Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde I

Transkripsi

1 Univrsitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputr Tknik Informatika Prsamaan Difrnsial Ord I

2 Dfinisi Prsamaan Difrnsial Prsamaan difrnsial adalah suatu prsamaan ang mmuat satu atau lbih turunan fungsi ang tidak diktahui. Jika prsamaan difrnsial mmiliki satu pubah tak bbas maka disbut Prsamaan Difrnsial Biasa (PDB). Sdangkan jika pubah bbasna lbih dari satu dinamakan Prsamaan Difrnsial Parsial. 5//0 KALKULUS LANJUT

3 Prsamaan Difrnsial () Prsamaan difrnsial biasa dikatakan linar, apabila prsamaan difrnsial trsbut mmpunai pubah tak bbas maupun turunanna brsifat linar. Bntuk umum PDBL ord-n adalah sbagai brikut a n () n + a n- () n- + + a 0 () f() dngan a n () 0 dan a n (), a n- (),, a 0 () adalah kofisin PD. Bila f() 0 disbut PDBL Homogn, sbalikna jika tidak disbut PDBL tak homogn. Ord PDB adalah turunan trtinggi ang trlibat dalam PDB 5//0 KALKULUS LANJUT 3

4 Contoh () dn dt kn, N N(t), ord dimana N pubah tak bbas t pubah bbasna () + cos 0 (3) + + sin sin, ord, ord dimana pubah tak bbas pubah bbasna (4) 3 + cos ( ) 3, ord 5//0 KALKULUS LANJUT 4

5 Solusi Misal ada suatu prsamaan difrnsial dimana sbagai pubah tak bbas ang brgantung pada pubah bbas atau suatu fungsi f () disbut solusi PDB jika fungsi f () disubtitusikan k PDB diprolh prsamaan idntitas. Solusi umum dan solusi khusus Jika fungsi f () mmuat konstanta smbarang maka solusi disbut solusi umum, sbalikna disbut solusi khusus. 5//0 KALKULUS LANJUT 5

6 Contoh () cos + c solusi umum Prsamaan Difrnsial + sin 0 Karna (cos + c) + sin -sin + sin 0 () cos + 6 solusi khusus Prsamaan Difrnsial + sin 0 Karna (cos + 6) + sin -sin + sin 0 5//0 KALKULUS LANJUT 6

7 PDB Ord PDB trpisah PDB dngan kofisin fungsi homogn PDB Linir 5//0 KALKULUS LANJUT 7

8 PDB trpisah PDB ang dapat dituliskan dalam bntuk : g() d f() d disbut PDB trpisah. Pnlsaian : intgralkan kdua ruas Contoh : tntukan solusi umum PD. ( ln ) ', ( d ) d. 3, () 0 5//0 KALKULUS LANJUT 8

9 Contoh. Jawab: ( ln ) ' d ln d d d d ln d ln ln ln c c( ln ) ( ln ) Jadi solusi umum PD trsbut adalah c ( ln ) ( ln ) ln c ln ln + 5//0 KALKULUS LANJUT 9

10 Contoh. Jawab: ' 3 - d 3 d d 3 d d 3 d 4 + c 4 4 ln + c 4 Diktahui () 0, shingga 4 0 ln () + c c c 3 Jadi solusi khusus PD trsbut adalah ln 3 4 5//0 KALKULUS LANJUT 0

11 Latihan Tntukan solusi Prsamaan difrnsial dibawah ini. d d 5. ' ( + )( ). d ' ( + )( + ), (0) 0 d ( ) 3. ( + ' 3 ) 7. d d cos, (0) + 4. ' d ( + ) + 0, (0) d 5//0 KALKULUS LANJUT

12 Fungsi homogn Fungsi A(,) disbut fungsi homogn dngan drajat n, jika A(k,k) k n A(,), k konstan smbarang Contoh : Priksa apakah fungsi brikut homogn atau tidak!. A(,) + A(k,k) k + k k ( + ) k A(,) A(,) +, fungsi homogn dngan drajat. A(,) + A(k,k) k + k k k ( +) k A(,) A(,) +, fungsi homogn dngan drajat 5//0 KALKULUS LANJUT

13 PD dngan kofisin fungsi homogn PDB ang dapat dituliskan dalam bntuk ' A(, ) B(, ) dngan A,B fungsi homogn dngan drajat ang sama disbut PDB dngan kofisin fungsi homogn. Pnlsaian : gunakan subtitusi u, u u() dngan ' u' + u d du + u d d d du + u d 5//0 KALKULUS LANJUT 3

14 Contoh Slsaikan solusi prsamaan difrnsial brikut +. Jawab: d + d Misalkan u, shingga d du + u d d + du + u d + u d du + u d ( + u)d d d d du d du du u ln + c ln + c ln + c Jadi solusi umum dari PD di atas adalah ln + c 5//0 KALKULUS LANJUT 4

15 . Contoh d d Jawab: 0, () d + d + d d Misalkan u, shingga d du + u d du + u d u + u du + u d ( u + u)d d du ( u + u)d du d du d u + u u + u du ln + ln c u( u + ) du ln c u u + ln u ln( u + ) ln c 5//0 KALKULUS LANJUT 5

16 Contoh (no. lanjutan) u ln ln c u + ln c ln + ln ln c + c c c + Diktahui (), shingga c c c Jadi solusi khusus PD di atas adalah ( c) c 5//0 KALKULUS LANJUT 6

17 Latihan Tntukan solusi Prsamaan difrnsial dibawah ini.. d d 0 d + 3 d d + + d d d d + d d d d d 4 3 5//0 KALKULUS LANJUT 7

18 PDB Linir PDB ang dapat dituliskan dalam bntuk : disbut PDB linir. + P() r() Pnlsaian : kalikan kdua ruas dngan faktor intgral P( ) d ( P( ) d Kmudian, kalikan kpada kdua ruas, shingga diprolh: P( ) d P( ) d P( ) d + P() r() r() Intgralkan kdua ruas P() d P( ) d r() d + c ) 5//0 KALKULUS LANJUT 8 P( ) d Solusi Umum PDB

19 Contoh Slsaikan prsamaan difrnsial dibawah ini. 3 Jawab: ' (bagi kdua ruas dngan ) Shingga diprolh faktor intgrasi: d ln ln kalikan kdua ruas dngan -, aitu: ' 3 + Jadi solusi umumna adalah c + c + c 5//0 KALKULUS LANJUT 9

20 Contoh Slsaikan prsamaan difrnsial dibawah ini. + ( + ), (0) 3 Jawab: Faktor intgrasi dari PD di atas adalah: d kalikan kdua ruas dngan, aitu: ( ) ' + + ( )' ( + ) ( + ) d ( + ) ( + ) d + ( + ) + + shingga ( ) c ( + ) ( + ) + + c + + c 5//0 KALKULUS LANJUT 0

21 Contoh (no. Lanjutan) Diktahui (0) 3, shingga 3 + c c Jadi solusi khusus PD di atas adalah + 5//0 KALKULUS LANJUT

22 Latihan Slsaikan prsamaan difrnsial di bawah ini:. '+. ( + ) ' + 3. ' + tan sc 4. ' ' + ( ) ( + ), () π sin ' + cos sin, 6 5//0 KALKULUS LANJUT

23 Traktori Ortogonal Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mndapatkan kluarga kurva ang ortogonal atau tgak lurus trhadap kluarga kurva lain. Cara untuk mndapatkan traktori ortogonal dari suatu kurva adalah sbagai brikut: Turunkan scara implisit f(,) c trhadap, natakan paramtr c dalam dan. Karna tgak lurus maka traksi Ortogonal (TO) harus mmnuhi: Df(, ) Traktori Ortogonal dari f(,) c, didapatkan dngan mncari solusi dari Df(, ) 5//0 KALKULUS LANJUT 3

24 Contoh Tntukan traktori ortogonal dari kluarga kurva Jawab: Langkah-langkah mnntukan TO :. Tuliskan c dalam bntuk c ' c ' Kmudian turunkan. TO akan mmnuhi PD / c aitu: ' c 5//0 KALKULUS LANJUT 4

25 Contoh (lanjutan) 3. TO dari adalah solusi dari PD brikut: c d d d d + c + c ( llips) Jadi kluarga ang tgak lurus trhadap parabola adalah + c ( llips) c 5//0 KALKULUS LANJUT 5

26 Latihan Tntukan solusi traktori ortogonal dari kluarga kurva brikut :.. + c + c c c 3. c 5//0 KALKULUS LANJUT 6

27 Univrsitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputr Tknik Informatika Pnggunaan PD Ord I

28 Pnrapan dalam Rangkaian Listrik Ssuai dngan Hukum Kirchhoff, rangkaian listrik sdrhana (gambar samping) ang mngandung sbuah tahanan sbsar R ohm dan sbuah kumparan sbsar L Hnr dalam rangkaian sri dngan sumbr gaa lktromotif (sbuah batrai atau gnrator) ang mndiakan suatu voltas E(t) volt pada saat t mmnuhi ( t) + R I( t) E( t) L I' Dngan I adalah arus listrik dalam ampr. 5//0 KALKULUS LANJUT 8

29 Contoh. Tntukan arus I sbagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian RL dngan R 6 ohm, L hnr dan sbuah batrai ang mndiakan voltas sbsar E Volt dan diasumsikan saat awal arusna adalah nol (I 0 pada saat t 0, jika saklar S ditutup). Jawab Prsamaan difrnsialna adalah I' + 6 I Atau bisa disdrhanakan mnjadi I' + 3 I 6 5//0 KALKULUS LANJUT 9

30 Contoh (Lanjutan) Kmudian kdua ruas kalikan dngan faktor intgrasi Kita prolh I 3t ( ) 3t 3t + C + C 3t Sarat awal, I 0 pada saat t 0, mmbrikan C Shingga, I 3t 5//0 KALKULUS LANJUT 30

31 Contoh. Dari contoh sblumna batrai diganti dngan gnrator arus bolak balik dngan E sin 9t Volt dan diasumsikan saat awal arusna adalah nol (I 0 pada saat t 0, jika saklar S ditutup). Jawab Prsamaan difrnsialna adalah I' + 6 I sin9t Atau bisa disdrhanakan mnjadi I' + 3 I 6 sin9t Kmudian kdua ruas kalikan dngan faktor intgrasi Kita prolh I ( ) t 6 3 sin9t 3 t dt 3t 5//0 KALKULUS LANJUT 3

32 Contoh (Lanjutan) Dngan intgral parsial, didapat hasil intgralna adalah Jadi, I t ( ) t Sin9t 9Cos9t + C t I sin9t cos9t + C 5 5 Sarat awal, I 0 pada saat t 0, mmbrikan 0 Shingga, I C C t sin9t 5 cos9t //0 KALKULUS LANJUT 3

33 Latihan. Tntukan arus I sbagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian RL dngan R 0 6 ohm, L hnr dan sbuah sumbr gaa lktromotif ang mndiakan voltas sbsar E Volt dan diasumsikan saat awal arusna adalah nol (I 0 pada saat t 0, jika saklar S ditutup).. Tntukan arus I sbagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian RL dngan L 3,5 Hnr dan sbuah sumbr gaa lktromotif ang mndiakan voltas sbsar E(t) 0 sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusna adalah nol (I 0 pada saat t 0, jika saklar S ditutup). 5//0 KALKULUS LANJUT 33

34 Latihan 3. Tntukan arus I sbagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian RL dngan R 000 ohm dan sbuah sumbr gaa lktromotif ang mndiakan voltas sbsar E(t) 0 sin 377 t Volt dan diasumsikan saat awal arusna adalah nol (I 0 pada saat t 0, jika saklar S ditutup). 4. Tntukan arus I sbagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian RL dngan R 000 ohm, L 3,5 hnr dan sbuah sumbr gaa lktromotif ang mndiakan voltas sbsar E(t) 0 sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusna adalah nol (I 0 pada saat t 0, jika saklar S ditutup). 5//0 KALKULUS LANJUT 34