Analisis Rangkaian Listrik

Transkripsi

1 Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik Mnggunakan Transformasi Fourir - Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)

2 BAB Analisis Rangkaian Mnggunakan Transformasi Fourir Dngan pmbahasan analisis rangkaian dngan mnggunakan transformasi Fourir, kita akan mampu mlakukan analisis rangkaian mnggunakan transformasi Fourir. mampu mncari tanggapan frkunsi... Transformasi Fourir dan Hukum Rangkaian Kliniran dari transformasi Fourir mnjamin brlakunya rlasi hukum Kirchhoff di kawasan frkunsi. Rlasi HTK misalnya, jika ditransformasikan akan langsung mmbrikan hubungan di kawasan frkunsi yang sama bntuknya dngan rlasinya di kawasan waktu. Misalkan rlasi HTK jika ditransformasikan : v( v ( v3( : V V3 V3( Hal inipun brlaku untuk KCL. Dngan dmikian maka transformasi Fourir dari suatu sinyal akan mngubah prnyataan sinyal di kawasan waktu mnjadi spktrum sinyal di kawasan frkunsi tanpa mngubah bntuk rlasi hukum Kirchhoff, yang mrupakan salah satu prsyaratan rangkaian yang harus dipnuhi dalam analisis rangkaian listrik. Prsyaratan rangkaian yang lain adalah prsyaratan lmn, yang dapat kita prolh mlalui transformasi hubungan tgangan-arus (karaktristik i-v lmn). Dngan mmanfaatkan sifat difrnsiasi dari transformasi Fourir, kita akan mmprolh rlasi di kawasan frkunsi untuk rsistor, induktor, dan kapasitor sbagai brikut. Rsistor Induktor Kapasitor : VR RI R : VL LI L : IC CVC Rlasi diatas mirip dngan rlasi hukum Ohm. Dari rlasi di atas kita dapatkan impdansi lmn, yaitu prbandingan antara tgangan dan arus di kawasan frkunsi -

3 Z R R ; Z L L ; ZC (.) C Bntuk-bntuk (.) tlah kita knal sbagai impdansi arus bolak-balik. Dari uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa transformasi Fourir suatu sinyal akan ttap mmbrikan rlasi hukum Kirchhoff di kawasan frkunsi dan hubungan tgangan-arus lmn mnjadi mirip dngan rlasi hukum Ohm jika lmn dinyatakan dalam impdansinya. Dngan dasar ini maka kita dapat mlakukan transformasi rangkaian, yaitu mnyatakan lmn-lmn rangkaian dalam impdansinya dan mnyatakan sinyal dalam transformasi Fourirnya. Pada rangkaian yang ditransformasikan ini kita dapat mnrapkan kaidah-kaidah rangkaian dan mtoda-mtoda analisis rangkaian. Tanggapan rangkaian di kawasan waktu dapat diprolh dngan mlakukan transformasi balik. Uraian di atas parall dngan uraian mngnai transformasi Laplac, kcuali satu hal yaitu bahwa kita tidak mnybut-nybut tntang kondisiawal. Hal ini dapat difahami karna batas intgrasi dalam mncari transformasi Fourir adalah dari sampai. Hal ini brbda dngan transformasi Laplac yang batas intgrasinya dari k. Jadi analisis rangkaian dngan mnggunakan transformasi Fourir mngikut srtakan sluruh kjadian trmasuk kjadian untuk t <. Olh karna itu cara analisis dngan transformasi Fourir tidak dapat digunakan jika kjadian pada t < dinyatakan dalam bntuk kondisi awal. Pada dasarnya transformasi Fourir diaplikasikan untuk sinyal-sinyal non-kausal shingga mtoda Fourir mmbrikan tanggapan rangkaian yang brlaku untuk t sampai t. CO TOH-.: Pada rangkaian sri antara rsistor R dan kapasitor C ditrapkan tgangan v. Tntukan tanggapan rangkaian v C. Pnylsaian: Prsoalan rangkaian ord prtama ini tlah prnah kita tangani pada analisis transin di kawasan waktu maupun kawasan s (mnggunakan transformasi Laplac). Di sini kita akan mnggunakan transformasi Fourir. Transformasi Fourir dari rangkaian ini adalah : tgangan masukan V (, R V /C - Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4) v R C v C V C

4 impdansi rsistor R trhubung sri dngan impdansi kapasitor. Dngan kaidah pmbagi tgangan kita dapatkan tgangan C pada kapasitor adalah ZC / C / RC VC V V V R ZC R (/ C) (/ RC) Tgangan kapasitor trgantung dari V (. Misalkan tgangan masukan v ( brupa sinyal anak tangga dngan amplitudo. Dari Tabl-.. tgangan ini di kawasan frkunsi adalah V ( πδ(. Dngan dmikian maka V C / RC ( ) j (/ RC) πδ ω j ω ω / RC πδ( / RC ( / RC) ( / RC) Fungsi impuls δ( hanya mmpunyai nilai untuk ω, shingga pada umumnya F(δ( F()δ(. Dngan dmikian suku kdua πδ( / RC ruas kanan prsamaan di atas πδ(. Suku prtama ( / RC ) dapat diuraikan, dan prsamaan mnjadi V C πδ( / RC Dngan mnggunakan Tabl-.. kita dapat mncari transformasi balik v C ( sgn( (/ RC) t (/ RC) t [ ] u( [ ] u( Pmahaman : Hasil yang kita prolh mnunjukkan kadaan transin tgangan kapasitor, sama dngan hasil yang kita prolh dalam analisis transin di kawasan waktu di Bab-4 contoh 4.5. Dalam mnylsaikan prsoalan ini kita tidak mnyinggung sama skali mngnai kondisi awal pada kapasitor karna transformasi Fourir tlah mncakup kadaan untuk t <. CO TOH-.: Bagaimanakah v C pada contoh.. jika tgangan yang ditrapkan adalah v ( sgn(? -3

5 Pnylsaian: Dari Tabl-.. kita prolh F [ sgn( ] maka V C ( dan uraiannya adalah. Dngan dmikian V C / RC / RC Transformasi baliknya mmbrikan / RC Pmahaman: v C ( sgn( (/ RC) t u( Prsoalan ini mlibatkan sinyal non-kausal yang mmrlukan pnylsaian dngan transformasi Fourir. Suku prtama dari v C ( mmbrikan informasi tntang kadaan pada t <, yaitu bahwa tgangan kapasitor brnilai karna suku kdua brnilai nol untuk t <. Untuk t >, v C ( brnilai (/RC) t u( yang mrupakan tgangan transin yang nilai akhirnya adalah. Di sini trlihat jlas bahwa analisis dngan mnggunakan transformasi Fourir mmbrikan tanggapan rangkaian yang mncakup sluruh sjarah rangkaian mulai dari sampai. Gambar v C ( adalah sprti di bawah ini. v C -4-4 sgn( - - sgn( (/RC) t u( t (/RC) t u( -4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)

6 .. Konvolusi dan Fungsi Alih Jika h( adalah tanggapan rangkaian trhadap sinyal impuls dan x( adalah sinyal masukan, maka sinyal kluaran y( dapat diprolh mlalui intgral konvolusi yaitu y ( t h( τ) x( tτ) dτ (.) Dalam intgral konvolusi ini batas intgrasi adalah τ sampai τ t karna dalam pnurunan formulasi ini h( dan x( mrupakan bntuk glombang kausal. Jika batas intgrasi trsbut diprlbar mulai dari τ sampai τ, (.) mnjadi ( h( τ) x( tτ dτ (.3) τ y ) Prsamaan (.3) ini mrupakan bntuk umum dari intgral konvolusi yang brlaku untuk bntuk glombang kausal maupun non-kausal. Transformasi Fourir untuk kdua ruas (.3) adalah F ( Y F [ y ] t τ τ h( τ) x( tτ) dτ h( τ) x( tτ) dτ Prtukaran urutan intgrasi pada (.4) mmbrikan t dt (.4) Y τ τ t h( τ) h( τ) x( tτ) t x( tτ) t t dt dτ dt dτ (.5) Mngingat sifat prgsran waktu pada transformasi Fourir, maka (.5) dapat ditulis Y τ τ h( τ) h( τ) τ τ X dτ dτ X H( X (.6) -5

7 Prsamaan (.6) mnunjukkan hubungan antara transformasi Fourir sinyal kluaran dan masukan. Hubungan ini mirip bntuknya dngan prsamaan yang mmbrikan hubungan masukan-kluaran mlalui fungsi alih T(s) di kawasan s yaitu Y(s) T(s) X(s). Olh karna itu H( disbut fungsi alih bntuk Fourir. α α t CO TOH-.3: Tanggapan impuls suatau sistm adalah h(. Jika sistm ini dibri masukan sinyal signum, sgn(, tntukanlah tanggapan transinnya. Pnylsaian: Dngan Tabl-.. didapatkan H( untuk sistm ini α α t α α H F α ω Sinyal masukan, mnurut Tabl-.. adalah Sinyal kluaran adalah X F α Y H X α ω yang dapat diuraikan mnjadi k k k 3 Y ( α j Y ( α j Y [ sgn( ] k k k3 Y α α α ( α j( α j α α α ( α j α ( α j α α ω α ( α j( α j α α α α( αα) α α( αα) -6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)

8 Jadi Y α α j( shingga y( sgn( [ α t αt u( α( ] u( [ α t u( ] u( ] Gambar dari hasil yang kita prolh adalah sprti di bawah ini. CO TOH-.4: Tntukan tanggapan frkunsi dari sistm pada contoh-.3. Pnylsaian : Fungsi alih sistm trsbut adalah -4 4 [ α t ] u( y( - α H. α ω Kurva H( kita gambarkan dngan ω sbagai absis dan hasilnya adalah sprti gambar di bawah ini. H( [ α t ] u( t - - ω -7

9 Pada ω, yaitu frkunsi sinyal sarah, H( brnilai sdangkan untuk ω tinggi H( mnuju nol. Sistm ini bkrja sprti lowpass filtr. Frkunsi cutoff trjadi jika H ( ω ) H () α α ωc ωc α α.644α.3. Enrgi Sinyal Enrgi total yang dibawa olh suatu bntuk glombang sinyal didfinisikan sbagai W total p( dt dngan p( adalah daya yang dibrikan olh sinyal kpada suatu bban. v ( Jika bban brupa rsistor maka p( i ( R ; dan jika R bbannya adalah rsistor Ω maka WΩ f ( dt (.7) dngan f ( brupa arus ataupun tgangan Prsamaan (.7) digunakan sbagai dfinisi untuk mnyatakan nrgi yang dibawa olh suatu bntuk glombang sinyal. Dngan kata lain, nrgi yang dibrikan olh suatu glombang sinyal pada rsistor Ω mnjadi prnyataan kandungan nrgi glombang trsbut. Torma Parsval mnyatakan bahwa nrgi total yang dibawa olh suatu bntuk glombang dapat dihitung baik di kawasan waktu maupun kawasan frkunsi. Prnyataan ini dituliskan sbagai W Ω f d π ( dt F ω (.8) Karna F( mrupakan fungsi gnap, maka (.8) dapat dituliskan π W Ω F dω (.9) -8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)

10 Jadi di kawasan waktu nrgi glombang adalah intgral untuk sluruh waktu dari kuadrat bntuk glombang, dan di kawasan frkunsi nrginya adalah (/π) kali intgrasi untuk sluruh frkunsi dari kuadrat bsarnya (nilai mutlak) transformasi Fourir dari sinyal. Pnurunan torma ini dimulai dari (.7). W t dω dt π Ω f ( dt f ( F Intgrasi yang brada di dalam tanda kurung adalah intgrasi trhadap ω dan bukan trhadap t. Olh karna itu f( dapat dimasukkan k dalam intgrasi trsbut mnjadi W t dω π dt Ω f ( F Dngan mmprtukarkan urutan intgrasi, akan diprolh W Ω π π π F f ( F( t dt dω f ( F( F( dω π j( ω F dt dω dω Torma Parsval mnganggap bahwa intgrasi pada prsamaan (.8) ataupun (.9) adalah konvrgn, mmpunyai nilai brhingga. Sinyal yang brsifat dmikian disbut sinyal nrgi; sbagai contoh: sinyal kausal ksponnsial, ksponnsial dua sisi, pulsa prsgi, sinus trdam. Jadi tidak smua sinyal mrupakan sinyal nrgi. Contoh sinyal yang mmpunyai transformasi Fourir ttapi bukan sinyal nrgi adalah sinyal impuls, sinyal anak tangga, signum, dan sinus (tanpa hnti). Hal ini bukan brarti bahwa sinyal ini, anak tangga dan sinyal sinus misalnya, tidak dapat digunakan untuk mnyalurkan nrgi bahkan pnyaluran nrgi akan brlangsung sampai tak hingga; justru karna itu ia tidak disbut sinyal nrgi mlainkan disbut sinyal daya. -9

11 CO TOH-.5: Hitunglah nrgi yang dibawa olh glombang t v( u( t V Pnylsaian: [ ] ) Kita dapat mnghitung di kawasan waktu WΩ t t [ ] dt [ ] t Untuk mnghitung di kawasan frkunsi, kita cari lbih dulu V(/(j. ω W Ω ω tan 6 π d ω π() π π π Pmahaman: Kdua cara prhitungan mmbrikan hasil yang sama. Fungsi F( mnunjukkan krapatan nrgi dalam spktrum sinyal. Prsamaan (.4) adalah nrgi total yang dikandung olh sluruh spktrum sinyal. Jika batas intgrasi adalah ω dan ω maka kita mmprolh prsamaan J ω W F dω (.) π ω yang mnunjukkan nrgi yang dikandung olh glombang dalam slang frkunsi ω dan ω. Jika hubungan antara sinyal kluaran dan masukan suatu pmross sinyal adalah Y H X maka nrgi sinyal kluaran adalah W Ω H X dω (.) π Dngan hubungan-hubungan yang kita prolh ini, kita dapat mnghitung nrgi sinyal langsung mnggunakan transformasi Fourirnya tanpa harus mngtahui bntuk glombang sinyalnya. J dt - Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)

12 CO TOH-.6: Tntukan lbar pita yang diprlukan agar 9% dari total t nrgi glombang xponnsial v( [ ] u( V dapat diprolh. Pnylsaian: Bntuk glombang t [ ] u( v( V Enrgi total : ω W Ω tan 6 ω π d ω π() π J π Misalkan lbar pita yang diprlukan untuk mmprolh 9% nrgi adalah β, maka β β ω W9% tan 6 ω π d ω π() β tan π Jadi 9 tan β β π.9 tan π β 63 rad/s -

13 Soal-Soal. Saklar S pada rangkaian brikut tlah brada di posisi mulai t. Pada t ia dipindahkan kposisi dan ttap pada posisi sampai t. Jika v V, v V, tntukan v in, V in (, V o (, v o. S µf v v v in kω. Saklar S pada rangkaian brikut tlah brada di posisi mulai t. Pada t ia dipindahkan kposisi dan ttap pada posisi sampai t. Tntukan v in, V in (, V o (, v o, jika v V, v 5 V. S v v v in kω µf 3. Saklar S pada rangkaian brikut tlah brada di posisi mulai t. Pada t ia dipindahkan kposisi dan ttap pada posisi sampai t. Tntukan v in, V in (, V o (, v o, jika v t V, v t V. S v v v in H,5 kω 4. Saklar S pada rangkaian brikut tlah brada di posisi mulai t. Pada t ia dipindahkan kposisi dan ttap pada posisi sampai t. Tntukan v in, V in (, V o (, v o, jika v t V, v t V. v o v o v o - Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)

14 v S v v in,5 kω H v o 5. Saklar S pada rangkaian brikut tlah brada di posisi mulai t. Pada t ia dipindahkan kposisi dan ttap pada posisi sampai t. Tntukan v in, V in (, V o (, v o, jika v V, v t V. S v v v in H Ω 6. Pada sbuah rangkaian sri L H, C µf, dan R kω, ditrapkan tgangan v s sgn( V. Tntukan tgangan pada rsistor. 7. Tanggapan impuls sbuah rangkaian linir adalah h( sgn(. Jika tagangan masukan adalah v s ( δ( t u( V, tntukan tgangan kluarannya. 8. Tntukan tanggapan frkunsi rangkaian yang mmpunyai tanggapan impuls h( δ( t u(. 9. Tntukan tgangan kluaran rangkaian soal 8, jika dibri masukan v s ( sgn(.. Jika tgangan masukan pada rangkaian brikut adalah v cost V, tntukan tgangan kluaran v o. µf kω kω v v o v o -3

15 . Ulangi soal untuk sinyal yang transformasinya V ( ω 4. Tntukan ngi yang dibawa olh sinyal t v( 5 t u( V. Tntukan pula brapa prsn nrgi yang dikandung dalam slang frkunsi ω rad/s. 3. Pada rangkaian filtr RC brikut ini, tgangan masukan adalah 5 t v u( V. v kω µf kω v o Tntukan nrgi total masukan, prsntas nrgi sinyal kluaran v o trhadap nrgi sinyal masukan, prsntas nrgi sinyal kluaran dalam slang passband-nya. 4. Pada rangkaian brikut ini, tgangan masukan adalah 5 t v u( V. µf kω kω v Tntukan nrgi total masukan, prsntas nrgi sinyal kluaran v o trhadap nrgi sinyal masukan, prsntas nrgi sinyal kluaran dalam slang passband-nya. v o -4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4)

16 -5