SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT

Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Adalas, Kampus UNAND Limau Mais Padag, Idoesia. DeNiva04@gmail.com Abstrak. Peelitia ii membahas tetag bagaimaa sifat-sifat dari fugsi ekspoesial yag berbasis bilaga atural, yag diotasika dega f(x) = e x = exp(x), serta dapat didefiisika sebagai suatu limit dari dua fugsi yag berbeda, yaitu exp(x) = lim ( x ) 1 + atau exp(x) = lim ( x ). 1 Kata Kuci: Fugsi Kotiu Seragam, Barisa, da Limit Barisa 1. Pedahulua Bilaga e adalah suatu bilaga riil positif yag bersifat l e = 1. Bilaga e merupaka bilaga atural, da terkadag disebut sebagai bilaga Euler sebagai peghargaa atas ahli matematika Swiss, Leohard Euler. Seperti bilaga π, bilaga e adalah bilaga tak rasioal. Pada Tahu 1748, Euler memberika ide bahwa bilaga e adalah e = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + + 1! +. Dari [3], misalka a adalah suatu bilaga riil positif, a 1. Suatu fugsi f dikataka fugsi ekspoesial berbasis a jika memiliki kodisi berikut. f(x) = a x, da biasaya dikeal dega fugsi ekspoe umum. Dalam kajia ii peulis membahas fugsi ekspoesial utuk a = e yag diotasika dega e x = exp(x). Fugsi ekspoesial berbasis e dapat didefiisika sebagai berikut ( x ) lim 1 + = exp(x). (1.1) Dilai hal, fugsi ekspoesial juga dapat didefiisika dega ( x ). exp(x) = lim 1 (1.2) 12

Sifat-Sifat Fugsi Ekspoesial yag Didefiisika Sebagai Limit 13 Fugsi ekspoesial yag berbasis e sagatlah uik, karea dapat didefiisika sebagai suatu limit dari dua buah fugsi yag berbeda, yaitu pada persamaa (1.1) da persamaa (1.2). Oleh karea itu, peulis tertarik utuk megkaji sifat-sifat dari fugsi ekspoesial yag berbasis e yag dapat didefiisika sebagai limit dari dua buah fugsi yag berbeda. 2. Ladasa teori 2.1. Himpua da Fugsi Suatu himpua di dalam R dikataka terbatas dia atas jika himpua tersebut mempuyai batas atas, da dikataka terbatas dibawah jika himpua tersebut mempuyai batas bawah. Jika Suatu himpua dalam R mempuyai batas atas da batas bawah maka dikataka himpua tersebut terbatas. Misalka A da B adalah dua himpua tak kosog, f dikataka fugsi dari A ke B jika setiap usur di A dipetaka secara tuggal ke suatu usur di B, ditulis sebagai f : A B. Defiisi 2.1. [1] Misalka A R da f : A R. Fugsi f dikataka kotiu seragam pada A jika utuk setiap ε > 0, terdapat δ(ε) > 0 sedemikia sehigga jika x da u adalah sebarag titik di A yag memeuhi x u < δ(ε), maka f(x) f(u) < ε. 2.2. Barisa da Limit Barisa Barisa yag mempuyai suatu limit diamaka barisa koverge da barisa yag tidak mempuyai limit diamaka barisa diverge. Defiisi 2.2. [1] Misalka X = (x ) adalah barisa bilaga riil. Bilaga x R dikataka limit dari (x ) jika utuk setiap ε > 0 terdapat suatu bilaga K(ε) N sedemikia sehigga utuk setiap K(ε), suku ke berada dalam ligkuga ε dari x, yaitu x V ε (x). Defiisi 2.3. [1] Suatu barisa riil X = (x ) dikataka terbatas jika terdapat suatu bilaga M R dega M > 0, sedemikia sehigga x M utuk setiap N. Defiisi 2.4. [1] Barisa X = (x ) dikataka aik ( icreasig), jika memeuhi ketaksamaa x 1 x 2 x x +1, da dikataka turu ( decreasig) jika memeuhi x 1 x 2 x x +1. Barisa X dikataka mooto jika barisa tersebut aik atau turu. Bila suatu barisa memeuhi x 1 < x 2 < < x < x +1 < atau x 1 > x 2 > > x > x +1 >, maka berturut-turut diamaka barisa aik sejati atau turu sejati.

14 Eiva Ramadai Teorema 2.5. [1] Misalka X = (x ) adalah barisa mooto. Barisa X = x koverge jika da haya jika (x ) terbatas. Selajutya: (1) Jika barisa X = (x ) aik terbatas, maka lim(x ) = sup{x }. (2) Jika barisa Y = (y ) turu terbatas, maka lim(y ) = if{y }. 2.3. Fugsi Floor Defiisi 2.6. [2] Misalka x adalah suatu bilaga riil sebarag. Dapat didefiisika x = bilaga bulat terbesar yag kurag dari atau sama dega x, x = bilaga bulat terkecil yag lebih dari atau sama dega x. Bilaga x diamaka floor dari x da x diamaka ceilig dari x. 2.4. Iduksi Matematika Aksioma 2.7. [4] Misalka P () adalah suatu proposisi perihal bilaga asli, jika (1) P (1) bear, da (2) utuk setiap k 2, berlaku (P ( = k 1) P ( = k)), maka P () bear utuk semua N +. Proposisi 2.8. [5] Utuk sebarag bilaga o-egatif a 1, a 2,, a, a +1 berlaku a 1 + a 2 + + a + a +1 + 1 +1 a 1 a 2 a +1, (2.1) da berilai sama jika da haya jika a 1 = a 2 = = a = a +1. 3. Pembahasa Misalka x R, da misalka bilaga m 0 = m 0 (x) da 0 = 0 (x) didefiisika sebagai berikut: m 0 = m 0 (x) = mi{k N k > x} da 0 = 0 (x) = mi{k N k > x}. (3.1) Jadi, m 0 = 1 da 0 = x +1 jika x 0, da m 0 = x +1 da 0 = 1 jika x 0. Jelas bahwa, 1 + x > 0 utuk sebarag 0, da 1 x > 0 utuk sebarag m 0. Lema 3.1. [5] Misalka x R da defiisika barisa f (x) da g (x) sebagai berikut: { 0, < 0, f (x) = ( ) 1 + x da, 0 { 0, < m 0 g (x) = ( 1 x ), m0 Maka

Sifat-Sifat Fugsi Ekspoesial yag Didefiisika Sebagai Limit 15 (a) Barisa (f (x)) adalah aik utuk 0, yaitu f (x) f +1 (x), 0. Khususya, (f (x)) adalah aik utuk x 0 karea 0 = 1. (b) Barisa (g (x)) adalah turu utuk m 0, yaitu g (x) g +1 (x), m 0. Khususya, (g (x)) adalah turu utuk x 0 karea m 0 = 1. (c) 0 g (x) f (x) x2 g k 0 utuk sebarag k 0 = max{m 0, 0 }. (d) Terdapat Lebih jauh, f 0 (x) L g m0 (x). (e) Jika h < 1 maka Bukti. lim f (x) = sup{f (x) N}, da lim g (x) = lim f (x) = L. 1 + h (1 + h ) (1 h ) (1 h) 1 utuk semua 1. (a) Misalka 0 da a 1 = 1, a 2 = a 3 = = a +1 = 1 + x > 0. Perhatika bahwa: 1 + x + 1 ( + 1) + x =, + 1 = 1 + (1 + x ), + 1 = 1 + (1 + x ) + (1 + x ) + + (1 + x ), + 1 +1 1 ( 1 + x )( x ) ( x ) 1 + 1 + (dari Pertaksamaa (2.1)) (1 x ) = +1 + Jadi, barisa (f (x)) adalah aik karea f +1 (x) = ( 1 + x ) +1 ( x ) 1 + = f (x). + 1 Pertaksamaa ii juga terpeuhi utuk x = 0. (b) Misalka m 0 da a 1 = 1, a 2 = a 3 = = a +1 = 1 x > 0. Perhatika bahwa: 1 x + 1 ( + 1) x =, + 1 = 1 + (1 x ) + 1 = 1 + (1 x ) + (1 x ) + + (1 x ) + 1 +1 1 ( 1 x )( x ) ( x ) 1 1 (dari Pertaksamaa (2.1)) (1 x ). = +1

16 Eiva Ramadai Akibatya ( x ) +1 ( x ) 1 1 > 0. + 1 Jadi, barisa (g (x)) adalah turu karea g +1 (x) = ( 1 Pertaksamaa ii juga terpeuhi utuk x = 0. (c) Misalka k 0 = max{m 0, 0 }. Perhatika bahwa: x ) (+1) ( x ) 1 = g (x) + 1 g (x) f (x) = g (x) g (x) g (x) f (x) ( = g (x) 1 f ) (x) g (x) = g (x) (1 (1 + x ) ) (1 x ) = g (x) (1 { ( + x) } ) ( x) = g (x) (1 (2 x 2 ) ) ( 2 ) = g (x) (1 ( 2 2 x2 ) ) 2 = g (x) (1 ( 1 x2 ) ) 2 = g (x)(1 q ) dimaa q = 1 x2 2. Selajutya aka dibuktika bahwa k 0 > x. Misalka k 0 = max{m 0, 0 }. (1) Kasus 1. Utuk x 0. Diperoleh k 0 = max{1, x + 1} = x + 1 > x. Jadi x > k 0. (2) Kasus 2. Utuk x 0. Diperoleh k 0 = max{ x + 1, 1} = x + 1 > x. Jadi x < k 0. Dari Kasus 1 da Kasus 2 dapat disimpulka bahwa k 0 > x. Karea 0 x2 < 1 maka q = 1 x2 2 1. Akibatya 0 < q 1, sehigga 2 q 1 q 1 1 q 0. Jelas bahwa, g (x) f (x) 0 utuk k 0.

Sifat-Sifat Fugsi Ekspoesial yag Didefiisika Sebagai Limit 17 Perhatika bahwa 0 g (x) f (x) = g (x)(1 q ) = g (x)(1 q)(1 + q + q 2 + + q 1 ) = g (x) x2 2 (1 + q2 + + q 1 ) g k0 (x) x2 (1 + 1 + + 1) 2 = x2 g k 0 (x). Sehigga dapat disimpulka bahwa 0 g (x) f (x) x2 g k 0 (x) utuk k 0. (3.2) Dari Pertaksamaam (3.2), misal diberika ε > 0, jika dipilih suatu bilaga asli N > x2 g k0 (x) ε dega N k 0 maka g (x) f (x) 0 = g (x) f (x) x2 g k 0 < ε utuk > N. Ii meujukka bahwa lim (g (x) f (x)) = 0. (3.3) (d) Misalka k 0 = max{m 0, 0 } m 0. Berdasarka sifat (b) da (c), maka (i) g (x) g k0 (x) (ii) Utuk semua k 0, g (x) f (x) 0 (dari Pertaksamaa (3.2) f (x) g (x) g k0 (x). Ii meujukka bahwa barisa (f (x)) terbatas di atas utuk setiap x R da lim f (x) = L, dimaa L = sup{f (x) N} = sup{f (x) 0 }. Perhatika bahwa lim g (x) = lim ((g (x) f (x)) + f (x)) = lim (g (x) f (x)) + lim f (x) = 0 + L (dari Persamaa (??) = L. Jadi lim f (x) = lim g (x) = L. (e) Misalka h < 1, pertama aka ditujukka m 0 = 0 = 1. Perhatika dua kasus berikut: (i) Utuk 1 < h 0, maka m 0 = 1 da 0 = [ h] + 1. Karea h tidak perah mecapai ilai -1, maka [ h] = 0. Akibatya m 0 = 0 = 1. (ii) Utuk 0 h < 1, maka 0 = 1 da m 0 = [h] + 1.Karea h tidak perah mecapai ilai 1, maka [h] = 0. Akibatya m 0 = 0 = 1.

18 Eiva Ramadai Dari (i) da (ii) meujukka bahwa m 0 = 0 = 1, serta dari (a), (b), da (c) diperoleh 1 + h = f 1 (h) f (h) g (h) g 1 (h) = (1 h) 1 utuk sebarag 1.. (3.4) Dari Lemma ( ) 3.1 telah dibuktika eksistesi da kesamaa dari kedua limit yaitu lim 1+ x ( = lim 1 x ) utuk setiap x R. Jadi fugsi ekspoesial : R (0, ) dapat ditulis sebagai berikut: exp(x) = lim ( 1 + x ) = lim ( x ), 1 x R. (3.5) Jelas bahwa exp(0) = 1. Nilai dari exp(1) adalah suatu betuk khusus yag disebut bilaga e, yag didefiisika sebagai berikut e = lim (1 + 1 ) 2.71828182846. Fugsi yag didefiisika oleh (3.5) disebut dega fugsi ekspoesial berbasis e, diotasika dega e x. Berikut diberika sifat-sifat dari fugsi ekspoesial. Proposisi 3.2. [5] Misalka x R. (i) Jika x > 1 maka exp(x) > 1 + x. Khususya, exp(x) > 1 utuk x > 0. (ii) Jika x < 1 maka exp(x) 1 1 x. Khususya, exp(x) < 1 jika x < 0. Bukti. Misalka x R. (i) Jika x > 1 maka 0 = x + 1 = 1. Berdasarka Lemma 3.1 (a) da (d), diperoleh exp(x) (1 + x 2 )2 > (1 + x 1 )1 = 1 + x. (ii) Jika x < 1 maka m 0 = x + 1 = 1. Bedasarka Lemma 3.1 (c), diperoleh f (x) g (x) utuk setiap k 0 = max{m 0, 0 }. Berdasarka Lemma 3.1 (b), maka f (x) g (x) g 1 (x). Jika utuk, maka berdasarka Lemma 3.1 (d) diperoleh lim f (x) g 1 (x), = (1 x 1 ) 1 = 1 1 x. Proposisi 3.3. [5] Utuk sebarag x, y R berlaku exp(x + y) = exp(x) exp(y) = exp(y) exp(x). Khususya exp( x) = (exp(x)) 1 = 1 exp(x) utuk setiap x R.

Sifat-Sifat Fugsi Ekspoesial yag Didefiisika Sebagai Limit 19 Bukti. Misalka barisa (f (x)), (f (y)), da (f (x + y)) didefiisika sebagai berikut: f (x) = ( 1 + x ), f (y) = ( 1 + y ), da f (x + y) = ( 1 + x + y ), dimaa k 0 > x + y. Defiisika barisa (h()) sebagai berikut: Perhatika bahwa h() = xy + x + y. xy lim h() = lim + x + y = 0. Jika dipilih bilaga yag cukup besar N, sehigga h() < 1 utuk N. Perhatika bahwa f (x) f (y) f (x + y) = (1 + x ) (1 + y ) (1 + x+y ) = ( + x) ( + y) ( + x + y) ( 2 + x + y + xy ) = 2 + x + y ( = 1 + h() ) utuk semua N. (3.6) Berdasarka pertaksamaa (3.2) da pertaksamaa (3.4) jelas bahwa Perhatika bahwa 1 + h() (1 + h() ) = f (x) f (y) (1 h()) 1. f (x + y) lim (1 + h()) = lim + lim h() = 1 + 0 = 1 da lim (1 h()) 1 = lim 1 1 h() = 1 Karea lim (1 + h()) = lim (1 h()) 1 = 1, sehigga diperoleh: lim f (x) f (y) f (x + y) = 1.

20 Eiva Ramadai Perhatika bahwa exp(x) exp(y) exp(x + y) exp(x) exp(y) = lim exp(x + y) exp(x) exp(y) = 1 exp(x + y) exp(x) exp(y) = exp(x + y). = lim f (x) lim f (y) lim f (x + y) f (x) f (y) f (x + y) Proposisi 3.4. [5] Misalka t, x R jika t < x, maka exp(t) < exp(x) da fugsi ii aik sejati pada R. Bukti. Jika x > t maka x t > 0 da berdasarka Lema 3.1 (1), maka exp(x t) > 1. Perhatika bahwa exp(x) = exp((x t) + t), = exp(x t) exp(t) > 1 exp(t), = exp(t). Sehigga diperoleh exp(t) < exp(x). Proposisi 3.5. [5] Jika x > 0 maka 0 < exp(x) 1 x exp(x). Bukti. Misalka N, perhatika bahwa ( 0 < 1 + x ) x ( (1 1 = (1 + 1) x ) 1 ( x ) ) 2 + + 1 + +... + 1 < x ( (1 x ) ( x ) ( x ) ) + + 1 + +... + 1 + = x ( 1 + x ) ( x ) = x 1 + < x exp(x). Akibatya 0 < ( 1 + x ) 1 < x exp(x) utuk sebarag N. Jika, pertaksamaa terakhir mejadi 0 < exp(x) 1 x exp(x). (3.7) Proposisi 3.6. [5] Fugsi ekspoesial adalah fugsi kotiu pada R, yaitu apabila diberika suatu bilaga a R da sebarag ε > 0, maka dapat diperoleh suatu bilaga δ = δ(ε, a) > 0 sedemikia sehigga jika x a < δ maka exp(x) exp(a) < ε. Bukti. Pertama-tama aka ditujukka bahwa pertaksamaa berikut berlaku. exp(t) 1 3 t utuk t < 1. (3.8) (a) Kasus t = 0, jelas bahwa pertaksamaa ii berlaku. (b) Kasus t 0:

Sifat-Sifat Fugsi Ekspoesial yag Didefiisika Sebagai Limit 21 (1) Jika 0 < t < 1 maka exp(t) < exp(1) = e < 3. Akibatya, berdasarka Pertaksamaa (3.7) diperoleh 0 < exp(t) 1 t exp(t) 0 < exp(t) 1 < 3t. (2) Jika 1 < t < 0, maka berlaku Lema 3.1 (1), yaitu exp(t) < 1. Dilai hal, 0 < t < 1 da akibatya Perhatika bahwa 0 < exp( t) 1 < 3( t) = 3 t. exp(t) 1 = exp(t) exp(t) 1 exp(t) = exp(t) exp(t) (exp(t)) 1 = exp(t) exp(t) exp( t) = exp(t)(1 exp( t) = exp(t) 1 exp( t) = exp(t) (exp( t) 1) = exp(t) 1 (exp( t) 1) = exp(t) 1 (exp( t) 1) < exp(t) 3 t = 3 exp(t) t < 3 t. Pertaksamaa (3.8) telah terbukti. Misalka ε > 0 da a R. Perhatika ilai dari x dimaa x a < 1. Pilih t = x a utuk Pertaksamaa (3.8) sehigga diperoleh: Perhatika bahwa exp(t) 1 = exp(x a) 1 < 3 x a. exp(x) exp(a) = exp(t + a) exp(a) = exp(t) exp(a) exp(a) dari Pertaksamaa (3.6) = exp(a) exp(t) 1 < exp(a) 3 x a = 3 exp(a) x a. Akibatya, pilih { } ε δ(ε) = mi 1,, 3 exp(a) maka berlaku 0 < x a < δ(ε) exp(x) exp(a) = exp(t + a) exp(a) < ε. Karea ε > 0 sebarag, maka dapat disimpulka bahwa f(x) = exp(x) kotiu seragam di R. Hal ii juga meujukka bahwa f(x) = exp(x) kotiu di R.

22 Eiva Ramadai 4. Kesimpula Fugsi ekspoesial yag berbasis e dapat didefiisika sebagai berikut ( x ) ( x ), exp(x) = lim 1 + = lim 1 x R, da memiliki beberapa sifat, atara lai sebagai berikut: (1) Misalka x R. (i) Jika x > 1 maka exp(x) > 1 + x. Khususya, exp(x) > 1 utuk x > 0. (ii) Jika x < 1 maka exp(x) 1 1 x. Khususya, exp(x) < 1 jika x < 0. (2) Sifat perkalia ekspoesial, yaitu exp(x + y) = exp(x) exp(y) = exp(y) exp(x) utuk sebarag x, y R. Khususya exp( x) = (exp(x)) 1 = 1 exp(x) utuk setiap x R. (3) Misalka t, x R dega t < x, maka exp(t) < exp(x) da fugsi ii aik sejati pada R. (4) Jika x > 0 maka 0 < exp(x) 1 x exp(x). (5) Fugsi ekspoesial adalah fugsi kotiu pada R. 5. Ucapa Terima kasih Peulis megucapka terima kasih kepada Bapak Dr. Dodi Deviato, Bapak Zulakmal, M.Si da Ibu Dr. Yaita yag telah memberika masuka da sara dalam peyempuraa peulisa artikel ii. Daftar Pustaka [1] Bartle, R.G. ad D.R. Sherbert. 2000. Itroductio to Real Aalysis. New York: Joh Wiley ad Sos [2] Clark, W. Edwi. 2002. Elemetary Number Theory. Florida: Departmet of Mathematics Uiversity of South Florida [3] Fiey, Ross L., Frakli D. Demaa, Bert K. Waits, ad Daiel Keedy. 2000. Calculus: A Complete Course, Secod Editio. Amerika: Addiso Wesley Logma [4] Morris, Dave Witte ad Joy Morris. 2009. Proofs ad Cocepts the Fudametals of Abstract Mathematics. New York: Uiversity at Albay [5] Salas, Alvaro H. 2012. The expoetial fuctio as a limit. Applied Mathematical Scieces. 6: 4519 4526