Penerapan Aljabar Max-Plus Pada Sistem Produksi Meubel Rotan

Transkripsi

1 Jurnal Graien Vol 8 No 1 Januari 2012: Penerapan Aljabar Max-Plus Paa Sistem Prouksi Meubel Rotan Ulfasari Rafflesia Jurusan Matematika, Fakultas Matematika an Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Bengkulu, Inonesia Diterima 15 November 2011; Disetujui 12 Desember 2011 Abstrak - Tulisan ini membahas suatu pemakaian ari Aljabar Max-Plus alam memoelkan proses prouksi meubel Sri Rotan an melihat perilaku inamik sistem melalui suatu simulasi yang berkaitan engan keaaan sistem menggunakan software open source scilab an Max-Plus Algebra Toolbox, ver Hasil pengolahan engan menggunakan aljabar -plus, memberikan suatu jawal yang perioik paa setiap tahap pengerjaan sehingga tiak menghabiskan banyak waktu alam proses pembuatan satu set meubel sri rotan Kata kunci : Aljabar -plus, perilaku inamik, keaaan sistem 1. Penahuluan Propinsi Bengkulu merupakan salah satu aerah yang seang melakukan pembangunan secara menyeluruh i segala biang, salah satunya pembangunan i biang inustri yang lebih iarahkan untuk meningkatkan inustri kecil an kerajinan rakyat melalui penyempurnaan, pengembangan usaha, peningkatan prouktivitas, perbaikan mutu prouk, an peningkatan kemampuan untuk memasarkan prouk. Dari peningkatan inustri kecil inilah iharapkan memberi kontribusi yang cukup baik untuk menorong biang-biang lain supaya bisa maju an berkembang. Oleh karena sifatnya yang paat karya, tiak memerlukan moal besar an tingkat keahlian yang khusus serta aanya ukungan ari pemerintah maka inustri kecil ini apat terus berkembang an iharapkan apat mengatasi masalah ketenagakerjaan an pengangguran. Salah satu inustri kecil yang aa i propinsi Bengkulu aalah usaha Meubel Sri Rotan yang terletak i jalan Raya Bengkulu-Curup Km. 12 Taba Pasma. Usaha ini bergerak alam biang pembuatan aneka meubel an kerajinan yang berbahan asar rotan, seperti kursi tamu, kursi teras, kursi malas, kursi makan, tempat tiur, lemari, rak buku, sekat ruangan, kap lampu, tempat koran, tuung saji, an lain sebagainya. Aktivitas atau kegiatan yang ilakukan oleh usaha Meubel Sri Rotan ini aalah merakit rotan menjai satu set meubel kursi tamu. Kegiatan ini alam proses pengerjaannya ilakukan mengikuti rangkaian antara kegiatan yang satu engan kegiatan yang lain sampai proses merakit selesai, melalui beberapa tahapan atau urutan pekerjaan yang masing-masing kegiatan iketahui pasti an memiliki tenggang waktu yang berbea. Karena melalui beberapa tahap pengerjaan, proses pembuatan satu set meubel kursi tamu ini menghabiskan waktu lebih ari satu bulan. Hal ini tentunya secara tiak langsung merugikan pihak meubel, baik ari segi waktu ataupun tenaga. Aljabar -plus igunakan untuk memoelkan an menganalisis jaringan, seperti penjawalan proyek, sistem prouksi, jaringan antrian, an sebagainya. Pemoelan an analisa suatu jaringan engan penekatan ini apat memberikan hasil analitis an lebih muah paa komputasinya.

2 Ulfasari R / Jurnal Graien Vol.8 No.1 Januari 2012 : Berasarkan uraian i atas maka penulis akan membahas suatu pemakaian ari aljabar -plus alam memoelkan proses prouksi meubel paa usaha Meubel Sri Rotan. Dari hasil pengolahan engan menggunakan aljabar -plus, iharapkan nantinya akan memberikan suatu jawal yang perioik paa setiap tahap pengerjaan sehingga tiak menghabiskan banyak waktu alam proses pembuatan satu set meubel sri rotan. 2. Aljabar Max-Plus Dan Notasinya Aljabar Max-Plus teriri ari himpunan R ε R{ε}, imana R aalah himpunan bilangan real an ε yang ikaitkan engan ua operasi maksimum () an tambah (+), engan notasi menyatakan operasi maksimum an menyatakan operasi tambah. Sehingga untuk suatu operasi terhaap ua variabel a an b yaitu a b berarti (a,b) an a b berarti a + b. Notasi an paa Aljabar Max Plus masing masing mempunyai kemiripan engan operasi tambah (+) an kali (x) paa aljabar b biasa. Untuk selanjutnya untuk operasi a ab menyatakan perkalian a an b alam aljabar biasa. 2.1 Beberapa efinisi alam Aljabar Max- Plus Definisi 1: Diberikan R ε R{ε} engan ε -, Paa R ε, a,b R ε iefinisikan sebagai operasi berikut: a b (a, b) an a b a+b i. (R ε,, ) merupakan semiring komutatif iempoten engan elemen netral ε- an elemen satuan e 0. ii. (R ε,, ) merupakan semifiel, yaitu bahwa (R ε,, ) merupakan semiring komutatif i mana untuk setiap a R terapat -a sehingga berlaku a (-a) 0. Untuk selanjutnya (Rε,, )isebut engan Aljabar Max-Plus, yang inotasikan engan. Relasi yang iefinisikan paa sebagai berikut x m y jika x y y, merupakan urutan m parsial paa. Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total paa. Pangkat k ari lemen x R ilambangkan 0 k engan k1 x 0, x x x. k x iefinisikan Definisi 2: Operasi an paa apat iperluas untuk operasi-operasi matriks alam, i mana {A (A ij ) Aij R, untuk i 1, 2,..., m an j 1, 2,..., n} sehingga: i. Untuk A, B engan (A B) ij A ij B ij. iefinisikan A B, ii. Untuk A R mxp, B R pxn iefinisikan A B, p k 1 engan (A B) ij ( a b ) iii. Matriks E (E) ij 0,, iv. Matriks ε ij engan jika i j jika i j engan (ε) ij ε, i,j 2.2 Definisi Graph alam Aljabar Max-Plus Diberikan graph berarah G (V, A) engan V aalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya isebut titik an A aalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik paa garis V. Suatu lintasan alam graph berarah G aalah suatu barisan berhingga garis (i 1, i 2 ), (i 2, i 3 ),..., (i l-1, i l ) engan (i k, i k+1 )A untuk suatu ln, i mana N himpunan semua bilangan asli, an k 1, 2,..., l-1. Titik i 1 isebut titik awal lintasan an titik i l isebut titik akhir lintasan. Suatu lintasan isebut sirkuit jika titik awal an titik akhirnya sama. Suatu graph berarah G (V, A) engan V {1, 2,,..., n} ikatakan strongly connecte jika untuk setiap i, jv, i j, terapat suatu lintasan ari i ke j. Suatu kj

3 Ulfasari R / Jurnal Graien Vol.8 No.1 Januari 2012 : graph yang memuat sirkuit isebut graph siklik, seangkan suatu graph yang tiak memuat sirkuit isebut graph taksiklik. Graph berarah G ikatakan berbobot jika setiap garis (j, i) A ikawankan engan suatu bilangan real A ij. Bilangan real A ij isebut bobot garis (j, i), ilambangkan engan w(j, i). Graph preseen ari matriks A aalah graph berarah berbobot G(A) (V, A) engan V {1, 2,..., n}, A {( j, i ) w( i, j ) A ij i, j }. Sebaliknya untuk setiap graph berarah berbobot G (V, A) selalu apat iefinisikan suatu matriks A engan A ij w ij, jika ( i, j) A, yang isebut matriks, jika ( i, j) A bobot graph G. 3. Sistem Prouksi Meubel Rotan Kegiatan Proses Prouksi Kegiatan utama yang ilakukan usaha meubel ini aalah mengolah rotan mentah menjai barang yang mempunyai nilai jual tinggi, salah satunya iolah menjai satu set kursi tamu. Berikut ini aalah proses kerja alam pembuatan meubel kursi tamu moel siput/ keong : Pemanggangan/ pengovenan rotan, Penjemuran I, Pelurusan rotan manau, Pengupasan kulit rotan sega, Pengukuran, an pemotongan rotan, Pemanasan rotan an pembengkokan rotan, Pembentukan rotan, Pembuatan bagian kerangka kursi, Assembling, Penganyaman, Pengerokan, Pengamplasan, Pencucian, Perangsangan warna, Pengkilatan kursi, Penjemuran II, an Pengepakan. Tabel 1. Urutan kegiatan Proses prouksi pemotongan rotan b. Pembentukan bagian kerangka meubel c. Pemanasan an pembengkokan 3. Assembling a. Perakitan bagian-bagian meubel b. Pembuatan anyaman pitrit P6 P7 P8 P9 c. Pembuatan kor P10 4. Finishing a. Pengerokan, P11 pengamplasan, pencucian b. Perangsangan warna P12 c. Penjemuran II P13. Pengepakan P14 Berasarkan urutan kegiatan proses prouksi tersebut, iperoleh iagram prouksi: P4 P7 P8 t 7 t t 5 u(k) P1 P2 P3 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 10 P5 P6 t t 9 P9 t 10a No Aktivitas Simbol 1. Pengolahan Bahan Baku a. Pengovenan rotan P1 b. Penjemuran I P2 c. Pelurusan rotan P3. Pengupasan kulit rotan P4 2. Pemotongan an Pembengkokan a. Pengukuran an P P10 P11 P12 P13 P14 t 11 t 12 t 13 t 14 y(

4 Ulfasari R / Jurnal Graien Vol.8 No.1 Januari 2012 : Aljabar Max-Plus Paa Prouksi Meubel Rotan Dalam sistem prouksi tersebut, iasumsikan tiak terjai kerusakan atau tiak aa kenala yang terjai alam proses baik paa saat penjemuran an pengeringan maupun cuaca yang tiak memungkinkan untuk terjai penjemuran. Setiap tempat atau unit pemroses iasumsikan mulai berjalan ketika bahan baku yang ibutuhkan telah terseia (tiak aa waktu tunggu) untuk setiap unit pemroses. Setelah iperoleh iagram prouksi an table-tabel tersebut, maka iperlukan beberapa efinisi untuk memuahkan pemoelan : aalah waktu imana bahan baku imasukkan ke sistem untuk saat yang ke aalah waktu imana pemroses yang ke-i mulai bekerja saat yang ke-k aalah waktu imana prouk selesai saat yang ke-k meninggalkan sistem Waktu pemroses P1 mulai bekerja untuk saat yang ke-(k+1) jika telah imasukkan bahan baku ke sistem, an selanjutnya bahan baku tersebut merupakan input pemroses P1 paa saat aalah Selanjutnya karena waktu pemrosesan paa P1 satuan waktu, maka prouk iantara yang ke-k akan meninggalkan P1 paa saat sehingga iperoleh persaman berikut: Untuk semua sistem ari persamaan-persaman i atas apat itulis alam symbol an, iperolah : Selanjutnya evolusi sistem paa persamaan i atas ibuat menjai : Evolusi ari keaaan sistem apat ibuat alam bentuk : ( karena waktu paa saat prouksi telah selesai ilaksanakan paa waktu ke-k itu menunjukkan bahwa itu aalah waktu untuk memulai kembali prouksi paa waktu ke-k sehingga tiak terjai telat prouksi). Sehingga imana Nilai ihitung engan menggunakan Aljabar Maxplus Algebra toolbox, scilab versi 101 [3]. Selanjutnya apat ikaji keinamikan ari sistem engan mensimulasikan keaaan awal. Persamaan i atas mempunyai makna bahwa paa saat maka i proses 1 yaitu bahan baku telah masuk atau terseia i proses 1, sehingga proses 1 bisa ilaksanakan. Dalam membuat simulasi ari sistem yang telah ibuat engan menggunakan scilab, iperoleh hasil berikut : Dengan menggunakan penekatan yang sama seperti halnya paa unit pemroses P1, maka unit pemroses P2, P3 an seterusnya.

5 Ulfasari R / Jurnal Graien Vol.8 No.1 Januari 2012 : x y Terlihat bahwa hasil yang iperoleh belum memperlihatkan suatu perioic untuk keaaan awal [ ]. Sehingga untuk menentukan keaaan awal yang apat menghasilkan jawal yang perioic yang mengacu paa vector eigen engan perioe yang sesuai engan nilai eigen ari matriks, iperoleh : vx lam Terlihat bahwa mulai ari awal keaaan sistem suah perioik engan perioe sama engan (nilai eigen). Tabel 2 i bawah ini menunjukkan keaaan awal terbaik untuk memulai saat keaaan sistem aktif, yaitu saat waktu awal masing-masing proses P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10, P11, P12, P13, an P14 aktif. Sebab engan keaaan awal ini, kita akan memperoleh suatu jawal ari setiap mesin aktif secara teratur engan perioe sama engan Tabel 2. Keaaan awal keaaan sistem aktif Hari ke- Konversi Hari : Jam Rabu, jam Sabtu, jam Jumat, jam Sabtu, jam Kamis, jam Rabu, jam Rabu, jam MInggu, jam Rabu, jam Rabu, jam Rabu, jam Senin, jam Senin, jam Minggu, jam Kesimpulan Dalam paper ini telah ibahas pemakaian aljabar -plus paa sistem proses prouksi meubel rotan. Kemuian engan menggunakan software open source scilab an Max-Plus Algebra Toolbox, ver juga telah ikaji perilaku inamik sistem sehingga iperoleh vector eigen an nilai eigen untuk menapatkan jawal prouksi meubel yang perioic. Daftar Pustaka [1] Subiono, 2001, Terapan aljabar -plus paa proses prouksi-perakitan, Seminar Nasional Matematika, UGM-Jogya. [2] Subiono, 2002, Pemoelan suatu sistem jaringan kereta engan menggunakan jawal keberangkatan kereta, Jounal Natural vol.6, pp [3] Subiono, 2009, Max-Plus Algebra Toolbox, ver. 1.01