Hendra Gunawan. 11 April 2014

Transkripsi

1 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan emester II, 2013/ April 2014

2 Kuliah ang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limitdan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.6 Aturan Rantai 12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag II 12.8 Maksimum dan minimum 12.9 Metode pengali Lagrange 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 2

3 Kuliah Hari Ini Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang 13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar 13.5 Penggunaan Integral Lipat Dua 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 3

4 MA1201 MATEMATIKA 2A 13.1 INTEGRAL LIPAT DUA ATA PEREGI PANJANG Menghitungatau menaksir integrallipat lipat dua atas persegi panjang dengan menggunakan definisi 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 4

5 Ingat: Integral Tentu untuk Fungsi atu Peubah bh Jumlah Riemann untuk f, f ( t i ). x i, merupakan hampiran untuk luas daerah di bawah kurva = f(x), x є [a,b]. Jika n lim f ( ti ). xi P 0 i 1 n i1 ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b]. Integral tentu f pada [a,b] dd didefinisikan sebagai b a n f ( x) dx lim f ( ti ). xi 0 1/3 ½ ¾ 7/8 1 P 0 i1 10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 5

6 Jumlah Riemann Fungsi Dua Peubah Misalkan = {(x,) : a x b, c d} dan f : R kontinu (kecuali pd suatu kurva) dan terbatas. Bentuk partisi A i, dengan panjang x i dan lebar i, dan di tiap A i pilih titik sampel (x i, i ). Maka diperoleh jumlah Riemann n i1 f ( x i, ) A g merupakan hampiran volume ruang di antara permukaan z = f(x,) dan persegi panjang. i i 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 6

7 Integral Lipat Fungsi Dua Peubah Misalkan f fungsi dua peubah ang terdefinisi pada persegi panjang. Jika lim P 0 n i1 f ( x ) A ada, maka f dikatakan terintegralkan pada. elanjutna, f ( x, ) da: lim disebut integral llipat dua dariff pada. i P 0, n i i1 f i ( x i, i ) A 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 7 i

8 Contoh Diketahui persegi panjang = {(x,) : 0 x 4, 0 8}. Tki Taksirnilaiil i 64 8x 16 dengan jumlah Riemann, dengan membagi atas 8 persegi sama besar dan memilih titik titik tengah tiap persegi sebagai titik sampelna. 2 da 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 8

9 Jawab: Kita hitung nilai f di titik titik sampel: f(1,1) = 57/16, f(1,3) = 65/16, f(1,5) = 81/16, f(1,7) = 105/16, f(3,1) = 41/16, f(3,3) 3) = 49/16, f(3,5) = 65/16, f(3,7) = 89/16. Lalu, dengan A i = 4, kitaperoleh x da 16 i1 4 ( f ( x i, 41 i ) A i ) /11/2014 (c) Hendra Gunawan 9

10 Teorema Keterintegralan Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva) dan terbatas pada persegi panjang, maka f terintegralkan t pada. Contoh: etiap polinom dua peubah terintegralkan pada sembarang persegi panjang. 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 10

11 ifat ifat Integral Lipat Dua 1. Linear: Jika k R, maka a. kf ( x, ) da k f ( x, ) da. b. [ f ( x, ) g( x, 2. Aditif: Jika = 1 U 2, maka f ( x, ) da )] da f ( x, ) da f ( x, ) da f ( x, ) da 1 2 g( x, 3. Monoton: Jika f(x,) g(x,) utk (x,), maka f ( x, ) da g ( x, ) da. 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 11 ) da

12 MA1201 MATEMATIKA 2A 13.2 INTEGRAL BERULANG Menghitung integral lipat dua (pada persegi panjang) sebagai iintegral lberulang 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 12

13 Menghitung Integral Lipat Dua Jika f terintegralkan pada persegi panjang = [a,b] x [c,d], maka integral lipat dua dari f pada dapat dihitung sebagaiintegral g berulang: atau d b f ( x, ) da f ( x, ) dxd c a bd f ( x, ) da f ( x, ) ddx. a c Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajar sumbu xx terlebih dahulu. 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 13

14 Contoh 1 Jika = {(x,) : 0 x 4, 0 8} = [0,4] x [0,8], hitung 64 8x 16 2 da sbg integral berulang dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu. Jawab: 64 8x 16 2 da x d dxd 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 14

15 Contoh 2 Jika = {(x,) : 0 x 4, 0 8} = [0,4] x [0,8], hitung 64 8x 16 2 da sbg integral berulang dengan mengintegralkan thd terlebih dahulu. Jawab: 64 8x 16 2 da x ddx 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 15

16 Catatan Terhadap dahulu, Pengintegralan berulang: Terhadap x dahulu, ll laluterhadap hd x: ll laluterhadap hd : 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 16

17 oal Jika = {(x,) : 0 x 1, 0 1} = [0,1] x [0,1], hitung xe x da sebagai integral berulang. 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 17

18 MA1201 MATEMATIKA 2A 13.3 INTEGRAL LIPAT DUA ATA DAERAH BUKAN PEREGI PANJANG Menghitung integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 18

19 Bagaimana menghitung integral lipat pada daerahbukan persegi panjang? 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 19

20 Integral pada Daerah ederhana Himpunan disebut sederhana apabila dapat dituliskan sebagai = {(x,) {(x): u 1 (x) u 2 (x), a x b}, dengan u 1 (x) dan u 2 (x) kontinu. Dl Dalam hli hal ini, i integral lff pada dapat dihitung sebagai f b u2 ( x) ( x, ) da f ( x, ) ddx. a b a u1( x ) 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 20

21 Integral pada Daerah x ederhana Himpunan disebut x sederhana apabila dapat dituliskan sebagai = {(x,) {(x): v 1 () x v 2 (), c d}, dengan v 1 () dan v 2 () kontinu. Dl Dalam hli hal ini, i integral lff pada dapat dihitung sebagai v2 ( ) f ( xda, ) f( xdxd, ). c v 1 ( ) d d c 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 21

22 Contoh 1 Hitung xda apabila adalah daerah tertutup ang dibatasi oleh = x 2 dan = 1. Jawab: 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 22

23 Contoh 2 Hitung e 2 x da apabila adalah daerah tertutup ang dibatasi oleh garis = 2x, garis x = 4, dan sumbu x. Jawab: 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 23

24 oal 1 Tentukan volume benda pejal ang terletak di Oktan Idan dibatasi oleh paraboloida z = x 2 + 2, tabung x = 4, dan bidang bidang koordinat. 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 24

25 oal 2 Hitung x 2 da apabila adalah daerah cincin g dibatasi oleh lingkaran x = 1 dan x = /11/2014 (c) Hendra Gunawan 25