PENYAJIAN ISI DAFTAR MATEMATIKA SEBAGAI NILAI FUNGSI POLINOM

Transkripsi

1 PENYAJIAN ISI DAFTAR MATEMATIKA SEBAGAI NILAI FUNGSI POLINOM PENDAHULUAN Abdul Hamid ) abdulhamid@yahooom FKIP Uiversitas Tadulako Dalam pelajara matematika maupu terapaya, telah dikeal dua ara perhituga utuk memperoleh iormasi jawab Kedua ara yag dimaksudka itu adalah ara aalisis da ara umerik Perhituga seara aalisis selalu memberika jawaba yag berilai eksak Sedagka perhituga seara umerik tidak megutamaka diperolehya jawaba yag berilai eksak, tetapi biasaya meghasilka suatu ilai pedekata yag berbeda dari jawaba eksak sebesar suatu ilai yag dapat diterima berdasarka pertimbaga praktis Perbedaa ilai iilah yag disebut galat Guru matematika, praktisi da peggua matematika selalu berhadapa dega ilai pedekata atau hampira Nilai pedekata ii dapat ditetuka sediri berdasarka atura, malaha sudah tersedia dalam betuk tabel atau datar seperti datar matematika, tabel statistik da kumpula ilai yag sejeis Selama ii, kumpula ilai dalam datar matematika tidak perah kita persoalka dari maa da bagaimaa ara medapatkaya Kita haya meerima apa adaya da megguaka sesuai perutukaya Kaduga isi di dalam datar matematika yag dulu terkeal dega ama datar logaritma, sudah tersedia da dapat diakses melalui hadpho (HP) da Kalkulator Seirig dega perkembaga tekologi, ugsi kalkulator sebagai alat batu perhituga, seara o isik juga sudah tersedia dalam hadpho (HP) Pokokya tiggal tidis tombol Namu dibalik keaggiha kalkulator da HP, sagat kurag orag mempertayaka bagaimaa ara da proses medapatka bilaga dalam datar matematika itu? Atas pertayaa ii, maka peulis tertarik megagkat tulisa ii yaitu Peyajia Isi dalam Datar Matematika Sebagai Nilai Fugsi Poliom Da dalam tulisa ii hayalah meyampaika pesa, betapa rumitya medapatka setiap bilaga dalam datar jika dilakuka seara maual Kerumita meetuka bilaga di dalam datar matematika itu sebagai guru atau dose matematika, kita tetap berusaha utuk meyampaika jawaba kepada aak didik kita bahwa isi dalam datar matematika itu semuaya dapat diperoleh dega megguaka kosep da rumus matematika juga Salah satu kosep ugsi yag diguaka adalah ugsi poliom atau ugsi suku bayak yag diuraika berikut ii NILAI FUNGSI ALJABAR DALAM DAFTAR MATEMATIKA Bayak ilai ugsi yag sagat sulit da bahka tidak bisa diari melalui ugsi asalya Utuk meari ilai ugsi tersebut terpaksa dihampiri oleh ugsi suku bayak atau poliom Da poliom tersebut dijadika sebagai peggati ugsi asalya Poliom yag biasa diguaka utuk meghampiri sutu ugsi adalah poliom Taylor Rumus poliom Taylor merupaka perluasa dari teorema Nilai Rata-rata Taylor dalam Kalkulus (Purell da DVarberg 6 : ) yag meyataka: Misal adalah suatu ugsi yag mempuyai turua ke da kotiu pada selag tutup a, b Jika ada utuk setiap a, b, maka terdapat suatu titik a, b sehigga:

2 AKSIOMA Jural Pedidika Matematika, Vol, No, Desember 6 disajika dalam Semiar Nasioal Pedidika Matematika ke- Uiversitas Tadulako, Desember 6 ( b) ( a) ( a)( b a) ( ( b! ( ( b! ( )( b ( )! () Keduduka bilaga b pada teorema () di atas dapat digatika oleh suatu variable sehigga diperoleh rumus atau betuk poliom yaitu : ( a) ( a)( a) ( (! ( (! ( )( ( )! () Betuk () ii dikeal dega ama Poliom Taylor derajat atau orde dari ugsi disekitar titik a (Kreyzig, 6 : 76) Khususya jika kita megambil, maka betuk poliom () di atas mejadi: () () ()! ()! () ( )! () Betuk yag diyataka oleh () ii dikeal dega ama poliom Malauri Tetu saja ke turua pertama dari ugsi di atas kotiu di Selajutya, rumus poliom Taylor pada () di atas dapat diyataka seara parsial yag terdiri atas dua kompoe petig yaitu : P ( a) ( a)( a) ( (! ( (! da ( )( R ( )! ; a, b Betuk P di atas disebut Poliom Taylor derajat dari ugsi disekitar a Sedagka betuk R disebut galat (Chapra da Caale, 7 : 6) Kedua kompoe iilah yag diguaka utuk meyajika ilai hampira suatu ugsi, termasuk ilai-ilai yag tertera dalam Datar Matematika yag dahulu dikeal dega ama Datar Logaritma Pemisaha kedua betuk P da betuk R meujukka bahwa galat itu timbul sebagai akibat pegguaa ilai hampira utuk meyataka operasi da besara matematika yag eksak Pada peggua matematika terapa khususya di akultas tekik, poliom Taylor ii dituliska seara sigkat yaitu : P k k ( ( k! k ()

3 Sedagka betuk R Abd Hamid, Peyajia Isi Datar Matematika di atas merupaka suku sisa yag terjadi karea poliom P medekati ugsi Betuk R iilah yag disebut galat pada perhituga ilai hampira ugsi yaitu: E ( a)( a) R () ( )! Berdasarka pegertia galat yag telah diuraika di atas, maka terdapat hubuga ugsioal atara ilai eksak, ilai hampira da galatya seperti diyataka oleh Chapra da Caale( 7 : ) Nilai Eksak Nilai Hampira ( )! Galat Nilai eksak, ilai hampira da galat yag disebutka di atas tetap berlaku walaupu simbol yag diguaka agak berbeda Nilai ugsi yag terdiri dari ilai hampira da galat dapat ditulis mejadi : = P + R (6) Jarak atau selisih atara ilai hampira P da galat R di atas, biasaya diambil ukup keil Berikut ii diberika beberapa otoh peyajia yag dapat memperjelas situasi di atas Cotoh Peyajia Guaka Poliom Taylor orde empat dari ugsi disekitar utuk meyajika ilai dalam datar matematika Taksir galat maksimumya! Jawab Utuk meyajika pegguaa Deret Taylor seara keseluruha, maka kita dapat memperoleh pegertia megeai prilaku ugsi dega membetukya suku demi suku sebagai berikut : 8 6 () () () () ( ) 6 8 ; Nilai-ilai turua ugsi yag telah diperoleh di atas dimasukka pada rumus Poliom Taylor (), sehigga diperoleh betuk poliom yag meghampiri ugsi disekitar yaitu : E

4 AKSIOMA Jural Pedidika Matematika, Vol, No, Desember 6 disajika dalam Semiar Nasioal Pedidika Matematika ke- Uiversitas Tadulako, Desember 6 P Nilai hampira dari P ( 6 ) ( adalah: ( ) 8! 6 ) ( ( ) 8! )! ( )! !,666667,66,7,786,676 Sedagka taksira besarya galat maksimum yag dapat ditimbulka, diguaka rumus () yaitu : R ( a)( ( )! a) R ;! Suatu peaha membesar jika peyebutya megeil Atas dasar ii, maka galat maksimum terjadi utuk = R ( Peyajia ilai ugsi diguaka rumus (6) yaitu: ), ( utuk atau dalam datar matematika ) = P + R =,676, =, 6777 Karea perkembaga tekologi, maka sekarag ii isi datar matematika seperti hampira ilai di atas sudah bisa diari melalui Kalkulator atau HP dega uruta tombol seperti berikut ii! Meu Kalkulator =, Proses sama utuk bilaga akar dalam betuk bilaga deimal seperti disajika pada otoh berikut ii Cotoh Peyajia Guaka Poliom Malauri orde empat dari utuk meetuka peyajia ilai hampira, dalam datar sampai tujuh agka desimal

5 Abd Hamid, Peyajia Isi Datar Matematika Jawab Kita meetuka ilai-ilai ugsi turua ;, Nilai-ilai turua ugsi yag telah diperoleh di atas dimasukka pada rumus Poliom Malauri (), sehigga diperoleh betuk poliom yag meghampiri ugsi utuk, yaitu : P! 8! 6! (,),,,!, 8!, 6!,,, 8, 8, 8,,,,6,,,8886 Sedagka taksira besarya galat maksimum yag dapat ditimbulka, diguaka rumus () yaitu : R () ( )! (,) R (,) ;!,

6 6 AKSIOMA Jural Pedidika Matematika, Vol, No, Desember 6 disajika dalam Semiar Nasioal Pedidika Matematika ke- Uiversitas Tadulako, Desember 6 Suatu peaha membesar jika peyebutya megeil Atas dasar ii, maka galat maksimum terjadi utuk = R () (,), Peyajia ilai ugsi utuk, atau ilai dari, dalam datar matematika diguaka rumus (6) yaitu = P + R, =,8886,, =, 8888 Nilai hampira dari, di atas bisa diari melalui Kalkulator atau HP dega uruta tombol seperti berikut ii Meu Kalkulator, =,8888 Demikia peyajia ugsi aljabar dalam datar matematika yag saat ii sudah bisa diketahui lagsug melalui kalkulator taga Bahka semua merek HP sudah dilegkapi dega kalkulator sebagai peggati datar matematika Pada kodisi tertetu, kita bisa meari sediri ilai ugsi yag dihampiri dega ilai ugsi poliom Proses sama pada beberapa peyajia otoh di atas utuk ugsi aljabar laiya seperti disajika berikut ii Cotoh Peyajia Guaka poliom Malauri orde ketiga dari ; utuk meetuka ilai hampira, da arilah taksira miimum dari galatya Jawab ;, 6 6

7 Abd Hamid, Peyajia Isi Datar Matematika 7 Nilai-ilai yag diperoleh di atas dimasukka pada Poliom Malauri () sehigga diperoleh hampira ugsi utuk, yaitu : () () ()! 8 8 (,), 8 8 (,),,,,,7 () Taksira galatya adalah :,68 R,, ;, 6! 8 Supaya galatya miimum, maka diambil = Jadi galatya adalah : E,68 8,7! NILAI FUNGSI TRIGONOMETRI DALAM DAFTAR MATEMATIKA Nilai hampira ugsi trigoometri yag perlu diketahui adalah ilai hampira dari si da atau kombiasi keduaya Nilai-ilai pada si da dalam uraia ii bukalah sebagai sudut istimewa, karea ilai-ilai sudut istimewa sudah merupaka bilaga rasioal Utuk maksud tersebut, maka perlu ada beberapa batasa tetag sudut yag diguaka sebagai berikut : Keduduka da besara sudut pada si atau/da digati dega sudut t dimaa t besara dalam radia Walaupu rumus trasormasi dari besara derajat ke radia yag baku adalah t t t 8 radia k, amu rumus trasormasi yag diguaka adalah radia Q, k Z sudut istimewa (Cote, : ) Sebagai ilustrasi, trasormasi sudut dega megguaka rumus di atas adalah:,78, da ke besara radia 6,78, 6 da 6 8 Batasa di atas haya berlaku pada trasormasi sudut, sedagka lagkah-lagkah laiya tetap megikuti atura yag ada sebagaimaa diuraika pada otoh peyajia, da Uraia pada otoh berikut ii dapat memperjelas pegguaa batasa-batasa di atas Cotoh Peyajia Guaka Poliom Taylor orde tiga utuk meetuka ilai hampira dari taksir galat maksimum yag terjadi si da

8 8 AKSIOMA Jural Pedidika Matematika, Vol, No, Desember 6 disajika dalam Semiar Nasioal Pedidika Matematika ke- Uiversitas Tadulako, Desember 6 Jawab Seperti pada otoh di atas, kita dapat memperoleh pegertia megeai prilaku ugsi dega membetukya suku demi suku Utuk membetuk ilai-ilai ugsi da turuaya, maka harus diperhatika bahwa t medekati = da sudut istimewa yag sesuai a Nilai-ilai ugsi poliom da turuaya yag membetuk suku-suku deret Taylor adalah sebagai berikut: si si si ( ) Nilai-ilai yag diperoleh tersebut di atas dimasukka pada Poliom Taylor () sehigga diperoleh poliom yag meghampiri si Substitusi ( di ruas kiri da guaka maka diperoleh ilai hampira si si ( ) si si di ) utuk 6 ( ; si yaitu :! ) 6 ( )! sesuai batasa di ruas kaa, adalah : 6! 6! si -,866 -, 67 +,87 +, si -,86 Sedagka galat maksimumya yag ditimbulka adalah: si R! R ; 6 6 R 6 6,

9 Abd Hamid, Peyajia Isi Datar Matematika Peyajia ilai ugsi si utuk atau ilai dari matematika diguaka rumus (6) yaitu si = P + R si = 86, si = 86 si dalam datar Nilai hampira yag diperoleh ii dapat diuji dega Kalkulator F 6 atau HP dega uruta tombol yaitu: Meu Kalkulator Si derajat = -,86 Cotoh Peyajia Guaka Poliom Taylor orde tiga utuk meetuka ilai hampira dari taksir galat maksimum yag terjadi da Jawab Seperti pada otoh di atas, kita dapat memperoleh pegertia megeai prilaku ugsi dega membetukya suku demi suku Utuk membetuk ilai-ilai ugsi da turuaya khusus soal ii da sejeisya, maka harus diperhatika bahwa t medekati ilai sudut = atau diambil ilai yag membetuk suku-suku deret Taylor adalah sebagai berikut : a Nilai-ilai ugsi da turuaya si si ( ) ; Nilai-ilai yag diperoleh tersebut di atas dimasukka pada Poliom Taylor () sehigga diperoleh poliom yag meghampiri di yaitu : ( ) ( ) ( ) R!! Substitusi di ruas kiri da guaka maka diperoleh ilai hampira utuk sesuai batasa di ruas kaa, 6 adalah :

10 6 AKSIOMA Jural Pedidika Matematika, Vol, No, Desember 6 disajika dalam Semiar Nasioal Pedidika Matematika ke- Uiversitas Tadulako, Desember !!,7768 +,7768 (,8),6,6,7768 +, 7,6,6,7 Sedagka galat maksimumya yag ditimbulka adalah: R! 6 ; 6, Peyajia ilai ugsi utuk matematika diguaka rumus (6) yaitu: = P + R atau ilai dari dalam datar trigoometri yaitu si = 7, si = 78 Nilai ii dapat disajika melalui Kalkulator 6 atau HP dega uruta tombol seperti berikut ii Meu Kalkulator Cos derajat =,78 Proses sama dega uraia di atas, maka dapat diperoleh si, 6687 Namu ilai ii sebearya sudah dapat diperoleh dega megguaka rumus idetitas ugsi si atau si sehigga diperoleh : si si,78 si,6 si si,778,666 Nilai hampira di atas dapat dibadigka dega ilai hampira yag ada dalam datar matematika atau dapat diuji dega megguaka kalkulator taga Melalui proses perhituga yag sama, ilai hampira ugsi trigoometri laiya sudah dapat dihitug dega megguaka rumus-rumus idetitas ugsi trigoometri sebagai berikut :

11 Abd Hamid, Peyajia Isi Datar Matematika 6 si ta ot a si se e si Kosep perhituga ilai hampira ugsi trigoometri pada uraia di atas tetu saja dapat diguaka pada ugsi trasede laiya Da kosep iilah yag dikembagka da diguaka utuk membuat ilai hampira berbagai ugsi dalam matematika da terapaya, sebagaimaa yag tertuag dalam datar matematika atau lebih dikeal dega istilah datar logaritma Walaupu semua ilai hampira ugsi aljabar da ugsi trasede saat ii sudah bisa ditetuka melalui perhituga tekologi moder dega program bahasa komputer, amu setiap pegajar matematika diharapka dapat memahami kosep dasarya sebagaimaa telah disajika di atas Kosep dasar ii perlu diperkealka kepada siswa khususya di Sekolah Lajuta Atas da mahasiswa matematika di Pergurua Tiggi DAFTAR PUSTAKA EJ Purell da DVarberg 6 Kalkulus da Geometri Aalitik, Jilid (terjemaha dari IN Susila) Jakarta : Erlagga Erwi Kreyzig 6 Advaed Egieerig Mathematis Fith Editio New York : Joh Wiley & Sos Harijoo Djojodihardjo Metoda Numerik Jakarta : Erlagga IN Susila Dasar-dasar Metode Numerik Persiapa Perkuliaha Program MIPA LPTK Badug : FMIPA ITB K Atkiso Elemetary Numerial Aalisis New York : Joh Wiley & Sos Mama Djauhari Metode Numerik Jakarta : Karuika Uiversitas Terbuka Steve CChapra da Raymod PCaale 7 Metode Numerik utuk Tekik dega Peerapa pada Koputer Pribadi (terjemaha dari S Sardy) Jakarta : UI Press Samuel D Cote da Card de Boor Dasar-dasar Aalisis Numerik Suatu Pedekata Algoritma Edisi Kelima (terjemaha dari Mursaid) Jakarta : Erlagga