Aplikasi Integral. Panjang sebuah kurva w(y) sepanjang selang dapat ditemukan menggunakan persamaan

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Aplikasi Integral. Panjang sebuah kurva w(y) sepanjang selang dapat ditemukan menggunakan persamaan"

Hadi Cahyadi
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Aplikasi Intgral Intgral dapat diaplikasikan k dalam banyak hal. Dari yang sdrhana, hingga aplikasi prhitungan yang sangat komplks. Brikut mrupakan aplikasi-aplikasi intgral yang tlah diklompokkan dalam bbrapa klompok prhitungan. Pnjlasan lbih lanjut dapat dilihat pada ktrangan yang dibrikan. 1. Panjang Kurva Panjang sbuah kurva f(x) spanjang slang dapat ditmukan mnggunakan prsamaan Panjang sbuah kurva w(y) spanjang slang dapat ditmukan mnggunakan prsamaan Sdangkan bila prsamaan dinyatakan dngan prsamaan paramtr, maka panjang kurva atau Contoh: Hitung panjang kurva dari titik sampai titik Jawab: Panjang kurva adalah: 1

2 2. Aplikasi Intgral pada sistm lktronik Bsarnya tgangan pada komponn lktronik dinyatakan sbagai brikut: Karna komponn lktronik mmiliki karaktristik sprti di atas maka analisis dari bbrapa rangkaian lktronis harus dislsaikan mnggunakan turunan maupun intgral. Pada arus DC Contoh : Carilah prsamaan tanggapan rangkaian brikut: 2

Pada arus AC Biasa Sbuah arus sinusoidal biasa dirprsntasikan sbagai brikut: Maka bsarnya tgangan pada komponn lktronik mnjadi Maka pada rangkaian brikut tanggapannya adalah: 3.

Banyak transformasi dilakukan dngan prinsip intgrasi trhadap bagian-bagian glombang yang ada. Mngapa prlu transformasi?

3 Pada arus AC Biasa Sbuah arus sinusoidal biasa dirprsntasikan sbagai brikut: Maka bsarnya tgangan pada komponn lktronik mnjadi Maka pada rangkaian brikut tanggapannya adalah: 3. Transformasi-Transformasi Transformasi yang akan dibahas di sini mrupakan transformasi yang ada kaitannya dngan intgral, yaitu transformasi Fourir dan Transformasi Laplac. Banyak transformasi dilakukan dngan prinsip intgrasi trhadap bagian-bagian glombang yang ada. Mngapa prlu transformasi? Stiap orang pada suatu saat prnah mnggunakan suatu tknik analisis dngan transformasi untuk mnydrhanakan pnylsaian suatu masalah [Brigham,1974] Transformasi dilakukan agar domain pnlitian dapat diubah k dalam domain pnlitian yang lbih gampang shingga dapat dislsaikan scara matmatis dngan mudah. Contohnya transformasi Fourir dan Laplac mngubah sinyal dalam kawasan waktu k kawasan frkunsi. Transformasi juga diprlukan bila kita ingin mngtahui suatu informasi trtntu yang tidak trsdia sblumnya 3

4 Contoh : -jika ingin mngtahui informasi frkunsi kita mmrlukan transformasi Fourir a. Transformasi Fourir Pada tahun 1822, Josph Fourir, ahli matmatika dari Prancis mnmukan bahwa: stiap fungsi priodik (sinyal) dapat dibntuk dari pnjumlahan glombang-glombang sinus/cosinus. Pnjlasan: 1 glombang sinus dgn frk 50Hz dikatakan mmiliki 1 frkunsi atau 1 spktrum frkunsi sinyal sinus dngan formula : 5sinus(50Hz) + 4sinus(20Hz) + 2 sinus(10hz) dikatakan mmiliki 3 spktrum frkunsi. Pnjumlahan sinyal-sinyal trsbut nantinya akan mmbntuk sbuah sinyal baru. sinyal kotak adalah pnjumlahan banyak sinyal sinus yang mmiliki frkunsi brbda, dan banyaknya adalah infinity: tak trbatas. Contoh : Sinyal kotak mrupakan pnjumlahan dari fungsi-fungsi sinus brikut f(x) sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9, hasilnya sbagai brikut: Kita dapat mnyatakan smua sinyal priodik dalam pnjumlahan fungsi-fungsi sinuscosinus, dngan cara: Rumus FT kontinu 1 dimnsi x( t) 2 X ( ω) 1 π X ( ω) x( t) I x( t) X ( ω) jωt dt dω X( ) x(t) : Transformasi Fourir atas x(t) : Invrs transformasi Fourir Rumus sinyal kontinyu brhubungan rat dngan aplikasi intgral Rumus FT diskrt 1 dimnsi 4

5 1 F( u) N 1 f ( x) N Contoh: N 1 x 0 N 1 x 0 f ( x)xp[ 2 jπux / N] F( u)xp[2 jπux / N] at x( t) u( t) ; a>0 x( t) I X ( ω) u( t dt X ( ω ) ) 0 at dt x (t) x( t) I X ( ω) δ ( t dt X ( ω ) ) 1 x (t) x( t) I X ( ω) x( t dt X ( ω ) ) 5

6 + T j t ω T dt b. Transformasi Laplac X ( s) 1 x( t) 2πj s σ Bila transformasi Fourir dirprsntasikan dalam kawasan frkunsi brlambangkan (ω), maka rprsntasi glombang/sinyal pada transformasi Laplac diubah k dalam kawasan frkunsi X(s), di mana s σ + jω. Transformasi Laplac mrupakan jabaran dari transformasi Fourir. Pnjabaran ini dilakukan agar hitungan yang dihasilkan lbih sdrhana dan lbih mudah. Tranformasi Laplac mrupakan transformasi yang mngandung pasangan Transformasi Fourir komplks yaitu X(s). Juga biasa disbut transformasi Laplac bilatral atau transformasi Laplac dua sisi (two-sidd). Contoh soal: 0 + jω x( t). σ + j σ j st dt X ( s). st ds 6

zf(x,y) dan di bawah dibatasi olh R dituliskan : Contoh: Hitung volum bangun ruang yang trltak di oktan prtama yang dibatasi olh bidang

7 4. Aplikasi Intgral untuk mnghitung Volum, Luas Prmukaan, dan Pusat Massa Volum Misal dibrikan prmukaan zf(x,y) dan R mrupakan darah trltak pada bidang XOY atau bisa mrupakan proyksi dari prmukaan zf(x,y), maka volum bnda ruang yang dibatasi di atas olh prmukaan zf(x,y) dan di bawah dibatasi olh R dituliskan : Contoh: Hitung volum bangun ruang yang trltak di oktan prtama yang dibatasi olh bidang 2x+3y+Z-6 0. Jawab: Dilihat dari gambar stlah bidang diproyksikan trhadap bidang XOY diprolh: Maka volum bangun ruang dinyatakan sbagai brikut: 7

8 Luas Prmukaan Misal dibrikan sbuah prsamaan zf(x,y) maka untuk mndapatkan luas spotong prmukaan (D) yang proyksinya pada bidang XOY adalah R dilakukan sbagai brikut. Darah R dapat brupa sgi mpat atau darah smbarang. Bagi darah R mnjadi n buah prsgipanjang misalnya R1,R2,,Rn yang masing-masing mmpunyai panjang dan lbar. Bila mrupakan proyksi dari luasan subpartisi dari D, maka luas dari D didkati olh jumlah luas subpartisinya yaitu: Slanjutnya brdasarkan torma bahwa bila R brukuran dan mrupakan proyksi pada bidang XOY dari sbuah potongan prmukaan S dngan prsamaan maka luas dari potongan prmukaan S dinyatakan dngan Misalkan mrupakan smbarang titik pada, maka ( titik pada dngan. Prsamaan bidang singgung dari prmukaan di titik ( dinyatakan dngan: Bila ukuran dari cukup kcil maka akan mrupakan bidang yang mndkati bidang singgung dari di titik (, shingga brdasarkan torma di atas luas dari dinyatakan sbagai brikut: Dngan dan Jadi luasan dari D akan didkati olh luasan: 8

dokumen-dokumen yang mirip

Analisis Rangkaian Listrik

Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik Mnggunakan Transformasi Fourir - Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4) BAB Analisis Rangkaian Mnggunakan Transformasi Fourir Dngan pmbahasan