PERSAMAAN DIFFERENSIAL. Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika

Transkripsi

1 PERSAMAAN DIFFERENSIAL Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Disusun oleh: Aurey Devina B Irul Mauliia Anhy Ramahan Azhar Fuai P Murni Mariatus S SEKOLAH TINGGI KESEHATAN WIDYA CIPTA HUSADA MALANG 2012

2 DAFTAR ISI Daftar Isi...2 Pengertian Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Eksponen Persamaan Diferensial Logaritma Persamaan Diferensial Trigonometri...8 Daftar Pustaka...13 Pembagian Tugas...14 Matematika oc. Page 2

3 PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Pengertian persamaan iferensial Persamaan ifferensial aalah persamaan matematika untuk suatu fungsi tak iketahui ari satu atau beberapa peubah yang menghubungkan nilai ari fungsi tersebut engan turunannya seniri paa berbagai erajat turunan (Leer, 2005,p16). Suatu persamaan ifferensial isebut persamaan ifferensial biasa, jika semua turunannya berkaitan engan satu peubah saja, an isebut persamaan ifferensial parsial, jika turunannya berkaitan engan ua atau lebih peubah. Ore ari persamaan ifferensial aalah erajat tertinggi ari turunan alam persamaan yang bersangkutan. Himpunan ari n persamaan ifferensial oresatu engan n menyatakan banyaknya persamaan yang tiak iketahui isebut sistem persamaan ifferensial ore-satu; n aalah imensi ari sistem yang bersangkutan. pengertian lain yang perlu iketahui aalah persamaan ifferensial otonom. Suatu persamaan ifferensial biasa atau suatu sistem persamaan ifferensial biasa isebut otonom jika peubah bebasnya tiak tampak secara eksplisit alam persamaannya (Leer, 2005, p16). Persamaan iferensial apat ibeakan menjai 2 macam, yang tergantung paa jumlah variabel bebas. Apabila persamaan tersebut menganung hanya satu variabel bebas, persamaan isebut angan persamaan iferensial biasa, an jika menganung lebih ari satu variabel bebas isebut persamaan iferensial parsial. Deraja (orer) ari persamaan iferensial itentukan oleh eraja tertinggi ari turunannya. 1. Persamaan iferensial biasa (PDB) aalah persamaan iferensial i mana fungsi yang tiak iketahui (variabel terikat) aalah fungsi ari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling seerhana fungsi yang tiak iketahui ini aalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan iferensial biasa igolongkan berasarkan ore tertinggi ari turunan terhaap variabel terikat yang muncul alam persamaan tersebut. 2. Persamaan iferensial parsial (PDP) aalah persamaan iferensial i mana fungsi yang tiak iketahui aalah fungsi ari banyak variabel bebas, an persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Ore persamaan iefinisikan seperti paa persamaan iferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke alam persamaan eliptik, hiperbolik, an parabolik, Matematika oc. Page 3

4 terutama untuk persamaan iferensial linear ore ua, sangatlah penting. Beberapa pesamaan iferensial parsial tiak apat igolongkan alam kategori-kategori tai, an inamakan sebagai jenis campuran. Baik persamaan iferensial biasa maupun parsial apat igolongkan sebagai linier atau nonlinier. Sebuah persamaan iferensial isebut linier apabila fungsi yang tiak iketahui an turunannya muncul alam pangkat satu (hasilkali tiak ibolehkan). Bila tiak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut aalah nonlinier. Sebagai contoh persamaan iferensial biasa ibawah ini : ore 1 ore 2 Persamaan iferensial biasa engan oro n, merupakan persamaan engan satu perubah ( variabel) yang apat ituliskan alam bentuk : engan y = f(x) Penyelesaian persamaan ifferensial oro satu apat lebih ari satu, sehingga untuk mencari penyelesaian yang unik atau khusus memerlukan informasi tambahan berupa harga awal. Matematika oc. Page 4

5 Metoe Euler aalah salah satu ari metoe satu langkah yang paling seerhana ibaningkan engan beberapa metoe lainnya, metoe ini paling kurang teliti. Persamaan Metoe Euler apat ituliskan sebagai berikut : y n = y n-1 + h. f ( x n -1,y n- 1 ) ; n = 1,2, 3, engan : x n = nilai x yang itanya nilai fungsinya x 0 = nilai x awal. n = bilangan bulat B Macam macam Persamaan Deferensial 1. Persamaan eferensial eksponen Persmaan eferensial eksponen aalah persamaan eferensial yang ialamnya terapat pangkat yang berbentuk fungsi alam x(x sebagai pengubah). Berikut ini aalah rumus yang terkait engan persamaan eferensial eksponen No. y = f(x) 1 k, k aalah konstanta 0 y = f (x) 2 x n nx n-1, n Riil 3 e x e x 4 e kx ke kx 5 a x a x ln(a) Sifat-sifat turunan. Jika f(x) an g(x) aalah ua fungsi yang mempunyai turunan yaitu f (x) an g (x) maka berlaku : 1. (k f) (x) = k f (x) 2. (f + g) (x) = f (x) + g (x) 3. (f g) (x) = f (x) g (x) Matematika oc. Page 5

6 4. (f. g) (x) = f (x). g(x) + f (x). g (x) f g 5. x ' ' f ( x). g( x) g( x) 2 ' f ( x). g ( x), g(x) 0 untuk ua sifat (rumus) terakhir apat iringkaskan agar memuahkan kita untuk menghafalnya, yaitu engan cara memisalkan u = f(x) maka u = f (x) an v = g(x) maka v = g (x). sehingga ua rumus terakhir apat ituliskan sebagai berikut : (u. v) (x) = u. v + u. v an ' ' u u. v u. v ( x) 2 v v ', v 0. Selanjutnya, contoh-contoh berikut akan menjelaskan bagaimana aftar (rumus) asar turunan an sifatnya apat igunakan alam menyelesaikan persoalan turunan untuk fungsi seerhana.. Contoh : Tentukan turunan ari fungsi y = x 4 + 5x 3 4x 2 + 7x 2. Penyelesaian y = x 4 + 5x 3 4x 2 + 7x 2, berasarkan rumus no.1 an 2 paa aftar maka y = 4x (3x 3-1 ) 4 (2x 2-1 ) + 7 (x 1-1 ) 0 = 4x x 2-8x Logaritma Sebelum mencari turunan logaritma natural maka kita harus mengingat bilangan natural e Bilangan natural bisa iefinisikan sebagai berikut Nah, sekarang kita akan menurunkan fungsi f(x) = ln x,maka Matematika oc. Page 6

7 sekarang misalkan y = h/x misal h = xy atau 1/h = 1/(xy). Karena h ->0 maka y -> 0 Jai Jai turunan ari f(x) = ln x aalah Aturan rantai bisa ipakai paa logaritma natural ini, jai Matematika oc. Page 7

8 Contoh 1 : Tentukan turunan pertama ari y = ln (8x +1) Jawab : Contoh 2 : Tentukan turunan pertama ari y = ln 9x aalah... Jawab : Cara I : Cara II y = ln 9x = ln 9 + ln x, maka (ln 9 aalah konstanta, jai turunannya = 0) 3 Trigonometri Trigonometri atau yang juga ikenal sebagai ilmu ukur segitiga aalah salah satu ari cabang ilmu matematika yang sangat terkenal an telah igunakan sejak ribuan tahun yang lalu. Mungkin banyak iantara kita yang tiak mengetahui bahwa Trigonometri telah banyak igunakan untuk mengungkap banyak misteri alam yang paa akhirnya banyak membantu manusia alam biang sains an teknologi. Turunan Sinus an Kosinus Paa asarnya turunan sinus an kosinus mengacu paa efinisi turunan, namun hasilnya telah iringkaskan paa teorema berikut : Teorima 1 Fungsi-fungsi f(x) = sin x an g(x) = cos x, keuanya mempunyai turunan (apat iiferensialkan) yaitu turunan sin x aalah f (x) = cos x an turunan cos x aalah g (x) = - sin x. Matematika oc. Page 8

9 Dengan menggunakan teorema iatas an rumus turunan hasil kali serta turunan hasil bagi, maka apat i tentukan rumus turunan fungsi trigonometri lainnya yang inyatakan paa teorema berikut. Contoh : Tentukan turunan ari fungsi y = 3 sin x 2 cos x. Penyelesaian. y = 3 sin x 2 cos x, maka y = 3 (sin x) - 2 (cosx) = 3 cos x - 2 (- sin x) = 3 cos x + 2 sin x. Teorima 2 Jika (sin x) = cos x an (cosx) = sin x, maka : 1. (tan x) = sec 2 x. 2. (cotanx) = - cosec 2 x. 3. (secx) = sec x. tan x. 4. (cosecx) = - cosec x. cotan x. Contoh : Tentukan turunan ari fungsi y = 3 sin 2x. Penyelesaian. y Untuk menentukan terlebih ahulu kita uraikan fungsi sin 2x engan menggunakan kesamaan trigonometri yaitu sin 2x = 2 sin x. cos x. Dan engan menggunakan rumus turunan hasil kali, maka y = ( 3sin 2x ) = [ 3(2sin x. cosx)] = ( 6sin x. cosx) = 6 (sin x).cos x sin x (cos x) Matematika oc. Page 9

10 y = 6[cos x. cos x + sin x. (- sin x)] Aplikasi = 6 cos 2 x sin 2 x = 6 cos 2x. Persamaan Deferensial apat iterapkan paa biang raiologi salah satunyayaitu peluruhan raioaktif. Peluruhan raioaktif aalah kumpulan beragam proses i mana sebuah inti atom yang tiak stabil memancarkan partikel subatomik (partikel raiasi). Peluruhan terjai paa sebuah nukleus inuk an menghasilkan sebuah nukleus anak. Ini aalah sebuah proses acak sehingga sulit untuk mempreiksi peluruhan sebuah atom. Satuan internasional (SI) untuk pengukuran peluruhan raioaktif aalah becquerel (Bq). Jika sebuah material raioaktif menghasilkan 1 buah kejaian peluruhan tiap 1 etik, maka ikatakan material tersebut mempunyai aktivitas 1 Bq. Karena biasanya sebuah sampel material raiaktif menganung banyak atom,1 becquerel akan tampak sebagai tingkat aktivitas yang renah; satuan yang biasa igunakan aalah alam ore gigabecquerels. Laju peluruhan, atau aktivitas, ari material raioaktif itentukan oleh: 1. Konstanta: Waktu paruh - simbol t 1 / 2 - waktu yang iperlukan sebuah material raioaktif untuk meluruh menjai setengah bagian ari sebelumnya. Rerata waktu hiup - simbol τ - rerata waktu hiup (umur hiup) sebuah material raioaktif. Konstanta peluruhan - simbol λ - konstanta peluruhan berbaning terbalik engan waktu hiup (umur hiup). (Perlu icatat meskipun konstanta, mereka terkait engan perilaku yang secara statistik acak, an preiksi menggunakan kontanta ini menjai berkurang keakuratannya untuk material alam jumlah kecil. Tetapi, peluruhan raioaktif yang igunakan alam teknik penanggalan sangat hanal. Teknik ini merupakan salah satu pertaruhan yang aman alam ilmu pengetahuan. 2. Variabel: Aktivitas total - simbol A - jumlah peluruhan tiap etik. Aktivitas khusus - simbol S A - jumlah peluruhan tiap etik per jumlah substansi. "Jumlah substansi" apat berupa satuan massa atau volume.) Half-life (waktu paruh) aalah perioe waktu yang iperlukan suatu zat untuk meluruh menjai separuh. Nama ini paa awalnya ipakai untuk karakteristik atom yang tiak stabil Matematika oc. Page 10

11 (raioaktif) namun apat juga ipakai untuk kuantitas apapun yang mengikuti peluruhan bereret, seperti pertumbuhan bakteri. Pertumbuhan an peluruhan Jika N menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu alam waktu t, maka perubahan (bertambah = pertumbuhan atau berkurang = peluruhan) yang isimbolkan berbaning lurus engan kuantitas N, engan kata lain N/t = rn pertumbuhan an N/t = - rn pertumbuhan Peluruhan Raioaktif Zat raioaktif meluruh engan memancarkan raiasi secara spontan. Jika N t aalah massa zat yang tersisa paa saat t, N 0 aalah massa awal zat, maka laju peluruhan relative terhaap massanya bernilai konstan, yaitu (N/t)/N= -r peluruhan r= konstanta Oleh karena itu laju perubahan massa zat m terhaap waktu t apat inyatakan engan Persamaan iferensial ini apat ituliskan pula sebagai : ln N= -r t + C Paa saat awal (t = 0) massa zat aalah N 0, sehingga ln N 0 =C. Jika isubstitusikan paa hasil pengintegralan iperoleh ln N= -rt + C ln N= -rt + ln N 0 = N t = N 0 e -rt Matematika oc. Page 11

12 Kuantitas subyek yang mengalami peluruhan eksponensial biasanya iberi lambang N. Nilai N paa waktu t itentukan engan rumus N t = N 0 e -rt Ketika t=0, eksponensialnya setara engan 1, seangkan N(t) setara engan N 0. Ketika t menekati tak terbatas, eksponensialnya menekati nol. Secara khusus, terapat waktu t 1/2 sehingga N(t 1/2 )=N 0 Mengganti rumus i atas, akan iapatkan: e -rt(1/2) =1/2 -r t 1/2 = ln ½ = - ln 2 t 1/2 = ln2/-r Matematika oc. Page 12

13 DAFTAR PUSTAKA iakses tanggal 14 esember iakses tanggal 16 esember iakses tanggal 16 esember iakses tanggal 14 esember iakses paa 14 esember iakses tanggal 14 esember iakses 14 esember 2012 Matematika oc. Page 13

14 PEMBAGIAN TUGAS Pengumpulan bahan : semua anggota kelompok Pemilahan bahan : Azhar Fuai an Ani Ramahan Eiting: - Pengertian persamaan eferensial an aftar isi : Murni M. S. - Diferensial eksponen, logaritma, trigonometri, an aftar pustaka : Aurey evina B. an Irul Mauliia Kirim tugas : Irul Mauliia Print an jili : semua anggota kelompok Matematika oc. Page 14