Universitas Inonusa Esa Unggul Faultas Ilmu Komputer Teni Informatia Integral Lipat ua
Integral Lipat ua Misalan z = f(,) terefinisi paa merupaan suatu persegi panjang tertutup, aitu : = {(, ) : a b, c } b a z c (, ) Z=f(,). Bentu partisi [a,b] an [c,] menjai n bagian.. Pilih (, ) paa setiap sub interval paa [ i, i- ] an [ i, i- ] 3. Bentu jumlah iemann. 4. Jia n ( P ) iperoleh limit jumlah iemann. n n lim f (, ) A Jia limit aa, maa z = f(,) terintegralan iemann paa, itulis n n f (, ) A lim f (, ) A 3/3/3 KALKULUS LANJUT i n n n i i f ( i n, i ) i A
Integral Lipat ua efinisi integral lipat ua : Misalan f suatu fungsi ua peubah ang terefinisi paa suatu persegi panjang tertutup. n Jia lim f (, ) A aa, ita ataan f apat P iintegralan paa. Lebih lanjut f (, ) A lim P n f ( 3/3/3 KALKULUS LANJUT 3, ) A f (, )A f (, ) ang isebut integral lipat ua f paa iberian oleh : atau f (, ) lim P n f (, )
Arti Geometri Integral Lipat ua Jia z = f(,) ontinu, f(,) paa persegpanjang, maa f (, ) A menataan volume bena paat ang terleta i bawah permuaan permuaan z = f(,) an i atas. 3/3/3 KALKULUS LANJUT 4
Menghitung Integral Lipat ua Jia f(,) paa, maa volume apat ihitung engan metoe irisan sejajar, aitu: (i) Sejajar biang XOZ z z= f(,) z A() b a A() c a b b A ( ) f(, ) a 3/3/3 KALKULUS LANJUT 5
Menghitung Integral Lipat ua (Lanjutan) f (, ) A A( ) b f (, ) b f (, ) c c a c a Maa f (, ) A b f (, ) c a 3/3/3 KALKULUS LANJUT 6
Menghitung Integral Lipat ua (lanjutan) (ii) Sejajar biang YOZ z z= f(,) z A() A() b a c c A ( ) f(, ) c 3/3/3 KALKULUS LANJUT 7
Menghitung Integral Lipat ua (Lanjutan) f (, ) A A( ) b b f (, ) b f (, ) a a c a c Maa f (, ) A b f (, ) a c 3/3/3 KALKULUS LANJUT 8
Contoh. Hitung integral lipat ua beriut ini : 4 imana = {(,) 6, 4} Jawab: 6 A 6 4 6 3 3 4 6 4 3 8 3 4 8 3 A 6 3 88 56 544 3/3/3 KALKULUS LANJUT 9
Contoh Atau, A 4 6 4 3 3 6 4 7 4 3 4 88 56 544 7 3/3/3 KALKULUS LANJUT
Contoh. Hitung integral lipat ua beriut ini : sin / imana = {(,) /, /} Jawab: sin A / / / / sin cos( ) 6 sin cos / sin / cos / A sin sin sin 3/3/3 KALKULUS LANJUT
Latihan. Hitung a. e b.. f, untu fungsi. c a. f(,)= ( + ) engan = [-, ] [, ] b. f(,)= + engan = [, ] [, ] c. f(,)= 3 cos engan = [- /, ] [, ] 3/3/3 KALKULUS LANJUT
Sifat Integral Lipat ua Misalan f(,) an g(,) terefinisi i persegipanjang. f, A f, A. f, g, A f, A g, A 3. Jia = +, maa f, A f, A f, A 4. Jia f(,) g(,), maa f, A g, A 3/3/3 KALKULUS LANJUT 3
Integral Lipat ua atas aerah Sembarang Aa ua tipe Tipe I = {(,) a b, p() q() } Tipe II = {(,) r() s(), c } 3/3/3 KALKULUS LANJUT 4
Tipe I q() Integral lipat ua paa aerah apat ihitung sebagai beriut : p() f (, ) A b q( ) f (, ) a p( ) a b ={(,) a b, p() q()} 3/3/3 KALKULUS LANJUT 5
Tipe II Integral lipat ua paa aerah apat ihitung sebagai beriut : c r () s () f (, )A c s() r() f (, ) ={(,) r() s(), c } 3/3/3 KALKULUS LANJUT 6
Aturan Integrasi Urutan pengintegralan alam integral lipat ua tergantung ari bentu (aerah integrasi). alam perhitunganna, aangala ita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini apat isebaban engan perubahan urutan pengintegralan aan memuahan alam proses integrasina. Oleh arena itu, langah pertama ita harus apat menggambaran aerah integrasi, selanjutna ita apat merubah urutan integrasi engan mengacu paa setsa aerah integrasi ang sama. 3/3/3 KALKULUS LANJUT 7
Contoh. Hitung e A, ibatasi =, =, sumbu = = {(,), } e A e e e e e e 3/3/3 KALKULUS LANJUT 8
Contoh Atau ibali urutan pengintegralanna, aitu: = {(,), } = e A e e e e e e e e e ( ) e 3/3/3 KALKULUS LANJUT 9
4 Contoh. e Jawab: aerah integrasina = {(,) 4, / } iubah urutan pengintegralanna, aitu: = {(,), } Sehingga == / 4 4 e 4 e e 3/3/3 KALKULUS LANJUT e e e
Latihan.. 7. 3 3 e 3 sin cos 4 3. 4. 8. sin( ) cos sin 5. 4 e 3 6. e 3/3/3 KALKULUS LANJUT
Integral lipat alam oorinat utub/polar Hitung e A, ={(,) + 4} alam sistem oorinat artesius, integral ini sulit untu iselesaian. Sistem Koorinat Kutub r P(r, ) Hubungan Kartesius Kutub = r cos + =r = r sin = tan - (/) r = (sumbu utub) 3/3/3 KALKULUS LANJUT
Transformasi artesius e utub Misalan z = f(,) terefinisi paa persegipanjang utub ={(r, ) a r b, } f(, ) A? A r=a r=b A = = r - Sumbu Kutub Jia P, maa A = r r r Panang satu partisi persegi panjang utub A Luas juring lingaran engan suut pusat aalah ½ r A = ½ r - ½ r - = ½ (r - r - ) = ½ (r + r - ) (r - r - ) = r r ( P panjang iagonal A) 3/3/3 KALKULUS LANJUT 3
Transformasi artesius e utub Sehingga f (, ) A f( r cos, r sin ) r r p Contoh:. Hitung. Hitung e A A, ={(,) + 4}, aalah aerah i uaran I i alam lingaran + =4 an i luar + = 3/3/3 KALKULUS LANJUT 4
Contoh. e A engan = {(,) + 4} Jawab. aalah aerah i alam lingaran engan pusat (,) jari-jari. = {(r, ) r, } Sehingga e A e r e e 4 4 e r r 3/3/3 KALKULUS LANJUT 5 r r
Contoh. A engan aalah persegipanjang utub i uaran I i alam lingaran + =4 i luar + = = {(r, ) r, /} Sehingga r A / / 3 3 8 r r 3 sin cos 3/3/3 KALKULUS LANJUT 6 3 / r 7 / r sin sin 7 3 r
Latihan. Hitung. Hitung 4 sin( ) 3. Tentuan volume bena pejal i otan I i bawah paraboloi z = + an i alam tabung + = 9 engan menggunaan oorinat utub. 3/3/3 KALKULUS LANJUT 7
aerah sembarang/umum. ={(r, ) ( ) r ( ), }. ={(r, ) a r b, (r) (r)} r= ( ) r= ( ) = = r=a r=b = (r) = (r) Sumbu Kutub Sumbu Kutub 3/3/3 KALKULUS LANJUT 8
Tulisan aerah integrasi alam oorinat polar Terlihat bahwa aalah lingaran engan pusat i (,) an berjari-jari Jai, ( ) + = + + = + = r = r cos r r cos = r (r cos )= r = atau r = cos Untu batas (ari gambar) = / = / Sehingga, ={(r, ) r cos, / /} 3/3/3 KALKULUS LANJUT 9
Tulisan aerah integrasi alam oorinat polar = /4 = = = = = + = ( ) + = ini merupaan lingaran pusat (,), jari-jari Untu batas r ihitung mulai = r cos = r = sec hingga r = cos Untu batas (ari gambar) = = /4 Sehingga oorinat polarna aalah ={(r, ) sec r cos, /4} 3/3/3 KALKULUS LANJUT 3
Tulisan aerah integrasi alam oorinat polar Terlihat bahwa aalah lingaran engan pusat i (,) an berjari-jari Jai, + ( ) = + + = + = r = r sin r r sin = r (r sin )= r = atau r = sin Untu batas (ari gambar) = = Sehingga, ={(r, ) r sin, } 3/3/3 KALKULUS LANJUT 3
Tulisan aerah integrasi alam oorinat polar = = = = Untu batas r = r cos = r = sec Untu batas (ari gambar) = = /4 Sehingga oorinat polarna aalah ={(r, ) r sec, /4} 3/3/3 KALKULUS LANJUT 3
Contoh. Hitung Jawab: ari soal terlihat batas untu an : = = = = = + = ( ) + = ini merupaan lingaran engan pusat (,), jari-jari = /4 Koorinat polarna aalah ={(r, ) sec r cos, /4} 3/3/3 KALKULUS LANJUT 33
Contoh (Lanjutan) Sehingga, / 4 cos sec. r r r / 4 r sin cos sec ln sec / 4 cos sec tan / 4 sin ln sec tan sin ln sec 4 4 4. ln ln ln tan 3/3/3 KALKULUS LANJUT 34
Latihan. Hitung. Hitung S r r, S aerah alam lingaran r = 4 cos an i luar r = (engan oorinat utub) 3. Hitung 4 A, aerah uaran I ari lingaran + = antara = an = 3/3/3 KALKULUS LANJUT 35