Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG
DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1. Domain adalah himpunan di mana PD terdenisi. Biasanya domain berupa himpunan (interval) terbuka (a, b), a dan b disebut titik batas. Masalah syarat batas (MSB) dimensi 1 adalah sebuah persamaan diferensial dengan tambahan syarat penyelesaian di kedua ujung interval/domainnya. Contoh: d 2 u dt 2 du + k(t) + p(t)u = f (t), t (a, b) (1) dt u(a) = α, u(b) = β. (2) Persamaan dasar (underlying): PD linear takhomogen orde 2. Domain: (a, b) Unsur yang diberikan: fungsi k(t), p(t) dan f (t), konstanta α dan β. Syarat batas: u(a) = α, u(b) = β Penyelesaian adalah fungsi u = u(x) yang memenuhi (1) dan (2).
JENIS-JENIS MSB Berdasarkan jenis persamaan yang mendasari PD biasa dan PD Parsial domain dimensi 2 dan dimensi lebih tinggi Berdasarkan order derivatif tingkat dua dan tingkat tinggi Khusus tingkat satu (rst order) hanya muncul masalah nilai awal (MNA) Jenis syarat batas syarat batas Dirichlet: spesikasi nilai penyelesaian pada batas domain, e.g. u(a) = α, u(b) = β. syarat batas Neumann: spesikasi nilai derivatif pada batas domain, e.g. u (a) = α, u (b) = β. syarat batas Robin (campuran): spesikasi nilai penyelesaian dan derivatifnya pada batas domain, e.g. u(a) = α, u (b) = β. Bila domain pada ruang berdimensi 2, misal Ω R 2 maka persamaannya berupa PD parsial dan batasnya berupa kurva lengkung Γ := Ω.
Contoh Domain MSB dimensi 2 X 2 : batas domain X 2 1 2 0 : domain 3 0 X 1 X 1 Contoh MSB yang bersuaian: Persamaan konduksi panas keadaan steady 2 u x 2 + 2 u y 2 = f (x, y), (x, y) Ω u Γ = 0 Notasi u Γ := u(x, y) = 0 pada (x, y) Γ.
Masalah Nilai Awal Syarat batas (MNASB) Bila state u tidak hanya bergantung pada variabel lokasi (spasial), tetapi juga waktu (time) yaitu u = u(x, t), x Ω dan t [0, T ] maka diperoleh masalah nilai awal dan syarat batas. Contoh: Persamaan gelombang dimensi dua 2 u x 2 + 2 u y 2 = 1 2 u c 2 t 2, (x, y) Ω, t > 0 u(x, y, t) = 0, (x, y) Ω, t > 0 (3) u(x, y, 0) = f (x, y), (x, y) Ω (4) u(x, y, 0) t = g(x, y), (x, y) Ω (5) Relasi (3) disebut syarat batas krn ia mensyaratkan nilai solusi pada batas domain. Relasi (4) dan (5) adalah syarat awal, yaitu kondisi solusi ketika t = 0 di mana f dan g diberikan dimuka. MNASB dimensi dua atau lebih sangat sulit ditangani. Kita hanya membatasi MSB dimensi 1 khususnya pada aspek pemodelannya.
Pemodelan Menggantung Kabel Permasalahan: menentukan bentuk (shape) kabel yang diikat di kedua tiang pada ketinggian tertentu (umumnya berbeda) dan membawa beban yang terdistribusi sepanjang kabel. Contoh: Kabel listrik tegangan tinggi, jembatan gantung. Y h 0 tiang 1 ketinggian 1 y = u(x) kabel tiang 2 h 1 ketinggian 2 x x+ x 0 a X Figure: Model Real Kabel Digantung Asumsi: Gaya yang bekerja pada kabel berupa tegangan dan arahnya pada setiap titik adalah mengikuti arah garis singgung di titik tsb.
Pemodelan (lanjutan) Misalkan u(x) posisi garis tengah kabel terhadap sumbu X, diukur ke atas, yaitu tinggi kabel terhadap standar permukaan. Perhatikan segmen [x, x + x]. Hukum Newton kedua, jumlah (total) gaya pada komponen horizontal pada segmen tersebut adalah 0, begitu juga komponen vertikalnya. F y F β F x G x G α x f(x) x x+ x Figure: Modeling Horizontal di titik x + x adalah F x := F cos β, di titik x adalah G x = G cos α di mana F tegangan arah garis singgung. Tanda negatif karena α berada pada kuadran III.
Misalkan α := φ(x) sudut yang dibentuk oleh tensi thd sb horizontal di titik x dan β := φ(x + x) utk hal yang sama tetapi di titik x + x maka pada komponen horizontal berlaku T (x + x) cos (φ(x + x)) T (x) cos (φ(x)) = 0 (6) di mana T (x + x) := F dan T (x) := G. Di sini f (x) itensitas beban terdistribusi shg f (x) x beban yang diberikan oleh kabel pada segmen kecil [x, x]. Karena itu kuantitas ini terakumulasi pada komponen gaya arah vertikal. Dengan argumen yang sama, yaitu menggunakan aturan perbandingan trigonometri diperoleh gaya arah vertikal sbb: T (x + x) sin (φ(x + x)) T (x) sin (φ(x)) f (x) x = 0 (7) Dari (6), diperoleh komponen horizontal di kedua titik ujung sama, yaitu F x = G x := T maka diperoleh T (x + x) = Substitusi hasil ini ke (7) diperoleh T cos(φ(x + x)), T (x) = T cos(φ(x)).
T T sin (φ(x + x)) sin (φ(x)) f (x) x = 0 cos(φ(x + x)) cos(φ(x)) yaitu T (tan(φ(x + x) tan(φ(x))) f (x) x = 0. Karena tan (φ(x)) := du (x) maka diperoleh dx ( T u (x + x) u (x) = f (x) x. Kedua ruas dibagi dengan x kemudian diambil limit untuk x 0 maka diperoleh Syarat batas T d 2 u = f (x), 0 < x < a. (8) dx 2 u(0) = h0, dan h(a) = h1. (9) Persamaan (8) dengan syarat (9) berupa MSB untuk model gantungan kabel.
Kasus berdasarkan bentuk fungsi beban f (x) f (x) x := w s x, yakni kabel menggantung berdasarkan berat w per x satuan panjang s di mana s panjang busur (lengkungan) kabel sehingga ( ) 2 s lim = du 1 +. x 0 x dx Dengan asumsi ini persamaan diferensial (8) menjadi d 2 ( ) 2 u = w du dx 2 1 +, 0 < x < a, (10) T dx u(0) = h0, dan h(a) = h1. (11) f (x) x = w x, yakni kabel menopang beban yang terdistribusi secara seragam. Keadaan ini cocok pada kabel unruk suspensi sebuah jembatan. Jadi MSB yang bersesuaian adalah d 2 u = w, dx 2 0 < x < a. (12) T u(0) = h0, dan h(a) = h1. (13)
Bentuk Umum Penyelesaian Persamaan diferensial (12) dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan karakteristiknya dan prinsip superposisi. Penyelesaian umumnya adalah ( w ) u(x) = x 2 + c1x + c2, 2T di mana c1 dan c2 konstanta sebarang. Substitusi syarat batas (13) maka c1 dan c2 dapat ditemukan sehingga diperoleh penyelesaian khusus u(x) = w (x 2 ax) + h 1 h0 x + h0. (14) 2T Coba simulasikan penyelesaian ini dengan menetapkan konstanta w = 3 satuan berat per sat panjang, T = 5 satuan gaya. Mainkan parameter a, h0 dan h1. Bagaimana pola lengkungan kabel yang digantung tersebut. a