Bab II Model Lapisan Fluida Viskos Tipis Akibat Gaya Gravitasi

Transkripsi

1 Bab II Model Lapisan Fluida Viskos Tipis Akibat Gaya Gravitasi II.1 Gambaran Umum Model Pada bab ini, kita akan merumuskan model matematika dari masalah ketidakstabilan lapisan fluida tipis yang bergerak turun pada suatu bidang inklinasi, dibawah pengaruh gaya gravitasi, seperti pada Gambar II.1. Ketebalan lapisan fluida, h(x,y), diasumsikan sangat kecil dibandingkan panjang bidang, serta fluida yang mengalir diasumsikan adalah fluida viskos dan bersifat tak mampat (incompressible). Gambar II.1: Model dari lapisan fluida tipis yang mengalir pada suatu bidang inklinasi, dibawah pengaruh gaya gravitasi. Model matematika dari lapisan fluida tipis dibangun dari Persamaan Kontinuitas (continuity equation) dan Persamaan Navier-Stokes, serta melibatkan faktor gravitasi sebagai gaya eksternal.

2 5 Kondisi batas yang terlibat dalam masalah lapisan fluida tipis adalah kondisi batas pada dua lapis batas (interface), yaitu lapis batas fluida dengan permukaan padat(solid) dan fluida dengan udara (permukaan bebas). Pada lapis batas fluida-permukaan padat (z = 0), akan digunakan kondisi batas tidak-slip untuk model prekursor dan penggunaan parameter slip untuk model slip. Kondisi batas untuk lapis batas fluida-udara (permukaan bebas) adalah kekontinuan tegangan geser (shear stress). Hal ini dikarenakan fase udara diasumsikan tidak viskos. Kondisi batas lain yang digunakan yaitu bahwa terdapat suatu lompatan tekanan melewati lapis batas. Ukuran dari lompatan ini sebanding dengan tegangan permukaan. Jika lapis batas datar, maka lompatan tekanan adalah nol, sedangkan jika lapis batas adalah suatu kurva tak datar, maka lompatan tekanannya adalah suatu fungsi linier dari kurvatur pada permukaan bebas. II.2 Hampiran Lubrikasi Teori tentang aliran lapisan fluida tipis dikenal sebagai teori lubrikasi, dan merujuk kepada suatu rumus matematika standar yang dikenal sebagai hampiran lubrikasi [1]. Adapun titik awal untuk memodelkan hampiran lubrikasi adalah Persamaan Navier-Stokes. Perhatikan persamaan Navier-Stokes untuk fluida yang tak mampat, dengan gaya gravitasi sebagai gaya luar : u t + (u 3) u = 1 ρ p + µ ρ 2 3u + g sin αi g cos αk, (2.1) dengan u = u(x, y, z, t) = (u, v, w) adalah vektor kecepatan fluida, dan 2 3 = 2 x y z 2 adalah operator Laplace, p adalah tekanan, g adalah gravitasi, ρ densitas fluida, µ adalah viskositas fluida, dan α adalah sudut inklinasi, serta i dan

3 6 k adalah vektor satuan dalam arah x dan z (lihat Gambar II.1). Bagian kedua dari ruas kiri menyatakan gaya inersia, sedangkan bagian kedua dari ruas kanan menyatakan gaya viskositas dari fluida. Adapun pengaruh gravitasi dinyatakan oleh dua suku terakhir dari ruas kanan. Untuk memudahkan analisis selanjutnya, kita akan menormalkan (2.1). Misalkan ɛ = h c /L dengan h c adalah skala untuk z (ketinggian dari lapisan), L adalah skala untuk komponen x dan y, serta U, P, T berturut-turut adalah skala untuk kecepatan, tekanan, dan waktu. Jika diasumsikan h c /L 1, maka kondisi tak mampat dari fluida, 3 u = 0, menyebabkan skala dari w haruslah U h c L. Misalkan t adalah variabel waktu tak berdimensi (hal yang sama untuk variabel lainnya), maka diperoleh skala dan variabel tak berdimensi : t = T t, p = P p, x = Lx, y = Ly, z = h c z, u = Uu, v = Uv, w = U h c L w, sehingga dengan menggunakan penskalaan T = L/U dan P = µlu diperoleh persamaan tak berdimensi berikut : ɛ 2 Re Du = p Dt x + ɛ2 ɛ 2 Re Dv Dt = p ɛ 4 Re Dw Dt = p z + ɛ4 dimana ( ) 2 u x + 2 u + 2 u y 2 z + h2 cρ g sin α, 2 µu ( ) 2 y + v ɛ2 x + 2 v + 2 v 2 y 2 z, ( ) 2 2 w x + 2 w + ɛ 2 2 w 2 y 2 z h c 2 L tan α D Dt = t + u x + v y + w z h 2 c h 2 cρ g sin α, µu adalah turunan total, dan Re = ULρ adalah bilangan Reynold, yaitu bilangan µ yang menyatakan perbandingan antara gaya inersia dengan gaya viskositas dari fluida. Dalam teori lubrikasi, diasumsikan bahwa Re 1.

4 Misalkan u = (v, w) dengan v = (u, v), serta diasumsikan tan α = O maka diperoleh hampiran lubrikasi dalam bentuk berdimensi : dengan 2 = ( x, y ). 7 ( ) hc, L 2 p = µ 2 v + ρg sin αi, z2 (2.2) p z = ρg cos α, (2.3) Selanjutnya, p akan dihitung sebagai fungsi dari (x, y). Dengan mengintegralkan Persamaan (2.3), diperoleh : p = p(z) = (ρg cos α) z + C, dengan C adalah suatu konstanta. Jika p dihitung pada z = h(x, y) diperoleh p(h) = (ρg cos α) h + C, sehingga p = ρg (z h) cos α + p(h). Dengan menggunakan kondisi batas Laplace-Young p(h) = γκ + p 0, dengan κ adalah kurvatur dari batas, γ adalah tegangan permukaan, dan p 0 adalah tekanan atmosfir dalam fase udara, maka : p = ρg (z h) cos α γκ + p 0. (2.4) Selanjutnya, kita akan menghitung v dengan mengintegralkan Persamaan (2.2) dua kali, diperoleh : v = 1 µ 2p z2 2 ρg µ z2 (sin α) i + Az + B. (2.5) 2 Nilai A dan B dapat diperoleh dengan mensubstistusi kondisi batas dari model. Kondisi batas pada lapis batas fluida-udara, z = h(x, y), adalah : v z = 0. (2.6)

5 8 Adapun kondisi batas untuk lapis batas fluida-permukaan padat, z = 0, tergantung kepada pemilihan model. Pada model prekursor digunakan kondisi batas tidak slip, yaitu sedangkan pada model slip digunakan kondisi batas : dengan β adalah konstanta slip. v = 0, (2.7) v = β ( ) v 3h µ, (2.8) z Misalkan P = ρgh cos α γκ, maka dengan mensubstitusi kondisi batas (2.6) dan (2.7) diperoleh nilai A dan B untuk model prekursor, yaitu: ( 1 A = µ 2P ρg ) sin αi h dan B = 0. µ Dengan demikian, diperoleh kecepatan aliran fluida untuk model prekursor: v = ( 1 µ 2P ρg ) ( ) z 2 sin αi µ 2 hz. (2.9) Adapun untuk model slip, dengan menggunakan kondisi batas (2.6) dan (2.8) diperoleh kecepatan aliran fluida: v = ( 1 µ 2P ρg ) ( ) z 2 βµ sin αi hz. (2.10) µ 2 3 Definisikan rata-rata v sebagai : v = 1 h h 0 vdz = h2 3µ ( 2P ρg sin αi). Selanjutnya, dengan menggunakan konservasi massa : t + (hv) = 0 dengan v = v, dan = 2, serta menggunakan hampiran untuk kurvatur permukaan κ 2 h, maka diperoleh persamaan lapisan fluida tipis :

6 9 Untuk model prekursor t = 1 3µ [γh 3 2 h ρgh 3 h cos α + ρgh 3 sin αi ]. (2.11) Untuk model slip t = 1 3µ [γ ( h 3 + µβh ) 2 h ρg ( h 3 + µβh ) h cos α + ρg ( h 3 + µβh ) ] sin αi. (2.12) Persamaan (2.11) dan (2.12) adalah persamaan differensial parsial (PDP) orde empat yang menyatakan dinamika dari ketebalan fluida, h(x, y, t). Suku orde empat dari persamaan ini menyatakan pengaruh tegangan permukaan, sedangkan dua suku terakhir menyatakan pengaruh dari gravitasi. II.3 Persamaan Lapisan Fluida Tipis Tak Berdimensi Langkah pertama untuk mencari solusi dari Persamaan (2.11) dan (2.12) adalah membawa persamaan tersebut ke bentuk tak berdimensi. Misalkan tinggi fluida, h, diskalakan oleh h c yaitu tinggi fluida pada bagian belakang garis kontak (lihat Gambar II.2). Misalkan pula x c skala untuk x dan y, serta t c adalah skala untuk t, maka diperoleh variabel-variabel tak berdimensi: h = h, x = x, ȳ = y, t = t. (2.13) h c x c x c t c h c x c Gambar II.2: Model dari lapisan fluida tipis yang diskalakan. Didefinisikan panjang kapiler a = γ/ρg, dan bilangan kapiler Ca = µu/γ. Panjang kapiler a menyatakan seberapa besar pengaruh tegangan permukaan terhadap gravitasi, sedangkan bilangan kapiler Ca menyatakan perbandingan antara kekentalan fluida dengan tegangan permukaan.

7 10 Misalkan U adalah skala untuk kecepatan, maka dengan menggunakan skala x c = ( ) a 2 1/3 h c, t c = 3µ a 2 x c sin α γ h 2 c sin α, dan U = x c = 1 t c 3µ h2 cρg sin α, (2.14) diperoleh persamaan lapisan fluida tipis tak berdimensi untuk model prekursor yaitu : t = (h 3 2 h ) + D(α) (h 3 h ) 3 x, (2.15) dengan D(α) = (3Ca) 1/3 cot α, yang menyatakan ukuran dari komponen gravitasi (normal). Adapun untuk model slip, digunakan skala tambahan yaitu β = h2 c µ β, dimana β adalah parameter slip tak berdimensi. Dengan demikian, persamaan lapisan fluida tipis tak berdimensi untuk model slip adalah (ditulis dengan menghilangkan tanda garis) : t = (h 3 + βh ) 2 h + D(α) (h 3 + βh ) h (h3 + βh). (2.16) x Persamaan (2.15) dan (2.16) yang selanjutnya akan digunakan untuk menganalisis kestabilan dari aliran fluida yang mengalir pada bidang inklinasi. Perhatikan bahwa dalam hampiran lubrikasi yang digunakan dalam penurunan persamaan lapisan fluida tipis, mensyaratkan bahwa kemiringan dari permukaan bebas adalah kecil. Syarat ini mengakibatkan [(h c /a) sin α] 2/3 1. Dengan demikian, ketebalan maksimum dari lapisan fluida yang masih memenuhi syarat hampiran lubrikasi tergantung kepada α. Jika α kecil maka syarat ini selalu dipenuhi, tetapi untuk α yang besar maka syarat ini hanya dipenuhi untuk lapisan fluida yang sangat tipis.