METODE MATRIK APLIKASI METODE MATRIK UNTUK ANALISA STRUKTUR BALOK

Transkripsi

1 METOE MATRIK APIKASI METOE MATRIK UNTUK ANAISA STRUKTUR BAOK PENGERTIAN UMUM Metoe matrik aalah suatu pemikiran baru paa analisa struktur, yang berkembang bersamaan engan populernya penggunaan computer otomatis untuk operasi perhitungan aritmatika.

2 A UTAMA AAM ANAISA UNTUK MENENENTUKAN BAIK ITU EFORMASI ATAUPUN STRESS PAA STRUKTUR, IAA SAMPAI JAU MANA SUA IKETAUI SIFAT KARAKTERISTIK UBUNGAN GAYA AN EFORMASI ARI EEMEN-EEMEN STRUKTUR, AN MEMAKSAKAN TERPENUINYA SYARAT- SYARAT KOMPATIBIITI AN KESETIMBANGAN, AA TIGA A YANG MENASARI ANAISIS INI, YAITU:. kesetimbangan. hubungan stress an strain, atau gaya alam an eformasi. kompatibiliti,atau kontinuitas ari eformasi

3 AAM ANAISIS MATRIK IKENA AA UA CARA :. metoe kekakuan (stiffness metho, atau isplacement metho ). metoe fleksibilitas (flexibility metho, atau force metho)

4 METOE KEKAKUAN engan metoe kekakuan ini sebenarnya icari hubungan gaya engan lenutan, inyatakan secara matematis : Q K Q K = gaya yang timbul paa titik-titik iskrit akibat aanya lenutan. = lenutan paa titik-titik iskrit = menyatakan kekakuan ari struktur

5 Metoe Kekakuan Ini Juga isebut Metoe enutan (isplacement Metho), Karena Analisa imulai engan enutan Sehingga engan emikian Urutan Kerjanya Secara Garis Besar Aalah Sebagai Berikut : kompabiliti; yaitu mencari hubungan antara eformasi engan lenutan, atau secara tegasnya mencari eformasi apa yang terjai paa elemen-elemen ititik-titik iskrit akibat iberikannya lenutan paa struktur ititik-titik tersebut. persamaan hubungan stress an strain, yaitu mencari hubungan mengenai gaya-gaya alam yang timbul sebagai akibat aanya eformasi paa elemen-elemen paa struktur tersebut. kesetimbangan, langkah terakhir yang menyatakan hubungan gaya luar ititik iskrit engan gaya-gaya alam atau mencari berapa besar gaya luar i ujung elemen-elemen yang tepat iimbangi oleh gaya-gaya alam elemen titik-titik iskrit.

6 Metoe Kekakuan Ialah Suatu Cara Untuk Analisa Struktur imana alam Proses Perumusan ari Analisanya iambil enutan i Titik-titik iskrit Sebagai Besaraan Anu Yang enak icari.alam Proses Menganalisa Akan Mengenal Beberapa Matrix Yang Penting Sebagai Berikut : matrik eformasi A suatu matrik yang menyatakan hubungan kompatibiliti atau hubungan eformasi an lenutan : imana : A A = menyatakan eformasi ari elemen struktur = aalah matrik eformasi = menyatakan lenutan itik iskrit

7 S MATRIK KEKOKOAN INTERNEN, SUATU MATRIX YANG MEMENUI OKUM OOKE AAM MANA INYATAKAN UBUNGAN ANTARA GAYA AN EFORMASI : imana : S S = menyatakan gaya alam elemen = aalah matrix kekokohan intern elemen = menyatan eformasi elemen

8 B MATRIX STATIS, SUATU MATRIX YANG MENYATAKAN KESETIMBANGAN ANTARA GAYA UAR AN GAYA AAM : Q = B imana : Q B = menytakan gaya luar yang bekerja ititik iskrit = matrix statis = gaya alam elemen Maka ketiga matrix i atas igabungkan, maka akan iapatkan hubungan : Q B Q B S Q B S A Q K

9 IMANA K AAA MATRIX KEKAKUAN STRUKTUR, ENGAN PENGERTIAN : K B S A Jai salah satu tujuan terminal yang penting aalah proses analisa ini ialah apat menurunkan matrik kekakuan struktur Selanjutnya akan muah icapai tujuan akhir, yaitu analisa lenutan an gaya alam elemen. K

10 ERAJAT KETIAK-TENTUAN KINEMATIS Untuk analisa ini akan imulai engan mengambil lenutan i titik-titik iskrit sebagai sasaran yang harus ihitung. Untuk mengetahui imana harus ipasang besaran lenutan yang akan icari tersebut, maka harus iketahui ahulu beberapa erajat ketiak tentuan kinematis atau istilah lainnya erajat kebebasan (egree of freeom) ari struktur.

11 erajat ketiak-tentuan kinematis ialah suatu besaran yang menyatakan jumlah komponen bebas ari lenutan ititik iskrit yang mungkin terjaiyang berhubungan engan iberikannya suatu pembebanan paa struktur. i bawah ini iberikan beberapa macam struktur biang yang akan itujukkan berapa erajat ketiaktentuan kinematisnya.

12 struktur Komponen bebas ari lenutan i titik pertemuan erajat kinematis ketiak-tentuan (a) (b) (c)

13 struktur Komponen bebas ari lenutan i titik pertemuan erajat ketiaktentuan kinematis 6 6 () engan mengabaikan eformasi aksial ari eleme (e) (f) (g) 8

14 Gambar. erajat ketiak-tentuan kinematis ari struktur itunjukkan oleh banyaknya vector lenutan yang mungkin terjai i titik bebas, imana arah vector paa gambar menunjukkan arah vector yang positif.

15 ASAR PERITUNGAN alam bab ini, akan ijelaskan secara menetail urut-urutan analisa ari suatu konstruksi biang (ua imensi) engan berasarkan paa metoe kekakuan. Sekarang terlihat satu konstruksi seperti seperti itunjukkan paa gambar.(a) selanjutnya akan iikuti urutan ari proses analisa. (a)gambar konstruksi statis tak tentu

16 (b) erajat ketiak-tentuan kinematis : Q Q Q (c) iagram gaya luar ekivalen Q yang koresponing engan lenutan sebagai pengganti arisistem pembebanan paa gambar (a) () Struktur asar yang merupakan struktur yang ikekang

17 (e) iberikan = satuan (f) iberikan = satuan 6 (g) iberikan = satuan

18 6 (h) iagram -, imana merupakan reaksi elemen yang ikekang terhaap iberikannya eformasi. 6 Q Q Q 6 (i) iagram kesetimbangan Gambar. Analisa balok i atas beberapa perletakan.

19 Konstruksi Ini Ialah Balok Menerus i Atas Empat Perletakan, Satu Jepit an Tiga Seni, Merupakan Suatu Konstruksi engan erajat Ketiak-tentuan Kinematis Sebesar (Gambar.B) angkah pertama ialah menyeliiki kompatibilitas ari struktur, engan jalan memberikan berturut-turut lenutan, an (gambar.e,.f, an.g). Muah apat kita lihat, bahwa : 6

20 atau isusun secara sistematis : 6 bila inyatakan alam hubungan matrix : 6 atau A

21 A 6

22 angkah keua ialah menyeliiki hubungan gaya alam an eformasi engan melihat tiap-tiap elemen sebagai bagian yang iskrit, seperti paa gambar.h. ari sifat elastis elemen, iapatkan hubungan :

23 imana : = menyatakan eformasi yang terjai i ujung elemen = menyatakan gaya alam yang aa i ujung elemen, alam hal ini momen lentur iinverskan, akan iapat : 6 6 6

24 Bila hubungan ini inyatakan alam bentuk matrix, maka : 6 6

25 atau : S imana matrix S merupakan matrix : S 6

26 Jai Sebenarnya Matrix Berapa Besar Gaya alam Ialah Suatu Matrix Yang Menyatakan Yang Timbul iujung Elemen Bila i Titik-titik Tersebut iberikan Satu Satuan eformasi. angkah ketiga aalah menyeliiki tentang kesetimbangan gaya luar an gaya alam : Melihat gambar Q Q Q S 6

27 6 Q Q Q atau : B Q imana : 6 Q Q Q B Bila inyatakan secara matrik :

28 Satu hubungan terminal, aalah menapatkan hubungan : Q K K imana : B S A untuk menapatkan lenutan, maka apat iinverskan sebagai :. imana : K Q Q = menyatakan gaya-gaya luar yang bekerja i titik-titik iskrit. menyatakan lenutan i titik bersangkutan yang berkoresponing engan gaya Q

29 ternyata iapatkan : B A T prinsip kerja virtual. Q* a.gaya luar virtual b. lenutan aktuil Gamabar. konstruksi balok menerus paa mana ikerjakan gaya virtual.

30 Misalnya paa konstruksi yang seang ibahas tersebut ikerjakan gaya virtual Q gambar (.a ) sehingga timbul gaya alam paa elemennya, maka ari prinsip kerja virtuil akan iapatkan hubungan (yang inyatakan alam perkalian matrix). Q T T engan melihat : A Q B Q T T B T

31 maka persamaan ( ) bisa itulis ; T B T T A Bila iseerhanakan, akan memberikan : B B T A A T engan emikian persamaan, bisa itulis : K A T S A

32 engan emikian persamaan telah ipermuahkan, yaitu untuk menurunkan matrix kekakuan K cukup hanya menurunkan ua matrik penbentuknya, yaitu matrix eformasi A an matrix kekokohan intern elemen S Untuk menghitung gaya alam igunakan hubungan :. S atau S A

33 imana : = matrik lenutan ititik iskrit.

34 APIKASI KONSTRUKSI BAOK MENERUS selanjutnya akan iberikan beberapa contoh pemakaian metoe kekakuan ini paa analisa struktur. Contoh. i bawah ini akan ibahas secara singkat analisa engan metoe kekakuan engan erajat ketiak-tentuan kinematik tingkat.

35 A 6kg/m C m B 8 m a. konstruksi yang akan ianalisa b. konstruksi asar yang ikekang c. momen primer (fixe-en moment)

36 Momen primer : M M AB BC M M BA CB kg. m kg. m.. erajat ketiak-pastian kinematis : Q=8kg.m e. gaya luar ekivalen ititik iskrit yang koresponing engan lenutan Q ( kg. ) m

37 f. iberikan satuan g. iagram -

38 h. iagram kesetimbangan Gambar. balok iatas tiga tumpuan Melihat gambar. (f), engan muah akan iapatkan : A

39 ari gambar. (g) : S S

40 ari persamaan: A S A K T = =.... K K.9.9

41 engan mengubah gaya Q menjai gaya titik ekivalen i ujung elemen (gambar..c an e) an engan melihat persamaan (.) : K ari persamaan (.6) : Q 8.9 S A

42 8 8 kg. m kg. m kg. m kg. m A B 8 C Gambar. istribusi gaya alam

43 hasil yang itunjukkan oleh gambar. ialah menyatakan besarnya momen lentur (alam hal ini sebagai momen batang, bukan sebagai momen titik) yang iistribusikan ke batang elemen AB an BC sesuai engan kekakuan masing-masing. jai gaya alam yang iapat ari hasil perhitungan ini bukan merupakan memen lentur yang sebenarnya bekerja. Momen lentur yang sebenarnya bekerja bisa iperoleh engan mengurangi gaya alam engan momen primer elemen struktur. M M M M A BA BC C ( 8 ( ( ) ) ( ) ) kg. m kg. m kg. m 7kg. m

44 Penting untuk icatat pula i sini, bahwa hasil momen akhir ini juga menyatakan momen batang bukan momen titik. Contoh. Sebagai contoh keua akan ibahas suatau konstruksi kinematis tertentu seperti paa gambar.6 (a). A Q 6m Q= kg C m B a. konstruksi yang akan ianalisa engan beban

45 b. struktur asar yang ikekang C c. erajat ketiak-tentuan kinematis : () iberikan = satuan

46 e. iberikan = satuan f. iagram -

47 Q Q g. iagram kesetimbangan Gambar.6 balok i atas tumpuan

48 angkah pertama yang ilakukan ialah menganggap konstruksi ini teriri atas ua elemen iskrit. AC an CB ( gambar.6 b). titik C segai titik iskrit mempunyai ua erajat kebebasan, yaitu translasi an rotasi. Melihat gambar.6, akan iapat hubunganhubungan sebagai berikut : A 6 6

49 6 6

50 S

51 selanjutnya ihitung matrix kekakuan K : A S A K T

52 K K selanjutnya akan bisa ihitung gaya alam : S A

53 = =

54 m m Gambar.7 istribusi gaya alam Maka iapatkan hasil analisa ; M M M A B CA 96kg. m kg. m M CB kg. m

55 ila ibaningkan hasil ini engan rumus yang suah iketahui : M M A B Ternyata hasilnya sama 96kg. m kg. m

56 Contoh. Paa contoh soal selanjutnya ini, akan iperlihatkan bagaimana proses analisa bila konstruksi paa contoh. ikombinasikan engan suatu perletakan elastis i titik C. Q= kg A B k=. 6m C m (a) konstruksi yang akan ianalisa, engan satu perletakan elastis imana k =.

57 (b) erajat ketiak-tentuan kinematsi : (c) eberikan = satuan

58 Q=- k () gaya ekivalen ititik iskrit yang koresponing engan lenutan Q=--k k (e) penyeerhanaan ari gambar () Gambar.8 konstruksi balok menerus i atas perletakan elastis.

59 Persoalan paa contoh ini sebenarnya sama engan contoh., karena memunyai elemen batang yang sama engan erajat kebebasan yang sama pula. maka proses analisa tiak akan menetail ibahas lagi isini, an langsung akan matrik kekakuan : K K Proses selanjutnya akan terlihat aanya perbeaan engan analisa contoh soal yang lalu, yaitu alam menetapklan vector gaya yang bekerja, yang isamping itentukan oleh gaya luar yang ikethui Q kg, juga ipengaruhi oleh gaya pegas k

60 Q K ) ( k.67 ).6667(. k. 68 ). (

61 .67 (.8(. 9.7 )) 7. berasarkan hasil lenutan an yang iapat, bisa ihitung gaya alam yang timbul paa elemen struktur

62 engan emikian iapatkan hasil analisa : M M M M A CA CB B 9.kg. m 8.7kg. m 8.7kg. m.9kg. m

63

64 KONSTRUKSI PORTA BIANG TANPA PENGGOYANGAN IMANA IFORMASI AKSIA IABAIKAN alam hal ini akan ibahas analisa ari konstruksi portal biang. iketahui ua macam konstruksi portal biang, yaitu portal tanpa penggoyangan an portal engan penggoyangan, seperti itunjukkan oleh gambar.. alam pasal ini akan icoba ibahas analisa portal biang tanpa pergoyangan, imana eformasi aksial ari elemenelemennya iabaikan.

65 (a)portal tanpa penggoyangan. b. portal menerus tanpa pergoyangan

66 (c) portal engan penggoyangan Gambar. konstruksi portal engan titik hubung kaku

67 Contoh. alam pasal ini akan ibahas analisa portal biang tanpa pergoyangan, imana eformasi aksial ari elemen-elemennmya iabaikan. B Q=kg/m C 6kg 6kg m m A m C (a) portal biang yang akan ianalisa, engan bentuk konstruksi an system pembebanan yang simetris

68 B C A Momen primer : ( b) struiktur asar yang ikekang 6.. M AB 88kg. m M BA 6.. kg.m

69 M BC M CB.. 6kg. m M M kg m C BA. M C M AB 88kg. m 6 B 6 C A cmomen primer

70 . erajat ketiak-pastian kinematis : Q =-9 Q =-9 e. gaya ekivalen ititik yang koresponing engan lenutan

71 Q Q 6 6 9kg. m 9kg. m C f. iberikan = satuan

72 g. iberikan satuan = 6 h. iagram - 6

73 Q Q (i ) iagram kesetimbangan Gambar. Portal simetris engan memperhatikan gambar. akan iapatkan : A 6

74 () () () () S = 6 6

75 S

76 engan emikian : A S A K T K = 6 6

77 engan mengubah gaya-gaya luar menjai gaya ekivalen terpusat i ujung elemen atau i titik-titik iskrit (..c an e ), an engan melihat persamaan : K. 6 Q = 6 =

78 Jai putaran suut ititik B an C ialah sebesar : 8 96 ari persamaan (.6) A S =

79 = Melihat momen primernya paa gambar (..c), maka akan iapat : M 8. ( 88) 9.7kg. m M M M M M AB BA BC CB C 96. ( ) 8.kg. m 96. ( 6) 8.kg. m 96. ( 6) 8.kg. m 96. ( ) 8.kg. m 8. ( 88) 9.7kg. m

80

81 Contoh. : Sekarang Akan ibahas Analisa Portal engan aanya penahanan kesamping kg q= 6kg/m F G B kg C... A... a. Portal yang ianalisa

82 E F A B b. Struktur asar yang ikekang Momen primer : M E. 8kg. m M EF M FE.8. kg. m M FC M CF.6. kg. m M FB M BF.. kg. m 8

83 8 b. Momen primer c. erajat ketiak-tentuan kinematsi : (eformasi aksial iabaikan)

84 Q =- Q = -. Gaya ekivalen Q ititik iskrit yang koresponing engan lenutan e. iberikan = satuan

85 7 g. iberikan = satuan h. iagram - Gambar. Portal menerus tanpa penggoyangan

86 imulai engan menghitung matrik A an S A () () () () () () () () S

87 S Matrik kekakuan struktur apat ihitung berasarkan persamaan : A S A K T

88 =

89 K 8 8 K 9 x A S

90

91 engan memperhatikan momen primer ari elemen-elemen struktur maka akan iapat : M A 6. 6.kg. m M FE 68.6 ( ) 8.6kg. m M EA kg. m M E ( 8) 8kg. m M EF.7 ( ) kg. m M FB ( ).kg. m M FC.8 ( ) 7.6kg. m M B.9 ( ).9kg. m M C 7.9 ( ).9kg. m

92 Sekarang itinjau apakah kesetimbangan ititik-titik pertemuhan terpenuhi : M E M EA M E = = (terpenuhi) M EF M E M FE M FB M FC = = (terpenuhi)

93 Setelah matrik kekakuan struktur i atas isusun sesuai engan kebutuhan yaitu untuk menapatkan matrik berukuran x, maka ilakukan konensasi statik. K K K tt ot Matrik K setelah ikakukan konensasi aalah :!! K K to oo K yang K x K tt K to K oo K ot

94

95 KONSTRUKSI PORTA BIANG ENGAN PERGOYANGAN IMANA EFORMASI AKSIA IABAIKAN Setelah paa pasal yang lalu ibahas analisa portal tanpa penggoyangan, sekarang akan icoba menganalisa kostruksi portal engan pergoyangan, imana eformasi aksial masih iabaikan. Contoh : i bawah ini iberikan satu contoh analisa portal seerhana engan penggoyangan kesamping.

96

97

98

99 6 A () () () () S

100 = 6 6 Selanjutnya bisa ihitung matrik kekakuan struktur K A S A K T

101 K = 6 6 = 8 8 8

102 K K Setelah K an K ihitung, maka besar lenutan an gaya-gaya alam akan apat engan muah itentukan. K Q

103 / 8. / 7.69 / / 7.69/ 8./

104

105 engan memperhatikan momen primer ari elemenelemen struktur, maka akan iapat : M A kg. m M CA kg. m M C 7.7 ( ) 67.7kg. m M C 67.7 ( ) 7.7kg. m M B kg. m M B.9.9kg. m

106 Contoh ibawah ini akan icoba menganalisa satu portal seerhana engan pergoyangan sate arah yaitu menataryang ikombinasikan engan pegas, engan kontanta pegas k. Beban-beban an ukuran konstruksi iambil sama engan contoh :.

107

108 Persoalan kekakuan struktur paa contoh soal ini aalah sama engan contoh, jai proses menghitung kekakuan K aalah sama engan contoh tersebut. K K 6 K 8 8 Q k.

109 K Q untuk k. 8k 8k. ( 6 k. k 8./ / 8.8/ k 7kg. )

110 ).8.8/ ( 6 / 9. ).8.8/ 8. 9 ( 6 / A S 8.986/ 9./ 8.8/

111 engan memperhatikan momen primer ari elemen-elemen struktur, maka akan iapatkan : M A 66.kg. m M CA 7.kg. m M C 77. ( ) 7.kg. m M C 7. ( ) 77.kg. m M B 77.kg. m M B 76.kg. m

112 CONTO. GAMBAR. MENUNJUKKAN SATU PORTA YANG APAT BERGOYANG PAA ARA MENATAR, IMANA SATU KAKINYA B MIRING, ENGAN SUUT KEMIRINGAN.

113

114

115 engan memperhatikan gambar, an memperhatikan bahwa eformasi aksial akibat iberikannya lenutan an aalah sama engan contohcontoh yang lalu, maka akan apat menurunkan matrik an matrik. A S 6 ()() ()() ()() ()() A

116 () () () () S

117 Selanjutnya : A S A K T

118 8 8 = 8

119 K K Q K

120 8./ 8.9/ 7.8/ A S / 8.9/ 7.8/

121 7.8/ 8.9/ 8./

122 Momen akhir : M M M M M M M A CA CE C C B B ( ( ( ) ) ).97kg. m.kg. m kg. m 78.87kg. m 89.kg. m 89.kg. m 8.79kg. m Momen primer

123 KONSTRUKSI RANGKA BATANG ENGAN TITIK UBUNG ENGSE Paa pasal-pasal yang lalu, telah ibahas analisa struktur engan sambungan kaku imana eformasi normal masih iabaikan. Sekarang akan apat ianalisa konstruksi rangka batang yang justru ianggap hanya mengalami eformasi normal (aksial) saja. Sebenarnya proses analisanya aalah sama engan yang telah ilakukan paa pasal-pasal yang lalu, hanya berbea paa cara memberikan vector lenutan, imana hanya aa vector lenutan translasi saja, an matrik S yang meyatakan hubungan gaya alam an eformasi, baik gaya alam maupun eformasi yang timbul hanyalah bersifat aksial saja. Contoh terlihat i bawah ini.

124

125

126

127 Gamnbar. Konstruksi Rangka Batang Memperhatikan gambar., akan engan muah apat itentukan matrik A, yaitu matrik yang menyatakan hubungan eformasi an lenutan. ari gambar. e, untuk

128 ari gambar..f, untuk ari gambar..g, untuk. Sin. Sin

129 ari gambar..h, untuk.. Cos Cos Jai matrik A : A

130 Sesuai engan apa yang telah isinggung i bagian epan paa pasal ini, maka elemen-elemen paa konstruksi rangka batang ini hanya menerita eformasi aksial saja, yanmg engan emikian hanya menimbulkan gaya alam normal saja. Karena isini membahas konstruksi yang elastis, maka hokum ooke akan berlaku karenanya AE Gambar.6 Batang yang menerita gaya normal an mengalami eformasi aksial AE

131 engan emikian : AE imana AE menyatakan kekakuan aksial ari batang paa gambar. engan melihat persamaan ( ), maka jelas apat iketahui bahwa matrik S, akan teririn ari elemen-elemen kekakuan aksial, yaitu : A E A E A E A E A E S

132 engan emikian sekaran suah apat ihitung matrik kekakuan K, yaitu: A S A K T AE AE

133 6 7 8 AE K AE K untuk menghitung lenutan ipakai persamaan : Q K

134 Q Q Q Q K AE AE

135 Selanjutnya: A S

136 Jai gaya batang nomor : : : : : : kg 8.kg 6.67kg

137

138

139

140 MEMPERATIKAN GAMBAR I ATAS, AKAN IAPAT MATRIK MATRIK EFORMASI Gambar, untuk.8.8 Gambar e, untuk.6.6

141 Gambar f, untuk.8.8 Gambar g, untuk.9.9

142 Gambar h, untuk..6 Jai atrik A.8.6 :.8.9 A

143 Matrik S teriri ari elemen-elemen kekakuan aksial, yaitu : E A E A E A E A A E S E E E E S