SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN /5. Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB... A. cm C B. (- ) cm C. (- ) cm D. (8- ) cm E. (8- ) cm A B misal panjang AB a, panjang AB panjang AC BC AB AC a a a a Keliling ABC AB + BC + AC a + a + a 8 a + a 8 a ( + ) 8 a 8 8 8( ) 8( ) Jawabannya adalah E ( - ) (8 - ) cm. Kawat sepanjang m akan dibuat kerangka seperti pada gambar di bawah ini. Agar luasnya maksimum panjang kerangka (p) tersebut adalah.. A. 6 m B. 8 m l C. m D. m l E. m p Page
Luas p. l Keliling p + l l p p l - p Luas p. ( - p) 6p - p Agar luas maksimum maka differensial luas (Luas ' ) Luas ' 6 p 6 p 6 p m Jawabannya adalah C. Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah... A. 9 tahun C. 9 tahun E. 78 tahun B. tahun D. 5 tahun misal: umur ayah sekarang x umur Budi sekarang y Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi: x 7 6 (y-7) x-7 6y x 6y -5..() Empat tahun yang akan datang kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun: Page
( x + ) 5 ( y + ) + 9 x + 8 5y + + 9 x 5y..() substitusi pers () dan () karena yang dicari adalah x maka eliminasi y: x 6y -5 x 5 5x y -75 x 5y x6 x y 6 - - 7 x - x Jawabannya adalah B. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh mil. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah sejauh 6 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah... A. 7 mil C. ( 5 ) mil E. ( 5 ) mil B. 7 mil D. ( 5 ) mil U B T C A S mil 6 mil B AC.? Patokan arah adalah dari utara 9 + Aturan cosinus AC AB + BC - AB. BC Cos + 6 -.. 6. cos 9 + 6 6. (- ) 5 +8 6 AC 6 6. 6 9. 7. 7 7 mil Page
Jawabannya adalah B 5. Nilai dari tan 65... A. - C. - + E. + B. - + D. - rumus: tan (8 - ) -tan tan 65 tan(8-5 ) - tan 5 - tan (5 - ) tan 5 tan - tan 5 tan - -.. - - - ( ) - + Jawabannya adalah C 6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : log x log (x + 5) + log adalah... A. - 5 < x C. < x E. - 5 x < B. - x D. - < x < log x log (x + 5) + log log x log (x + 5) + log log x log (x + 5). log x log (8x + ) x (8x + ) x - 8x (x-)(x + ) x, x - - x..() +++ -- - - - - - - - - - - - + + + Page
- syarat logaritma a log b b > x >..() x + 5 > x > -5 5 x >..() - - - - - ++++++++ + - - 5 Dari (), () dan () didapat < x Jawabannya adalah C 7. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, bola biru, dan bola kuning. Dari dalam kotak diambil bola sekaligus secara acak. Peluang terambil bola merah dan bola biru adalah... A. B. 6 5 C. 6 D. E. P(A) n( A) n( S) n (S) banyaknya cara untuk mengambil bola ( bola merah + bola biru) dari bola yang ada (total semua bola) C!!( )!...9!.....9! n ) (A banyaknya cara pengambilan bola merah dari 5 bola merah dan banyaknya cara pengambilan bola biru dari bola biru Page 5
C 5. C 5!!!(5 )!!( )! 5..!..!!.! maka P(A) n( A) n( S) Jawabannya adalah D 8. Nilai rataan dari data pada diagram di bawah adalah... f 8 9 6 5.5 5.5.5 5.5.5 5.5 data A. C. 6 E. B. 5 D. 8 dari grafik di atas buat tabel datanya: Rata-rata f.x f 5 5 5 Page 6
Jawabannya adalah B 9. Persamaan lingkaran yang berpusat di (, ) dan menyinggung garis x - y - adalah... A. x² + y² + x - y - D. x² + y² - x - 8y + 8 B. x² + y² - x - 6y - E. x² + y² + x + 8y - 6 C. x² + y² + x + 8y - 8 Persamaan lingkaran yang berpusat di (, ) : (x a) + (y b) r (x ) + (y ) r x -x + + y - 8y + 6 - r x -x + y - 8y + 7 - r. () Menyinggung garis x - y - x y y x -.() Substitusi () ke () x -x + ( x - ) - 8( x - ) + 7 - r -x - x + - 6x + + 7 - r 5 x 5 85 - x + - r dikalikan 6 6 5x - x + ( 6r ) Agar menyinggung maka D D b - a.c (-) -. 5. ( 6r ) 96 + 6r 6r r 9 maka persamaan lingkarannya adalah: x -x + y - 8y + 7 - r x -x + y - 8y + 7-9 x + y -x - 8y + 8 Page 7
Jawabannya adalah D. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² 5 yang tegak lurus garis y - x + adalah... A. y - x + 5 B. y x - 5 5 D. y - x + 5 5 5 E. y x + 5 5 C. y x - 5 5 Rumus persamaan garis singgung: y b m( x a ) r m x² + y² 5 lingkaran dengan pusat (,) a ; b dan r 5 5 pers garis : y x + y x y x - misal garis tersebut adalah a, maka didapat Gradient garis a m a Misal gradient garis singgung pada lingkaran m b Karena tegak lurus maka m b - m a m b - - Maka persamaan garis singgungnya adalah: () y - ( x ) 5 y -x + 5 5 () y - ( x ) - 5 y -x - 5 5 Jawabannya adalah D ( ) ( ). Nilai x yang memenuhi persamaan cos²x - sin x. cos x - -, Page 8
untuk x 6 adalah... A. 5, 5, 5, 85 D. 5, 5, 95, 5 B. 5, 5, 5, 5 E. 5, 5, 95, 5 C. 5, 5, 95, 85 * cos A cos A - sin A cos A cos A ( - cos A ) cos A cos A + cos A cos A cos A cos A cos A + * sina sin A cosa cos²x - sin x. cos x - -. cos²x - sin x. cos x - -. ( cosx + ) sinx - -.cosx + sinx - -.cosx sinx -.cosx sinx.cosx sinx k cos (x - ) ; cos (A - B) cos A cos B + sin A Sin B k cos x cos + k sin x sin k cos k sin - tan k k sin cos - (sin - dan cos + berada di kuadaran IV) a cos x + b sin x k cos (x - ) c k tan a b a b : k a b ( ) ( ) dengan k dan.cosx sinx k cos (x - ) Page 9
.cosx sinx cos (x - ) cos (x - ) cos (x - ) cos (x - ) cos 6 atau cos (x - ) cos x - 6 x - x 9 + k.6 x 6 + k. 6 jika k x 9 jika k x 6 x 95 x 5 jika k - x jika k - x 7 x 5 x 5 Himpunan penyelesiannya adalah: {5, 5, 95, 5 } Jawabannya adalah D. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan 8 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah... A. 78 cm C. 57 cm E..5 cm B. 9 cm D. 76 cm n U n ar S n a( r n ) untuk r > r S n a( r r n ) untuk r < U a 6 U 7 8 ar 6 6r 6 8 r 6 6 r r > maka menggunakan rumus S n 6( 7 ) S 7 6. 7 76 a( r n ) r Jawabannya adalah D Page
. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp 5.,, bulan kedua Rp 55.,, bulan ketiga Rp 6.,, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama tahun adalah... A. Rp.5., C. Rp.., E. Rp.6., B. Rp.., D. Rp.58., Tabungan membentuk barisan aritmetika. U a 5. b 55. 5. 5 n tahun bulan S n n (a + U n ) n (a +(n-) b) S (. 5 +(-) 5) ( + 5). 5 Rp,.58. Jawabannya adalah D. Matriks X berordo ( x ) yang memenuhi : X adalah 6 5 A. 5 5 6 B. 5 D. E. 8 6 5 C. 5 Jika A.B C maka Page
. A C. B. B A. C Dipakai rumus () X X 6 6 5-8 5 Jawabannya adalah A 5. Diketahui A(,, ), B(,, ), dan C(7, 5, -). Jika A, B, dan C segaris (kolinier), perbandingan AB : BC... A. : C. : 5 E. 7 : 5 B. : D. 5 : 7 AB BC ) ( ) ( ) ( 9 ) (5 ) ( ) 6 6 ( 7 6 6 AB : BC : 6 : Jawabannya adalah A 6. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut, dilanjutkan dilatasi (, ) adalah x + y - y². Persamaan kurva semula adalah... A. y - x² - x + D. y -x² + x + B. y - x² - x E. y x² - x - C. y - x² + x + Page
Page - rotasi pusat O bersudut R(O, 9 ) - dilatasi (, ) ' ' y x y x y x Jika A.B C maka. A C. B. B A. C y x ' ' y x ) ( ' ' y x ' ' y x x y ' y ' x y - x ' x ' -y misalkan hasil pemetaannya adalah x + y - y². x ' + y ' - y ' masukkan nilai y ' x dan x ' -y : -y + x (x) y - x + x y x - x Jawabannya adalah E
7. Setiap awal tahun Budi menyimpan modal sebesar Rp.., pada suatu bank dengan bunga majemuk 5% per tahun. Jumlah modal tersebut setelah akhir tahun kelima adalah... (.5 5 ) A. Rp..,.(,5) 5 D. Rp.5.,..5 (.5 5 ) (.5 ) B. Rp..,. E. Rp..,..5.5 (.5 ) C. Rp..,..5 Rumus bunga majemuk : M n M ( + p) n M n modal setelah n tahun M modal awal p suku bunga n tahun Diketahui M.. p 5% per tahun.5 n 5 M n... ( +.5) 5. (.5) 5 Jawabannya adalah A 8. Hasil dari x x. dx adalah. A. 7 B. 8 Misal u x + du 6x dx C. 7 D. E. Page
x x. dx u. du u.{ (x ). x } {.. -.. } 6. { - }. 7 6 Jawabannya adalah C 9. Nilai dari lim x x x x.. A. - C. E. B. D. lim x x x x lim x x x x x x x x lim x.( x x) x ( x) ( x) lim x.( x x x x) lim ( x x) x Jawabannya adalah A ( ) - lim sin x sin x cos x. Nilai dari.. x x. A. C. E. B. D. Page 5
lim sin x sin x cos x x x lim sin x( cosx) x x cos A cos A - sin A - sin A - sin A sin A sin A - cos A lim sin x(sin x x x) Lim x sin ax bx b a lim sin x.sin x x x lim sin x. sin x sin x x x x x.. Jawabannya adalah E. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam (x - 8 + ) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut x dapat diselesaikan dalam waktu... A. jam C. jam E. 5 jam B. 6 jam D.. jam Biaya yang diperlukan B biaya per jam x waktu (x - 8 + ). x x x - 8x + Agar biaya minimum turunan B ' B ' 8x 8 8x 8 x Page 6
Jawabannya adalah C. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus x f(t) t (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel pada saat t 8 detik adalah... A. m/detik C. m/detik E. 5,/detik B. 5 m/detik D. m/detik s f(t) t ( t ) kecepatan v f ' (t) (t ). t f ' (8).8 5 Jawabannya adalah A. Turunan dari F(x) cos (x 5x) adalah F '(x)... A. cos B. (6x + 5) cos C. - cos (x² + 5x) sin(x² + 5x) (x² + 5x) (x² + 5x) sin(x² + 5x) D. - (6x + 5) tan(x² + 5x) cos (x 5x) E. (6x + 5) tan(x² + 5x) cos (x 5x) F(x) cos (x 5x) cos (x 5x) Page 7
F ' (x) cos. (x 5x) ( - sin (x 5x) ) (6x + 5) sin(x 5x) - (6x+5) cos (x 5x) cos(x cos(x 5x) 5x) sin(x 5x) - (6x+5) cos(x 5x) cos(x cos (x 5x) 5x) - (6x+5) tan (x 5 x ) cos (x 5x) - (6x+5) tan (x 5 x ) Jawabannya adalah D cos ( x 5x). Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah... A. satuan luas D. 6 satuan luas B. 5 6 satuan luas E. 6 satuan luas C. 5 6 5 satuan luas Persamaan parabola: titik puncak (, -) y a (x - x ) + y p a (x - ) - ax - Melalui titik (, ) x ; y a p Page 8
a persamaan parabola y x - persamaan garis: ax +by ab Melalui titik (5,) dan (,5) b a 5x + 5y 5 x + y 5 y 5 - x perpotongan parabola dan garis: x - 5 x x + x - 6 (x+)(x-) x - ; x yang berlaku pada daerah yang diarsir adalah x L L + L 5 L ( 5 x ) dx 5x - x 5 9 5 (5-) - (5 ) 5 - L ( x ) dx x x 7 7 (8 ) ( ) 9 7 8 L + 6 5 5 5 satuan luas 6 6 Jawabannya adalah C 5 5. Hasil dari cos xdx A. - 6 cos 6 x sin x + C B. 6 cos 6 x sin x + C D. -sin x - sin x + 5 sin 5 x + C E. sin x + sin x + 5 sin 5 x + C C. -sin x + sin x + 5 sin 5 x + C Page 9
5 cos xdx cos x cos xdx cos x(cos x) dx cos x( sin x) dx cos x ( sin x sin x) dx cos xdx cos x sin xdx d sin x sin xd sin x sinx - sin x + 5 sin 5 x + C cos xsin sin xdx xd sin x Jawabannya adalah E 6. Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk a satuan, terdapat bola luar dinyatakan B dan bola dalam dinyatakan B. Perbedaan Volume bola B dan bola B adalah... A. : C. : E. : B. : D. : W V T r S O U r T R P a Q Jari jari bola dalam r OT PV panjang diagonal ruang a PQ a Jari jari bola luar r OP PV a Page
Volume bola dalam B. r Volume bola luar B. r Perbedaan Volume bola B dan bola B adalah:. r :. r.r :.r ( a ) : ( a ) Jawabannya adalah A 8 a. : 8 a : 7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk cm dan T pada AD dengan panjang AT cm. Jarak A pada BT adalah... A. cm C. B. cm D. cm cm E. cm H G E F T O A BT D C A B T O B AB AT ( ) Luas ABT AB. AT BT. AO.... AO Page
AO AO Jawabannya adalah C 8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk cm. Titik P dan Q masing-masing terletak pada pertengahan CG dan HG. Sudut antara BD dan bidang BPQE adalah, nilai tan A.. C. E. 8 B. D. E H M Q F G P D C N A B Tan MN BN MN MH titik berat HF FM BN ( - ) HF HF.. ; (HF diagonal bidang ) 8 Tan MN BN 8. 8 6 Jawabannya adalah B 9. Tanah seluas. m² akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan m² dan tipe B diperlukan 75 m². Jumlah rumah yang dibangun paling Page
banyak 5 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp 6..,/unit dan tipe B adalah Rp..,/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah... A. Rp 55.., D. Rp 8.., B. Rp 6.., E. Rp 9.., C. Rp 7.., misal: x rumah tipe A y rumah tipe B x + 75y. dibagi 5 x + y..() x + y 5..() Keuntungan maksimum : 6. x +. y? Mencari keuntungan maksimum dengan mencari titik-titik pojok dengan menggunakan sketsa grafik: Grafik : x + y titik potong dengan sumbu X jika y maka x Titik potongnya (, ) Titik potong dengan sumbu Y jika x maka y Titik potongnya (,,), Grafik : x + y 5 titik potong dengan sumbu X jika y maka x 5 Titik potongnya (5, ) Titik potong dengan sumbu Y jika x maka y 5 Titik potongnya (, 5) Gambar grafiknya: Page
5, titik potong 5 titik potong : eliminasi x x + y x x + y x + y 5 x x + y 5 - -y - y x + y 5 x 5 - y 5 5 didapat titik potong (5, ) Titik pojok 6. x +. y (,) 6.. (,5) 5.. (5, ) 5..+.. 55.. Keuntungan maksimum adalah Rp.6.. Jawabannya adalah B. Diketahui premis-premis berikut :. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai.. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian.. Budi tidak lulus ujian. Kesimpulan yang sah adalah... A. Budi menjadi pandai B. Budi rajin belajar C. Budi lulus ujian p Budi rajin belajar q Budi menjadi pandai r Budi lulus ujian ~r Budi tidak lulus ujian D. Budi tidak pandai E. Budi tidak rajin belajar p q () p q q r q r modus silogisme ~r p r? Page
() p r ~r modus Tollens ~p Jadi kesimpulannya adalah ~p Budi tidak rajin belajar Jawabannya adalah E Page 5