Hubungan Antara Turunan Parsial dan Kekontinuan Pada Fungsi Dua Peubah

Transkripsi

1 Jurnal EKSPONENSIAL Volue Noor Mei ISSN Hubungan Antara Turunan Parsial dan Kekontinuan Pada Fungsi Dua Peuba Relationsip Between Partial Derivatives and Continuit on te Function o Two Variables Saripuddin Progra Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawaran Abstract Tis stud ais to sow te relationsip irst partial derivatives wit continuit on te unction o two variables at a given point. In te researc te conclusion tat tere is a continuous unction o two variables at a certain point but do not ave irst partial derivatives at tat point. Tere is also a unction tat is not continuous at a certain point but ave te partial derivatives and partial derivatives are not continuous at tat point. Kewords : Function o two variables Partial derivatives Continuit. PENDAHULUAN Kalkulus dierensial dan integral dibangun berdasarkan konsep it ungsi. Konsep ini sangat sederana naun bagi ereka ang baru pertaa kali epelajarina acapkali eneui kesulitan. Konsep ini pula dikenal sebagai suatu proses tak ingga ang erupakan suatu ciri dari kalkulus. Karena pentingna aka ustail eaai kalkulus dengan baik tanpa engetaui konsep it. Bila suatu ungsi terdeinisi pada selang terbuka dala ruang ang euat suatu titik aka kekontinuan dan turunan ungsi di titik itu dapat dideinisikan dengan it ungsi. Hubungan antara turunan ungsi di suatu titik dengan kekontinuan di titik itu dinatakan sebagai berikut : Misalkan ungsi terdeinisi pada selang buka I ang euat titik Jika ungsi epunai turunan di titik c aka kontinu di titik Dala kasus ungsi dua peuba it epunai arti ang serupa dengan arti it ungsi satu peuba. Perbedaan ang nata ana pada asala pengukuran jarak variabel bebasna. Karena variabel tersebut terletak di aka jarak diukur dengan b a b a. Sedangkan kekontinuan ungsi dua peuba berarti bawa ungsi ang nilai itna saa dengan nilai ungsina. Perbedaan ang ang nata adala pada ungsi satu peuba kekontinuan ditandai dengan garis ang tidak putus sedangkan pada ungsi dua peuba kekontinuan di tandai dengan tidak ada retak sobek pada perukaan ungsina. Selanjutna turunan ungsi pada ungsi dua peuba dinaakan dengan turunan parsial. Hubungan antara kekontinuan dan turunan pada ungsi satu peuba suda sangat jelas bawa suatu ungsi epunai turunan di titik c aka kontinu di titik c dan sebalikna tidak berlaku. Selanjutna ubungan antara kekontinuan dan turunan parsial pada ungsi dua peuba tidak berlaku sebagaiana tela disan contoconto penangkalna dala buku-buku Kalkulus Dierensial dan Integral. Karena alasan tersebut aka peneliti erasa tertarik untuk engadakan suatu penelitian dala Kalkukus Dierensial dan Integral kususna tentang turunan parsial dan kekontinuan pada ungsi dua peuba. Peneliti ingin engetaui apaka ada ubungan antara turunan parsial dengan kekontinuan suatu ungsi di suatu titik tertentu elalui conto-conto penangga TINJAUAN PUSTAKA Penelitian ini didukung ole berbagai peikiran dan rujukan antara lain: Deinisi- : Liit ungsi di titik ab : Diketaui ungsi bernilai real dengan daera deinisi ipunan buka D di dan ab titik di D atau titi batas D atau lebi uu titik it D. Tulisan L a b epunai arti sebagai berikut: Untuk sebarang bilangan ε> ada bilangan δ> seingga untuk seua di D dan eenui a b a b berlaku L. Deinisi- : Fungsi Kontinu : Misalkan ungsi dengan daera deinisi D dan ab titik it ipunan D. Fungsi kontinu di ab : a b a b. Progra Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawaran

2 Jurnal EKSPONENSIAL Volue Noor Mei ISSN Jadi dala al ini ada tiga sarat ang arus dipenui aitu :. ada a b a b terdeinisi a b.. a b Fungsi kontinu pada ipunan D kontinu pada setiap titik di D. Deinisi- : Turunan Parsial : Misalkan z daera D. Turunan parsial pertaa dari teradap ditulis z z atau D dideinisikan sebagai l i Turunan parsial pertaa dari teradap ditulis z dideinisikan sebagai z atau D l i METODOLOGI PENELITIAN Metodologi penelitian ang digunakan di dala penelitian ini adala dengan engaati berbagai ungsi dengan dua peuba z = ang epunai asala kritis di suatu titik tertentu o o Selanjutna dengan enggunakan deenisi- dan deinisi- dilakukan pengaatan teradap ungsi-ungsi tersebut: Apabila ternata dari pengaatan ini ungsi z = kontinu aka dilanjutkan pengaatan apaka ungsi ini epunai turunan parsial pertaa di titik o o Jika ternata ungsi z = tidak kontinu di titik o o dilanjutkan dengan pengaatan apaka ungsi ini epunai turunan parsial pertaa di titik o o. Selanjutna asing-asing ungsi ang epunai turunan parsial di titik o o diaati pula apaka turunan parsial pertaana kontinu di titik o o. Dengan deikian ubungan antara turunan parsial dan kekontinuan ungsi dengan dua peuba dapat diketaui aitu :. Apaka ada ungsi dengan dua peuba z = ang kontinu di suatu titik o o tetapi tidak epunai turunan di titik tersebut.. Apaka ada ungsi ang tidak kontinu z = di suatu titik o o tetapi epunai turunan parsial pertaa di titik o o dan turunan parsialna tersebut tidak kontinu di titik o o. Jawaban dari apa ang diteliti erupakan kesipulan penelitian ini. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Dala penelitian akan ditinjau ubungan sebagai berikut :. Apaka ada ungsi dengan dua peuba z = ang kontinu di titik o o tetapi tidak epunai turunan parsial pertaa di titik itu. Conto- : Misalkan di tinjau di titik M. Akan ditunjukkan bawa : kontinu di titik M. a. b. = Jadi kontinu di titik M. Akan ditunjukkan bawa : tidak epunai turunan parsial di titik M. a. Turunan parsial teradap- l i tidak terdeinisi b. Turunan parsial teradap- l i Progra Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawaran 8

3 Jurnal EKSPONENSIAL Volue Noor Mei ISSN Dengan deikian ungsi tidak terdeinisi kontinu di titik M akan tetapi ungsi tersebut tidak epunai turunan parsial baik teradap peuba aupun teradap peuba. Seingga dapat dikatakan bawa dapat diteukan ungsi dua peuba ang kontinu di suatu titik tertentu o o akan tetapi tidak epunai turunan parsial pertaa di titik o o.. Apaka ada ungsi dengan dua peuba z = ang tidak kontinu di titik tertentu o o epunai turunan parsial pertaa di titik itu tetapi turunan parsialna tersebut tidak kontinu di titik o o. Conto- : Misalkan ditinjau di titik M. Akan ditunjukkan bawa kontinu di titik M. a. Karena nilai it penebut dan pebilang saa dengan nol aka untuk enelidiki nilai itna di reduksi peritunganna pada garis = dengan bilangan sebarang. Pada = aturan ungsi dapat ditulis enjadi : Untuk titik. Dengan deikian ang bergantung pada nilai. Jadi tidak ada b. Tidak ada. Jadi tidak kontinu di titik M. Akan ditunjukkan bawa : tidak epunai turunan parsial di titik M. a. Turunan parsial teradap- l i b. Turunan parsial teradap- Jadi ungsi l i epunai turunan parsial teradap- dan teradap- pada titik M. Akan ditunjukkan bawa turunan parsial pertaa dari ungsi Progra Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawaran 9

4 Jurnal EKSPONENSIAL Volue Noor Mei ISSN Progra Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawaran kontinu.. Turunan parsial teradap- pada titik Akan ditunjukkan bawa turunan parsial pertaa teradap- dari ungsi aitu : kontinu pada titik M. a. Karena nilai it penebut dan pebilang saa dengan nol aka untuk enelidiki nilai itna di reduksi peritunganna pada garis = subu- aitu : peritunganna pada garis = subu- aitu : Karena kedua asil ini berbeda aka tidak ada. b. Tidak ada Jadi turunan pertaa teradap aitu ungsi tidak kontinu di titik M.. Turunan parsial teradap- pada titik Akan ditunjukkan bawa turunan parsial pertaa teradap- dari ungsi aitu : kontinu pada titik M. a. Karena nilai it penebut dan pebilang saa dengan nol aka untuk enelidiki nilai itna di reduksi peritunganna pada garis = subu- aitu : peritunganna pada garis = subu- aitu : Karena kedua asil ini berbeda aka

5 Jurnal EKSPONENSIAL Volue Noor Mei ISSN tidak ada. b. Tidak ada Jadi turunan pertaa teradap aitu ungsi tidak kontinu di titik M. DAFTAR PUSTAKA Apostol T.. Calculus Volue And nd Edition Jon Wile dan Sons In 967 Jaes R. Evaus Fundaental o Calculus West Publising Copan New York 985. Martono K. Kalkulus dan Ilu-Ilu Analitik Angkasa Bandung 985. Piskunov N. Dirential and Integral Calculus Peace Publiser Moscow 98. Seta Budi Wono Kalkulus Peuba Banak dan Penggunaanna ITB Bandung Watson Fulks Advanced Calculus Wile Trans- Edition Jon Wile 98. E. KESIMPULAN Dari asil analisis dan pebaasan dapat ditarik beberapa kesipulan sebagai asil penelitian sebagai berikut :. Ada ungsi dua peuba z = ang kontinu disuatu titik o o tetapi tidak epunai turunan parsial di titik o o.. Ada ungsi dua peuba z= ang tidak kontinu di titik tertentu o o dan epunai turunan parsial di titik o o akan tetapi turunan parsialna tidak kontinu di titik o o. Progra Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawaran

6 Jurnal EKSPONENSIAL Volue Noor Mei ISSN Progra Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawaran