Bab 2 TEORI DASAR. 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal

Transkripsi

1 Bab 2 TEORI DASAR 2.1 Linearisasi Persamaan Air Dangkal Persamaan air dangkal merupakan persamaan untuk gelombang permukaan air yang dipengaruhi oleh kedalaman air tersebut. Kedalaman air dapat dikatakan dangkal jika kedalaman air jauh lebih kecil daripada panjang gelombangnya. persamaan air dangkal dapat diterapkan jika h λ 1 11 dan A h 1 10, Selain itu, dengan A menyatakan amplitudo gelombang permukaan, h menyatakan kedalaman air, dan λ menyatakan panjang gelombang permukaan. Berdasarkan hukum konservasi massa dan hukum konservasi momentum, secara berturut-turut diperoleh kedua persamaan berkut : η t + ((η + h)u) x = 0, (2.1.1) u t + uu x + g(η + h) x = 0, (2.1.2) dengan u menyatakan kecepatan horizontal partikel fluida yang ada di permukaan air laut, η menyatakan simpangan permukaan air laut dari keadaan setimbang, h meyatakan kedalaman air laut, dan g adalah konstanta gravitasi bumi. Persamaan (2.1.1) dan (2.1.2) dikenal sebagai persamaan air dangkal. 6

2 BAB 2. TEORI DASAR 7 Persamaan air dangkal pada (2.1.1) dan (2.1.2) akan dilinierkan agar kedua persamaan tersebut menjadi lebih mudah untuk dipelajari. Untuk melinierkan persamaan air dangkal, diperlukan solusi equilibrium η(x, t) dan u(x, t), yaitu solusi yang tidak bergantung pada parameter t. Solusi equilibrium yang memenuhi persamaan air dangkal (2.1.1) dan (2.1.2) adalah η(x, t) 0 dan u(x, t) 0. Kemudian misalkan η(x, t) berorde ε dan u(x, t) juga berorde ε sehingga ekspansi η(x, t) dan u(x, t) di sekitar solusi equilibrium adalah sebagai berikut : η(x, t) = 0 + ε η(x, t), (2.1.3) u(x, t) = 0 + εû(x, t), (2.1.4) dengan ε bilangan yang sangat kecil. Kemudian η(x, t) dan û(x, t) akan dicari. Substitusikan (2.1.3) dan (2.1.4) ke dalam (2.1.1) sehingga diperoleh h t + ε η t + ε û x (h + ε η) + h x εû + ε η εû = 0. (2.1.5) x Suku-suku berorde ε pada persamaan (2.1.5) memberikan persamaan berikut : η t + hû x + h x û = 0, atau dapat ditulis η t = (hû) x. (2.1.6) Kemudian substitusikan (2.1.3) dan (2.1.4) ke (2.1.2) sehingga diperoleh ε û t + ε û + h εû + gε η x x = 0. (2.1.7) Suku-suku berorde ε pada persamaan (2.1.7) memberikan persamaan berikut : û t + g η x = 0, atau dapat ditulis û t = g η x. (2.1.8)

3 BAB 2. TEORI DASAR 8 Persamaan (2.1.6) dan (2.1.8) dikenal sebagai persamaan air dangkal linier atau linier SWE yang secara eksplisit dapat ditulis sebagai berikut : η t = (hû) x (2.1.9) û t = g η x 2.2 Ekspansi Asimtotik Metode ekspansi asimtotik digunakan untuk mencari hampiran solusi dari suatu persamaan yang mengandung parameter dengan orde sangat kecil. Sebelum mendefinisikan hampiran asimtotik dari suatu fungsi, akan diperkenalkan simbol urutan yang merupakan ukuran relatif urutan fungsi. Pada definisi berikut, f, dan g merupakan fungsi skalar dengan peubah x dengan parameter ε. Definisi Fungsi f dikatakan O-besar dari fungsi g untuk ε ε 0, ditulis f = O(g) untuk ε ε 0, jika terdapat suatu k dan suatu lingkungan N(ε 0 ) di ε 0 sehingga Hal khusus, jika g 0 untuk ε N(ε 0 ), f(x, ε) lim ε ε 0 g(x, ε) f k g, ε N(ε 0 ). (2.2.1) = S, 0 < S < f = O(g). (2.2.2) 2. Fungsi f dikatakan o-kecil dari fungsi g untuk ε ε 0, ditulis f = o(g) untuk ε ε 0, jika untuk setiap c terdapat suatu lingkungan N(ε 0 ) di ε 0 sehingga Hal khusus, jika g 0 untuk ε N(ε 0 ), f c g, ε N(ε 0 ). (2.2.3) f(x, ε) lim ε ε 0 g(x, ε) Notasi lain untuk f = o(g) adalah f g. = 0 f = o(g). (2.2.4) Melalui transformasi translasi, limit ε ε 0 dapat diubah menjadi ε 0. Untuk ε 0, ε merupakan suatu parameter bernilai kecil, dinotasikan dengan ε 1.

4 BAB 2. TEORI DASAR 9 Berikut ini diberikan definisi dari hampiran asimtotik, barisan asimtotik, dan ekspansi asimtotik. Definisi 2.2. Diberikan f(ε) dan g(ε). Fungsi g(ε) dinamakan hampiran asimtotik dari f(ε) untuk ε ε 0 jika f = g + o(g) untuk ε ε 0. Pada kasus ini dapat ditulis f g untuk ε ε 0. Jika g(ε) 0 di sekitar ε 0, maka g adalah hampiran asimtotik dari f untuk ε ε 0 dapat ditulis sebagai f(ε) lim ε ε 0 g(ε) = 1. (2.2.5) Definisi 2.3. Barisan fungsi g 1, g 2,... dinamakan barisan asimtotik untuk ε ε 0 jika dan hanya jika g n = o(g m ), ε ε 0 untuk setiap m dan n yang memenuhi m < n. Definisi 2.4. Jika g 1, g 2,... adalah barisan asimtotik, maka f(ε) memiliki ekspansi asimtotik untuk n suku yang berkaitan dengan barisan tersebut jika dan hanya jika f = Σ m k=1a k g k (ε) + o(g m ) untuk m = 1,..., n dengan ε ε 0, (2.2.6) dimana a k tidak bergantung pada ε. Pada kasus ini, dapat ditulis Fungsi g k disebut fungsi skala. f a 1 g 1 (ε) + a 2 g 2 (ε) a m g m (ε) (2.2.7) Definisi 2.4 dapat digunakan apabila fungsi skala diketahui atau diberikan. Cukup banyak fungsi skala yang dapat diterapkan pada (2.2.6) dan (2.2.7), tetapi terdapat dua fungsi skala yang sering digunakan yaitu : 1. ϕ 1 = (ε ε 0 ) α, ϕ 2 = (ε ε 0 ) β, ϕ 3 = (ε ε 0 ) γ,... dengan α < β < γ <... (untukε ε 0 ), 2. ϕ 1 = 1, ϕ 2 = e 1/ε, ϕ 3=e 2/ε,... (untuk ε ε 0 ). Berikut ini akan adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan suatu persamaan dengan metode ekspansi asimtotik

5 BAB 2. TEORI DASAR Misalkan diketahui suatu persamaan sebagai berikut : F (x, y) = 0, (2.2.8) dengan F suatu operator (dalam tugas akhir ini, F merupakan suatu operator differensial). 2. Misalkan ekspansi asimtotik yang digunakan adalah y(x) y 0 (x) + εy 1 (x) + ε 2 y 2 (x) +... (2.2.9) 3. Substitusikan ekspansi asimtotik yang diberikan oleh (2.2.9) ke dalam (2.2.8) sehingga akan diperoleh suku-suku berorde 1, berorde ε, berorde ε 2, dan seterusnya. 4. Selesaikan persamaan yang disusun oleh suku-suku berorde 1 sehingga dapat diperoleh solusi untuk y 0 (x). 5. Substitusikan y 0 (x) ke dalam persamaan yang disusun oleh suku-suku berorde ε, kemudian selesaikan untuk memperoleh solusi y 1 (x). 6. Langkah-langkah untuk memperoleh y 0 (x) dan y 1 (x) dapat diteruskan secara sistematis untuk memperoleh y 2 (x), y 3 (x), dan seterusnya. 7. Hampiran solusi asimtotik dapat diperoleh dengan mensubstitusikan fungsifungsi y 0 (x), y 1 (x), dan seterusnya ke dalam persamaan (2.2.9). Perlu diingat bahwa hampiran solusi asimtotik ini akan berlaku jika O(y 0 (x)) O(εy 1 (x)) O(ε 2 y 2 (x))... (2.2.10) 2.3 Metode Ekspansi Asimtotik Multi Skala Tidak semua persamaan differensial dapat diselesaikan dengan metode ekspansi asimtotik reguler. Pada kasus-kasus tertentu, ekspansi asimtotik reguler memberikan

6 BAB 2. TEORI DASAR 11 hampiran solusi yang sangat jauh berbeda dengan solusi eksaknya. Hal ini disebabkan adanya pengaruh yang tidak wajar dari satu atau lebih suku pada ekspansi asimtotik sehingga ekspansi asimtotik tidak memenuhi (2.2.10). Suku tersebut dinamakan suku sekuler. Untuk mengatasi masalah tersebut, maka suku-suku yang merupakan suku sekuler harus ditiadakan. Hal ini dapat dilakukan dengan cara menerapkan metode ekspansi asimtotik multi skala. Berikut ini akan diberikan suatu contoh yang dapat memperlihatkan bahwa metode ekspansi asimtotik reguler tidak dapat diterapkan. Kemudian akan ditunjukkan juga cara memperoleh hampiran solusi contoh tersebut dengan menggunakan metode ekspansi asimtotik multi skala. Misalkan persamaan differensial yang dimiliki adalah sebagai berikut dengan d 2 y dt + εdy + y = 0, untuk t > 0, (2.3.1) dt y(0) = 0 dan dy(0) dt Misalkan ekspansi asimtotik regular untuk y(t) adalah = 1. (2.3.2) y(t) = y 0 (t) + εy 1 (t) +... (2.3.3) Dengan menggunakan metode ekspansi asimtotik reguler diperoleh bahwa hampiran solusi untuk (2.3.1) dan (2.3.2) adalah Sedangkan solusi eksaknya adalah y(t) = y(t) sin(t) 1 εt sin(t). (2.3.4) ε2 /4 e εt/2 sin(t 1 ε 2 /4). (2.3.5) Perhatikan Gambar 2.1, hampiran solusi yang diberikan oleh (2.3.4) sangat jauh berbeda dengan solusi eksaknya. Perhatikan juga bahwa untuk t membesar, maka

7 BAB 2. TEORI DASAR y t Solusi hampiran Solusi eksak Gambar 2.1: Solusi eksak (2.3.5) dan solusi asimtotik reguler (2.3.4) untuk ε = 0.1. suku kedua pada (2.3.4) juga membesar. Suku kedua pada (2.3.4) memiliki orde 1 ketika εt O(1), atau dapat ditulis O(εy 1 ) = O( 1 εt sin(t)) = O(1) ketika εt O(1). 2 Ini berarti O(y 0 ) = O(εy 1 ) yang mengakibatkan (2.2.10) tidak dipenuhi. Dengan demikian, suku kedua pada ruas kanan (2.3.4) disebut suku sekuler. Perhatikan bahwa jika εt 1, maka t = O( 1 ). Oleh karena itu, untuk menghi- ε langkan suku sekuler, diperlukan tambahan variabel baru yang berorde 1. Jika variabel sebelumnya adalah t 1 = t, maka variabel tambahannya adalah t 2 = εt, dengan t 2 = O(1) ketika t = O(1/ε). Variabel t 1 dan t 2 secara berturut-turut dinamakan variabel cepat dan lambat. Dengan kedua variabel waktu tersebut, maka turunan yang berlaku adalah sebagai berikut d dt = dt 1 dt dan ekspansi asimtotiknya adalah + dt 2 t 1 dt t 2 = + ε, (2.3.6) t 1 t 2 y = y 0 (t 1, t 2 ) + εy 1 (t 1, t 2 ) +... (2.3.7)

8 BAB 2. TEORI DASAR 13 Langkah selanjutnya pada metode ekspansi asimtotik multiple scale sama seperti langkah-langkah pada metode ekspansi asimtotik reguler. Pertama-tama, substitusikan (2.3.6) dan (2.3.7) ke dalam (2.3.1) dan (2.3.2). Kemudian selesaikan persamaan untuk suku-suku berorde 1, suku-suku berorde ε, dan seterusnya. Untuk suku-suku berorde 1 diperoleh 2 y 0 t y 0 = 0, dengan y 0 = 0 dan y 0 t 1 = 1 di t 1 = t 2 = 0, (2.3.8) sehingga solusi untuk y 0 adalah y 0 = a 0 (t 2 ) sin t 1 + b 0 (t 2 ) cos t 1, (2.3.9) dimana a 0 (0) = 1 dan b 0 (0) = 0. (2.3.10) Perlu diketahui bahwa a 0 dan b 0 adalah fungsi yang bergantung pada t 2. Untuk suku-suku berorde ε diperoleh 2 y 1 t y 1 = (b b 0 ) sin t 1 (a 0 + 2â 0 ) cos t 1, (2.3.11) dengan y 1 = 0 dan y 1 t 1 = y 0 t 2 di t 1 = t 2 = 0. Dengan demikian, solusi untuk y 1 adalah y 1 = a 1 (t 2 ) sin t 1 + b 1 (t 2 ) cos t (b b 0 )t 1 cos t (a 0 + 2â 0 )t 1 sin t 1 (2.3.12) dimana a 1 (0) = b 1 (0) = 0. (2.3.13) Perhatikan bahwa pada (2.3.12) terdapat suku yang dapat menjadi suku sekuler. Hal tersebut dapat dihindari dengan cara memilih a 0 dan b 0 sedemikian rupa sehingga suku sekuler tersebut tidak muncul yaitu dengan memilih b 0 +2 b 0 = 0 dan a 0 +2â 0 = 0.

9 BAB 2. TEORI DASAR 14 Dengan demikian, diperoleh hampiran solusi untuk (2.3.1) dan (2.3.2) adalah y e εt/2 sin t. Jika suku sekuler muncul pada suku ketiga yaitu ε 2 t = O(1), maka harus ditambahkan lagi variabel t 3 = ε 2 t. Kemudian selesaikan lagi secara sistematis untuk memperoleh solusi bagi suku-suku berikutnya. Berdasarkan contoh yang telah diuraikan, metode ekspansi asimtotik multi skala dapat diterapkan setelah ditemukan adanya suku sekuler pada ekspansi asimtotik biasa. Misalkan diketahui suatu persamaan sebagai berikut : F (x, y), (2.3.14) dengan F suatu operator (dalam tugas akhir ini, F merupakan suatu operator differensial). Kemudian misalkan ekspansi asimtotik yang digunakan adalah y(x) y 0 (x) + εy 1 (x) + ε 2 y 2 (x) +... (2.3.15) Langkah-langkah penyelesaian persamaan differensial dengan metode ekspansi asimtotik multi skala dapat dirangkum sebagai berikut : 1. Jika secular term ditemukan pada suku kedua ruas kanan persamaan (2.3.15), maka perkenalkan variabel baru x 1 = x dan x 2 = εx sehingga berlaku L(x 1, x 2, y), (2.3.16) dan ekspansi asimtotiknya adalah y(x) y 0 (x 1, x 2 ) + εy 1 (x 1, x 2 ) +... (2.3.17) 2. Substitusikan (2.3.17) ke dalam (2.3.16) sehingga dapat diperoleh suku-suku berorde 1, berorde ε, berorde ε 2, dan seterusnya.

10 BAB 2. TEORI DASAR Selesaikan persamaan yang disusun oleh suku-suku berorde 1 sehingga dapat diperoleh persamaan untuk y 0 (x 1, x 2 ). 4. Selesaikan persamaan yang disusun oleh suku-suku berorde ε, kemudian selesaikan untuk memperoleh solusi yang lengkap bagi y 0 (x 1, x 2 ). 5. Suku sekuler dapat dihindari dengan cara menolkan koefisien suku-suku pada ruas kanan persamaan berorde ε yang merupakan solusi homogennya.