Mengenang Jejak Sebagian Kecil Bangsa Indonesia Yang Pernah Mengikuti Ujian Sekolah Pada Masa Silam UJIAN PENGHABISAN SEKOLAH MENENGAH TINGKAT ATAS TAHUN 935 ALJABAR. HBS (Hogere Burger School) NI dan AMS (Algemeene Middelbare School) afd B, 935 Bangun a b c mencapai pada Kalau bangun tadi dibagi koefisien a, b, dan c. suatu harga yang terendah yang besarnya., maka sisanya. Hitunglah dari ketentuan-ketentuan ini Isikan harga-harga a, b, dan c yang telah ditemukan ini ke dalam y a b c. Lukislah grafik dari fungsi akhir ini, tentukan tempat perpotongan dengan sumbu-sumbu, tentukan sumbu simetri, dan tempat minimum (kesatuan ukuran = cm). Solusi: Karena grafik fungsi mempunyai nilai minimum (terendah), maka grafik terbuka ke atas, sehingga a 0. b a b a... () D b ac y a a b ac 6a... () f a b c h f a b c h a b c... (3) Dari persamaan () dan () diperoleh: a ac 6a a ac 6a ac 6... () Dari persamaan () dan (3) diperoleh: a a c a a c 6ac c 6a... (5) Dari persamaan () dan (5) diperoleh a 6a 6 a 8 a 6 5a 00 Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 0
a a a c 6a 6 3 a b a Jadi, persamaan fungsi tersebut adalah y 3 Menentukan koordinat titik potong grafik dengan sumbu koordinat: Grafik memotong sumbu X, jika y 0, sehingga 3 0 3 0 3 koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah,0 dan 3,0. Grafik memotong sumbu Y, jika 0, sehingga y 0 0 3 3 koordinat titik potong grafik dengan sumbu Y adalah 0, 3. b Sumbu simetri: a Karena a 0, fungsi mempunyai nilai ekstrim berjenis minimum yang nilainya adalah D b ac 3 6 8 y a a 6 Sketsa grafik fungsi 3 : y Y O X y 3 3,. HBS (Hogere Burger School) NI dan AMS (Algemeene Middelbare School) afd B, 935 Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 0
Untuk m berharga bulat berapa, maka akar-akar persamaan: kedua-keduanya positif? Solusi: Syarat kedua akar persamaan itu positif adalah () D b ac 0 m m m 7 3 3 0 m m 9 m 9 0 m 58 0 58 m 7 () 0 m 7 m 3 m 7 0 m 3 3 m 5 (3) 0 0 m 3 m 7 m 3 0 D b ac 0, 0, dan 0 m 3 0 m 3 m 3atau m 3 3 3 5 Dari () () (3) diperoleh m. 7 3. HBS (Hogere Burger School) Neerland, 935 Fungsi u log a b c mencapai pada harga. Fungsi a bc z mencapai pada 6 harga. Antara a, b, dan c ada perhubungan ac b 0. Fungsi y a b c adalah positif pada 0. a. Tunjukkanlah dengan suatu perhitungan, bahwa oleh ketentuan-ketentuan ini: a, b, dan c. Harga-harga ini lalu dimasukkan ke dalam ketiga fungsi y, u, dan z. b. Adakah bagi tiap harga sebuah harga y, u, dan z? Kalau tidak, maka hal ini terjadi pada fungsi mana (y, u, dan z) dan pada berharga berapa? c. Selidiki apakah fungsi-fungsi itu pernah menjadi nol; selidiki pula berharga berapa, hal ini terjadi. d. Selidiki apakah fungsi-fungsi itu mempunyai ekstrim, apakah ekstrim ini (ma atau min), di mana tempatnya (-nya), dan berapakah besarnya. Kepada hanya diberikan harga-harga sejati dan terbatas (eindig). Jikalau bilangan tak terukur (dengan akar) maka haruslah mereka didekati samapai decimal dengan sebuah daftar logaritma. Solusi: 3 Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 0
a. Jika, maka u, sehingga u log a b c log 6a b c 6a b c... () Jika 6, maka z, sehingga a bc z 36a6bc 36a 6b c 0 36a 6b c 0... () ac b 0... (3) Fungsi y a b c adalah positif pada 0, sehingga a 0 b0 c 0 c 0... () 3 persamaan () + persamaan () menghasilkan: 0a5c... (5) Dari persamaan () dan (3) diperoleh 6a ac c 6a ac c 0 ac c ac 0 0 a atau c Substitusikan a ke persamaan (5) sehingga diperoleh 0 5c 30 5c 5c 8 8 c (ditolak, karena c 0 ) 5 Substitusikan b ac (dari persamaan (3)) dan c ke persamaan (), sehingga diperoleh 36a 6 ac c 0 36a 6 a 0 36a a 0 60a a 60 Substitusikan a dan c ke persamaan (3), sehingga diperoleh b 0 Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 0
b Dengan demikian diperoleh fungsi-fungsi z b. Fungsi c., dan y. u log numerus logaritmanya 0, sehingga 60 0 6 0 0 6 0 u log, mempunyai tidak nilai atau tidak terdefinisi, jika Fungsi z mempunyai nilai untuk semua R. Fungsi y mempunyai nilai untuk semua R. u log 0 60 5 0 5 9 0 5 9 z 0, tidak ada nilai R yang memenuhi persamaan ini. y 0 60 0 6 0 0 6 0 d. Fungsi u log, akan bernilai maksimum jika fungsi y (numerous) bernilai maksimum juga. 5 Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 0
Jika b, maka fungsi y mencapai nilai maksimum sebesar a D b ac 6 0 yma. a a 60 Nilai maksimum tersebut dapat juga ditentukan sebagai berikut. yma. Dengan demikian, u ma 6 log 6 log log log log log 6 log loguma log log log 6 log log log log log,806,76 log 0,300 uma,093 log 0,630 0,786 0,799 0,786 0,308 Fungsi z mempunyai nilai ekstrim, jika fungsi y mencapai nilai ekstrim. b Jika, maka fungsi y mencapai nilai minimum sebesar a D b ac 6 0 ymin. a a 60 Nilai maksimum tersebut dapat juga ditentukan sebagai berikut. ymin. Dengan demikian, z min 6 log zmin log log w 6 w log 6 log w log log log log 6 log log log,806,76 log 0,300 6 Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 0
w, 8 0, 630 0, 786 0,087 log zmin,8 0,76 zmin 0,050 Fungsi y mempunyai nilai ekstrim maksimum. Jika y ma Bersambung b, maka fungsi y mencapai nilai maksimum sebesar a D b ac 6 0. a a 60 7 Husein Tampomas, Soal dan Solusi Ujian Penghabisan Sekolah Menengah Tingkat Atas, 0