Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Transkripsi

1 Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 11-12: Finite Dierence Method for PDE Wave Eqs Tim Ilmu Komputasi Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan

2 1 Masalah Gelombang order dua 1D 2 Skema Numerik 3 Latihan 4 Algorithm 5 Next

3 Masalah Gelombang order dua 1D Governing equations Kita akan membahas PDP tipe hiperbolik yakni persamaan gelombang orde dua dimensi satu. Persamaan pengantur dari persamaan gelombang pada domain [0, L] diberikan sebagai berikut: 2 u(x, t) = t 2 c 2 2 u(x, t), x 2 x (0, L), t > 0, (1.1) u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, t 0, (1.2) u(x, 0) = f (x), u(x, 0) = g(x), x [0, L]. (1.3) t dengan u(x, t) menyatakan gelombang elastis senar pada posisi x dan waktu t. Konstanta c meyatakan kecepatan gelombang. Karena persamaan (1.1) merupakan persamaan PDP orde dua terhadap waktu, maka pada masalah nilai batas membutuhkan dua buah kondisi awal (1.3).

4 Skema Numerik Partisi domain 1D Bentuk diskrit dari gelombang ( ) dengan menggunakan metode beda hingga skema eksplisit akan diberikan. Figure : Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi. Untuk mempermudah dan menyederhanakan masalah, misalkan domain spasial kita Ω = [0, 1] yaitu dengan panjang domain L = 1 dan domain waktu [0, T ]. Tahap pertama, diskrit dari domain spasial M = {1, 2, 3,, M 1} dibentuk dengan membagi domain Ω menjadi M buah partisi, dengan M Z + (lihat Gambar 1).

5 Skema Numerik Partisi domain 1D Tahap pertama, diskrit dari domain spasial dalam M = {1, 2, 3,, M 1} dibentuk dengan membagi domain Ω menjadi M buah partisi, dengan M Z + (lihat Gambar di atas). Untuk grid batas hanya ada dua yakni {0, M}, jadi diskrit domain keseluruhan dapat ditulis sebagai M + {0, M}. Tahap kedua, diskrit domain waktu didenisikan sebagai T = {0, 1, 2, 3,, T n }, dengan T n Z + adalah banyaknya partisi waktu.

6 Skema Numerik Partisi domain 1D Selanjutnya kita akan bertumpu pada lattice untuk mengampiri solusi secara numerik. Jika ukuran partisi/grid untuk spasial dan waktu seragam, maka ukuran grid dapat kita notasikan dengan x dan t berurutan.

7 Skema Numerik Partisi domain 1D Sehingga titik grid (x k, t n ) dapat dipilih sebagai: x k = k x, k M, x = 1 M, t n = n t, n T t = T T n,. Ganti notasi u(t, x) pada persamaan ( ) dengan notasi v(x k, t n ) = v n k untuk solusi numerik.

8 Skema Numerik Diskritisasi 1D wave Sehingga metode beda hingga skema eksplisit untuk persamaan (1.1) adalah v n+1 k 2v n k + v n 1 k t 2 = c 2 v n k+1 2v n k + v n k 1, x 2 k M, n T, (2.1) dengan v(x k, t n ) = v n k menyatakan solusi numerik untuk u(x, t).

9 Skema Numerik Diskritisasi 1D wave Akan tetapi, untuk memulai proses perhitungan, kita memerlukan nilai v pada dua level waktu pertama. Yaitu kita perlu mengetahui nilai {v 0 k }M k=0 dan {v 1 k }M k=0. Dengan jelas kita dapat menggunakan nilai untuk level waktu n = 0 dengan v 0 k = f (x k), k M + {0, M}. (2.2)

10 Skema Numerik Diskritisasi 1D wave Sedangkan, untuk mencari nilai pada level waktu n = 1, kita dapat menggunakan expansi Taylor orde dua terhadap waktu dan persamaan u t = g(x) pada (1.3) yaitu u(x, t) = u(x, 0) + ( t)u t (x, 0) + t2 2 u tt(x, 0) + O ( ( t) 3) = f (x) + ( t)g(x) + t2 2 f (x) + O ( ( t) 3). dengan f (x) dapat dicari melalui persamaan (1.1) yaitu u tt (x, 0) = u xx (x, 0) = f (x).

11 Skema Numerik Diskritisasi 1D wave Sehingga kita dapat menghitung nilai v 1 k u(x k, t) dengan untuk menghampiri v 1 k v 0 k t = g(x j ) + t 2 x 2 (v 0 k 1 2v 0 k + v 0 k 1 ), k M. (2.3)

12 Skema Numerik Diskritisasi nilai awal 1D wave Untuk n=0 v 0 k = f (x k), k M + {0, M}. (2.4) Untuk n=1 v 1 k v 0 k t = g(x j ) + t 2 x 2 (v 0 k 1 2v 0 k + v 0 k 1 ), k M. (2.5)

13 Latihan Latihan 1D wave Diberikan masalah nilai awal dan batas untuk persamaan panas seperti berikut: 2 u t = 2 c 2 2 u, x (0, 1), t > 0 x 2 u(x, 0) = f (x), u t (x, 0) = g(x), x [0, 1] u(0, t) = a(t), u(1, t) = b(t), t 0 dengan f (0) = a(0), dan f (1) = b(0). 1. Tentukan nilai v(k x, n t) untuk n = 0, 1, 2, 5, dengan f (x) = sin(2πx), g(x) = 0, a = b = 0, M = 10, c = 1, dan t = ! 2. Sama dengan pertanyaan (a), akan tetapi gunakan t = !

14 Algorithm Algorithm

15 Algorithm Problem 1D heat Demo Buatlah program dari Algoritma 1 menggunakan MATLAB! Gunakan nilai dan parameter pada masalah PDP di Home Work sebelumnya!

16 Algorithm Home Work! Diberikan PDP untuk memodelkan getaran senar gitar secara vertikal dengan nilai awal dan batas seperti berikut: 2 u t = 2 c 2 2 u, x (0, 1), t > 0 x 2 u(x, 0) = f (x), u t (x, 0) = g(x), x [0, 1] u(0, t) = a(t), u(1, t) = b(t), t 0 dengan f (0) = a(0), dan f (1) = b(0). Tentukan nilai v(k x, n t) untuk n = 0, 1, 2, 5, dengan f (x) = sin πx, g(x) = 0, a = b = 0, M = 20, c = 1, dan t = ! Bandingkan hasilnya dengan t = !

17 Next Coming up next! Siap-siap untuk tugas besar! Presentasi akan diadakan di minggu ke 14, jadwal dan lokasi akana ditentukan kemudian. Good luck, sampai ketemu di lain kesempatan.

18 End of presentation!