Bab 6 Sumber dan Perambatan Galat

Transkripsi

1 Mtod Pnlitian Suradi Sirgar Bab 6 Sumbr dan Prambatan Galat 6. Sumbr galat. Data masukan, misal hasil pngukuran (galat bawaan). Slama komputasi (galat pross), galat ang timbul akibat komputasi 3. Galat pmotongan, galat ag timbul ktika suatu pross dipotong sblum slsai 4. Pndrhanaan modl matmatika, misalna linirisasi 5. Galat manusia (prsonal rror) dan msin, trjadi salah tulis, salah pnafsiran. Mdia pnimpanan trkontaminasi, oprator msin ang tidak rinci, virus Dfinisikan nilai sbnarna dan galat absolut dalam nilai hampiran dan galat absolut dalam Dfinisi = Galat absolut : Galat rlativ: = dalam prosn = 00% Variabl tidak slalu brbntuk scalar tapi dapat juga brbntuk vctor, shingga oprasina juga haruslah oprasi vctor. 6. Galat mnurut oprator +,-, atau / Tulis = + = + Maka untuk oprasi brikut brlaku; 6.3 Prkalian KK Astronomi ITB Pag 55

2 Mtod Pnlitian Suradi Sirgar ( )( ) = = Shingga; = + = Pmbagian ( ) = = Shingga; = = ( ) 6.5 Pnambahan/pngurangan z = ± { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ± ± = ± ± z = ± = ± z ± = z ± Pada pngurangan kmungkinan galat mutlak kcil tapi galat rlativ bsar KK Astronomi ITB Pag 56

3 Mtod Pnlitian Suradi Sirgar 6.6 Ilustrasi Prsamaan Kuadrat Tinjau prsamaan kuadrat 6+ = 0 Dapat dislsaikan dngan rumus a b c b ± b 4ac 6 ± 6 4 a + b + c = 0 akarna = = = 3 ± 68 a Untuk soal diatas diambil,96484 sbagai nilai sbnarna 68 =,96 sbagai nilai hampiran = = 5,9648 = 3 +,96 = 5,96 = 3 68=0,03859 =3,96 = 0, 039 Dalam hal ini diambil akar Jadi = 0,005, = 0,005 X X Ttapi galat rlatifna X 0,005 X 0, ,.9 0 5,965 0, Ksimpulan mmpunai galat rlativ 000 kali lbih bsar dari galat rlatif Hitung dngan cara lain ( ) ( ) = 3-68 = 3-68 = = ( 3+ 68) ( 3+ 68) Jadi = = 5,96 Galat rlatifna X 0,005 5 = =.9 0 galat rlatif diprkcil. 5,9605 Ksimpulanna, scara umum jika kita mmpunai prsamaan kuadratis a +b + c = 0 dngan dskriminan b 4ac > 0, a > 0 KK Astronomi ITB Pag 57

4 Mtod Pnlitian Suradi Sirgar Stratgi ang harus diambil agar galat rlatif akar prsamaan kuadrat trsbut minimum adalah mncari akarna dngan rumus abc, kmudian priksa tanda aljabar konstanta b ( ) ( ) - b + b 4ac -b- b 4ac =, = a a Kasus b>0 dalam hal ini mmiliki galat rlatif bsar,untuk mmprkcil ubah bntuk cara mnghitungna ( ) ( ) ( ) c a a - b- ( b 4ac) - b- ( b 4ac) - b + b 4ac - b + b 4ac - b- b 4ac = = = Cara ini akan mmbrikan galat rlatif minimum pada Kasus b<0 disini mmiliki galat rlatif ang bsar, untuk mmprkcil ubah bntukna ( ) ( ) ( ) c a a -b+ ( b 4ac) -b+ ( b 4ac) -b- b 4ac -b- b 4ac -b+ b 4ac = = = Cara ini mmbrikan galat rlatif minimum pada Contoh lain : prhitungan fungsi f() = cos Jika 0 maka f() 0 Ubah bntukna + cos sin f ( ) = ( cos ) f ( ) = ( cos ) = + cos + cos Atau di uraikan dalam drt Talor (Mc Laurin) 4 6 cos = ! 4! 6! f ( ) = -cos f ( ) = = ! 4! 6!! 4! 6! karna <<, dapat dianggap f ( ) =! Catatan: mnurut uraian drt Talor diskitar 0 Untuk satu pubah KK Astronomi ITB Pag 58

5 Mtod Pnlitian Suradi Sirgar ( ) ( f ( 0) f ( 0) f ( ) 3 ) ( ) ( 0 )!! 3! ( k ) ( ) ( ) f = f = k = 0 f k! 0 k untuk pubah jika f (,) dapat diuraikan diskitar ( 0, 0 ) dan difrnsiabl (n+) kali kontinu maka: f 0 0 f 0 0 f 0 0 Rn+ k = 0 k! R n+ (,) suku sisa ( +, + η) = (, ) + + η (, ) + (, ) k 6.7 Grafik Pross Suatu cara untuk mmvisualisasikan galat dalam satu pross komputasi + + V. z Ilustrasi grafik pross oprasi v= + z ( ) Simbol-simbol: titik simpul brbntuk lingkaran. Cabang ditandai dngan panah, stiap cabang dibri labl trtntu. Pmbacaan dari bawah k atas. Aturanna adalah : galat rlatif pada akhir pross mrupakan hasil kali galat rlatif dngan labl dari cabang ang brsangkutan ditambah satu suku brupa galat pmbulatan ang muncul stiap suatu oprasi slsai dilakukan (rounding rror) 6.8 Cara mmbri labl (Labling) Oprator tambah + KK Astronomi ITB Pag 59

6 Mtod Pnlitian Suradi Sirgar + r cabang :galat rlatif kali labl= + Galat akhir : cabang : galat rlatif kali labl=, = + + r Oprator kurang - r cabang :galat rlatif kali labl= - Galat akhir : cabang : galat rlatif kali labl=, = + + r Oprator kali. r 3. cabang : galat rlatif kali labl= cabang : galat rlatif kali labl Galat akhir : = + + r 3 ( ) = = ( ) = KK Astronomi ITB Pag 60

7 Mtod Pnlitian Suradi Sirgar Oprator bagi / r 4 / - Contoh : v= ( + ) z + + / V. z cabang : galat rlatif kali labl=, cabang : galat rlatif kali labl= Galat akhir : = + v + z = () + () + r v + z dngan Jadi galat akhir : r 4 = + + r ( ) = ( ) = v z ( ) ( ) v + + z z = + + r+ + r + + z ( n+ ) Bila stiap galat dibatasi olh b maka; v ( n+ ) b v + + = + + r + + r kasus khusus : dan brtanda sama + =. Untuk contoh diatas + + v v ( n ) β + Contoh : w = (+) / (a-b) KK Astronomi ITB Pag 6

8 Mtod Pnlitian Suradi Sirgar + w / a-b a-b = ( ) + (- ) + w + a-b w + Disini r3 dngan + = + + r a-b a a b b = + + r a-b a a-b b a-b + - Dari ktiga prsamaan ini diprolh; a b a b = + + r r + r w + + a a-b b a-b -( n+ ) bila stiap galat dibatasi olh b maka w a b 3 w b a + + b b + b w + + a-b a-b b a < b + + a-b a-b ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) - + Catatan : + + Soal latihan tntukan batas galat untuk : (buatkan dulu grafik prossna) (i) d = (a+b)+c dngan 0<a<b<c ( n ) (ii) f = (c+b)+a smua galat di batasi olh β + Jawab : ( i) ( ii) d 3a+ 3b+ c b d a+ b+ c f 3c+ 3b+ a b f c+ b+ a ( n ) + ( n ) + KK Astronomi ITB Pag 6

9 Mtod Pnlitian Suradi Sirgar scara numric; (a+b)+c a+(b+c)!! mnghitung pnjumlahan dari bilangan kcil k bilangan bsar lbih tliti dari sbalikna Latihan : bandingkan galatna untuk smua soal brlaku; 0 < a < b < c < d ab c ab a b = dngan = cd c d a 3 dngan a / / c bc 4 = ab + ab + ab dngan = 3ab ( ) = dngan = a ( b / c) ( ) ( ) = = ( b) ( ) 6.9 Angka signifikan ( bnar ) Misalkan mnatakan nilai ksak suatu bilangan ral dan mnatakan nilai hampiran suatu bilangan ral Dfinisi : - angka k k pada disbut signifikan jika ( n ) β + Jumlah angka signifikan pada nilai adalah smua angka dari ang mmnuhi sarat trsbut Contoh : β = 0 dan nilai sbnarna dan nilai hampiran maka, (i) = = mmpunai mpat angka signifikan (angka bnar) (ii) = = mmpunai mpat angka siknifikan sbab 0,0056 0,006 = 0, KK Astronomi ITB Pag 63