FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA

Transkripsi

1 FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA. Penekatan Kalkulus: menefinisikan fungsi logaritma natural sebagai integral Panang sebuah fungsi yang iefinisikan engan menggunakan integral: (.) L(x) = t t. Dari Teorema Funamental Kalkulus, kita tahu bahwa: x L(x) = x t t = x. Jai, untuk x >, kita simpulkan bahwa L(x) aalah fungsi yang monoton naik (sebab memiliki turunan yang positif). Jika kita menghitung turunan keua: 2 x L(x) = 2 x, 2 yang senantiasa bernilai negatif, untuk x >. Jai, fungsi L(x) senantiasa cekung ke bawah. Khususnya, karena L(x) monoton naik, maka ia fungsi satu-ke-satu, sehingga memiliki invers. Sifat-sifat ari fungsi L(x) sangatlah menarik. Yang pertama an sangat muah aalah: L() =. Panang: x (L(ax)) = L (ax)a = ax a = x. Hal ini iapat ari menerapkan aturan rantai untuk turunan. Kesimpulan kita, berarti fungsi L(ax) an L(x) aalah ua antiturunan ari, yaitu: x x (L(ax) L(x)) = x x =. Jai: L(ax) L(x) = C untuk suatu C R an untuk setiap x >. Khususnya, untuk x = kita apatkan C = L(a) an untuk x = b >, kita apatkan: L(ab) = L(a) + L(b). Misalkan p = r Q; kita pilih bilangan rasional agar ar terefinisi engan baik, yaitu: a r = a p.

2 2 J.M. TUWANKOTTA Maka: Jai: L(a r ) = rl(a). L(a r ) = L(a r ) L(a r ) }{{} kali = L a r... a r }{{} kali = L(ar ) = L(ap ) = L(a) L(a) }{{} p kali = p L(a). Sifat-sifat ini memperlihatkan sifat ari fungsi logaritma. Tetapi, tiak seperti biasanya imana logaritma senantiasa melibatkan bilangan basis, seperti: log a b, fungsi L(x) memperlihatkan perilaku yang serupa engan fungsi logaritma tetapi tanpa aanya basis tertentu. Itu sebabnya, fungsi L(x) ini kemuian iefinisikan sebagai: fungsi logaritma natural, atau: L(x) = ln(x). Ingat, bahwa fungsi ln(x) ini aalah fungsi satu-ke-satu, sehingga memiliki invers, yang kita sebut: E(x). Jai, (.2) y = E(x) jika an hanya jika x = ln(y). Hal ini juga berarti: E(ln(x)) = ln(e(x)) = x. Misalkan: Maka ln(a) = A an ln(b) = B. Akibatnya: E(A) = a an E(B) = b. A + B = ln(a) + ln(b) = ln(ab). Jai: E(A + B) = E(ln(ab)) = ab = E(A) E(B), yang tiak lain memperlihatkan sifat fungsi eksponensial. Beanya, secara klasik, fungsi eksponensial hanya punya arti jika eksponennya rasional. Sebagai invers ari fungsi logaritma natural, E(x) terefinisi untuk seluruh bilangan real. Jai, sekarang kita apat memberi arti untuk: a x untuk sebarang bilangan real x. Kembali, kita tuliskan: Sekarang, perhatikan kembali (.2), yaitu: Maka: E(x) = exp(x) = e x. y = e x jika an hanya jika x = ln(y). = x (x) = x ln(y) = y y x.

3 Ini berarti: yaitu: FUNGSI TRANSENDEN 3 y x = y, x ex = e x. 2. Penekatan Lain: menefinisikan fungsi eksponensial sebagai limit ari barisan fungsi Jika paa penekatan sebelumnya, kita mengkonstruksi sebuah fungsi yang merupakan fungsi primitif ari, kini kita akan mencoba penekatan sebaliknya. x Teorema 2.. Terapat sebuah fungsi E : R R sehingga: E(x) = E(x) an E() =. x Bukti. Akan ikonstruksi sebuah barisan fungsi, yaitu: {E n (x)}. Definisikan formula rekursif: engan E = + x. Maka: E n+ (x) = + E 2 = + E n (t)t, x R ( + t) t = + x + 2 x2, an Misalkan, Maka: E 2 = + E n+ = + ( + t + 2 t2 ) t = + x + 2 x x3. E n = + x + 2! x2 + 3! x n! xn. ( + t + 2! t2 + 3! t n! tn ) t Kita klaim, bahwa fungsi: = + x + 2! x (n + )! xn+ E(x) = + x + 2! x n! xn +..., memenuhi: lim E(x) E n(x) =, n

4 4 J.M. TUWANKOTTA untuk setiap x. Ambil x sebarang, an pilih A > sehingga x [ A, A]. Maka: jika m > n berlaku: E n (x) E m (x) = x n+ (n + )! xm (m)!. Karena x [ A, A] maka: an x n+k (n + k)! untuk 2 k m n. Tetapi: x n+ (n + )! An+k (n + k)! = An+ (n + )! A k (n + 2)(n + 3)... (n + k) = A (n + 2) An+ (n + )!, A k (n + 2)(n + 3)... (n + k), A (n + 3)... A (n + k) < ( ) k A. n Jai, ( E n (x) E m (x) An+ + A ( ) ) m n A (n + )! n n < < A n+ (n + )! A n A n+ (n + )! 2. Jai, E n (x) konvergen ke E(x) untuk setiap x [ A, A], bahkan secara seragam (karena kita telah menunjukkan bahwa E n (x) barisan Cauchy). Meskipun A sebarang, kita tiak menunjukkan bahwa kekonvergenan ini seragam i seluruh bilangan real. Meskipun emikian, untuk sebarang x kita apat memiih A yang cukup besar, sehingga kekonvergenan i atas seragam. Perhatikan bahwa, x n! xn = n! x xn = (n )! xn = n! xn = E(x). Jai, jumlahan tak hingga boleh itukar urutannya engan operator turunan paa eret ini, jika kita membatasi x [ A, A]. Masalah kekonvergenan seragam ini akan ibahas i notes yang lain.

5 FUNGSI TRANSENDEN 5 Misalkan F (x) aalah fungsi lain yang memenuhi premis paa Teorema 2.. haruslah ipenuhi: ( ) F (x) = F (x)e(x) F (x)e (x) F (x)e(x) F (x)e(x) = =. x E(x) E(x) 2 E(x) 2 Akibatnya: F (x) E(x) = C, an akibatnya: F (x) = CE(x). Maka Karena F () = E() = maka haruslah: C =. Jai, fungsi yang memenuhi Teorema 2., tunggal. Selanjutnya, panang: untuk y sebarang namun tetap: Maka: G(x) = G (x) = E (x + y) E(y) E(x + y). E(y) = E(x + y) E(y) = G(x). Lebih jauh, G() = E(y) =. Jai, G memenuhi Teorema 2.. Karena ketunggalan ari E(y) fungsi yang memenuhi Teorema 2., telah kita tunjukkan, maka haruslah: G(x) = E(x). Jai, berlaku: Misalkan r = p E(x + y) = E(x)E(y). sebuah bilangan rasional. Maka: E(rx) = (E(rx) ) = = E(rx) E(rx) }{{} kali E rx } + {{ + rx } kali = (E (px)) = E(x) E(x) }{{} p kali = E(x) p = E(x) r.

6 6 J.M. TUWANKOTTA Perhatikan bahwa: E(x) = E ( 2 x + ) ( ( x )) 2 2 x = E, 2 untuk setiap x R. Jika terapat sebuah x seemikian sehingga: E(x ) =, maka: E(x) = E ((x x ) + x ) = E ((x x )) E (x ) =, untuk setiap x. Karena E() =, haruslah: E(x) >, x R. Jai, terapat secara tunggal: sebuah fungsi E(x) yang memenuhi Teorema 2., an memiliki sifat-sifat seperti fungsi pangkat (eksponensial), yaitu: () E(x + y) = E(x)E(y) untuk setiap x, y R. (2) E(x) r = E(rx), jika x R an r Q. (3) E(x) > untuk setiap x R. Selanjutnya, fungsi tersebut itulis: E(x) = exp(x) atau juga itulis E(x) = e x. Perhatikan bahwa e x aalah fungsi yang monoton naik, sebab turunannya aalah irinya seniri sehingga senantiasa positif. Jai, e x memiliki invers. Jelas, fungsi exp(x) memiliki omain, seluruh bilangan real, an range bilangan positif. Jai, jika invers ari fungsi e x aalah: ln x, maka omain ari ln x aalah bilangan positif engan range bilangan real. Maka haruslah berlaku: Perhatikan bahwa: x = e ln x = ln e x, x >. = x x = x eln x = e ln x (ln x) = x (ln x). x x Jai, x ln x = x, seperti yang telah kita kenal. Sifat-sifat lainnya apat iturunkan engan muah. 3. Fungsi eksponensial an fungsi Trigonometri Teorema 3.. (Teorema Taylor.) Misalkan f aalah fungsi yang teriferensialkan (apat iturunkan) hingga tak berhingga kali. Maka, untuk setiap x (a R, a + R) R, berlaku: f(x) = f(a) + k= engan f [k] aalah turunan ke k ari fungsi f. f [k] (a) (x a) k, k!

7 FUNGSI TRANSENDEN 7 Misalkan iberikan sebuah fungsi f yang teriferensialkan tak berhingga kali, artinya memiliki turunan sampai tingkat berapapun. Tanpa mengurangi keumuman, kita misalkan a =. Paa prinsipnya, kita henak mencari sebuah barisan {a n } sehingga: f(x) = a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x , untuk setiap x paa interval ( R, R) (untuk suatu R yang mungkin takhingga). Misalkan f(x) = e x, an a =, maka e x = + x + 2! x n! xn +..., seperti yang telah kita apatkan paa bagian sebelumnya. Panang f(x) = sin(x). Maka: an seterusnya. Akibatnya, f(x) = sin x = f[4](x) = f[8](x) f [] (x) = cos x = f[5](x) = f[9](x) f [2] (x) = sin x = f[6](x) = f[](x) f [3] (x) = cos x = f[7](x) = f[](x) sin x = x 3! x3 + 5! x5 7! x Dengan cara yang sama, atau engan menurunkan eret i atas, kita apatkan: cos x = 2! x2 + 4! x4 6! x Kita akan memperkenalkan sebuah bilangan yang isebut bilangan imajiner: yaitu: i; bilangan ini memiliki sifat: i = i = i i 2 = i 3 = i i 4 = i 5 = i Jai: e ix = + ix + i 2 2! x2 + i 3 3! x3 + i 4 4! x4 + i 5 5! x5 + i 6 6! x = + ix 2! x2 i 3! x3 + 4! x4 + i 5! x5 6! x = ( 2! x2 + 4! x4 6! x ) + i ( x 3! x3 + 5! x5... ) = cos x + i sin x. Dengan mengganti x engan x, kita apatkan: e ix = cos x + i sin x = cos x i sin x.

8 8 J.M. TUWANKOTTA Maka kita apatkan: cos x = eix + e ix 2 an sin x = eix e ix 2i theo@math.itb.ac.i, Analysis an Geometry Group, FMIPA, Institut Teknologi Banung, Ganesha no., Banung, Inonesia