METODE ELEMEN HINGGA UNTUK MASALAH SYARAT BATAS DARI OPERATOR DIFERENSIAL POSITIF. Sutrima Jurusan matematika FMIPA UNS. Abstract

Transkripsi

1 JRNAL MATEMATIKA DAN KOMPTER Vol. 5. No., 4-4, Aprl, ISSN : METODE ELEMEN INGGA NTK MASALA SARAT BATAS DARI OPERATOR DIFERENSIAL POSITIF Sutrma Jurusan matmatka FMIPA NS Abstract Th purpos of ths rsarch s to nvstgat numrcal solutons of boundary valu problms of postv dffrntal oprator by fnt-lmnt mthods. Th rsults showd that th fnt-lmnt mthods can b mplmntd to obtand numrcal solutons of boundary valu problms of scond-ordr postv dffrntal oprator. Morovr, rat of convrgnc of Rtz fnt-lmnt wth Lagrang quadratc ntrpolaton b α = n th th L -norm and α = n th nrgy norm. Kywords : boundary problms, postv dffrntal oprator fnt-lmnt mthods.. PENDALAN Banyak prmasalahan-prmasalahan prakts dalam khdupan nyata yang dapat dformulaskan k dalam modl matmatka, khususnya Prsamaan Dfrnsal (PD). Msalnya masalah yang dapat dmodlkan mnad PD d du p + q u = f, < x < L dngan p fung yang mmpunya turunan kontnu, q fungs kontnu, f fungs yang dktahu. Msalkan dar masalah () dlngkap masalah syarat batas Drchlt atau campuran d L. Pada knyataannya banyak modl dar masalah syarat batas () tdak dapat dslsakan scara analts. Olh karna tu mtod pnylsaan scara numrk akan brpran dalam kasus n. Mtod varasonal mrupakan salah satu mtod yang fktf dalam analss fungsonal untuk mnylsakan masalah yang brkatan dngan oprator postf pada ruang lbrt. Mtod varasonal n ddasarkan kpada mnmsas dar fungsonal kuadratk trkat dar masalah yang () 4

2 Mtod Elmn ngga ( Sutrma ) dbrkan. Dar mtod varasonal nlah mtod lmn hngga dkmbangkan. Salah satu mtod varasonal yang trknal adalah mtod varasonal Rtz. Brdasarkan algortma mtod varasonal Rtz (Rddy, 986), untuk kasus masalah kontnu Au = f pada Ω () dngan A oprator lnar yang dfnt postf pada D A dalam ruang lbrt.. Pnylsaan prsamaan () yatu fungsonal kuadratk u DA dapat dprolh dngan mmnmumkan J ( u) =< Au, u > - < f, u > = B( u, u) - < f, u > atau olh Badr () dapat dnyatakan dngan formulas varasonal. B( v, u) =< v, f >, v () dngan B : R fungs blnar yang smtrs kontnu dfnt postf shngga B( u, v) = l( v), untuk stap v ddalam. untuk suatu fungsonal lnar kontnu l pada. Wto () tlah mnggunakan mtod lmn hngga yang mrupakan pngmbangan dar mtod varasonal untuk mnylsakan masalah prsamaan () dngan fungs hampran untuk tap-tap lmn mnggunakan ntrpolas Lagrang lnar. Scara umum prnsp dar mtod lmn hngga untuk prsamaan () adalah mmbag doman Ω mnad bbrapa subdoman, dalam stap subdoman dgunakan formulas varasonal ssua dngan mtod varasonal yang dgunakan. ntuk kasus-kasus trtntu sprt yang tlah dbrkan olh Rddy (984) yatu prsamaan dfrnsal ordr mpat, pnggunaan bass dar ntrpolas Lagrang lnar lbh sult untuk dgunakan. Shngga prlu cara lan yang lbh mudah untuk mnylsakannya. Cara trsbut antara lan adalah mnggunakan ntrpolas Lagrang kuadratk. Dngan mnggunakan ntrpolas Lagrang kuadratk dharapkan hasl yang dprolh lbh bak dar ntrpolas Lagrang lnar. 5

3 JRNAL MATEMATIKA DAN KOMPTER Vol. 5. No., 4-4, Aprl, ISSN : ntuk mngukur bsar rror dalam lmn hngga dapat dgunakan norma kuadrat rata-rata atau norma nrg, lhat (Rddy, 984, 986) (Akn, ). asl pndkatan lmn hngga nrg k u ka brlaku dapat dkatakan konvrgn dalam norma α u c untuk α > (4) m dngan c adalah konstanta yang bsarnya tdak brgantung pada u (Rddy, 984). Konstanta α dsbut lau konvrgns. Eksprmn numrk mnunukkan bahwa lau konvrgns lmn hngga Galrkn yang mnggunakan ntrpolas Lagrang lnar adalah α = trhadap norma kuadrat rata-rata α = trhadap norma nrg, lhat Wto (), Rddy Volp (99). Dngan mndfnskan oprator d d A p + q, maka dapat dbuktkan oprator n adalah oprator lnar smtr dfnt postf pada Dar fakta-fakta n layak untuk dtlt tntang aplkas dar mtod lmn hngga untuk mnylsakan masalah syarat batas ().. ASIL DAN PEMBAASAN D A. Msal Ω = Ω Γ doman dar () dngan Ω = (, L) Γ hmpunan ttk-ttk lmt dar Ω. Msal doman Ω dbag mnad E subdoman Ω, =,,..., E. Jka dgunakan ntrpolas Lagrang kudratk sbaga fungs hamprannya, maka stap subdoman Ω, =,,..., E mmpunya sfat Ω = x, x dngan E x =, x = L, x = x untuk ndks =,..., E. Panang lmn k- adalah h + h dngan h = x x h = x x. Karna dalam pnltan n dambl subdoman yang sragam, maka dngan h. ntuk lbh lasnya lhat pada Gambar. h cukup dtuls 6

4 Mtod Elmn ngga ( Sutrma ) Elmn k- Elmn k- Elmn k-e E E E E x = x x = x x x = x x x x = L = x Gambar. Pmbagan subdoman untuk tap-tap lmn. Dngan dmkan untuk subdoman k- brlaku dngan p, q trdfns pada doman d du p + q u = f, x x x f scara brurutan adalah fungs p, q f yang Ω. Dngan algortma mtod varasonal Rtz dprolh =< Au f, v > x d du = [ p + q u f] v dx x x du dv du = ( p + q u v f v) dx + v p. dx dx dx x x x (5) Dngan mngambl Q mnad = du p dx x Q = du p dx x, maka hasl trakhr x du dv = ( p + q u v f v) dx Q v( x ) Q v( x ) dx dx x atau dapat dtuls dalam bntuk dngan = B ( u, v) l ( v) (6) x x du dv (, ) = ( + ) ( ) = ( ) ( ) dx dx + +. x x B u v p q u v dx l v f v dx Q v x Q v x Mudah dtunukkan bahwa B ( u, v ) suatu fungs blnar yang smtrs. 7

5 JRNAL MATEMATIKA DAN KOMPTER Vol. 5. No., 4-4, Aprl, ISSN : Dkonstrukskan pnylsaan Rtz = n x = ( ) ( x) pada doman Ω. Jka dambl dngan v =, shngga dar prsamaan (6) dprolh n = k ν f, =,,, n = x d d = + dx dx x k ( p q ) dx x = + + x f f dx Q ( x ) Q ( x ). ntuk slanutnya bntuk trsbut dapat dsakan dalam prsamaan matrks dngan mnad K = k, = K = f f u =. u f (7) Jka dgunakan d ntrpolas Lagrang kuadratk maka fungs ( x) ( x) = = (8) dngan bass = x x = x x. Anggota bass n srng uga dsbut dngan untuk fungs bntuk, brsfat ( x ) = untuk =. Slanutnya, ka dambl transformas x = x + ξ dngan h = x x = x x < ξ < h, dsubttuskan kdalam bass akan dprolh ntr-ntr dar K f, d k ( p q ) dξ, h = d ˆ ˆ dξ dξ + h ˆ = ξ + f f d Q, h = f fˆ dξ, h ˆ = ξ + f f d Q (9) dngan pˆ p ( x + ξ ), qˆ q ( x + ξ ) f ˆ f ( x + ξ ). 8

6 Mtod Elmn ngga ( Sutrma ) Praktan dar smua matrks K u = f, =,,..., E dprolh k k k f k k k f k k k + k k k f + f k k k 4 f k k k + k k 5 f + f = k k 6 f E E E E E E k + k k k E f + f E E E E k k k E f E E E E k k k E+ f atau dapat dtuls K u = f () yang brlaku pada doman Ω = [, L]. Matrks K dalam prsamaan () srng dsbut sbaga matrks kkakuan. Dngan mnrapkan syarat batasnya trhadap () akan dprolh pnylsaan hampran lmn hngga.. IMPLEMENTASI KASS Kasus. Prhatkan masalah syarat batas d du + + = < < ( x ) u 8 x, x dngan syarat batas Drchlt u () = u () =. Pnylsaan ksak dar masalah n adalah u( x) x x =, ( Rddy, 986). Dalam hal n [ ] A {, : () () } () D = v C v = v =. Pada artkl n pmbagan doman sragam, artnya panang karaktrstk dar smua subdoman sama. Msal banyaknya lmn adalah E. Dapat dtntukan subdoman k- adalah Ω =,, E E panang karaktrstk dar tap subdoman adalah =,,.., E = h =. E h = h =. Jlas E 9

7 JRNAL MATEMATIKA DAN KOMPTER Vol. 5. No., 4-4, Aprl, ISSN : ntuk mncar pnylsaannya dgunakan prsamaan (9) () dngan syarat batas trkat. Msal banyaknya lmn adalah, shngga dar pross pmbagan subdoman dprolh mnrapkan prsamaan (9) () dprolh Ω =,, Ω =, h =. Dngan =. () Dngan mnylsakan prsamaan () n dprolh =.676, =.6874, 4 = dar syarat batas dktahu = 5 =. Dalam hal n tlah dtntukan bahwa =, =, = =, hampran adalah = =. Shngga pnylsaan 4, x.799 x, < x ( x) = x.55 x, < x < ntuk banyaknya lmn E =, E =4, E =8, E =6, E = haslnya dapat dlhat pada Tabl bsar rror dapat dlhat pada Tabl. Tabl. u dngan E =, E = 4, E = 8, E = 6, E = untuk Kasus. x E= E=4 E=8 E=6 E= u( x )

8 Mtod Elmn ngga ( Sutrma ) Tabl. Error E u untuk Kasus. u ntuk mncar lau konvrgns rror dar Kasus dapat dgunakan d dar Rddy Volp [99], shngga dapat dtntukan = Log u = Log u. Dar Gambar trlhat bahwa bntuknya mndkat gars lurus. Dngan data rror dar Tabl mnggunakan mtod pndkatan kuadrat trkcl dapat dprolh bahwa = Log u.7 Log 4.5 = Log u. Log.846. () Log Gambar. Plot trhadap Log untuk Kasus. Brdasarkan prsamaan () dapat dktahu bahwa gradn trhadap Log mndkat trhadap Log mndkat. Dngan kata lan konvrgns

9 JRNAL MATEMATIKA DAN KOMPTER Vol. 5. No., 4-4, Aprl, ISSN : rror untuk Kasus adalah α = trhadap norma kuadrat rata-rata α = trhadap norma nrg. Kasus. Prhatkan masalah syarat batas d du x ( x + ) + x u = x, < x < () dngan syarat batas campuran u () = u '() =. Pnylsaan ksak x x dar () adalah u( x) = +, [Rddy, 986]. Pross pmbagan doman dlakukan sama sprt pada Kasus. Subdoman k- adalah banyaknya lmn. Ω =,, =,,.., E E E dngan h = h = E E Fungs hampran untuk stap lmn dplh ssua prsamaan (8). Slanutnya dapat dtrapkan prsamaan (9) () untuk mncar pnylsaannya. ntuk nla E =, E =4, E = 8, E =6, E = haslnya dapat dlhat pada Tabl. Sgkan bsar rrornya dsakan pada Tabl 4. Tabl. u dngan E =, E = 4, E = 8, E = 6, E = untuk Kasus. x E= E=4 E=8 E=6 E= u( x ) Tabl 4. Error E u untuk Kasus. u, , ,

10 Mtod Elmn ngga ( Sutrma ) Log - -4 Gambar. Plot trhadap Log untuk Kasus. Dngan data rror dar Tabl 4 dsmpulkan bahwa = Log u.99 Log 4.94 = Log u.99log.8. (4) Dar prsamaan (4) dapat dktahu bahwa gradn trhadap Log mndkat gradn trhadap Log mndkat, lhat Gambar. Dngan kata lan lau konvrgns rror untuk Kasus n adalah α = trhadap norma kuadrat rata-rata α = trhadap norma nrg. 4. KESIMPLAN Brdasarkan hasl dar yang tlah durakan bahwa :. Mtod lmn hngga Rtz dngan ntrpolas Lagrang kuadratk dapat dtrapkan untuk mnylsakan masalah syarat batas ().. Brdasarkan ksprmn numrk dalam mplmntas kasus, lau konvrgns lmn hngga Rtz dngan ntrpolas Lagrang kuadratk adalah α = trhadap norma kuadrat rata-rata α = trhadap norma nrg. 5. CAPAN TERIMA KASI Artkl n adalah sbagan dar hasl pnltan hbah dar Proyk DE NS Tahun. ntuk tu pnlt mngucapkan trma kash kpada Proyk DE NS atas a yang dprcayakan kpada pnlt.

11 JRNAL MATEMATIKA DAN KOMPTER Vol. 5. No., 4-4, Aprl, ISSN : DAFTAR PSTAKA. Akn J. E, Fnt Elmnt Analyss wth Error Estmaton, Rc, nvrsty, Dpartmnt of Mchancal Engnrng and Matrals Scnc, ouston,.. Badr, Mathas, Enrgy Mnmzaton Mthods for Fatur Dsplacmnts n Map Gnralzaton, Dssrtaton zur Erlanggung dr naturwssnschaftlchn Doktorwurd vorglgtd Mathmathsch - naturwssnschaftlchn Fakultat dr nvrstat Zurch, Zurch,.. Dw Wto, Analss Elmn ngga Galrkn untuk Prsamaan Alran Lamnr, Skrps Mahasswa FMIPA NS, nvrstas Sblas Mart Surakarta,. 4. Rddy B.D, Volp, M. B, Mxd Fnt Elmnt Mthods for th Crcular Arch Problm, Computr Mthods n Appld Mchancs and Zngnrng Elsvr Scnc Publshrs, North-olland, 99, 97 : Rddy J. N, An Introducton to Th Fnt Elmnt Mthod, Mc Graw-ll Inc, Nw ork, Rddy J. N, Appld Functonal Analyss and Varatonal Mthod n Engnrng, Mc Graw-ll Inc, Sngapor,