AKAR PERSAMAAN Roots of Equations

Transkripsi

1 AKAR PERSAMAAN Roots o Equations

2 Akar Persamaan 2 Acuan Capra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Metods or Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n Capter 4 dan 5, lm

3 3 Persamaan Aljabar vs Transendental Persamaan aljabar (algebraic equations) ungsi y = (x) dinamakan ungsi aljabar apabila ungsi tsb dapat dinyatakan dalam bentuk: n y n + n n 1 1 y y + 0 = 0 i adala polinomial orde i dalam x polinomial merupakan ungsi aljabar yang umumnya dituliskan sbb. n n ( x) = a + a x +... a x + 0 koeisien a i adala konstanta 1 n

4 4 Persamaan Aljabar vs Transendental Conto persamaan aljabar ( x) = x ( x) = 5x x + 7x x 2 Fungsi transendental adala ungsi yang bukan ungsi aljabar ( ) = x x e x ( x) = sin x ( x) = lnx 2 1

5 5 Akar Persamaan Conto Ingin diketaui kedalaman aliran () pada saluran bertampang persegi pada suatu debit tertentu (Q) Persamaan Q = A = b V AV 1 = R S o n 1 2 A b A: luas tampang aliran = b R: radius idraulik = A/P P: keliling tampang aliran = b+2 n: koeisien kekasaran saluran Manning S o : kemiringan memanjang saluran

6 Akar Persamaan 6 Penyelesaian variabel yang suda diketaui diuba menjadi konstanta (Q, n, S e ) A, R, dan V dituliskan sebagai ungsi dan konstanta seingga persamaan dalam saja A b A: luas tampang aliran = b R: radius idraulik = A/P P: keliling tampang aliran = b+2 n: koeisien kekasaran saluran Manning S e : kemiringan garis energi

7 7 Akar Persamaan Prosedur Suku-suku persamaan dikelompokkan seingga sedapat mungkin konstanta dipisakan dari variabel Jika Q = 50 m 3 /s, b = 20 m, n = 0.03, dan S o = Persamaan diselesaikan untuk mendapatkan kedalaman aliran Bagaimanaka caranya? Q = b S Q = n Q n S 1 2 o ( b ) S n ( b + 2) 5 3 ( b ) ( b + 2) 5 3 ( b ) ( b + 2) 5 3 ( 20 ) = ( ) 1 2 o = 1 2 o

8 8 Akar Persamaan Metode coba-dan-ralat (trial and error) Mencoba suatu nilai = 1 Mengontrol apaka nilai tersebut memenui persamaan Jika tidak, mencoba nilai lain = 2 Dst. Cara tersebut sangat sederana dan tidak eisien Perlu cara yang lebi sistematik

9 9 Akar Persamaan Metode Pendekatan Berurutan Metode Bisection Metode Newton-Rapson Metode Secant

10 10 Metode Pendekatan Berurutan Prosedur Bentuk persamaan diuba menjadi = () Dicoba nilai awal untuk dimasukkan ke dalam ungsi tsb. Nilai yang diperole dimasukkan ke dalam ungsi lagi Langka kedua dan ketiga tsb diulang-ulang sampai perubaan kecil 5 3 ( 20 ) = ( ) 5 3 ( 20 ) = ( ) = [ ( ) ]

11 11 Metode Pendekatan Berurutan 1 Q n = b So ( 20 + ) Iterasi dilakukan dengan nilai awal 0 = 2 m Metode ini belum tentu berasil menemukan akar persamaan 3 5 iterasi (i) i i E E E-07

12 Metode Bisection 12 Prosedur Persamaan dibentuk menyadi () = 0 Dicoba dua awal ( 0 dan 1 ) yang memberikan () berlawanan tanda (+ dan ) Diambil 2 di tenga-tenga kedua tsb. Dicari ( 2 ) Jika kesalaan masi besar, ulangi langka di atas untuk 2 dan sala satu dari sebelumnya yang memberikan () berlawanan tanda Hentikan itungan jika perubaan suda kecil = 5 3 ( 20) ( ) 5 3 ( 20 ) ( ) = 0

13 13 Metode Bisection 5 3 ( 20 ) ( ) Q n 1 2 So $!!! #!!! " = 0 Nilai awal: 0 = 1 m dan 1 = 2 m i 1 dan i dalam ( i 1 + i )/2 dipili dari ( i 1 ) dan ( i ) yang berbeda tanda (positi dan negati) iterasi, i i ( i ) ( i-1 + i )/

14 Metode Bisection 14 Kelemaan misal l dan u masing-masing adala nilai yang berurutan sedemikian ingga ( l ).( u ) < 0 ( u ) () dan l < u dalam memili baru ( r ) yang merupakan jumla separu l dan u, nilai ( l ) maupun ( u ) tidak dipertimbangkan jika ( l ) lebi dekat ke nol daripada ( u ), akar persamaan mestinya lebi dekat ke l daripada ke u ( l ) r = ( l + u )/2 l r u H

15 Metode Bisection 15 Metode bisection dapat diperbaiki pemilian r pada suatu langka iterasi tidak selalu berada di tenga antara l dan u namun dengan pemberian bobot cara perbaikan memanaatkan metode grais, yaitu dengan menarik garis lurus antara l dan u r adala titik potong garis lurus tsb dengan sumbu H r ( ) ( ) l l = r u u ( u ) ( l ) () l r r = u u ( l u ) ( ) ( ) ( ) u l u H

16 Metode Bisection 16 Metode bisection yang diperbaiki dg cara ini dikenal sbg te alse-position metod A PR Ulangi itungan metode bisection pada kasus mencari kedalaman aliran di saluran tsb dengan memakai metode bisection yang diperbaiki b A: luas tampang aliran = b R: radius idraulik = A/P P: keliling tampang aliran = b+2 n: koeisien kekasaran saluran Manning S o : kemiringan memanjang saluran

17 Metode Newton-Rapson 17 Jika i adala awal, maka perpanjang garis singgung pada kurva melalui titik [ i,( i )] titik potong garis singgu tsb dengan absis merupakan nilai i+1 sebagai pendekatan akar persamaan yang lebi baik daripada i Kemungkinan ditemui () tidak dapat di-dierensial-kan ( i ) () gradien = '( i ) ʹ ( ) i = ( ) i i i +1 = i +1 i i+1 ʹ ( i ) ( ) i i H

18 Metode Newton-Rapson 18 Prosedur Persamaan dibentuk menjadi () = 0 Dicari dierensial (), yaitu '() Dicoba i Dicari i+1 dengan persamaan: i+1 = i ( i )/'( i ) Hitungan dientikan jika perubaan kecil atau tidak berarti Hitungan mungkin divergen 5 3 ( 20 ) ( ) = $!!!#!!!" ʹ 5 ( ) ( ) ( 20 ) = 20 3 ( ) ( ) ( 20 ) 2 ( ) 5 3

19 19 Metode Newton-Rapson iterasi, i i ( i ) '( i ) i E E E E

20 Metode Secant 20 ʹ ( ) i Kelemaan Metode Newton-Rapson Kemungkinan '() tidak ada atau sulit diperole Metode secant = Gradien, '(), diitung dengan pendekatan, yaitu kemiringan garis yang mengubungkan dua titik ( ) ( ) i 1 i 1 i i i + 1 = i ( i ) i 1 i ( ) ( ) ( ) i i 1 i ( i 1 ) Diperlukan 2 bua awal () gradien = '( i ) i 1 i H

21 21 Metode Secant Nilai awal: 0 = 1 m dan 1 = 2 m iterasi, i i ( i ) '( i ) i E E E-10

22 22 Akar Persamaan Latian 1: Cari kedalaman air pada aliran di dalam saluran trapesium dengan kemiringan talud 1:1, lebar dasar saluran b = 20 m, kemiringan memanjang 0.001, koeisien kekasaran n = 0.025, dan debit Q = 50 m 3 /s.

23 23 Akar Persamaan Latian 2: Cari lokasi sumur pengambilan jika diketaui terjadi penurunan muka air pada dua sumur, yaitu z 1 = 2.0 m dan z 2 = 1.8 m, permeabilitas tana, p = m/s dari data asil pencatatan data lain: tebal akuier Y = 20 m, debit pemompaan pada sumur lain yg dipompa Q = 22.3 liter/detik, jarak antara 2 sumur yg diukur L = 10 m. Sumur yg dipompa sebaris dengan sumur yg diukur. Persamaan: Q = π p ln 2 2 ( d d ) 2 ( r r ) d i = Y z i r jarak ke sumur yang dipompa

24 24