DIKTAT. Persamaan Diferensial

Transkripsi

1 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 DIKTAT Persamaan Diferensial Disusun oleh: Dwi Lestari, M.S dwilestari@un.a.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 3

2 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN SOLUSINYA A. Pendahuluan Persamaan diferensial adalah suatu bentuk persamaan ang memuat derivatif (turunan) satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas suatu fungsi. Contoh: Berikut merupakan ontoh persamaan diferensial d + = d d 4 d d = sin t 4 dt dt v v + = v s t u u u z + + = Selanjutna, persamaan diferensial dapat pula dinotasikan sebagai d ' = atau ' =. d dt B. Persamaan Diferensial dan Klasifikasina. Persamaan Diferensial Biasa dan Orderna Persamaan diferensial biasa merupakan sebuah bentuk persamaan ang memuat turunan satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas suatu fungsi. Penentuan order suatu persamaan diferensial tergantung pada kandungan fungsi turunan di dalam persamaan diferensial tersebut. Order atau tingkat suatu persamaan diferensial merupakan pangkat tertinggi turunan dalam persamaan diferensial. Contoh: ) ' = sin + os atau ' sin os = : persamaan diferensial biasa order pertama.

3 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 ) '' + 7 = : persamaan diferensial biasa order kedua. 3) '' + 3 ' 4 = : persamaan diferensial biasa order kedua. 4) ' '' e '' ' = ( + ) : persamaan diferensial biasa order ketiga.. Persamaan Diferensial Parsial Persamaan diferensial parsial merupakan sebuah bentuk persamaan ang memuat turunan parsial satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas suatu fungsi. Contoh: u u ) + = v v ) + v = 3) u u + = k u u u 4) + + = e, e : bilangan alam/natural (konstanta) z 3. Persamaan Diferensial Biasa Linear dan non Linear Persamaan diferensial biasa linear order n dapat dituliskan sebagai n d n d n n a ( ) + a ( ) + + an( ) = b( ) d d Dimana a. Persamaan diferensial biasa non linear jika persamaan diferensial tersebut tak linear. 3

4 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 Contoh: d = (PD linear order dua) d d d d d d d = e (PD linear order empat) 4 3 d d + + = (PD non linear) d d d + + = e d d d (PD non linear). Perhatikan bentuk berikut: d = a α dt = + γ dt merupakan bentuk sistem persamaan diferensial Lotka-Volterra atau predator-pre (sistem mangsa pemangsa dalam ekologi). Materi tersebut untuk pembahasan persamaan diferensial ang tingkat lanjut. LATIHAN Klasifikasikan persamaan diferensial berikut: e d + = d 3 d 3 d d d u = sin u + = + d = 4 d d = d d u u u u = 5 4

5 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S d sin d + = d sin d + = + t = dt dt dt d d d 3 dr d r = + ds ds C. Penelesaian Persamaan Diferensial. Penelesaian eksplisit dan penelesaian implisit Diberikan suatu persamaan diferensial n d F,,,, d d n =. (C.) Suatu fungsi real f ang terdefinisi untuk semua I dan memiliki turunan sampai ke-n untuk semua I disebut penelesaian (C.) jika dipenuhi: ( n) F, f ( ), f '( ),, f ( ) =. Contoh soal : Apakah fungsi eksplisit f() = ' =,? merupakan penelesaian dari persamaan diferensial Jawab: Sehingga: = f ( ) = ' = f '( ) = ' ( ) = = dan =. Dengan demikian, ' = = Jadi, fungsi f()= adalah penelesaian persamaan diferensial ' =,. 5

6 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 Contoh soal : Apakah suatu fungsi implisit (aitu fungsi dimana hubungan dari ke tidak tampak dengan jelas) ang didefinisikan sebagai + = merupakan penelesaian persamaan diferensial ' = pada [, ]? Jawab: + + = d = d d = = + d = ' =, (karena = ' ) d Jadi, fungsi implisit + = adalah penelesaian persamaan diferensial ' = pada [,], karena kurva fungsi + = atau + = adalah kurva lingkaran ang berada pada [, ]. Keterangan: Penelesaian suatu persamaan diferensial berbentuk =f() disebut fungsi eksplisit, sedangkan fungsi implisit, misalna g(,)=. 6

7 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 Contoh soal 3: Tentukan penelesaian persamaan diferensial '= sin. Penelesaian: Sehingga Maka '= sin ' = d d = sin = sin d = sin d = os +, = konstanta. Keterangan: i. Jika : konstanta sebarang, maka penelesaian persamaan diferensialna disebut penelesaian umum. ii. Jika konstanta memiliki nilai tertentu, maka penelesaian persamaan diferensialna disebut penelesaian khusus. Contoh soal 4: Apakah fungsi ' =? = e, = konstanta merupakan penelesaian persamaan diferensial Penelesaian: = e ' = e sehingga ' = e e =. Jadi, fungsi = e merupakan penelesaian persamaan diferensial ' = (dalam pengertian penelesaian umum, karena konstanta sebarang).. Penelesaian Umum dan Penelesaian Khusus Perhatikan ontoh soal 4 sebelumna. Dikemukakan bahwa persamaan diferensial ' = memiliki penelesaian umum = e, = konstanta sebarang. Jika peubah diberi nilai tertentu dan nilai fungsi penelesaianna ditetapkan, maka didapatkan nilai konstanta. Selanjutna, nilai konstanta tersebut disubstitusikan pada penelesaian umum, maka diperoleh penelesaian khusus. 7

8 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 Contoh : Persamaan diferensial ' = memiliki penelesaian umum: = e. Misal diberikan nilai = dan () =, maka = e = = (). Sehingga diperoleh penelesaian khusus : = e. Contoh : Pada persamaan diferensial ' sin = diperoleh penelesaian umum : Andaikan variabel diberi nilai = π dan π ( ) = 3, maka ( π) = osπ+ 3= + = Jadi, penelesaian khusus persamaan diferensial ' sin = adalah = os +. = os +. D. Aplikasi Persamaan Diferensial dalam Bentuk Pemodelan Matematis. Pengetahuan persamaan diferensial memiliki kontribusi ang besar pada bidang kajian dan pengembangan sains dan teknologi dalam bentuk pemodelan matematis terapan persamaan diferensial untuk memudahkan penelesaianna. Contoh soal : Buatlah pemodelan matematis dengan persamaan diferensial dari hukum-hukum benda jatuh di ruang hampa dengan gravitasi g= 9,8 m / det. Penelesaian: Model matematis dengan persamaan diferensial untuk Gravitasi (perepatan) benda jatuh sebagai berikut: d h g= = 9,8 ; h: tinggi dt sehingga diperoleh PD: d h 9,8=. dt Persamaan untuk keepatan benda jatuh: dh v( t) = = 9,8t+ v= gt+ v. dt 8

9 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 dh sehingga diperoleh PD: 9,8t v gt v dt = + = + Apabila diari persamaan tinggi benda jatuh, diperoleh: h( t) = gt + vt+ h untuk v = dan Contoh soal : h h t gt =, ( ) =. Tuliskan formulasi hukum pendinginan newton dalam bentuk persamaan diferensial dimana T(t) adalah suhu benda ang ditempatkan di dalam medium ang suhuna dijaga tetap T. Penelesaian: dt Formulasi ang diminta adalah k( T T ) dt =, Contoh soal 3: k : konstanta kesebandingan. Sebuah tangki penampung airan berisi galon air asin. Larutan air garam mengandung 75 pon garam larut. Kemudian larutan air garam ang berisi, pon garam per gallon dimasukkan ke dalam tangki dengan laju galon per menit dan air asin di dalam tangki dialirkan keluar dengan laju ang sama. Jika larutan air asin di dalam tangki dipertahankan agar homogen dengan tetap mengadukna, tentukan formulasi (pemodelan matematis) persamaan diferensial ang digunakan untuk penelesaian perhitungan banakna garam di dalam tangki. Penelesaian: Andaikan adalah banakna garam (dengan satuan pon) di dalam tangki pada t menit. Dari air asin ang dialirkan masuk, tangki mendapat tambahan, pon garam per galon, sehingga menjadi,4 pon per menit. Bersamaan air garam ang dimasukkan, dialirkan keluar dari tangki, sehingga formulasi perhitungan banakna garam di dalam tangki adalah 6, 4 dt = 6 atau + =, 4. 6 dt Jadi, formulasi ang dimaksud adalah ' +, 4=. 6 9

10 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 LATIHAN :. Tunjukkan bahwa setiap fungsi di kolom I merupakan solusi dari persamaan diferensial di kolom II pada interval a< < b. I II a. f ( ) = + 3e d + = + b.. f ( ) = e 5e 3 4 f = e ( ) 6 7 d. f ( ). a. Tunjukkan = + ( ) + 3 = solusi implisit persamaan diferensial 3 pada interval < <. d 7 + = d d d 3 + = 4 d d + d 4 d + d + = 3 b. Tunjukkan 5 = solusi implisit persamaan diferensial 5 pada interval < <. 3. a. Tunjukkan setiap fungsi f ang didefinisikan oleh ( ) f ( ) = + e 3 3 dengan sebarang kostanta, merupakan solusi persamaan diferensial + 3 = 3 e d 3 b. Tunjukkan setiap fungsi f ang didefinisikan oleh f ( ) = + e dengan sebarang kostanta, merupakan solusi persamaan diferensial 4 8 d + = d + + = d + = 3 3

11 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER PERTAMA A. Persamaan Diferensial Terpisahkan (PD separabel). Persamaan Diferensial Terpisahkan Terdapat persamaan diferensial order pertama ang dapat direduksi menjadi: g( ) ' = f ( ), dimana ' = d sehingga, g( ) f ( ) d =. Persamaan g( ) = f ( ) d merupakan persamaan diferensial terpisahkan. Bentuk g( ) = f ( ) d adalah ara lain untuk menuliskan persamaan diferensial g( ) ' = f ( ). Persamaan g( ) = f ( ) d disebut persamaan diferensial dengan peubah-peubah terpisahkan atau persamaan diferensial terpisahkan. Persamaan diferensial di atas, kemudian dikenakan operasi integral dan didapat g( ) = f ( ) d. Jika fungsi-fungsi f dan g kontinu, maka nilai integralna ada dan hasil integralna merupakan penelesaian persamaan diferensial tersebut. Contoh soal : Tentukan penelesaian persamaan diferensial 6 ' + 9=. Penelesaian: 6 ' + 9= 6 ' = d = 6= 9d 8 6= 9d 9 = +

12 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S =. Jadi, penelesaian persamaan diferensial di atas adalah =. Contoh soal : Tentukan penelesaian persamaan diferensial ' sin =. Penelesaian : ' sin = sin d = sin d = = sin d ln = os + os = e +. Latihan: Tentukan penelesaian persamaan diferensial berikut... + = ' = ' 3. 3 ' = 4. ' = 3os 5. ' tan π= 6. ' e + = ' = ' 8. = +

13 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3. Persamaan Diferensial Terpisahkan dengan Nilai Awal Pada bidang terapan masalah nilai awal memegang peranan penting untuk menentukan penelesaian khusus dari sebuah persamaan diferensial. Andaikan penelesaian khusus g() memenuhi kondisi awal pada suatu titik tertentu dan penelesaian () mempunai nilai tertentu, ditulis ( )=. Misal: () = berarti = jika = () = berarti = jika = π ( ) = berarti = jika = π Kondisi awal dari penelesaian suatu persamaan diferensial disebut nilai awal dan untuk penelesaianna harus ditentukan penelesaian khusus ang memenuhi sarat awal ang diberikan. Pemahaman masalah nilai awal berasal dari suatu realita pada terapan bahwa peubah bebas seringkali berupa faktor waktu, sehingga persamaanna berbentuk ( ) = ang merupakan situasi awal pada suatu peubah. Misal pada waktu tertentu didapat penelesaian dari suatu persamaan diferensial, maka penelesaian itu menunjukkan kondisi ang terjadi pada waktu kemudian misalna dalam bentuk () = a + b. Contoh soal : Tentukan penelesaian masalah nilai awal dari suatu persamaan diferensial: ' + =, () =. Penelesaian: ' + = Nilai awal : () = d = = d = d ln = ln + ln = e +. sehingga: = e =. 3

14 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 ln Jadi, penelesaianna adalah = e +. Contoh soal : Tentukan penelesaian masalah nilai awal pada persamaan diferensial: = =. ( ) ', () Penelesaian: = ( ) ' d ( + ) = ( + ) d = + + ( ) ( ) d = + + ( ) ( ) artan artan = artan + + artan =. Misal: artan = a dan artan = b sehingga menurut teori dalam persamaan trigonometri akni Sehingga: tan a+ tan b tan( a+ b) =. tan a tan b + tan =. + Jadi, = tan merupakan penelesaian umum persamaan diferensial di atas. Diberikan nilai awal () =, artina = jika =, sehingga + = tan tan =.. Jadi, penelesaian PD di atas adalah 4

15 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 + = atau =. + Soal- soal Latihan Tentukan penelesaian masalah nilai awal dari persamaan diferensial berikut.. ' + =, ( e) =. ' =, () = ' sin =, () = 3 ' =, () = 3 3 ' + =, () =. B. Persamaan Diferensial Homogen (PD dengan Transformasi) Diberikan suatu persamaan diferensial ' = g, dimana g adalah fungsi dari. Misal:. g =. h = os 3. i = +, dan lain-lain. Andaikan = u, dimana : fungsi dari, dan u: fungsi dari Sehingga : berarti : = u = d ( u ) = u + u ' d d ' u u ' d = = +. Jika ' = u+ u ' dikembalikan pada persamaan diferensial ' = g, maka diperoleh: 5

16 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 u+ u ' = g, ( ) u+ u ' = g u ( ) u ' = g u u g = g( u) Bentuk du g( u) u d = du d = g( u) u du d = g( u) u Penelesaianna: du d = g( u) u.. adalah persamaan diferensial terpisahkan. Jika fungsi g(u) diketahui, maka penelesaianna dapat ditentukan. Contoh soal : Tentukan penelesaian persamaan diferensial + = dengan transformasi ' u=. Penelesaian: + = dikalikan ' ' + = ' + = ; u = u u + = ; ' = u+ u ' ' u + uu ' u + = uu ' + u + = ( u ) uu ' = + 6

17 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 u du = u + d u du = d u + u du = d u + u + = + ln ln ln u e + + =, + = e ln + u= Karena ln e + bernilai positif sehingga diperoleh + = e ln + C + =. C : konstanta. Jadi, penelesaianna adalah C C + = atau =±. Contoh soal Tentukan penelesaian persamaan diferensial ' = ot( + ) dengan transformasi + = v. Penelesaian: Transformasi: Sehingga: ' = ot( + ). + = v = v ' = v '. v' = ot v v' = ot v 7

18 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 dv ot v d = dv= d ot v tan vdv= d tan vdv= d ln os v = + ln os v = ( + ) ; v= + ln os( + ) = ( + ) os( + ) = e + ( ) + = aros e + ( ) e + ( ) = + aros. Jadi, penelesaianna: e + ( ) = + aros. Latihan Dengan transformasi ang diberikan, tentukan penelesaian persamaan diferensial berikut.. ' = e ; = u. ' = ( ) ; = u 3. e ' = k( + e ) ; + e = u, k : konstanta ' = ; = u ' = ; + = u. + + C. Persamaan Diferensial Eat Persamaan diferensial order pertama berbentuk : M (, ) d+ N (, ) = () disebut persamaan diferensial eat jika ruas kiri merupakan diferensial total, aitu u u du= d+ () 8

19 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 dari suatu fungsi dua peubah f(,). Sehingga, persamaan () dapat ditulis: du= (3) Jika diintegralkan, maka diperoleh: u(, ) =, : konstanta. Dengan membandingkan persamaan () dan (), terlihat bahwa persamaan () bersifat pasti (eat) jika ada suatu fungsi f(,) ang bersifat a) b) u = M u = N Jika fungsi-fungsi M dan N terdefinisikan dan terdiferensiabel di semua titik pada bidang dalam kurva tertutup dan tidak memotong kurva fungsi itu sendiri, maka dari persamaan (4) diperoleh: M u = dan N u = Tampak bahwa dua turunan kedua di atas adalah sama, aitu (4) (5) u u = atau sehingga: u u = M N = merupakan sarat perlu dan sarat ukup agar Md+ N= merupakan persamaan diferensial eat.. Menentukan penelesaian persamaan diferensial eksak Fungsi u(, ) sebagai fungsi penelesaian persamaan diferensial eksak diperoleh melalui operasi pengintegralan sebagai berikut. a. Integralkan terhadap variabel, sehingga diperoleh: u= Md+ k( ) k() : konstanta pengintegralan dan nilaina dapat ditentukan dengan du N =. 9

20 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 b. Integralkan terhadap variabel, sehingga diperoleh: u= N+ l( ) l(): konstanta pengintegralan dan nilaina dapat ditentukan dengan du M d =. Contoh soal : Tentukan penelesaian persamaan diferensial ' + + 4=. Penelesaian: ' + + 4= ' = ( + 4) ( 4) d = + + ( + 4) d= ( + 4) d+ = Karena M M (, ) = + 4 = N N (, ) = =. M N =, maka ' = persamaan diferensial eksak. Fungsi penelesaian: Nilai konstanta l( ) : u(, ) = N+ l( ) = + l( ) = + l( ) u dl = M + = + 4 d dl d = 4 dl= 4d dl= 4d

21 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 l( ) = 4+, sehingga u(, ) = = = 4 = 4. Jadi, penelesaianna adalah fungsi = 4. Contoh soal : Tentukan penelesaian persamaan diferensial Penelesaian: Karena d + = M M (, ) = = N N (, ) = =. d + =. M N =, maka d+ = persamaan diferensial eksak. Selanjutna diari nilai k( ) u(, ) = Md+ k( ) = d+ k( ) k = + ( ). sehingga : u dk = N + = dk k( ) = =, u(, ) = + atau + =. Jadi, penelesaianna adalah + =.

22 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 LATIHAN Perlihatkan bahwa persamaan diferensial berikut adalah eksak dan tentukan penelesaianna.. d+ =. [( + ) e e ] d e = 3. e θ dr re dθ= 4. ( d) = 5. os d =. Faktor Pengintegralan Persamaan diferensial d+ = bukan merupakan persamaan diferensial eksak, karena M N. Namun dapat dibentuk menjadi persamaan diferensial eksak, jika dikalikan dengan f (, ) =, sehingga diperoleh d+ =, M N d+ =, karena = =. Dari ilustrasi di atas, tampak bahwa suatu persamaan M (, ) d+ N (, ) = belum tentu bersifat eksak. Selanjutna, untuk membentuk menjadi persamaan diferensial eksak, M (, ) d+ N (, ) = dikalikan dengan sebuah fungsi f (, ). Fungsi pengali f (, ) disebut fator pengintegralan (integrating fator).

23 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 Penelesaian persamaan diferensial d+ = ang tidak eksak dan penelesaian persamaan diferensial d+ = ang eksak hasilna harus sama. Perhatikan uraian berikut. Penelesaian ara : d+ = : persamaan diferensial tidak eksak, d= = d = d ln = + ln + = ; dikalikan + = ; = ln ln + = : penelesaian Penelesaian ara : d+ = : persamaan diferensial eksak ; u(, ) = N+ l( ) = + l( ) = + l( ) M (, ) =, N (, ) = u dl = M + = d dl= d 3

24 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 dl= d l( ) = ln + Sehingga: u(, ) = + ln + + ln + = + ln =, = ln + = : penelesaian. Jadi, penelesaian ara = penelesaian ara. Contoh soal : Dengan menggunakan faktor pengintegralan, selesaikanlah persamaan diferensial : Penelesaian: d =. d = Berarti: Karena M M (, ) = = N N (, ) = = M N, maka persamaan diferensial d = tidak eksak. Faktor pengintegralan ang digunakan aitu f (, ) =, sehingga: d = dikalikan d =. Tampak bahwa d = adalah persamaan diferensial eksak karena M N = =. Fungsi penelesaian: u(, ) = N+ l( ) 4

25 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 = + l( ) = + l( ) u dl = M + = d dl= d dl= d l( ) =. Jadi, penelesaian persamaan diferensial d = adalah fungsi + =. LATIHAN: Tentukan faktor pengintegralan dan penelesaian persamaan diferensial berikut.. ( + ) d ( + ) =. 3d+ = 3. 3 d+ = 4. sin d+ os = 5. os os d sin sin =. Ket: Cara mendapatkan faktor pengintegralan 5

26 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDER PERTAMA DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI A. Persamaan Diferensial Linear Order Pertama Bentuk umum : ' + p( ) = q( ) disebut persamaan diferensial linear order pertama, dan bersifat linear sedangkan p( ) dan q( ) sebarang fungsi dalam. Jika q( ) =, maka ' + p( ) = disebut persamaan diferensial linear homogen. Jika q( ), maka ' + p( ) = q( ) disebut persamaan diferensial linear tak homogen.. Menentukan penelesaian persamaan diferensial linear homogen dan persamaan diferensial tak homogen. a. Penelesaian persamaan diferensial linear homogen ' + p( ) = p( ) d + = = p( ) = p( ) d d = p( ) d = p( ) d ln = p( ) d+ ( ) = e p( ) d 6

27 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 dimana: = e jika > = e jika < = ang menghasilkan penelesaian trivial =. Jadi, penelesaian persamaan diferensial linear homogen order pertama : ' + p( ) = Adalah fungsi p( ) d ( ) = e. b. Penelesaian persamaan diferensial linear tak homogen ' + p( ) = q( ), dimana q( ) p( ) q( ) d + = + p( ) d= q( ) d + p( ) d q( ) d= + ( p q) d= ( p q) d+ =., dikalikan d Andaikan p q= P dan = Q, maka ( p q) d+ = dapat dibentuk menjadi Pd+ Q=. Jika P, suatu faktor pengintegralan P( ) = f P( ) d= df f P( ) d= = df f ln f P( ) d Sehingga: P( ) d f ( ) = e, P( ) d= h( ) P( ) = h'( ). f ( ) e h( ) =. 7

28 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 Dengan demikian, persamaan diferensial ' + p( ) = q( ) dikalikan dengan f ( ) e h( ) = diperoleh bentuk ( ) disederhanakan menjadi p e q e ( ) ( ) ' ( ) h h + = ( ), ( ' ) h h e p qe + =, dimana p= h ', sehingga : ( ' ' ) h h e h qe + =. Selanjutna: h h h ( e )' = e ' + e h', maka diperoleh: Jadi, h ( e )' = qe h h ( e )' d= h h e = qe d+ h qe d, h h = e qe d+ =. dimana h p( ) d Dengan demikian, penelesaian persamaan diferensial linear tak homogen ' + p( ) = q( ) adalah fungsi. h h = e qe d+ Contoh soal : Tentukan penelesaian persamaan diferensial linear homogen ' + =. Penelesaian: ' + = P ( ) d = d = +, konstanta diperhitungkan sama dengan nol. 8

29 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 Rumus penelesaian: ( ) = e = e. P( ) d Jadi, penelesaian persamaan diferensial linear homogen ' + = adalah fungsi ( ) = e. Cek ulang: sehingga ( ) = e '( ) = e, ' + = e + e = (benar). Contoh soal : Tentukan penelesaian persamaan diferensial tak homogen pula penelesaian khususna, jika diberikan nilai awal () =. 4 ' + =. Tentukan Penelesaian: sehingga 4 ' + = ; 4 p( ) =, q( ) = h( ) = p( ) d= d= ln e = e = e =, h ln h h h = e e q( ) d+ 4 = d+ = 4+. Jadi, penelesaian persamaan diferensial linear tak homogen = 4+. Penelesaian khusus jika diberikan nilai awal () =, = 4+ = 4. 4 ' + = adalah fungsi 9

30 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 Jadi, penelesaian khususna: LATIHAN: 4 = 4+. Tentukan penelesaian umum bagi persamaan diferensial berikut.. ' = 3. ' ot = 3. ' + a= e a a : konstanta 4. ' + = e 5. ' + = Tentukan penelesaian khusus bagi persamaan diferensial berikut dengan nilai awal ang diberikan.. ' = e, () =. 3. ' + = ( + ), () = 3 3 ' =, () = 4. ' + tan = os, () = 5. ' = ( + ), () = 6e. Terapan Persamaan Diferensial Order Pertama Bidang-bidang terapan persamaan diferensial adalah kajian-kajian sains (fisika, kimia, biologi) dan teknologi: otomotif, listrik, sipil, dan sebagaina. (Laju pertumbuhan, peluruhan, tingkat suku bunga) Contoh soal : Terapan pada bidang fisika Hukum pendinginan Newton diformulasikan sebagai : dt k( T T ) dt =, k : konstanta T(t) adalah suatu benda ang ditempatkan dalam medium ang sukuna tetap T. Tentukan penelesaian persamaan diferensial di atas jika suku awal benda T() = T. 3

31 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 Penelesaian: dt k( T T ) dt = = kt+ kt ) dt kt kt dt + =. k dt kt Faktor pengintegralan f ( t) = e = e, Sehingga : dt kt kt dt + = kt dt kt kt dt + =, e e kt e kt d Te dt kt ( ) kt e kt =, (dikalikan kt e ), d Te dt kt e dt dt kt kt ( ) =, kt kt Te = kt e +, k T= T+. kt e Nilai awal = suhu benda : T() = T sehingga T= T+ = T T. e T T Jadi, penelesaianna adalah T= T+. kt e Contoh soal : Terapan pada bidang Kimia. Bak penampung airan mula-mula berisi galon air garam dapur NaCl. Larutan tersebut mengandung 75 pon garam. Kemudian larutan air garam ang mengandung, pon garam per gallon dialirkan ke dalam tangki dengan laju galon per menit dan dalam waktu ang bersamaan, air garam dalam bak dialirkan keluar dengan laju galon per menit. Jika larutan iar garam di dalam bak dipertahankan supaa homogen dengan ara diaduk, tentukan kandungan garam di dalam tangki setelah jam. 3

32 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 Penelesaian: Andaikan kandungan air garam di dalam bak pada waktu t adalah pon, berarti tambahan aliran ang masuk, pon garam per menit dan ang keluar 6. Sehingga dapat dibentuk pemodelan matematis dalam bentuk persamaan diferensial:, dt = 6,, dt + 6 =. 6 Digunakan fator pengintegralan f (, t) = e. Sehingga:, dt + 6 = (dikalikan 6 e ), t t t e e,e dt + 6 =, t t d e 6 6 =, e dt, = dt t t d e 6 dt 6, e dt, t t 6 6 e =,.6e +, t 6 7e = +, t t 6 6 e e = 7+. t 6 e Nilai awal : () = 75 pon garam, berarti = 75 jika t= sehingga 75= 7+ = 3. Jadi, kandungan garam did lam bak setelah satu jam = 6 menit adalah 3 = 7+ e = 73,4 pon. t t 3

33 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 SOAL-SOAL LATIHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER PERTAMA Tentukan order dan jenis persamaan diferensial berikut apakah linear atau non linear.. sin os Selidiki apakah fungsi ang diberikan merupakan penelesaian persamaan diferensial berikut. 6.,, os 7. 3,, 8., , ;,. 5 4, ;, ln Selesaikan Bentuk Persamaan Diferensial berikut

34 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S Carilah penelesaian Umum Persamaan Diferensial berikut... sin Carilah penelesaian khusus dari persamaan diferensial berikut. 6., 7., 8., 9.,., Berikut ini diberikan Persamaan Diferensial berbentuk. Carilah penelesaianna.. sin tan sin 34

35 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 Selesaikan masalah nilai awal ang diberikan berikut ini. 6., 7., 8. ot, 9. sin,. 3, SOAL APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU.. Sebuah isotop radioaktif Thorium -34 meluruh dengan laju proporsional terhadap jumlahna. Jika mg material berkurang menjadi 8.4 mg dalam waktu minggu, tentukan a. bentuk modelna. b. jumlahna saat t. interval waktu ketika radioaktif meluruh menjadi setengah jumlah semula.. Andaikan jumlah uang ang didepositikan di bank mendapat bunga tahunan dengan laju r. Nilai S(t) dari modal pada waktu t bergantung pada frekuensi bunga majemuk (tahunan, bulanan, mingguan, atau harian). Diasumsikan bunga majemuk berjalan seara kontinu. a. Tuliskan bentuk laju perubahan modal ang didepositokan. b. Carilah jumlah modal ang didepositokan pada saat t. 3. Pada waktu t = sebuah bejana berisi Q pon garam ang dilarutkan dalam galon air. Diasumsikan air mengandung ¼ pon garam per galon ang sedang mengalir masuk bejana dengan laju r galon/menit kemudian dialirkan keluar bejana. a. Tentukan model laju perubahan aliran dalam bejana. b. Tentukan jumlah garam dalam bejana pada waktu t. 35

36 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S Diketahui laju pertumbuhan suatu kultur bakteri proporsional terhadap jumlahna pada waktu t dan jumlahna menjadi dua kali lipat dalam sehari. Berapa jumlah bakteri setelah 3 hari? Hitung juga setelah minggu. 5. Sebuah thermometer menunjukkan suhu 5 C, kemudian dibawa ke ruangan ang bersuhu C. Satu menit kemudian thermometer menunjukkan suhu C. Berapa lama dibutuhkan sehingga thermometer menunjukkan suhu.9 C ( C)? 6. Andaikan populasi tertentu memiliki laju pertumbuhan terhadap waktu berbentuk:. Jika ()=, tentukan waktu t dimana populasi menjadi dua kali lipat. 7. Andaikan suhu seangkir kopi menurut Hukum Newton tentang pendinginan (Newton s law of ooling) 95 C saat diampur dengan air mendidih. Satu menit kemudian suhu turun menjadi 85 C pada ruangan bersuhu 5 C. Tentukan kapan kopi tersebut menapai suhu 65 C. 8. Sebuah benda bermassa m diterjunkan dengan perepatan ang proporsional terhadap keepatanna (v). Diasumsikan perepatan gravitasi konstan. Jika model pada permasalahan ini berbentuk: arilah bentuk v(t) dari benda tersebut.. 36

37 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 SOAL PERSAMAAN DIFERENSIAL TRANSFORMASI Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan transformasi, , 8. 3 os, 9. se,. 4, 4. 4,dengan transformasi 4. 3., dengan transformasi, dengan transformasi dan 37

38 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 SOAL PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK Tentukan apakah persamaan diferensial berikut eksak atau tidak. Jika persamaan diferensial ang diberikan eksak, maka arilah penelesaianna sin sin os os 8. sin 3 3 sin 9. 6 ln,. ln ln,, Tentukan nilai b agar persamaan diferensial ang diberikan eksak. Kemudian arilah solusina untuk nilai b ang diperoleh... 38

39 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 DIKTAT PERSAMAAN DIFERENSIAL Disusun oleh: Dwi Lestari, M.S. JURUSAAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 3 39

40 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S Diketahui laju pertumbuhan suatu kultur bakteri proporsional terhadap jumlahna pada waktu t dan jumlahna menjadi dua kali lipat dalam sehari. Berapa jumlah bakteri setelah 3 hari? Hitung juga setelah minggu. 4

41 Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 DAFTAR PUSTAKA Boe W.E and DiPrima, R.C., 997, Elemntar Differential Equations and Boundar Value Problems. New York: John Wile & Sons.In. Kreszig, E.6. Advaned Engineering Mathematis, 9 th ed. New York: John Wile & Sons, In.Leithold, Louis, 993, Kalkulus dan Geometri Analitik, Jakarta : Erlangga. Purell, Erwin J., Dale Varberg,, Kalkulus, Batam : Interaksara. Ross, SL.984. Differential Equations. New York: John Wile & Sons.In. 4