Hendra Gunawan. 29 November 2013

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Hendra Gunawan. 29 November 2013"

Ridwan Atmadjaja
6 tahun lalu
Tontonan:

1 MA1101 MATEMATIKA 1A Hndra Gunawan Smstr I, 013/014 9 Novmbr 013

2 Latihan (Kuliah yang Lalu) Ssorangygtingginya~1,60 m brdiri ditpiatastbing, mlihat lh k laut yang brada ~18,40 m di bawahnya. Pada saatitu trdapat prahu yang mnjauhi tbing dngan laju 5 m/dt. Bila θ mnyatakan bsar sudut pandangnya (trhadap garis horisontal), brapakah hbsarnya lj lajuprubahan bh θ trhadap waktu, pada saat jarak prahu tsb brjarak 50 m dari tbing? 11/9/013 (c) Hndra Gunawan θ

3 Sasaran Kuliah Hari Ini 6.7 Fungsi Hiprbolik dan Invrsnya Mnntukan turunan fungsi hiprbolik dan invrsnya. 6.8 Prsamaan Difrnsial Linar Ord 1 Mnylsaikan prsamaan difrnsial linar ord 1 dan prmasalahan yang rlvan. 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 3

4 MA1101 MATEMATIKA 1A 6.7 FUNGSI HIPERBOLIK & INVERSNYA Mnntukan turunan fungsi hiprbolik dan invrsnya. 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 4

5 Fungsi Hiprbolik & Invrs nya nya sinh cosh sinh ih tanh sch = 1/cosh cosh cosh coth csch = 1/sinh sinh 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 5

6 Grafik Fungsi y = sinh dan y = cosh y /9/013 (c) Hndra Gunawan 6

7 Ksamaan Hiprbolik cosh sinh = 1. Bukti: 1 tanh = sch. Bukti: 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 7

8 Turunan Fungsi Hiprbolik d d d d d d d d sinh cosh cosh sinh ih tanh? sch =? 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 8

9 Mnntukan Invrs dari y = sinh Mnntukan Invrs dari y sinh y = sinh monoton naik jadi mmpunyai invrs y = sinh monoton naik, jadi mmpunyai invrs. = sinh 1 y j.h.j. y = sinh. dib k ik bh i h 1 l ( ) Dapat dibuktikan bahwa sinh 1 y = ln (y + y + 1) sbb: 0 y y 0 1 ) ( ) ( 0 y y 0 1 ) ( ) ( y 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 9 1. y y

10 Invrs dari Fungsi Hiprbolik sinh 1 ln( 1) cosh 1 l( ln( 1), tanh sch 1 =? ln 1 1, /9/013 (c) Hndra Gunawan 10

11 Turunan dari Invrs Fungsi Hiprbolik d d d d sinh cosh ,, 1 Buktinya? 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 11

12 Spda Broda Prsgi Prnahkah anda mlihat spda broda prsgi? Bagaimana spda tsb brgrak di atas jalan yang rata? Ia akan brgrak naik turun, ya kan? Nah, bila kita mnghndaki spda tsb brgrak mndatar tidak naik turun, maka jalannya harus dibuat khusus.. Tapi sprti apa? 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 1

13 Latihan Tntukan dy/d bila: 1. y = tanh 1.. y = sch /9/013 (c) Hndra Gunawan 13

14 MA1101 MATEMATIKA 1A 6.8 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE 1 Mnylsaikan prsamaan difrnsial linar ord 1 dan prmasalahan yang rlvan. 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 14

15 Prsamaan Difrnsial Ord 1 Kita tlah brhadapan dngan prsamaan difrnsial ord 1 yang sdrhana, yang dapat dislsaikan dngan mtod pmisahan pubah. Sbagai contoh: 1. dy/dt = ky 3. dt/dt = k(t T 1). dy/d = /y 4. dy/d = (y 1) ½ Bagaimana dngan prsamaan difrnsial ini: 5. dy/d + y = 6. y + y tan = sc 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 15

16 Prsamaan Difrnsial Linar Ord 1 Prsamaan difrnsial ord 1 yang brbntuk y + P()y = Q() (*) disbut prsamaan difrnsial linar ord 1. Prsamaan bntuk ini dapat dislsaikan dngan mncari trlbih dahulu faktor pngintgral nya, yaitu F() = P()d. 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 16

17 Kalikan kdua ruas dngan F(), prsamaan (*) mnjadi F()y + F()P()y = F()Q(). Prhatikan bahwa ruas kiri mrupakan turunan dari F()y; shingga prsamaan di atas mnjadi (F()y) = F()Q(). Intgralkan kd kdua ruas, kita prolh lh F()y = F()Q() d. Jadi y = P()d F()Q() d. 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 17

18 Contoh Slsaikan prsamaan difrnsial brikut: y + y =. Jawab: Faktor pngintgralnya adalah d =p(½ ). Jdiki Jadi kita kalikan kd kduaruas dnganfaktor fk ini, i d d y' ( y) y y y 1 C 1 d. 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 18 C

19 Latihan Slsaikan prsamaan difrnsial brikut: y + y tan = sc. Jawab: Faktor pngintgralnya adalah tan d = Kalikankduaruas kd dnganfaktor fk tsb, 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 19

20 Aplikasi PD Linar Ord 1 Bila tanki dialiri air garam Diktahui: volum awal dan pada saat yang sama tanki = 10 litr air garam, larutan mngalir k luar dngan kandungan 75 gram dari tanki tsb, brapakah garam. kadar garam pada larutan Air yang mngandung 1, tsb stlah skian lama? gram garam pr litr mngalir masuk k dalam tanki dgn laju litr/mnit. Air garam Air yang traduk rata kluar daritanki dngan laju yang sama. 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 0

21 Jawab: Misalkan y = y(t) mnyatakan banyaknya garam yang trkandung dl dalam tanki stlah lhtmnit. Maka dy y,4 ( garam. masuk garam. kluar ) dt 60 dy y dt 60, t Solusinya adalah y 144 C. Pada t = 0, y = 75; jadi C = 69, shingga 1 60 y t. 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 1

22 Latihan Rangkaian listrik R L dngan sumbr tnaga E(t) akan dialiri arus I = I(t), yang mmnuhi prsamaan difrnsiali di L RI E(t), dt dngan L = induktansi (hnry) dan R = rsistansi (ohm). Slsaikan PD ini, jika L = 1 H, R = 10 6 Ω, dan E(t) = 1 V. S R E L 11/9/013 (c) Hndra Gunawan

23 Slamat Blajar! Sampai Jumpa Lagi Smstr Dpan! 11/9/013 (c) Hndra Gunawan 3

dokumen-dokumen yang mirip

8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULU I 1

8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULU I 1 8. FUNGSI TRANSENDEN MA4 KALKULU I 8. Invrs Fungsi Misalkan : D R! y dngan () Dinisi 8. Fungsi y () disbut satu-satu jika (u) (v) maka u v atau jika u v maka ( u) ( v) y y y u v ungsi y satu-satu ungsi