PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU

Transkripsi

1 PERSAMAAN SCHRODINGER YANG BERGANTUNG WAKTU Perbeaan pokok antara mekanika newton an mekanika kuantum aalah cara menggambarkannya. Dalam mekanika newton, masa epan partikel telah itentukan oleh keuukan awal, momentum awal serta gaya-gaya yang beraksi paanya. Dalam unia makroskopik kuantitas ini semuanya apat itentukan engan ketelitian yang cukup sehingga menapatkan ramalan mekanika yang cocok engan pengamtan. Mekanika kuantum juga menghasilkan hubungan antara kuantitas yang teramati, tetapi prinsip ketaktentuan menyarankan bahwa kuantitas yang teramati bersifat berbea alam kawasan atomik. Dalam mekanika kuantum ketentuan tentang karakteristik masa epan partikel seperti paa mekanika newton tiak mungkin iperoleh, karena keuukan an momentum awal partikel tiak apat iperoleh engan ketelitian yang cukup. Kuantitas yang imaksu alam mekanika kuantum yaitu peluang. Sepintas kita bisa mengira bahwa mekanika kuantum merupakan pengganti yang jelek ari mekanika newton, namun faktanya mekanika newton tiak lain aripaa versi aproksimasi ari mekanika kuantum. Kepastian yang inyatakan oleh mekanika newton hanya merupakan ilusi, an kecocokan engan eksperimen timbul sebagai konsekuensi kenyataan bahwa bena makroskopik teriri ari banyak atom iniviual yang menyimpang ari kelakuan rat-rata tiak teramati. Dalam mekanika kuantum ini, kuantitas yang iperlukan aalah fungsi gelombang ari bena itu seniri. Walaupun itu seniri tiak mempunyai tafsiran fisis, namun kuarat besar mutlak yang icari paa suatu tempat tertentu paa suatu saat berbaning lurus engan peluang untuk menapatkan bena itu i tempat itu paa saat itu. Momentum, momentum suut, an energi ari bena apat iperoleh ari. Persoalan alam mekanika kuantum aalah untuk menentukan untuk bena itu bila kebebasan gerak ibatasi oleh aksi gaya eksternal. Karena berbaning lurus engan peluang P untuk menapatkan bena yang igambarkan oleh, integral ke seluruh ruang harus berhingga an bena harus iapatkan paa suatu tempat. Jika V 0. Partikel itu tiak aa, an integralnya jelas tiak bisa an tetap berarti sesuatu tiak bisa negatif karena cara iefinisikannya, sehingga satu-satunya kemugkinann yang tertinggal aalah suatu kuantitas yang berhingga agar memang menggambarkan bena real. Untuk

2 menapatkan parrtikel yang igambarkan oleh, maka kita anggap sama engan peluang p, sehingga iperoleh persamaan: V, karena P V aalah suatu pernyataan matematis bahwa partikel itu aa i suatu tempat untuk setiap saat, an jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Fungsi gelombang yang memenuhi persamaan () isebut ternormalisasi. Setiap fungsi gelombang yang bisa ipakai apat ternormalisasikan engan mengalihkannya engan tetapan yang sesuai. Disamping ternormalisasi, harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal paa tempat an waktu tertentu, an malar (kontinu). Peninjauan momentum memberi syarat bahwa turunan parsial,, x y z harus berhingga, malar, an berharga tunggal. Hanya fungsi gelombang engan sifat-sifat tersebut apat menghasilkan hasil yang berarti fisis jika ipakai alam perhitungan. Jai hanya fungsi gelombang yang berkelakuan baik yang bisa ipakai sebagai representasi matematis ari bena nyata. Persamaan Schroinger yang merupakan pokok alam mekanika kuantum serupa engan hukum gerak keua persamaan pokok alam mekanika newton, aalah persamaan gelombang alam variabel. Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang bersesuaian engan variabel gelombang y alam gerak gelombang paa umumnya. Namun, tiak seperti y, bukanlah suatu kuantitas yang apat iukur, sehingga apat berupa kuantitas kompleks. Karena itulah kita menganggap alam arah x inyatakan oleh: i(tx / v) Ae.() Jika alam persamaan () engan an v engan, maka kita peroleh: karena i( tx / ) Ae.() E h an h p, sehingga persamaan () menjai: p Ae (i / )( Et px) (3) Persamaan (3) tersebut merupakan persamaan gelombang ekivalen ari partikel bebas yang berenergi total E an bermomentum p yang bergerak alam arah +x. Fungsi gelombang yang iberikan alam persamaan (3) hanya benar untuk partikel yang bergerak bebas, seangkan paa situasi ini gerakan partikel yang ipengaruhi berbagai pembatasan. Selanjutnya persamaan iferensial pokok untuk ipecahkan secara khusus, persamaan tersebutlah yang isebut engan persamaan schroinger. Salah satu cara untuk

3 memperoleh persamaan schroinger aalah engan meniferensialkan persamaan (3) ua kali terhaap x, sehingga menghasilkan: p x (4) Dan sekali iturunkan terhaap t menghasilkan: t ie.(5) Untuk kelajuan yang kecil terhaap cahaya, energi total partikel E ialah jumalah ari energi kinetik p /m an energi potensial V, engan V merupakan fungsi keuukan x an waktu t: p E V.(6) m Fungsi V menyatakan pengaruh ari sisa semesta paa partikel. Dengan menjaikan keua suku persamaan (6) engan fungsi gelombang yang menghasilkan: p E V.(7) m Dari persamaan (4) an (5), kita peroleh: E (8) i t p x (9) Dengan mensubstitusikan pernyataan E an p alam persamaan (7), maka iperoleh: V..(0) t m x i Persamaan (0) tersebut merupakan persamaan Schroinger yang bergantung waktu alam satu imensi. Jika alam 3 imensi persamaan (0) apat itulis alam bentuk: ( ) V..() t m x y z i Di mana energi potensial partikel V yang merupakan fungsi ari x, y, z, an t. Setiap pembatasan yang apat membatasi gerak partikel apat mempengaruhi fungsi energi potensial V. Dengan mengetahui bentuk V, persamaan Schroinger apat ipecahkan untuk menapatkan fungsi gelombang partikel, sehingga kerapatan peluang apat itentukan untuk x, y, z, an t tertentu. 3

4 Dalam hal ini persamaan Schroinger iperoleh mulai ari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schroinger untuk kasus khusus partikel bebas (energi potensial v = konstan ) ke kasus umum engan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhaap ruang an waktu [V=V(x,y,z,t)] merupakan suatu kemungkinan yang bisa itempuh, tetapi tiak aa suatu cara yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Oleh karena itu, maka igunakan postulat bahwa persamaan Schroinger berlaku untuk memecahkan berbagai situasi fisis an membaningkannya engan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, maka postulat yang terkait alam persamaan Schroinger sah, jika tiak maka igunakan penekatan lain. Dalam kenyataannya, persamaan Schroinger telah menghasilkan ramalan yang sanagat tepat mengenai eksperimen yang iperoleh. Terkait engan hal itu, maka persamaan () hanya bisa ipakai untuk persoalan non-relativistik karena persamaan itu bersesuaian engan eksperimen alam batas-batas berlakunya. Namun, walaupun emikian, persamaan Schroinger ini tetap merupakan postulat yang sama seperti postulat relativitas khusus atau mekanika statistik, yaitu tak aa satupun yang apat iturunkan ari beberapa prinsip lain, an masing-masing merupakan rampatan pokok, tiak lebih atau kurang ari at empiris yang merupakan lanasan akhir ari postulat itu. KERAPATAN PELUANG Rapat peluang yang iasosiasikan engan fungsi gelombang sebagai 3 r,t r,tr,t, seemikian rupa sehingga r, t x menyatakan besarnya peluang menemukan partikel i alam unsur volume 3 x i sekitar r paa saat t. untuk 3 r, t yang telah ternormalkan berlaku r, t x 3 ruang V. persamaan r, t x V engan integrasi meliputi seluruh V menunjukkan bahwa jika kita melacak kehairan partikel meliputi seluruh ruang maka peluang untuk menapatkannya aalah, artinya kita pasti menemukan partikel tersebut. Persamaan ini juga menunjukkan bahwa rapat peluang global (ihitung meliputi seluruh ruang) bersifat konstan, tiak bergantung paa waktu. Ini berarti bahwa rapat peluang global bersifat kekal. Jika rapat peluang ini ihitung secara lokal yaitu meliputi ruang yang terbatas, maka r, t r, tr, t.(a) 4

5 kita ambil erivatifnya terhaap waktu t. hasilnya aalah t r, t r, t r, t t t m..(b) Menurut persamaan Scroinger r, t Vr, tr, t r, t i t, keua erivatif fungsi gelombang terhaap waktu i ruas kanan. Persamaan (b) tersebut masingmasing bernilai, t t an r i m i r, t r, tr, t r, t i i t m r, t Vr, t r, t..(c)..() substitusi persamaan () an (c) ke alam persamaan (b) an menghasilkan t r, t i i m m..(e) Dengan menyatakan vektor operator yang alam sistem koorinat Cartesian berbentuk i j k persamaan (e) apat iubah menjai: x y z r, t t J r, t 0 Dengan vektor rapat arus peluang J(r,t) iefinisikan sebagai J r, t.(f) (g) im Persamaan (f) jika iintegralkan secara lokal mengungkapkan hukum kekekalan peluang. Dalam konteks persamaan (f) sebagai rapat peluang an J sebagai vektor rapat arus peluang. Jai, sesuai engan persamaan (f) maka rapat peluang lokal bergantung paa waktu. Persamaan (f) apat juga imaknai sebagai hukum kekekalan rapat peluang secara lokal. NILAI HARAP DAN OPERATOR Perubahan fungsi gelombang terhaap waktu telah irumuskan, yaitu mengikuti persamaan Schröinger. Mengingat fungsi gelombang berkaitan erat engan hasil 5

6 pengukuran, maka timbul pertanyaan tentang begaimana hasil pengukuran perubahan terhaap waktu. Perlu icatat bahwa hasil pengukuran harus iartikan sebagai nilai harap (rerata) pengukuran. Hal ini isebabkan karena hasil pengukuran bersifat probabilistik sehingga tiak mungkin bagi kita untuk menyeliiki perilaku hasil ukur secara iniviual. Dengan menggunakan persamaan Schröinger, kita akan menemukan jawaban atas pertanyaan tai. Selanjutnya, untuk penyeerhanaan penulisan, kita efinisikan: bentuk: Ĥ m x V (x,t) () Dengan menggunakan efinisi i atas, persamaan Schröinger apat itulis alam Ĥ i, engan Ψ merupakan penyingkatan ari Ψ (x,t). t Nilai harap pengukuran besaran A paa saat keaaan sistem inyatakan oleh fungsi gelombang ternormalkan Ψ aalah, Â Âx...() Untuk mengetahui bagaimana nilai harap berubah terhaap waktu, apat iambil erivatif persamaan () terhaap waktu, yaitu Â Âx..(3) Karena integrasi ilakukan terhaap x maka operator erivatif terhaap t apat imasukkan ke alam integran. Jai ruas kanan persamaan (3) apat iubah menjai Âx t Â x..(4) Dengan memperhatikan bahwa telah iubah erivatif biasa (/) menjai erivatif parsial (/t). Hal ini harus ilakukan mengingat pengambilan erivatif ilakukan terhaap t saja seangkan Ψ, Ψ, an Â paa umumnya merupakan fungsi x an t. Selanjutnya, engan menggunakan aturan erivatif untuk perkalian ua fungsi atau lebih, integral i ruas kanan persamaan (4) apat iubah menjai t Â Âx Â x x t t Â x t.(5) 6

7 Berasarkan persamaan Schröinger, erivatif fungsi gelombang paa suku pertama an suku terakhir ruas kanan persamaan (5) masing-masing apat iganti engan persamaan: t an t Ĥ...(6a) i Ĥ i i Ĥ.(6b) Dengan mensubstitusi persamaan (6) ke alam persamaan (5) menghasilkan t Â Âx Ĥ Â x x i t i ÂĤx..(7) Karena Ĥ hermitian maka berlaku Ĥ Âx terakhir apat iubah menjai: t Âx ÂĤ ĤÂ x i ĤÂx, sehingga persamaan Â x t.(8a) Suku pertama ruas kanan persamaan (8a) menyatakan nilai harap bagi komutator Â,Ĥ ÂĤ ĤÂ an suku keua menyatakan nilai harap bagi Â / t. Dengan emikian, persamaan (8a) apat iubah lagi menjai: t Âx Â,Ĥ i Â t.(8b) Substirusi persamaan (8b) ke persamaan (5) kemuian hasilnya isubstitusikan ke persamaan (4) menghasilkan persamaan akhir rumusan perubahan nilai harap terhaap waktu sebagai berikut. Â i Â,Ĥ Â t.(9) Persamaan (9) menunjukkan bahwa perubahan nilai harap hasil ukur besaran A terhaap waktu bergantung paa ua hal, yaitu; terhaap nilai harap komutator Â,Ĥ an terhaap nilai harap erivatif Â terhaap waktu. Kebergantungan terhaap fungsi gelombang bersifat implisit an baru nampak ketika menghitung Â,Ĥ an Â / t. Persamaan (9) sering isebut sebagai Persamaan Gerak Heisenberg. 7

8 Untuk mengetahui bagaimana nilai harap posisi an momentum linier berubah terhaap waktu apat igunakan rumus umum sebagaimana inyatakan alam persamaan (9). a) Perubahan nilai harap posisi terhaap waktu Berasarkan persamaan (9), perubahan nilai harap posisi terhaap waktu mengikuti hubungan: Xˆ i Xˆ,Ĥ Xˆ t..(0) Komutator yang ibentuk oleh operator posisi an hamiltonian aalah Pˆ Pˆ Xˆ,Ĥ Xˆ, V(Xˆ ) Xˆ, Xˆ,V(Xˆ ).(a) m m Komutator suku terakhir merupakan operator nol, sebab Xˆ,Xˆ 0 sehingga Xˆ,V(Xˆ ) 0. Komutator suku pertama apat iselesaikan sebagai berikut. Pˆ Xˆ, m m Xˆ,Pˆ Xˆ,Pˆ Pˆ Pˆ Xˆ,Pˆ m ipˆ. m Paa perhitungan tai telah menggunakan persamaan i iubah menjai Xˆ,Pˆ, persamaan (a) apat ipˆ Xˆ,Ĥ...(b) m Selanjutnya, karena Xˆ secara eksplisit tiak bergantung waktu maka Xˆ / t 0 sehingga nilai harapnya juga nol; jai Xˆ / t 0. Substitusi nilai ini an persamaan (b) ke alam persamaan (0) iperoleh persaman baru tentang perubahan nilai harap posisi terhaap waktu sebagai berikut Xˆ i ipˆ m Pˆ m...() b) Perubahan nilai harap momentum linier terhaap waktu Berasarkan persamaan (9), perubahann nilai harap momentum linier terhaap waktu mengikuti hubungan Pˆ i Pˆ,Ĥ Pˆ t (3) 8

9 Komutator yang ibentuk oleh operator momentum linier an hamiltonian aalah Pˆ Pˆ Pˆ,Ĥ Pˆ, V(Xˆ ) Pˆ, Pˆ,V(Xˆ )..(4a) m m Komutator suku pertama merupakan operator nol, sebab Pˆ,Pˆ 0 sehingga 0 Komutator suku terakhir apat iselesaikan sebagai berikut. Pˆ,Pˆ. Jika komutator tersebut ikerjakan paa sembarang fungsi gelombang Ψ (x), sehingga operator Xˆ x an Pˆ i / x, maka kita peroleh hubungan Pˆ,V(Xˆ ) PˆV(Xˆ ) VXˆ Pˆ i V(x) V(x) i x x V(x) V(x) i V(x) V(x) i x x x x V(x) Ini berarti bahwa Pˆ,V(Xˆ ) i x Dengan emikian, persamaan (4a) menjai V(x) Pˆ,Ĥ i (4b) x Selanjutnya, karena Pˆ secara eksplisit tiak bergantung waktu maka Pˆ / t 0sehingga nilai harapnya juga nol; jai Pˆ / t 0. Substitusi nilai ini an persamaan (4b) ke alam persamaan (3) iperoleh persaman baru tentang perubahan nilai harap momentum terhaap waktu sebagai berikut Pˆ i i V(x) x Persamaan () apat iubah menjai V(x) x.(5) Xˆ Pˆ m. Jika setiap operator alam persamaan ini iganti engan besaran fisik yang iwakilinya, maka akan iapatkan hubungan x p m. Dalam fisika klasik, momentum linier iefinisikan sebagai x p m, yang ternyata sangat mirip engan yang iapatkan tai. 9

10 Sekarang jika iperhatikan persamaan (5), alam fisika klasik terapat hubungan p F (hukum II Newton) an untuk gaya konservatif berlaku hubungan F = -V/x. Jai alam fisika klasik, khususnya untuk sistem konservatif, berlaku hubungan p V.(6) x Jika ibaningkan antara persamaan (5) an (6) maka apat isimpulkan bahwa persamaan (5) merupakan pernyataan hukum II newton alam formulasi kuantum. Sehingga apat itarik kesimpulan bahwa terapat kesepaanan antara fisika kuantum engan fisika klasik. Kesepaanan rumusan kuantum an rumusan klasik tentang hukum II newton ini ikenal sebagai Teorema Ehrenfest. Dari persamaan yang ikemukakan oleh Schröinger kemuian menimbulkan beberapa pertanyaan antara lain, apakah persamaan Schröinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi? Hukum kekekalan energi menyatakan bahwa hamiltonian (E K + E P )sistem konservatif bersifat kekal. Dengan kata lain, hamiltonian sistem tiak berubah terhaap waktu. Oleh sebab itu, untuk menguji apakah persamaan Schröinger menjamin tetap berlakunya hukum kekekalan energi atau tiak, apat iseliiki bagaimana nilai harap hamiltonian sistem berubah terhaap waktu. Berasarkan persamaan (9), perubahan nilai harap hamiltonan terhaap waktu mengikuti formulasi asar sebagai berikut. Ĥ Karena,Ĥ 0 i Ĥ,Ĥ Ĥ t..(7) Ĥ an untuk sitem konservatif Ĥ / t 0 maka persamaan (7) menjai Ĥ 0, atau Ĥ = konstan..(8) Persamaan (8) menunjukkan bahwa nilai harap hamiltonan sistem konservatif bersifat kekal. Ini berarti bahwa persamaan Schröinger menjamin tetap berlakunya hukum kekelan energi (secara rata-rata). 0

11 DAFTAR PUSTAKA Beiser, A.99.Konsep Fisika Moern. Eisi ke-4, cetakan ke-. Jakarta: Erlangga. Halliay, Resnick Fisika Jili. Eisi ke-3. Jakarta: Erlangga Kusminarto.99.Pokok-Pokok Fisika Moern. Yogyakarta: Fakultas Matematika an Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gajah Maa. Sutopo Pengantar Fisika Kunatum. Malang: Universitas Negeri Malang. Santyasa, I W Perkembangan Teori Kuantum Secara Historis.Makalah. Program Stui Peniikan Fisika STKIP Singaraja. Krane, Kenneth. 99. Fisika Moern. Jakarta: Universitas Inonesia.