Triyana Muliawati, S.Si., M.Si.

Transkripsi

1 SI METODE NUMERIK Triyana Muliawati, S.Si., M.Si. Prodi Matematika Institut Teknologi Sumatera Lampung Selatan Hp , . [email protected]

2 1. Pengenalan Metode Numerik dan Aritmatika Komputer 2. Persamaan Non Linier (satu peubah) 3. Interpolasi 4. Diferensiasi dan Integrasi Numerik 5. Sistem Persamaan Linier 6. Solusi Numerik Persamaan Diferensial

3 SI METODE NUMERIK Triyana Muliawati, S.Si., M.Si. Prodi Matematika Institut Teknologi Sumatera Lampung Selatan Hp , . [email protected]

4 Model matematika -> fisika, kimia, ekonomi, teknik lainnya, dsb Seringkali model matematika -> tidak ideal/ rumit Model matematika rumit -> tidak dapat diselesaikan dengan Metode Analitik untuk mendapatkan solusi eksak. Metode analitik -> metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).

5 1. Tentukan akar-akar persamaan polinom: Penyelesaian: o Soal 1 tidak terdapat rumus aljabar untuk menghitung akar polinom. o Solusinya memanipulasi polinom, misalnya memfaktorkan (atau menguraikan) polinom menjadi perkalian beberapa suku. Kendala: semakin tinggi derajat polinom, semakin sukar memfaktorkannya.

6 2. Tentukan harga x yang memnuhi persamaan: Penyelesaian: Penyelesaian: Soal 2 masih sejenis dengan soal 1 yaitu menentukan nilai x yang memenuhi kedua persamaan.

7

8 Perhitungan dengan metode numerik adalah berupa operasi aritmatika. Dalam operasinya, terkadang butuh suatu pengulangan, sehingga perhitungan manual terkesan menjemukan. Komputer berperan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan. Penggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk membuat program. Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer yang dapat membantu mencari alternatif solusi, akibat perubahan beberapa parameter serta dapat meningkatkan tingkat ketelitian dengan mengubah-ubah nilai parameter. Jelas bahwa kecepatan tinggi, kehandalan, dan flesibikitas komputer memberikan akses untuk menyelesaikan masalahmasalah di dunia nyata. Contoh: solusi sistem persamaan linier yang besar menjadi lebih mudah dan cepat diselesaikan dengan komputer.

9 Sebagai alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh, seperti mampu menangani sistem persamaan linear, ketidaklinearan dan geometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak mungkin dipecahkan secara analitis. Mengetahui secara singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket program. Mampu merancang program sendiri sesuai kersalahan yang dihadapi pada masalah rekayasa. Mampu menggambarkan ketangguhan dan keterbatasan komputer dalam menangani masalah rekayasa yang tidak dapat ditangani secara analitis. Menangani galat suatu nilai hampiran dari masalah rekayasa yang merupakan bagian dari paket program yang berskala besar. Menyediakan sarana memperkuat pengetahuan matematika, karena salah satu kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi-operasi matematika yang mendasar.

10 1. Pemodelan 2. Penyederhanan Model 3. Formulasi Numerik o menentukan metode numerik yang akan dipakai, bersama dengan analisis error awal. bersama dengan analisis error awal. o Pertimbangan pemilihan metode Apakah metode tersebut teliti? Apakah metode mudah diprogram, dan waktu pelaksanaannya cepat? Apakah metode tersebut peka terhadap ukuran data. o Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih.

11 4. Pemrograman (translate algoritma ke program komputer) 5. Operasional ke pengujian program dengan data uji 6. Evaluasi ke intepretasi output, penaksiran kualitas solusi numerik, pengambilan keputusan untuk menjalankan program guna memperoleh hasil yang lebih baik.

12 Angkan Bena (Significan Figure) Angka bena, disebut juga sebagai angka penting atau angka signifikan adalah jumlah angka yang digunakan sebagai batas minimal tingkat keyakinan. Angka bena terdiri dari angka pasti dan angka taksiran. Angka taksiran terletak pada akhir angka signifikan. Contoh: Pada bilangan 27,63; angka 3 adalah angka taksiran

13 Contoh penulisan angka bena: a) 4,3123 x 10 1 memiliki 5 angka signifikan b) 1,764 x 10-1 memiliki 4 angka signifikan c) 1,2 x 10-6 memiliki 2 angka signifikan d) 2,78300 x 10 2 = e) 9,0 x 10-3 =... f) 6,02 x =.. g) 1,5 x 10 7 =...

14 Aturan Pembulatan Pembulatan suatu bilangan berarti menyimpan angka bena dan membuang bukan angka bena dengan: a) Tandai bilangan yang termasuk angka signifikan dan angka tidak signifikan. Contoh Empat angka bena dari bilangan 16,7321 adalah a) Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih besar dari 5, maka digit terakhir dari angka bena ditambah 1. Selanjutnya buang angka bena. Contoh Jika bilangan 23,472 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,5.

15 c) Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih kecil dari 5, maka buang bukan angka bena. Contoh Jika bilangan 23,674 dibulatkan menjadi empat angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,67 d) Jika digit pertama dari bilangan bukan angka bena sama dengan 5, maka: o Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka tidak signifikan. Contoh Jika bilangan 37,759 dibulatkan menjadi tiga angka bena, maka ditulis menjadi 37,8 o Jika digit terakhir dari angka bena merupakan bilangan genap genap, maka buang bukan angka bena. Contoh Jika bilangan 79,859 dibulatkan menjadi tiga angka bena, maka ditulis menjadi 79,8

16 Contoh lain dibulatkan menjadi tiga angka bena 1. 2,685 3(dibulatkan menjadi 2,67) 2. 36,475 (dibulatkan menjadi ) 3. 53,872 (dibulatkan menjadi... ) 4. 11,8594 (dibulatkan menjadi. ) 5. 4,6549 (dibulatkan menjadi. )

17 Hampiran, pendekatan, atau aproksimasi (approximation) didefinisikan sebagai nilai yang mendekati solusi sebenarnya atau sejati (exact solution). Galat atau kesalahan (error) didefinisikan sebagai sebagai selisih solusi sejati (x 0 ) dengan solusi hampiran (x).

18 Tentukan solusi dari integrasi-tentu berikut dengan menggunakan metode numerik. Penyelesaian: Metode analitik untuk mendapatkan nilai sejati.

19 Metode numerik. bagi bidang menjadi beberapa trapesium Luas bidang yang akan dicari = a + b + c + d Solusi hampiran = a + b + c + d = 27/ / / /16 = 116/16 = 29/4

20 Galat = solusi sejati solusi hampiran = 22/3 29/4 = 1/12 Galat solusi hampiran dapat diperkecil dengan Galat solusi hampiran dapat diperkecil dengan jalan memperkecil ukuran lebar trapesium, sehingga jumlah trapesium lebih banyak. Artinya meskipun metode numerik menghasilkan solusi hampiran, akan tetapi tingkat akurasinya dapat ditingkatkan dengan mengubah ukuran parameternya.

21 Tentukan solusi dari integrasi-tentu berikut dengan menggunakan metode numerik.

22 Galat Galat mutlak Galat Relatif Galat Relatif Hampiran

23 Contoh: Misalkan nilai sejati = 10/3 dan nilai hampiran = Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran. Penyelesaian: galat = 10/ = 10/3 3333/1000 = 1/3000 = galat mutlak = = galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/1000 = galat relatif hampiran = (1/3000)/3.333 = 1/9999

24 Misal f, dan semua turunannya, yaitu f, f,, f (n) kontinu pada selang [a, b]. Jika x 0 є [a, b], maka untuk nilai-nilai x di sekitar x 0 dan x є[a, b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor, Jika dimisalkan x x 0 = h, maka

25 Untuk alasan praktis, proses komputasi dilakukan sampai pada suku ke n saja. Artinya ada bagian atau beberapa suku sisanya yang dipotong dan tidak dimasukkan ke dalam proses komputasi. Suku-suku yang diabaikan tersebut dikenal sebagai Residu; dan merupakan galat karena pemotongan. Jika faktor residu dimasukkan ke dalam deret Taylor, maka persamaan menjadi, R n (x) adalah Residu, dan merupakan besar galat yang timbul akibat pemotongan.

26 R n (x) dihitung dengan rumus, Karena nilai c yang tepat tidak diketahui, maka kita perlu menghitung nilai maksimum R n untuk menghitung besarnya galat, yaitu

27 Contoh Tentukan nilai hampiran dari ln (0,60) sampai orde ke 4 di sekitar titik x0 = 1 dan berikan nilai galat hampiran maksimum! Penyelesaian

28 Galat pemotongan maksimum

29 Contoh Lain 1. Tentukan hampiran fungsi f (x) = cos x sampai suku orde ke 6 di sekitar x 0 = Tentukan hampiran fungsi f (x) = sin x sampai suku orde ke 8 di sekitar x 0 = 0.

30 Prodi Matematika Institut Teknologi Sumatera Lampung Selatan Hp , .