Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 10 Maret 2010

Transkripsi

1 Metode Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA 10 Maret 2010 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

2 Ekspansi Taylor Misalkan f 2 C [a, b] dan x 0 2 [a, b], maka untuk nilai-nilai x di sekitar x 0 dan x 2 [a, b], f dapat dinyatakan dalam deret Taylor f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) 1! + f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) + f 00 (x 0 ) 2! (x x 0 ) n + (x x 0 ) 2 + (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

3 Ekspansi Maclaurin Untuk x 0 = 0, maka deretnya dinamakan Deret Maclaurin f (x) = f (0) + f 0 (0) 1! x + f 00 (0) 2! x f (n) (0) x n + n! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

4 Contoh Ekspansikan fungsi f (x) = cos x di sekitar x = π 2! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

5 Contoh f 0 (x) = sin x f 0 π 2 = 1 f 00 (x) = cos x f 00 π 2 = 0 f 000 (x) = sin x f 000 π 2 = 1 f (4) (x) = cos x f (4) π 2 = 0 f (5) (x) = sin x f (5) π 2 = 1 f (6) (x) = cos x f (6) π 2 = 0 cos x = x π 2 + x π 3 2 3! x π ! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

6 Contoh Ekspansi fungsi f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (x) = e x, dan f (x) = ln (x + 1) di sekitar 0 sin x = x cos x = 1 x 3 3! + x5 5! x 2 2! + x4 4! x 7 e x = 1 + x + x2 2! + ln (1 + x) = x x x3 3 7! + x 6 6! + x (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

7 Latihan Ekspansikan fungsi-fungsi berikut di sekitar 0 : 1. f (x) = e x2 2. f (x) = p 1 + x 3. f (x) = 1 1 x 0.4 R p 4. Hitunglah 1 + x 4 dx 0 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

8 Galat Eksak Galat Mutlak: ε = jx bxj (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

9 Galat Eksak Galat Mutlak: Galat Relatif: ε = jx bxj ε R = ε x atau ε R = ε x.100% (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

10 Galat Hampiran ε RA = x r+1 x r+1 Proses iterasi dihentikan jika jε RA j < toleransi x r (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

11 Contoh Soal: Hitunglah akar persamaan x 3 + 6x 3 = 0! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

12 Metode Contoh Soal: Hitunglah akar persamaan x 3 + 6x 3 = 0! Jawab: x n+1 = x3 n + 3, x 1 = 0, 5 6 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

13 Sumber Galat 1 Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai data disebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atau oleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatu bilangan yang angkanya tidak secara tepat dapat dinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

14 Metode Sumber Galat 1 Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai data disebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atau oleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatu bilangan yang angkanya tidak secara tepat dapat dinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia 2 Galat Pemotongan: Galat yang timbul karena penggunaan aproksimasi sebagai pengganti metode eksak (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

15 Metode Sumber Galat 1 Galat Bawaan (inheren): Galat dalam nilai data disebabkan oleh ketidakpastian dalam pengukuran atau oleh perlunya pendekatan untuk menyatakan suatu bilangan yang angkanya tidak secara tepat dapat dinyatakan dengan banyaknya angka yang tersedia 2 Galat Pemotongan: Galat yang timbul karena penggunaan aproksimasi sebagai pengganti metode eksak 3 Galat Pembulatan: Galat yang timbul karena keterbatasan (komputer) menyajikakn bilangan real (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

16 memiliki suku tak hingga buah Galat Pemotongan f (x) = f (x 0 ) + (x x 0) f 0 (x 0 ) + (x x 0) 2 f 00 (x 0 ) + 1! 2! + (x x 0) n f (n) (x 0 ) + n! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

17 memiliki suku tak hingga buah Galat Pemotongan f (x) = f (x 0 ) + (x x 0) f 0 (x 0 ) + (x x 0) 2 f 00 (x 0 ) + 1! 2! + (x x 0) n f (n) (x 0 ) + n! Karena keterbatasan alat, maka dilakukan pemotongan f (x) = f (x 0 ) + (x x 0) 1! f 0 (x 0 ) + (x x 0) 2 f 00 (x 0 ) + 2! + (x x 0) n f (n) (x 0 ) + + R n (x) n! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

18 Galat Pemotongan f (x) = P n (x) + R n (x) dengan R n (x) = (x x 0) n+1 f (n+1) (x 0 ), (n + 1)! x 0 < c < x (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

19 Rumus Besarnya Galat Pemotongan pada adalah: jr n (x)j < max f (n+1) (c) (x x 0) n+1 x 0 <c<x (n + 1)! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

20 Contoh Soal: Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar 0 untuk menghitung ln (1, 1) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

21 Contoh Soal: Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar 0 untuk menghitung ln (1, 1) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat! Jawab: ln (1 + x) = x x x3 x R 4 (x) ln (1.1) = R 4 (x) = R 4 (x) (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16

22 Contoh R 4 (1.1) < max 0<c< c 5 (0.1 0) 5. 5! (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret / 16