ^ a 0,000333 c. d. 0,000333 Galat relati : R 100% 100% 0,01% a 10/3 0,000333 Galat relati hampira : RA 100% 100% ^ a 3,333 Pedekata lai, perhituga umerik yg meg-guaka pedekata lelara iteratio, ε RA dihitug dega cara : RA dimaa : a a a r1 a r+1 = ilai hampira lelara sekarag a r r1 r = ilai hampira lelara sebelumya 1 999
Proses lelara dihetika bila : ε RA < ε S ε S = Tolerasi galat yag dispesiikasika Semaki kecil ε S, semaki teliti solusiya, amu semaki bayak proses lelaraya Cotoh : Diketahui : X r+1 =X r3 + 3/6; r =0,1,,3 Hitug : ε RA! X o = 0,5; ε s = 0,00001
Peyelesaia : X o = 0,5 X 1 = 0,4791667; X = 0,4816638; X 3 = 0,4813757; X 4 = 0,4814091; X 5 = 0,481405; X X 0, 043478 1 o RA s X1 X X 0, 0051843 1 RA s X X X 0, 0005984 3 RA s X3 X X 0, 0000693 4 3 RA s X4 X X4 5 0,0000081,! X berheti RA s 5
SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK Secara umum terdapat dua sumber utama peyebab galat dlm perhituga umerik, yaitu : 1. Galat pemotoga trucatio error. Galat pembulata roud-o error Ada sumber galat lai, yaitu : 1. Galat eksperimetal. Galat pemrograma
GALAT PEMOTONGAN o Galat ii timbul akibat pegguaa hampira sebagai peggati ormula eksak. o Ekspresi matematika yg lebih kompleks digati dega ormula yg lebih sederhaa o Tipe galat pemotoga bergatug pada metode komputasi yg diguaka utuk peghampira shg kadag-kadag disebut juga galat metode.
Misalka: turua pertama 1, dihampiri dega ormula : ' i 1 1 h i dimaa : h = lebar absis i+1 Cotoh : hampira ugsi cos dega batua deret Taylor di sekitar = 0! Peyelesaia : = cos = - si = - cos 4 = si
Maka : Galat pemotoga :... 10! 8! 6! 4!! 1 cos 10 8 6 4 1! 1 1 c R o Nilai hampira Galat pemotoga cos 5! 1! 4 0 5 1 4 1 4 4 c c R
Nilai R yg tepat hampir tdk perah dapat kita peroleh, karea kita tdk megetahui ilai c sebearya terkecuali iormasi bahwa c terletak pada selag tertetu. Kareaya tugas kita adalah mecari ilai maksimum yg mugki dari R utuk c dalam selag yg diberika, yaitu : R Maks o c 1 c - o 1! 1
Cotoh-1 : Guaka deret Taylor orde 4 di sekitar o =1 utuk meghampiri l0,9 da beri-ka taksira utuk galat maksimum yag dibuat! Peyelesaia : = l 1 = 0 = 1/ = 1 = -1/ = -1 = / 3 = 4 = - 6/ 4 4 = -6 5 = 4/ 5 5 c = 4/c 5
Deret Taylor : 3 4 1 1 1 l 1 R4 3 4 3 4 0,1 0,1 0,1 l 0,9 0,1 R4 3 4 l 0,9 0,1053583 R4 5 4-0,1 R4 0,9 Maks 5 c 5! 0,9c1 0,0000034 Jadi : l0,9 = -0,1053583 dega galat pemotoga < 0,0000034.
Cotoh- : Hampiri ilai d secara umerik, yaitu : dega deret Maclauri orde 8! Peyelesaia : 1 e 0 Deret Maclauri orde 8 dari e adalah : e 1 0 4! 6 3! 1 1 8 4! 4 6 8 e d 1 d! 3! 4! 3 3 0 5 10 7 4 9 16 1 1 0 1 3 1 10 1 4 1 16 e 1,461774
GALAT PEMBULATAN o Perhituga dg metode umerik hampir selalu megguaka bilaga yata o Dega aplikasi computer, semua bilaga riil tdk dapat disajika secara tepat o Keterbatasa komputer dalam meyajika bilaga riil meghasilka galat yag disebut galat pembulata.
Cotoh : 1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer haya meuliska 0,166667. Galat pembulataya = 1/6 0,166667 = -0,00000033. Kebayaka komputer digital mempuyai dua cara peyajia bilaga riil, yaitu : a. Bilaga titik tetap ied poit Cotoh : 6.358; 0,013; 1.000
b. Bilaga titik kambag loatig poit Cotoh : 0,638 10 3 atau 0,638E+03 0,1714 10-13 atau 0,1714E-13 Digit-digit berarti di dalam ormat bilaga titik kambag disebut juga Agka Bea sigiicat igure.
ANGKA BENA Adalah agka bermaka, agka petig atau agka yg dapat diguaka dg pasti. Cotoh : 43.13 memiliki 5 agka bea 4,3,1,,3 0,1764 memiliki 4 agka bea 1,7,6,4 0,000001 memiliki agka bea 1, 78.300 memiliki 6 agka bea,7,8,3,0,0 0,0090 memiliki agka bea 9,0
GALAT TOTAL Galat akhir atau galat total pada solusi umerik merupaka jumlah galat pemotoga da galat pembulata. Cotoh : Cos0, 1 0, 0, 4 4 0,9800667 Galat pemotoga Galat pembulata Galat pemotoga timbul karea kita meghampiri cos0, s/d suku orde 4 sedagka galat pembulata timbul karea kita membulatka ilai hampira ke dalam 7 digit bea.