4. TURUNAN MA4 Kalkulus I
4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan m P - Q - MA4 Kalkulus I
b. Keepatan Sesaat Misal sebua benda bergerak sepanjang garis koordinat seingga posisina setiap saat diberikan ole s t. Pada saat t benda berada di dan saat t benda berada di. Perubaan waktu Perubaan posisi s Seingga keepatan rata-rata pada selang waktu [,] adala v ratarata MA4 Kalkulus I
Jika, diperole keepatan sesaat di : v v ratarata Misal, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk v Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan keepatan sesaat terliat bawa dua masala tersebut berada dalam satu tema, aitu turunan Deinisi 4. : Turunan pertama ungsi di titik, notasi dideinisikan sebagai berikut: bila it diatas ada MA4 Kalkulus I 4
Notasi lain : d, d Conto : Diketaui tentukan 9 MA4 Kalkulus I 5
4.. Turunan Sepiak Turunan kiri dari ungsi di titik, dideinisikan sebagai : Turunan kanan dari ungsi di titik, dideinisikan sebagai : bila it ini ada. Fungsi dikatakan mempunai turunandierensiabel di atau ada, jika dan _ sebalikna dikatakan tidak mempunai turunan di. MA4 Kalkulus I 6
MA4 Kalkulus I 7 Conto : Diketaui <,, Selidiki apaka dierensiabel di Jika a, tentukan Jawab : a. b. Jadi, dierensiabel di.. dan
MA4 Kalkulus I 8 Teorema 4. Jika dierensiabel di kontinu di. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adala Peratikan bawa Maka Siat tersebut tidak berlaku sebalikna. Artina, Jika kontinu di, maka belum tentu dierensiabel di. Hal ini, ditunjukkan ole onto berikut.,.... Terbukti.
Conto Tunjukkan bawa kontinu di tetapi tidak dierensiabel di Jawab Akan ditunjukkan bawa kontinu di,, < kontinu di MA4 Kalkulus I 9
Selidiki apaka terdierensialkan di. Karena maka tidak dierensiabel di. MA4 Kalkulus I
MA4 Kalkulus I Conto: Tentukan konstanta a dan b agar ungsi berikut dierensiabel di ; <,, a b. Jawab : Agar terdierensialkan di, arusla a. kontinu di sarat perlu b. Turunan kiri turunan kanan di sarat ukup kontinu di jika kontinu kiri dan kontinu kanan di atau a b a b a a b a
b a a a a a a a a Maka diperole : a dan b. MA4 Kalkulus I
Soal Latian Tentukan nilai a dan b agar ungsi berikut dierensiabel di titik ang diberikan... a ; < b ; a b ; < ;,,. ; < a b ;, MA4 Kalkulus I
4. Aturan Penarian Turunan Fungsi Turunan Pertama Deinisi 4. Misalkan terdeinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari, ditulis, dideinisikan sebagai t, Ι t t atau jika t-, Ι bila itna ada. d d Notasi lain,,, D, D d, bentuk dikenal d d d sebagai notasi Leibniz. MA4 Kalkulus I 4
Dengan menggunakan deinisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk menari turunan sebagai berikut :. Jika k, maka.. 4. r r r ; r R d d d d d d g g g d g g 5. dengan g. d g g g g MA4 Kalkulus I 5
MA4 Kalkulus I 6 Bukti aturan ke-4 Misal g g g g g g g g g g g g g g g g g
MA4 Kalkulus I 7 6..Tentukan turunan pertama dari. 6 Conto. Tentukan turunan pertama dari 4 Jawab :. 6. Tentukan turunan pertama dari Jawab : 9 6 4 4 9 8 5 4 Jawab :
Soal Latian Tentukan ungsi turunan pertama dari. /.. 4. 5. MA4 Kalkulus I 8
4. Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus a. sin os b. os sin Bukti: a. Misal sin maka sin t t t sin t t os sin t t t os. t os. os. t t sin t MA4 Kalkulus I 9
MA4 Kalkulus I b. Misal os maka os os os sin sin os os sin sin os os sin sin sin os sin sin 4 / sin os sin sin 4 / / sin os / sin sin. os
Untuk turunan ungsi trigonometri ang lain dapat diperole dengan menerapkan rumus peritungan turunan, kususna turunan bentuk u/v sin tan d os d. d d os ot d sin d d. d d se d os d e. d d s d sin d. d d os sin os sin os sin sin os os sin se os s sin sin tan se os os os s ot sin sin MA4 Kalkulus I
4.4 Aturan Rantai Andaikan u dan u g. Jika d dan du ada, maka du d Conto : Tentukan dari sin Jawab : Misal u seingga bentuk diatas menjadi Karena maka d d d du d du du d osu dan d d d os d du d os sin u MA4 Kalkulus I
Jika u, u gv, v, dan d d Conto : Tentukan Jawab : Misal v d du dv du dv d d d dari 5 d du Sin 4 du dv, dv d, Ada, maka dv d 5 u Sin v du os v os 5 dv 4 u d 4u 4Sin 5 seingga du d d d du dv.. Sin 5 Cos du dv d 5 MA4 Kalkulus I
Conto : Tentukan jika d d jawab : d d. MA4 Kalkulus I 4
Soal Latian Tentukan ungsi turunan pertama dari. 5.. 4. sin os 4 4 5. 6. sin tan [ ] MA4 Kalkulus I 5
4.5 Turunan Tingkat Tinggi Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-n-. n d Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketiga Turunan ke-n n Conto : Tentukan dari d d d d " d d " d n n d d n 4 sin Jawab : os maka 4 sin MA4 Kalkulus I 6
Soal Latian A. Tentukan turunan kedua dari. sin.. 4. 4 os π B. Tentukan nilai seingga " bila 456 g a C. Tentukan nilai a, b dan dari b bila g 5, g dan g 4 MA4 Kalkulus I 7
4.6 Turunan Fungsi Implisit Jika ubungan antara dan dapat dituliskan dalam bentuk maka disebut ungsi eksplisit dari, aitu antara peuba bebas dan tak bebasna dituliskan dalam ruas ang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan ungsi implisit dari. Conto :.. sin Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap ungsi dari. MA4 Kalkulus I 8
Tentukan d/d dari bentuk implisit berikut. Jawab. D D D D D D. sin. D sin D os os os os os MA4 Kalkulus I 9
Soal Latian Tentukan turunan pertama dari bentuk implisit.. sin. 4. tan - sin MA4 Kalkulus I
4.7 Garis singgung dan garis normal Persamaan garis singgung ungsi di titik, dengan kemiringan m adala m. Garis ang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal. Persamaan garis normal di titik, adala m. MA4 Kalkulus I
Conto: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal ungsi 6 di,6. Jawab : 4,6. 4. 4 Seingga persamaan garis singgung di titik,6 : 6 4 4 Persamaan garis normal dititik,6 : 6 6 4 4 4. MA4 Kalkulus I
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva 6 di titik dengan absis Jawab : Jika disubstitusikan nilai pada persamaan kurva diperole 6 Hitung terlebi daulu D 6 D dan - Seingga diperole titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalna adala, dan,- dengan menggunakan turunan ungsi implisit MA4 Kalkulus I
Di titik,..9 6,.. 5 Persamaan garis singgung 6 6 6 5 5 5 6 5 Persamaan garis normal 5 5 6 6 5 6 4 5 6 MA4 Kalkulus I 4
Di titik,-,..4.. 5 Persamaan garis singgung 4 Persamaan garis normal MA4 Kalkulus I 5
MA4 Kalkulus I 6 4.8 Dierensial dan Hampiran 4.8. Dierensial Jika ada, maka Untuk sangat keil, maka m PQ m PT akni, Deinisi 4.4 Jika dierensiabel di, maka Dierensial dari, dinatakan dengan d, adala Dierensial dari, dinatakan dengan d, adala P Q,. d d d T
4.8. Hampiran Peratikan kembali gambar sebelumna, Misalkan dierensiabel di interval I ang memuat dan. Jika ditamba, maka bertamba sepadan dengan ang dapat diampiri ole d. d Jadi, * Conto : Hampiri 8 Jawab : Pandang, Dengan pers * 7 7 7 7 7 7 8 7 78 7. 7 MA4 Kalkulus I 7
Soal Latian. Diketaui kurva ang dinatakan seara implisit sin Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di π,. Gunakan dierensial untuk mengampiri a. b. 8, 6,. Jika diketaui, g, g tentukan o g. MA4 Kalkulus I 8