BAB IV FUNGSI KOMPLEKS

47 BAB IV FUNGSI KOMPLEKS 4.. BILANGAN KOMPLEKS. 4... Notas Blangan Komplks Brmacam - macam notas dar blangan komplks pada mulanya ddfnskan sbaga pasangan blangan rl, msal (, y ), namun scara umum notas tunggal untuk blangan komplks dgunakan lambang. Bla blangan komplks = (,y ) dgambarkan dngan salb sumbu tgak maka nla mrupakan ttk pada sumbu mndatar ( dsbut sumbu Rl ) sdangkan nla y mrupakan ttk pada sumbu tgak (dsbut sumbu Imajnr). Scara lngkap Notas blangan komplks dbrkan sbaga brkut : a. Bntuk Pasangan Blangan, = (,y ) Nla mrupakan bagan rl dar, dnotaskan dngan = R ( ) dan nla y mrupakan bagan majnr dar, dnotaskan dngan y = Im ( ). Pnjumlahan dan prkalan blangan komplks ddfnskan sbaga : Msal = (, y ) dan = (, y ). Maka + = (, y ) + (, y ) = ( +, y + y ) = ( - y y, y + y ) Contoh 4.. Dktahu = (, ) ; = ( 5, ) ; = ( 4, 0) Htung : a. + b. ( + ) c. a. + = ( 4, 6) + ( 5, ) + (, 0) = (, 5) b. ( + ) = ( 4, 6)( 7, ) = ( 6, 06) c. = (, ) ( 5, )( 4, 0) =, 0, 4 = 8, 68 [ ] b. Bntuk, = + y Dar bntuk notas (a) kta dapat mnurunkan notas baru mnggunakan dfns pnjumlahan dan prkalan blangan komplks d atas shngga ddapatkan notas b, sbaga brkut : (, y ) = (,0 ) + ( 0,y ) = (,0 ) + ( 0, ) ( y,0 ) Msal (,0 ) =, ( y,0 ) = y dan = ( 0, ). Maka (,y ) = + y. Sdangkan =. = ( 0, ) ( 0, ) = ( -,0 ) = -.

48 Modulus atau nla absolut blangan komplks, = + y ddfnskan sbaga jarak antara dngan pusat sumbu dan dbrkan sbaga = + y. Msal = (, y ) dan = (, y ). Maka = ( ) + ( y y ) Bbrapa sfat modulus dar blangan komplks dbrkan sbaga brkut : + + ( ktdaksamaan sgtga ) + Blangan komplks konjugat ( skawan ) dar = + y ddfnskan sbaga blangan komplks yang ddapatkan dar bla dcrmnkan trhadap sumbu rl dan dbrkan : = y Sfat - sfat yang brssuaan dngan skawan dbrkan sbaga brkut : = = R = + dan Im = Contoh 4.. Htung modulus dar + Bagan rl dan bagan majnr dtntukan trlbh dahulu dngan mrasonalkan pnybut yatu mngalkan dngan skawannya. + 5 = + + = + +. Jad = 6 c. Bntuk Polar / Trgonomtr, = r ( cos q + sn q ) Notas d atas mnyatakan bahwa r = dan θ : sudut yang dbntuk olh dngan sumbu rl postf. θ dsbut argumn dar, arg = arc tan y/, ( -π < θ π ) Contoh 4.. Tntukan argumn dar : + Dar contoh 4.. bagan rl, = - ½ dan bagan majnr, y = 5/. Argumn, θ = tan ( 5 ) ( d kuadran dua ). d. Bntuk Eulr, = r q.

49 Notas (d) dturunkan dar notas (c) dngan mnggunakan rumus sbaga brkut: θ = cosθ + sn θ ( Rumus Eulr ) 4... Pangkat dan Akar Blangan Komplks Msal n = r n nθ. Maka dngan mnggunakan rumus Eulr ddapatkan hubungan n sbaga brkut : ( cos θ + snθ) = cos nθ + sn nθ ( Rumus D Movr ) Olh karna tu, bla w= n maka w n θ + k π θ + kπ = r cos + sn. Untuk k n n w = n r cos θ / n + sn θ / n dsbut nla prnspal. = 0 maka Untuk n =, yakn akar kuadrat dar blangan komplks dapat dcar mnggunakan: = ± ( + ) + ( sgn y) ( ) dngan:, y 0 sgn y = dan = + y, y < 0 Contoh 4.4. Carlah solus prsamaan + ( + ) + = 0 Dgunakan rumus, = ( + ) ± ( + ) ( ) [ ( ) = 4 + ± 8 6 ]. Sdangkan 8 6 0 8 = ± + 0 8 = ±. Jad, = atau =. 4... Darah pada Bdang Komplks Msal dbrkan ttk ( blangan komplks ) ttap 0 = ( 0, y 0 ). Maka tmpat kdudukan ttk-ttk ( blangan komplks ), = (,y ) yang brjarak R trhadap ttk ttap datas dapat dtntukan sbaga brkut : R = ( 0) + ( y y0) = 0 Olh karna tu, ddapatkan : - 0 = R mrupakan tmpat kdudukan ttk-ttk yang brupa lngkaran dngan pusat 0 = ( 0, y 0 ) dan jar-jar R. Sdangkan - 0 < R adalah darah d dalam lngkaran yang brpusat d 0 dan jar-jar R dan srngkal dnamakan dngan lngkaran buka atau lngkungan dar 0. Sdangkan tmpat kdudukan ttk-ttk yang mmnuh r < - 0 < R dkatakan annulus ( cncn ). Dua darah yang dsbut trakhr mrupakan hmpunan ( darah ) buka. Darah S dsbut trsambung bla untuk smbarang dua ttk d S dapat dhubungkan olh sjumlah hngga ruas gars yang trltak d dalam S. Doman dar fungs komplks adalah darah yang buka dan trsambung.

50 Soal lathan ( Nomor sd 4 ) Sdrhanakan bntuk brkut :. ( ) ( ). (,- ) ( -, ). (, ) (,- ) ( /5, /0 ) + 4. + 4 5 ( Nomor 5 sd 8 ) Msal = 4-5. dan = +. Htung : 5. 6. 6 7. ( + ) 8. + ( Nomor 9 sd ) Htung : + dan - bla : 9. =, = / - 0. = ( -, ), = (,4 ). = ( -, ), = (,0 ). = + y, = -y ( Nomor sd ) Tntukan bagan rl dan majnr dar :. ( + ) ( -- ) ( - ) 4. + 5. + 5+ 4 6. ( ) + + 7. / 8. + 8 + + 6 + 9. 6 0. ( + ).... ( ) ( Nomor sd 9 ) Tntukan bsar r dan θ dar :. = -. 4. = 6-6. 5. 6. + 7. + 8. + + 7( + ) 9. + + 0. ( Nomor sd 5 ) Htung :. +. +. ( + ) ( )( 4 ) 4. 5. ( + ) ( ) 6 ( + ) ( + 4)

5 6. Tntukan solus untuk θ bla θ = dngan 0 θ π. 0 44. ( + ) 45. ( ) / ( Nomor 7 sd 4 ) Carlah solus dar prsamaan blangan komplks brkut : 7. + + - = 0 8. + ( 5+ ) + 8+ = 0 9. ( ) ( ) + + = 0 40. ( ) + = 0 4 4. ( + ) 8 + 6 = 0 4. + 6 4 = 0 4. ( + ) = 5 5 ( Nomor 4 sd 47 )Htunglah : 46. ( ) 8 8 / 4 47. ( ) ( Nomor 48 sd 56 ) Sktlah hmpunan ttk brkut dan tntukan mana yang mrupakan doman 48. - + = 49. + 50. + > 5. - + 5. + > 4 5. R( ) = 54. - = 4 4. ( + ) 7 55. arg < π/4 56. Im > 4.. PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN Msal S adalah hmpunan blangan komplks..maka fungs komplks f() mrupakan pmtaan dar S k S yang mngatkan stap unsur dar S ( Doman ) dngan tpat satu unsur d S ( Rang ). Scara khusus notas untuk fungs komplks f() dapat dbdakan mnjad : f() = U(,y) + V(,y), S bla = + y f() = U(r,θ) + V(r,θ), S bla = r θ. U(,y) dan U(r,θ) mrupakan bagan rl dar f() dnotaskan dngan R [ f() ], sdangkan V(,y) dan V(r,θ) mrupakan bagan majnr dar f() dnotaskan dngan Im [ f() ]. 4... Lmt dan Kkontnuan Pngrtan dar lmt dan kkontnuan dar fungs komplks scara umum dbrkan brkut. Msal f() trdfns pada suatu lngkungan dar 0. Maka dkatakan lmt dar f() d mndkat 0 adalah w 0 dan dtulskan dngan lm f = w 0 0

5 bla untuk smbarang blangan ε > 0 ada blangan postf δ shngga brlaku f w < untuk 0 < - 0 < δ. Sdangkan fungs f() dkatakan kontnu d 0 bla 0 lm f = f 0 0 ε Dar dfns formal lmt dan kkontnuan fungs komplks d atas dan mlhat knyataan bahwa fungs komplks mmpunya bagan rl dan majnr yang masng-masng mrupakan fungs rl dngan dua pubah, maka kbradaan lmt dan kkontnuan f() dtntukan dar kbradaan lmt dar bagan rl dan majnrnya, sprt dprlhatkan brkut. Msal f() = U(,y) + V(,y), 0 = 0 + y 0 dan w 0 = u 0 + v 0 lm f = w0 bla dan hanya bla 0 lm U (, y) = u0 dan lm V (, y) = v0 (, y) (, y ) (, y) (, y ) 0 0 0 0. Maka Msal f() = U(,y) + V(,y). Maka f() kontnu d 0 = ( 0,y 0 ) bla dan hanya bla U(,y) dan V(,y) kontnu d ( 0,y 0 ). Dalam prhtungan lmt dan kkontnuan dar fungs komplks pada suatu ttk yang dbrkan, kta dhadapkan kpada prhtungan lmt dar fungs dua pubah. Msal dbrkan fungs g(,y ) dan ttk ( a,b ). Maka lmt g(,y ) d ttk trsbut dkatakan ada bla nla fungs trsbut ttap ( sama ) bla ddkat olh stap lntasan yang mlwat ttk trsbut. Hal n mngsyaratkan kpada kta bahwa prhtungan lmt fungs dua pubah sangatlah sult. Untuk tu, walaupun pngrtan dar lmt kta gunakan untuk mmbrkan dfns turunan namun dalam prhtungan turunan fungs komplks kta brusaha untuk mnghndar hal trsbut. Untuk lbh mmprjlas brkut dbrkan dfns turunan dan bagamana mnntukan nla turunan fungs komplks d suatu ttk. 4... Turunan f f Turunan dar f() d 0 ddfnskan sbaga : f '( ) lm ( 0 ) 0 = 0 f() dsbut dfrnsabl d 0 bla lmt ada. Dalam prhtungan turunan fungs komplks f() dapat dlhat dar brbaga bntuk notas dar fungs komplks tu sndr.. f() dnyatakan sbaga fungs dalam pubah. Msal fungs komplks f() mrupakan fungs dalam pubah. Maka prhtungan turunan dar f() dlakukan mnggunakan rumus turunan yang sudah kta knal dalam fungs rl, yatu : d( r) a. = r r d 0

5 b. c. d. ( + g ) d f d d f g d d f ( ) d = f ' + g' = f ' g + f g' g f ' g f g ' = g Contoh 4.5. Tntukan turunan prtama dar : f = + a. f ' = a. + b. f = + + + ( ) = + b. f ' =. f() dnyatakan dalam bntuk : f() = U(,y) + V(,y) Msal f() = U(,y) + V(,y) dan f () ada pada 0 = 0 + y 0. Maka brlaku Prsamaan Cauchy Rmann ( PCR ) yatu : U( 0, y0) = Vy( 0, y0) & Uy( 0, y0) = V( 0, y0), dngan U dan U y brturut-turut mrupakan turunan parsal prtama trhadap dan y. Konds sbalknya juga brlaku, yatu bla pada f() brlaku PCR maka f ( 0 ) ada. Dan f ' ( 0) = U ( 0, y0) + V ( 0, y0 ) Contoh 4.6. Sldk apakah fungs brkut dfrnsabl d ttk yang dbrkan! Bla ya, htung nla turunannya. a. f = y, =. b. f = y, =. f cos y sny U, y = cos y dan a. Pandang = = ( + ). Maka V (, y) sn y = brlaku PCR untuk stap nla ( Buktkan ). Jad f = y dfrnsabl d =.

54 b. Pandang f = y = ( cos y + sny). Maka V (, y) sn y U, y = cos y dan = tdak brlaku PCR d = ( Buktkan ). Jad f = y tdak dfrnsabl d =.. f() dnyatakan dalam bntuk : f() = U(r,q) + V(r,q) Dalam koordnat polar, PCR dapat dnyatakan sbaga brkut : Msal f() = U(r,θ) + V(r,θ). Maka PCR : U r V dan r = θ r U θ = V r. Dan f ' = θ( Ur + Vr) Contoh 4.7. Sldk apakah f = + r θ dfrnsabl d =. Pandang f = + r θ = + r cos θ r snθ. Maka U( r,θ ) = + r cos θ dan V( r, θ ) = r sn θ tdak brlaku PCR d = ( r = dan θ = 0 ) ( buktkan ). Jad f = + r θ tdak dfrnsabl d =. Soal Lathan (Nomor sd 7 ) Nyatakan dalam bntuk f() = U(,y) + V(,y).. f() =.. f () = + +. f = + + 4. f = + 5. f = + 6. f() = - 7. f() = + 4 - ( Nomor 8 sd 0 ) Nyatakan dalam bntuk f() = U(r,θ) + V(r,θ). 8. f = + 9. f = 0. f () = + + ( Nomor sd ) Gambarkan rang dar fungs brkut.. f() = + 5, R > 0. f() = d kuadran prtama, R 0, Im 0.. f =, 0 < ( Nomor sd 8 ) Car turunan dar :. f = ( + ) 4 0 4. f = 6 ( ) ( + ) 4 5. f = +

55 6. f ( ) = + 7. f = ( + ) + 8. f = + + 4 ( Nomor 9 sd ) Htung f () pada yang dktahu : 9. f = + ; = 0. f = ; = f = ; =.. f = + ; = 4. f = ( + ) 6 ; = ( Nomor 4 sd 6 ) Tntukan ttk yang mnybabkan fungs brkut tdak analtk. 4. + 5. + + 6. + + 4 ( Nomor 7 sd 5 ) Sldk apakah f () ada. Bla ada, tntukan f ()! 7. f = 8. f = + 9. f = + y 0. f = + y + y +. f = +. f = y. f = y + y y y + + y 4. f = 5. f() = cos cosh y - sn snh y 4.. FUNGSI ANALITIK Msal D hmpunan ( darah ) buka. Maka fungs f() dsbut analtk pada D bla f () ada untuk D ( atau f() brlaku PCR untuk D ). Fungs f() dsbut analtk d = 0 bla f() analtk pada lngkungan dar 0 ( Lngkungan dar 0 adalah lngkaran buka yang brpusat d 0 dan brjar-jar r ). Fungs f() dsbut ntr bla f() analtk untuk ( f() brlaku PCR untuk ). Bla f() gagal analtk d = 0 ( atau f() tdak brlaku PCR d = 0 ) maka 0 dsbut ttk sngular dar f(). Contoh 4.8. a. Sldk apakah fungs f() = y - y + b. Tntukan ttk sngular dar f =

56 a. Pandang U(,y ) = y dan V(,y ) = - y tdak brlaku PCR untuk stap nla, ttap brlaku PCR d = 0 sbab U = y = - = V y dan U y = = y = V. Olh karna tu, f() bukan fungs ntr ttap dfrnsabl d = 0. + + b. Pandang : f = =. Ttk sngular dar fungs rasonal dapat dtntukan dar pmbuat nol dar pnybut dngan syarat tdak ada faktor yang sama antara pmblang dan pnybut. Olh karna tu, ttk sngular dar f(), yatu : = 0 dan =. 4... Fungs Harmonk Ada hubungan antara fungs analtk f() dngan bagan rl U(,y ) dan bagan majnr V(,y ) sprt djlaskan d atas yatu brlaku PCR. Bla kta mmpunya fungs dua pubah dan y yang kta pandang sbaga bagan rl atau bagan majnr dar f() maka kta dapat mnntukan fungs f() mrupakan fungs analtk bla brlaku kadaan khusus. Untuk tu, dknalkan fungs harmonk brkut. Fungs H(,y) dsbut fungs harmonk pada suatu doman bla pada doman trsbut brlaku prsamaan laplac yatu : H(, y) + Hyy(, y) = 0, dngan H dan H yy brturutturut mrupakan turunan parsal kdua trhadap dan y. Msal U(,y) dan V(,y) harmonk pada D dan brlaku PCR. Maka V(,y) dsbut konjugat ( skawan ) harmonk dar U(,y) atau sbalknya. Brkut dbrkan sfat hubungan antara kanaltkan suatu fungs dngan kharmonkan bagan rl dan majnr fungs trsbut :. Msal f() = U(,y) + V(,y) analtk pada doman D. Maka U(,y) dan V(,y) harmonk pada D.. Fungs f() = U(,y) + V(,y) analtk pada D bla dan hanya bla V(,y) skawan harmonk dar U(,y). Contoh 4.9. Dktahu : U, y = y + k y Tntukan : a. Nla k agar U(,y) mrupakan fungs harmonk b. Fungs V(v,y) agar f(,y) = U(,y) + V(,y) mrupakan fungs analtk a. Pandang 0 = U + U = + k yy. Maka k = -. Jad U, y = y y fungs harmonk. b. V(,y ) mrupakan skawan harmonk dar U(,y ) dan brlaku PCR. Olh karna tu, V(, y) = U dy = ( y) dy = y y + C( ) V = y + C '( ) = + y = Uy C( ) = d = + C V, y = + y y + C. Jad

57 Soal Lathan ( Nomor sd ) Sldk apakah fungs brkut ntr.. f() = + y + ( y - ). f = + y + ( y + y y). f = + y + ( 6y + y) 4. f() = sn cosh y + cos snh y 5. f = y 6. f = + f = y 7. 8. f = 4 9. f() = y + y f = sn y cos y 0.. f = y. f y = ( cos y + sn y) ( Nomor sd 5 ) Tntukan ttk sngular dar fungs brkut : ( Nomor 6 sd ) Tunjukkan bahwa U(,y) harmonk dan tntukan skawan harmonk V(,y) bla : 6. U(,y) = ( - y ) 7. U(,y) = y - + y 8. U(,y) = snh sn y 9. U(,y) = sn cosh y 0. U(,y) = - y. y. U (, y) = + y. U (, y) = + y. U(,y) = ln ( Nomor 4 sd 6 ) Tntukan k agar fungs brkut harmonk dan carlah skawannya. 4. U(,y) = cos ky 5. U(,y) = cos k cosh y 6. U(,y) = sn cosh ky ( Nomor 7 sd 0 ) Carlah fungs analtk f() = U(,y) + V(,y), shngga :. 4. f = f = 5. f = + ( + ) + ( + ) + + + + 7. V (, y) = y + y 8. U(, y) = y cos y 9. U(,y ) = cos cosh y 0. U(,y ) = - y - y. 4.4. BEBERAPA FUNGSI ELEMENTER

58 4.4.. Fungs Eksponn Bntuk : f ( cos y sn y) = = + bla = + y. Sfat :. f() 0,. f() mrupakan fungs ntr dngan f ' =. Pandang bahwa fungs cosnus dan snus mrupakan fungs prodk dngan prod, p = π. Maka fungs ksponn f = juga mrupakan fungs prodk. Bsarnya prod dtntukan brkut. ( π ) ( cos sn ) cos ( π) sn( π) + y+ + π = y + y = y + + y + = = Jad f() prodk dngan p = π. 4. Msal = atau = + y =. Bla = + y maka = = =. Olh karna tu, = 0 dan n brart bahwa = y = cosy + sny = atau kvaln dngan cos y =, sn y = 0. Nla y yang mmnuh kdua prsamaan trsbut adalah y = k π dngan k blangan bulat. Jad = kπ atau = + kπ. 4.4.. Fungs Trgonomtr dan Fungs Hprbolk Bntuk : f = cos = ( + ) dan f = sn = f = cosh = ( + ) dan f = snh = ( ) Hubungan antara fungs trgonomtr dan hfungs hprbolk dbrkan sbaga brkut: cosh = cos & snh = sn cos = cosh & sn = snh cos = cos cosh y - sn snh y sn = sn cosh y - cos snh y cosh = cosh cos y - snh sn y snh = snh cos y - cosh sn y cosh ( + ) = cosh cosh + snh snh. snh ( + ) = snh cosh + cosh snh cos + sn = & cos - sn = cos cosh - snh = & cosh + snh = cosh 4.4.. Fungs Logartma Bntuk : f() = ln. Bla = r θ maka ln = ln r + (θ + k π ). Untuk k = 0 atau -π < θ π, maka ln = ln r + θ dsbut nla prnsp dar.

59 Soal Lathan ( Nomor sd ) Tntukan bagan rl dan majnr dar :... π ( Nomor 4 sd 8 ) Nyatakan dalam bntuk u + v dar : 4. 7π ; = 5. cosh ( - + ) 6. ; = + 5π 7. snh ( + ) 8. sn ( + ) ( Nomor 9 sd ) Carlah nla dar shngga : 9. adalah rl 0. R = 0. = ( Nomor sd ) Slsakan prsamaan brkut :. =. sn = cosh 4. = + 4 5. ln = - - / 6. cosh = 0 7. ln = π 8. sn = 000 9. ln = + π 0. ln( ) = π. + + = 0 ( Nomor sd 5 ) Htung nla prnsp dar ln bla =. - - 4.. -4 4. +. 5. 0,6 + 0,8 Daftar Pustaka.. E B Saff, A D sndr, Fundamntals of Compl Analyss for Mathmatcs, Scnc and Engnrng, Prntc Hall Inc, USA, 976. ( Hal sd 88 ).