PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)
|
|
|
- Johan Indradjaja
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan yang merupakan bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Banyak cara untuk mendapatkan faktor prima dari sebuah bilangan, diantaranya yang paling populer adalah dengan menggunakan pohon faktor. Akan tetapi penggunaan pohon faktor ini perlu didasari dengan penguasaan terhadap materi keterbagian sebuah bilangan. Untuk itu, Anda yang berminat agar membaca Aksioma Keterbagian yang ditulis oleh penulis yang sama. Contoh 1: Uraikan 1 atas faktor-faktor primanya! tidak dapat dibagi, tetapi habis dibagi. Karena itu, langsung bagi dengan hasilnya tidak habis dibagi dengan,, 5, dan 7. Karena itu faktor prima dari 1 hanya dan 107. Contoh : Uraikan 44 atas faktor-faktor primanya! habis dibagi (karena bilangan genap) hasilnya 1. 1 habis dibagi hasilnya habis dibagi hasilnya 5. 5 tidak habis dibagi,, 5, 7, 11, dan 1. Karena itu faktorfaktor prima 44 adalah dan 5 atau Contoh : Uraikan 0.00 atas faktor-faktor primanya! habis dibagi hasilnya habis dibagi hasilnya habis dibagi hasilnya habis dibagi 7 hasilnya habis dibagi hasilnya 1. Karena itu, fakor 7 14 prima dari 0.00 adalah,, 5, 7, , dan 1 atau dapat ditulis Created on 09/04/006 16:1:00
2 Penerapan faktor prima yang banyak dikenal adalah untuk menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua atau lebih bilangan, dan menentukan Faktor Pesersekutuan Terbesar (FPB) dari dua atau lebih bilangan. Bagian ini tidak akan dibahas dalam tulisan ini. Tulisan ini akan membahas penerapan faktor prima untuk menyelesaikan bentuk aljabar khususnya pemfaktoran bentuk aljabar dan peneyederhanaan pecahan bentuk aljabar, penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x, dan penyelesaian bentuk a b c, a, b, dan c asli. B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar Bentuk a b Bentuk a b dikenal dengan nama selisih dua kuadrat. Bentuk ini faktor-faktornya adalah (a + b) dan (a b). Karena itu, a b ( a b)... (1) Beberapa penerapan bentuk a b Sering kita menjumpai soal-soal seperti berikut ?...? ? Nampaknya soal ini bila diselesaikan secara biasa akan membutuhkan waktu yang agak lama. Namun, dengan menggunakan faktor-faktor selisih dari dua kuadrat, maka soal ini ternyata dapat diselesaikan hanya dalam hitungan detik. Perhatikan bentuk soal di atas bila diubah menjadi bentuk seperti berikut: ( ) (51 49) ( + ) ( ) ( ) (10 10) Soalnya amat mudah bukan? Tripel Pythagoras Salah satu teorema dalam matematika yang banyak digunakan adalah teorema Pythagoras. Teorema ini berbunyi pada segitiga siku-siku kuadrat hypotenusa sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya. Perhatikan gambar berikut: B a C b c A ABC siku-siku di titik C. AC b satuan, BC a satuan, dan AB c satuan. Menurut Pythagoras berlaku hubungan: c a + b, akibatnya: a c b dan b c a Created on 09/04/006 16:1:00
3 Perhatikan bahwa bentuk a c b yang dapat diubah menjadi a ( c + b)( c b), dan bentuk b c a dapat diubah menjadi b ( c + a)( c a). Dengan demikian, a ( c + b)( c b) ( c + b). ( c b),... () dan b ( c + a)( c a) ( c + a). ( c a)... () Bentuk () dan () masing-masing adalah panjang sisi a dan sisi b pada segitiga siku-siku dengan panjang hypotenusa c. Contoh 1: Tentukanlah panjang sisi ketiga pada sebuah segitiga sikusiku bila diketahui panjang hypotenusa 1 cm dan salah satu sisi siku-sikunya berukuran 1 cm! Perhatikan gambar! x x 5. 1 x 5.1 x 5 cm x...? Contoh : Segitiga ABC siku-siku di titik B. Bila AC 5 cm dan AB 4 cm, berapakah panjang BC? A Perhatikan gambar di samping! BC ( 5 + 4)(5 4) 4 B 5 BC...? C BC 49. BC 7.1 BC 7 cm Garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah garis singgung persekutuan dua buah lingkaran. Garis singgung persekutuan dua buah lingkaran yang dikenal ada, yaitu; (1) garis singgung persekutuan dalan (g d ), dan () garis singgung persekutuan luar (g l ). 1 Created on 09/04/006 16:1:00
4 Untuk menemukan rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran perhatikan gambar berikut: A' Perhatikan gambar! R g Lingkaran P pusatnya di titik P d A dengan jari-jari r, dan lingkaran O r pusatnya di titik O dengan jari-jari d P O R. Jarak antara kedua pusat g d R lingkaran yaitu OP d. Panjang garis singgung persekutuan dalam B kedua lingkaran adalah AB g d satuan. Berapakah AB? Untuk menemukan jawabannya, maka garis AB ditranslasikan oleh tranlasi B O sehingga titik B berimpit dengan titik O, titik A akan berimpit dengan A. Dengan demikian, AA R, A O g d, dan PA ' r + R. Didapatkan segitiga siku-siku seperti pada gambar berikut: A' R g d A r d P O Perhatikan bahwa segitiga siku-siku PA O siku-siku di titik A. Panjang hypotenusanya d satuan, sedang sisi siku-sikunya masingmasing adalah panjang garis singgung dalam (g d ) dan jumlah jari-jari kedua lingkaran (r + R). Dengan demikian didapatkan hubungan: d (g d ) + (r + R) yang mengakibatkan : (g d ) d (r + R),... (4) dan (r + R) d (g d )... (5) Persamaan (4) dapat diubah menjadi: (g d ) d (r + R) (g d ) (d + r + R)(d r R) g d ( d + r + R). ( d r R)... (6) Persamaan (5) dapat diubah menjadi: (r + R) d (g d ) (r + R) (d + g d )(d g d ) r + R) ( d + g ). ( d g )... (7) ( d d Persamaan (6) dan (7) inilah yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal garis singgung persekutuan dalam. Contoh 1: Created on 09/04/006 16:1:00
5 Perhatikan gambar di bawah ini! Panjang PQ 0 cm, PA 8 cm, dan AB 16 cm. Tentukan perbandingan luas lingkaran I dan II!. P 8 A 16 0 B Q I II g d 16 r...? R 8 d 0 Agar soal ini mudah diselesaikan, digambarkan dalam bentuk segitiga siku-siku, sedemikian sehingga didapatkan hubungan : ( r + R) ( d + g d ). ( d g d ) ( r + 8) (0 + 16). (0 16) ( r + 8) 6. 4 ( r + 8) 6. 1 r 4 Perbandingan Luas I : Luas II R : r 8 : 4 64 : 16 4 : 1. Contoh : Perhatikan gambar di samping! D Bila AB 5 cm, AC cm dan BD 5 cm, berapakah panjang A B CD? C g d...? r R 5 d 5 Agar soal ini mudah diselesaikan, digambarkan dalam bentuk segitiga siku-siku, sedemikian sehingga didapatkan hubungan : g d g d g d g d g d g d g d ( d + r + R). ( d r R) ( 5 + 7). ( Panjang CD 4 cm. Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran perhatikan gambar berikut: 7) Created on 09/04/006 16:1:00
6 Perhatikan gambar! Lingkaran A pusatnya di titik A g C D l dengan jari-jari r, dan lingkaran B pusatnya di titik B dengan jari-jari r R g l E R. Jarak antara kedua pusat A d B lingkaran yaitu AB d. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah AE g l satuan. Berapakah AE? Untuk menemukan jawabannya, maka garis CD ditranslasikan oleh tranlasi D A sehingga titik D berimpit dengan titik A, titik C akan berimpit dengan E. Dengan demikian, CE DA r, AE g l, dan BE R r. Didapatkan segitiga siku-siku seperti pada gambar berikut: C D A r g l g l d r E R - r Perhatikan bahwa segitiga siku-siku ABE siku-siku di titik E. Panjang hypotenusanya d satuan, sedang sisi siku-sikunya masing-masing adalah panjang garis singgung luar (g l ) dan selisih jari-jari kedua lingkaran (R r). Dengan demikian didapatkan hubungan: d (g l ) + (R r) yang mengakibatkan : (g l ) d (R r),... (8) dan (R r) d (g l )... (9) Persamaan (8) dapat diubah menjadi: (g l ) d (R r) (g l ) (d + R r)(d (R r)) g d ( d + R r). ( d R + r)... (10) Persamaan (9) dapat diubah menjadi: (R r) d (g l ) (R r) (d + g l )(d g l ) R r) ( d + g ). ( d g )... (11) ( l l Persamaan (10) dan (11) inilah yang sering digunakan untuk menyelesaikan soal-soal garis singgung persekutuan luar. Contoh 1: Lingkaran M berjari-jari satuan dan lingkaran N berjari-jari 10 satuan memiliki garis singgung persekutuan luar PQ. Bila B Created on 09/04/006 16:1:00
7 MN 5 satuan, berapakah panjang garis singgung persekutuan luar PQ? P M? Q 5 R N 10 Perhatikan gambar di atas. PQ MR. MRN siku-siku di titik R. NR Karena itu, MR MR MR MR MR MR MN ( MN + NR ) ( NR 7)(5 ( MN 7) NR) MR 4 Jadi, panjang garis singgung PQ 4 satuan. Contoh : Dua buah lingkaran memiliki garis singgung persekutuan luar dengan panjang 5 cm. Jarak kedua titik pusat lingkaran itu 7 cm. Bila jari-jari lingkaran pertama 15 cm, berapakah panjang jari-jari lingkaran yang kedua? D A? 5 C 7 E B 15 Perhatikan gambar! ABE siku-siku di titik E. AB 7 adalah hypotenusa. AE DC 5. BE BC AD. Karena itu, BE BE AB 7 AE 5 BE (7 + 5)(7 5) BE 7. BE 144 BE 1 Karena BE BC AD, maka BC AD 1. AD BC 1 AD 15 1 Created on 09/04/006 16:1:00
8 AD AD cm Panjang jari-jari lingkaran yang kedua cm. Bentuk ax + bx + c, a 0, a, b, c Real Bentuk ax + bx + c, a 0, a, b, c Real sering juga disebut bentuk kuadrat. Bentuk ini dapat difaktorkan dengan cara sebagai berikut: ( ax...)( ax...) 1. Tuliskan ax + bx + c a. Carilah nilai a.c.. Carilah faktor prima dari a.c. 4. Dari faktor-faktor prima itu carilah pasangan faktor a.c yang bila dijumlahkan hasilnya sama dengan b. 5. Pasangan faktor yang didapatkan dimasukkan untuk mengisi titik-titik pada langkah Perhatikan faktor pembilang dari langkah 1. Tentukan faktor yang habis dibagi dengan a. 7. Faktor-faktor dari ax + bx + c akan didapatkan. Contoh 1: Tentukanlah faktor-faktor dari x + 7x + 1! Perhatikan bentuk x + 7x + 1. a 1, b 7 dan c 1. ac 1. Faktor prima dari 1... Karena itu 1 1 1, 1 6, 1 4. Tuliskan ( x...)(...) x + 7x + 1 x...(i) 1 Sekarang, pilihlah faktor dari 1 yang bila dijumlahkan hasilnya sama dengan b 7. Didapatkan +4 dan +. Karena itu + 4 dan + menggantikan titik-titik pada bentuk (I) sehingga ( x + 4)( x + ) x + 7x x + 7x + 1 ( x + 4)( x + ) Contoh : Tentukanlah faktor-faktor dari x 5x +! Created on 09/04/006 16:1:00
9 (x...)(x...) x 5x + (x 1)( x 4) (x 1)( x ) x 5x + (x 1)( x ) ac ( 4) 4..( ) Pasangan faktor yang jumlahnya 5 adalah 1 dan 4. Karena itu yang menggantikan titik-titik adalan 1 dan 4. Contoh : Tentukanlah faktor-faktor dari x 11x + 6 (x...)(x...) ac 18 x 11x ( 18) (x )(x 9) 18.9.( 9) 18.6.( 6) (x )( x ) Pasangan faktor yang x 11x + 6 (x )( x ) jumlahnya 11 adalah dan 9. Penyederhanaan pecahan aljabar Lanjutan dari pemfaktoran bentuk kuadrat di SMP adalah penyederhanaan pecahan bentuk aljabar. Bila pemfaktoran bentuk ax + bx + c belum dipahami dengan baik, maka berlatihlah sebelum melanjutkan pada penyederhanaan pecahan aljabar. Contoh 1: 1x + 8x + 5 Sederhanakanlah bentuk! 1x + 9x + 15 Pembilangnya adalah 1x + 8x + 5. Karena itu, ac dapat dituliskan dalam bentuk perkalian faktor primanya sebagai Pasangan-pasangan faktor dari 105 adalah , 105 5, , dan Pasangan faktor yang jumlahnya 8 adalah 5. Bila pasangan faktor ini dibagi dengan 1, sama artinya bila dibagi dengan 7. Sehingga didapatkan: Created on 09/04/006 16:1:00
10 1x 1x Contoh : (1x...)(1x...) 1x + 8x (1x + )(1x + 5) 1x + 8x x + 8x + 5 (7x + 1)( x + 5) Pembilang dapat ditulis dalam bentuk ( 7x + 1)( x + 5). Penyebutnya adalah 1x + 9x Nilai ac 180. Bila ditulis dalam bentuk perkalian faktor primanya, maka Pasangan faktor yang mungkin untuk 180 adalah , , , , , , , , , dan Pasangan faktor yang jumlahnya 9 adalah 9 0. Bila pasangan faktor ini dibagi dengan 1 4, maka didapatkan bentuk seperti berikut: (1x...)(1x...) 1x + 9x (1x + 9)(1x + 0) 1x + 9x x + 9x + 15 (4x + )(x + 5) Penyebut dapat ditulis dalam bentuk ( 4x + )(x + 5). Jadi, bentuk sederhana dari: 1x + 8x + 5 (7x + 1)(x + 5) 1x + 9x + 15 (4x + )(x x x x 4x Sederhanakan bentuk 6x x x x x 0! + 14x + 0 (x...)(x...) x 6x 0 x + 14x + 0 (x...)(x...) (x + 4)(x 10) x 6x 0 x + 14x + 0 (x + 4)(x + 10) x 6x 0 (x + 4)( x 10) x + 14x + 0 (x + 4)(( x + 10) x x x x Created on 09/04/006 16:1:00
11 Penjelasan pembilang. ac 40. Faktor yang jumlahnya b 6 adalah 40 4 ( 10). Penjelasan Penyebut. ac 40. Faktor yang jumlahnya b 14 adalah Contoh : x 5x 1 Sederhanakan bentuk! x 11x 0 (x...)(x...) x 5x 1 x 11x 0 (x...)(x...) (x + 4)(x 9) x 5x 1 x 11x 0 (x + 4)(x 15) x 5x 1 (x + 4)( x ) x 11x 0 (x + 4)( x 5) x 5x 1 x x 11x 0 x 5 Penjelasan pembilang. ac 6. Faktor yang jumlahnya b 5 adalah 6 4 ( 9). Penjelasan Penyebut. ac 60. Faktor yang jumlahnya b 11adalah 40 4 ( 15). C. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax + bx + c 0, a 0, a, b, dan c Real. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara, yaitu dengan (1) memfaktorkan; () melengkapkan kuadrat sempurna; dan () dengan menggunakan rumus. Dalam tulisan ini yang akan dibahas hanya penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan hampir sama dengan menyelesaiakan bentuk kuadrat ax + bx + c, a 0, a, b, dan c Real dengan memfaktorkan yang sudah di bahas pada bagian terdahulu. Karena itu, untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai berikut: Created on 09/04/006 16:1:00
12 ax + bx + c 0 ( ax...)( ax...) ax + bx + c 0 a ( ax...)( ax...) 0 a Bandingkan dengan langkah-langkah berikut: Langkah I: Kalikan a dengan c hasilnya ac. Langkah II: Faktorkan ac atas faktor-faktor primanya. Langkah III: Pilihlah pasangan faktor ac yang jumlahnya sama dengan b. Langkah IV: Bagilah pasangan faktor ac yang memenuhi dengan a, kemudian masing-masing kalikan dengan 1. Hasil dari Langkah IV adalah penyelesaian yang dicari. Contoh 1: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x + 5x + 0! x + 5x + 0 ac 6 b 5 (x...)(x...) x + 5x b 5 + (x + )(x + ) 0 x x a a (x + )( x + 1) 0 x x x + 0 x x x 1 x x 1 x x 1 Nilai x yang memenuhi persamaan x + 5x + 0 adalah atau 1. Penjelasan: Pasangan faktor ac 6 yang jumlahnya b 5 adalah. Perhatikan bahwa penyelesaian pada kolom kanan lebih cepat bila dipakai untuk menyelesaikan soal pilihan ganda. Created on 09/04/006 16:1:00
13 Contoh : Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x 1x + 1 0! x 1x ac 6 b 1 x 1x + 1 (x...)(x...) 6 4 ( 9) ( 9) (x 4)(x 9) x x a a (x 4)( x ) x 4 0 x 0 x x x 4 x 4 x x 4 x x Nilai x yang memenuhi persamaan x 1x adalah 4 atau. Penjelasan: Pasangan faktor ac 6 yang jumlahnya b 1 adalah 4 ( 9). Perhatikan bahwa penyelesaian pada kolom kanan lebih cepat bila dipakai untuk menyelesaikan soal pilihan ganda. Contoh : Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x x 0 0! x x 0 0 ac 40 b x x 0 (x...)(x...) 40 5 ( 8) ( 8) (x + 5)(x 8) x x a a (x + 5)( x 4) x x 4 0 x x x 5 x 4 5 x x 4 5 x x 4 Created on 09/04/006 16:1:00
14 A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) ax + bx + c, a 0, a, b,dan c Real. Fungsi kuadrat akan memotong sumbu x bila ordinatnya sama dengan 0 (y f(x) 0). Karena itu, mencari titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x, sama dengan mencari nilai-nilai x yang membuat fungsi f(x) bernilai 0, sehingga terbentuk persamaan f ( x) ax + bx + c 0. Bentuk ax + bx + c 0 adalah bentuk umum dari persamaan kuadrat. Dengan demikian, mencari titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x, sama dengan mencari penyelesaian persamaan kuadrat. Contoh 1: Tentukan titik potong fungsi f ( x) 6x + 17x 5 dengan sumbu x! Fungsi f ( x) 6x + 17x 5 memotong sumbu x bila y f ( x) 0. Karena itu, f ( x) 6x + 17x 5 0 ac 0 b 17 6x + 17x (15) ( 6x...)( 6x...) x x ( 6x + )( 6x + 15) a a 0 15 x x (x 1)( x + 5) x 1 0 x x x x 1 x x x x x Jadi, titik potong fungsi f ( x) 6x + 17x 5 dengan sumbu 5 1 x adalah di titik (,0) dan (,0). Perhatikan pada kolom kanan dalam penyelesaian di atas. Mengapa nilai x 1 dibagi dengan 6, sedang x dibagi dengan 6? Created on 09/04/006 16:1:00
15 Contoh : Tentukan koordinat titik potong f : x x x dengan garis y 0! f : x x x dapat ditulis sebagai f ( x) y x x. Karena itu didapatkan, x x 0 ( x...)( x...) 0 1 ( x + 1)( x ) 0 x x 0 x 1 x Jadi, titik potong fungsi dengan garis y 0 masing-masing di titik ( 1, 0) dan (, 0). Contoh : Fungsi f ( x) x x 4 berpotongan dengan garis y 5x 4 di titik A dan B. Tentukanlah koordinat titik A dan titik B! Bila y f ( x) x x 4 berpotongan dengan garis y 5x 4 berarti keduanya memiliki titik persekutuan yang dilalui oleh fungsi f(x) dan garis y. Perhatikan bahwa, y x x 4... (1) dan y 5x 4... () Persamaan (1) dan persamaan () memiliki ruas kiri yang sama, yaitu y. Karena itu, (1) (). Sehingga didapatkan persamaan berikut: x x 4 5x 4 x x x( x + 1) x x + 0 5x + x 0 0 x x 0 x 1 Nilai-nilai x yang diperoleh disubstitusi ke persamaan (1) atau persamaan (). Untuk x 1 didapatkan y 5( 1) 4 1 A ( 1, 1) Untuk x 0 didapatkan y 5(0) 4 4 B (0, 4) Jadi, titik perpotongannya adalah A ( 1, 1) dan B (0, 4). Created on 09/04/006 16:1:00
16 A. Bentuk a b c, a, b, dan c Asli (Pengayaan) Bentuk a b c, a, b, dan c Asli memiliki n buah pasangan penyelesaian bila c memiliki n buah faktor. Faktor-faktor dari c dapat dengan mudah dicari dengan menggunakan kombinasi perkalian dari faktor prima yang dimiliki oleh c. Karena itu, bila c adalah bilangan prima, maka bentuk a b c, a, b, dan c Asli hanya memiliki satu pasang penyelesaian. Contoh 1: Diketahui a b 75, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan-pasangan itu! a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu sama dengan 1 dari banyaknya faktor yang dimiliki oleh 75. Untuk mengetahui semua faktor dari 75, terlebih dahulu 75 difaktorkan atas faktor-faktor primanya. Semua faktor dari 75 (kecuali 1 dan 75) dapat diperoleh dari kombinasi perkalian dari faktor prima 75. Bilangan 75 dapat ditulis sebagai Dalam bentuk pasangan faktor-faktornya , 75 5, dan Jadi, ada pasang bilangan asli yang memenuhi persamaan. b. Pasangan-pasangan itu adalah sebagai berikut: Untuk pasangan faktor Karena a b (a + b)(a b), maka (a + b) 75 dan 75 (a b) 1 dicari 8. Sehingga a b (8 + 7)(8 7) 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (8, 7). Untuk pasangan faktor dan ( a b). Perhatikan bahwa 1. (1 + 1) 5 ( a b) ( ) 5 ( a b) Sehingga a b ( )(14 11) 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (14, 11). Created on 09/04/006 16:1:00
17 Untuk pasangan faktor dan ( a b) 5. Perhatikan bahwa 8. (8 + 7) 15 ( a b) ( a + b) (9 + 6) 15 ( a b) (10 + 5) 15 ( a b) Sehingga a b (10 + 5)(10 5) 75. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (10, 5). Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi persamaan a b 75, a, dan b adalah bilangan asli adalah (8, 7); (14, 11); dan (10,5). Contoh : Diketahui a b, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan itu! Penyeleaian: a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu hanya 1 pasang, karena adalah bilangan prima yang ditulis sebagai 1. b. Untuk faktor 1, maka 1. Sehingga : a + b a b Pasangan yang memenuhi a b (1 + 11)(1 11). Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (1, 11) Contoh : Diketahui a b 15, a, dan b adalah bilangan asli. a. Berapa buah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan itu? b. Tuliskan pasangan-pasangan itu! a. Banyaknya pasangan bilangan asli yang memenuhi 1 persamaan itu sama dengan dari banyaknya faktor 9 6 yang dimiliki oleh 15. Untuk mengetahui semua faktor dari 15, terlebih dahulu 15 difaktorkan atas faktorfaktor primanya. Semua faktor dari 15 (kecuali 1 dan 75) dapat diperoleh dari kombinasi perkalian dari faktor prima 15. Bilangan 15 dapat ditulis sebagai Dalam bentuk pasangan faktor-faktornya , 15 45, , dan Created on 09/04/006 16:1:00
18 Jadi, ada 4 pasang bilangan asli yang memenuhi persamaan. b.pasangan-pasangan itu adalah sebagai berikut: Untuk pasangan faktor dan ( a b) 1. Perhatikan bahwa ( ) 15 ( a b) Sehingga a b ( )(68 67) 15. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (68, 67). Untuk pasangan faktor dan ( a b). Perhatikan bahwa. ( + ) 45 ( a b) 1 (4 + 1) 45 ( a b) 4 1 Sehingga a b (4 + 1)(4 1) 15. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (4, 1). Untuk pasangan faktor dan ( a b) 5. Perhatikan bahwa 14. (14 + 1) 7 ( a b) ( a + b) (15 + 1) 7 ( a b) 15 1 ( ) 7 ( a b) Sehingga a b ( )(16 11) 15. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (16, 11). Untuk pasangan faktor dan ( a b) 9. Perhatikan bahwa 8. (8 + 7) 15 ( a b) ( a + ( a + ( a + b) b) b) (9 + (10 + (11 + 6) 5) ) 15 ( a ( a ( a b) b) 10 b) (1 + ) 15 ( a b) 1 9 Sehingga a b (1 + )(1 ) 15. Pasangan yang didapatkan adalah (a, b) (1, ). Jadi, pasangan (a, b) yang memenuhi persamaan a b 15, a, dan b adalah bilangan asli adalah (1, ); (16, 11); (4, 1); dan (68, 67) Created on 09/04/006 16:1:00
19 D. Latihan 1. Hitunglah : a. 1 1 b c. 5 5 d Bila pasangan bilangan (a, b, c) berikut merupakan tripel Pythagoras, carilah bilangan yang belum diketahui: a. b 1, c 1 b. a 15, c 17 c. b 0, c 9 d. a 45, c 5. Garis singgung lingkaran a. Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari 11 cm dan cm. Jika jarak antara kedua pusat lingkaran 17 cm, berapakah panjang garis singgung persekutuan luarnya? b. Jarak dua pusat lingkaran 1 cm. Bila panjang jari-jari masingmasing lingkaran cm dan cm, berapakah panjang garis singgung persekutuan dalamnya? 4. Pemfaktoran bentuk ax + bx + c, a 0, a, b, c Real Faktorkanlah : a. x 7x + b. x + 7x + 4 c. x 5x d. 4x + 1x + 5. Penyederhanaan pecahan aljabar Sederhanakanlah: a. x 6x 0 x + 14x + 0 b. x 17x + 0 x + x 0 c. x + 10x 8 6x 8x + 16 d. x + 4x + 1 x + 5x + 6. Carilah nilai-nilai yang memenuhi persamaan kuadrat berikut: a. x + x 1 0 b. x 7x + 0 c. x + 9x d. x + x 0 Created on 09/04/006 16:1:00
20 7. Tentukan titik potong fungsi kuadrat berikut, dengan sumbu x : a. f ( x) x + 6x + 10 b. f ( x) 7 + 6x x 8. Tentukanlah pasangan (a, b) dengan a, b bilangan asli, sedemikian sehingga memenuhi persamaan berikut: a. a b 560 b. a b 756 c. a b 646 d. a b 550 B. Kunci Created on 09/04/006 16:1:00
KUMPULAN MATERI PEMBINAAN DAN PENGAYAAN MATEMATIKA
KUMPULAN MATERI PEMBINAAN DAN PENGAYAAN MATEMATIKA ANDI SYAMSUDDIN Guru Mata Pelajaran Matematika Pada SMP Negeri 8 Kota Sukabumi SMP NEGERI 8 KOTA SUKABUMI DINAS PENDIDIKAN KOTA SUKABUMI 009 Yang bertanda
Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012 Jenjang SMP Bidang Matematika
Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 202 Jenjang SMP Bidang Matematika Bagian A : Soal Isian Singkat. Sebuah silinder memiliki tinggi 5 cm dan volume 20 cm 2. Luas permukaan bola terbesar yang mungkin
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 0 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI MALANG) PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP A. ISIAN SINGKAT SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 0 BIDANG STUDI
SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2007 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!!
SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 007 TINGKAT PROVINSI TAHUN 006 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi
Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian :
1. Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm C. 26 cm B. 52 cm D. 13 cm 2. Gambar disamping adalah persegi panjang. Salah satu sifat persegi panjang adalah
SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2014 TINGKAT PROVINSI
HAK CIPTA DILINDUNGI UNDANG-UNDANG SOAL UJIAN SELEKSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2014 TINGKAT PROVINSI BIDANG MATEMATIKA Waktu : 210 menit KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL
2. Suku-suku sejenis Suku-suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dan bilangan pangkat dari variabel tersebut sama.
A. OPERASI BENTUK ALJABAR 1. Pengertian suku, koefisien, variabel, dan konstanta bentuk aljabar Bentuk 8x + 17 merupakan bentuk aljabar dengan x sebagai variabel, 8 sebagai koefisien, dan 17 adalah konstant
Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 2012
Tutur Widodo Pembahasan OSK Matematika SMA 01 Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 01 Oleh Tutur Widodo 1. Banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi (n 1(n 3(n 5(n 013 = n(n + (n
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2014 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Waktu : 210 Menit
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2014 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2015 Waktu : 210 Menit KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
Pembahasan Soal OSK SMA 2018 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA OSK Matematika SMA. (Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)
Pembahasan Soal OSK SMA 018 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 018 OSK Matematika SMA (Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA) Disusun oleh: Pak Anang Pembahasan Soal OSK SMA 018 OLIMPIADE SAINS
Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun Oleh Tutur Widodo. (n 1)(n 3)(n 5)(n 2013) = n(n + 2)(n + 4)(n )
Pembahasan Olimpiade Matematika SMA Tingkat Kabupaten Tahun 01 Oleh Tutur Widodo 1. Banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi adalah... (n 1)(n 3)(n 5)(n 013) = n(n + )(n + )(n + 01) Jawaban : 0 ( tidak
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
C. B dan C B. A dan D
1. Perhatikan Himpunan di bawah ini! A = {bilangan prima kurang dari 11} B = {x < x 11, x bilangan ganjil} C = {semua faktor dari 12} D = {bilangan genap antara 2 dan 14} Himpunan di atas yang ekuivalen
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak
4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,
abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000
Hal. 1 / 7 METHODIST-2 EDUCATION EXPO LOMBA SAINS PLUS ANTAR PELAJAR TINGKAT SMA SE-SUMATERA UTARA TAHUN 2015 BIDANG WAKTU : MATEMATIKA : 120 MENIT PETUNJUK : 1. Pilihlah jawaban yang benar dan tepat.
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2008 MATEMATIKA SMA BAGIAN PERTAMA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes bagian pertama ini terdiri dari 20 soal. 2. Waktu yang disediakan adalah
A. UNSUR - UNSUR ALJABAR
PENGERTIAN ALJABAR Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat hurufhuruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009 Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN
HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR P.O.
HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR P.O. BOX BLS 2 YOGYAKARTA5528 lmnas@ugm.ac.id http://lmnas.fmipa.ugm.ac.id
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 202 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 203 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : BAGIAN PERTAMA. Tanpa mengurangi keumuman misalkan
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 005 Nomor Soal: -30. Garis 5y 60 memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran
SOAL BRILLIANT COMPETITION 2013
PILIHAN GANDA. Pada suatu segitiga ABC, titik D berada di AC sehingga AD : DC = 4 :. Titik E berada di BC sehingga BE : EC = : 3. Titik F adalah titik perpotongan antara garis BD dan garis AE. Jika luas
4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + y = 5 dan x - 2y = -4 adalah... A.{ (1, 4) }
1. Diketahui himpunan P = ( bilangan prima kurang dari 13 ) Banyak himpunan bagian dari P adalah... 5 25 10 32 P = {Bilangan prima kurang dari 13} = {2, 3, 5, 7, 11} n(p) = 5 2. Dari diagram Venn di bawah,
OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b
OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan adalah bilangan bulat genap tak negatif. n = F P B(a, b + KP K(a, b a b Solusi. Misalkan d = F P B(a, b,
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 014 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 013
Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 015 CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 016 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : 1. 015 = 5 13 31 Banyaknya faktor
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2008
Dapatkan soal-soal lainnya di http://forum.pelatihan-osn.com SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2008 Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN
Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2004/2005
Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2004/2005 1. Perhatikan himpunan di bawah ini! A = {bilangan prima kurang dari 11} B = { 1 < 11, bilangan ganjil} C = {semua faktor dari 12}
1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Variabel Konstanta Faktor
ALJABAR BENTUK ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah
1. Jika B = {bilangan prima kurang dari 13} maka jumlah himpunan penyelesaiannya... A. 4
1. Jika B = {bilangan prima kurang dari 13} maka jumlah himpunan penyelesaiannya... A. 4 C. 6 B. 5 D. 7 Kunci : B B = (bilangan prima kurang dan 13) Anggota himpunan B = (2, 3, 5, 7, 11) Sehingga banyaknya
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
"We are the first of the fastest online solution of mathematics" 009 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN-KOTA TAHUN 2006
OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KABUPATEN-KOTA TAHUN 00 SOAL PILIHAN GANDA. Jumlah dua bilangan bulat yang berbeda adalah 4. Jika hasil bagi kedua bilangan tersebut adalah juga bilangan bulat,
01. Perhatikan persegi panjang ABCD di bawah ini. Jika OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... (A) 78 cm (B) 52 cm (C) 26 cm (D) 13 cm
0. Perhatikan persegi panjang ABCD di bawah ini. Jika OA = 26 cm, maka panjang BO adalah.... (A) 78 cm (B) 52 cm (C) 26 cm (D) 3 cm 02. Bangun di bawah ini merupakan bangun yang memiliki simetri putar
matematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran
KTSP & K-3 matematika K e l a s XI GARIS SINGGUNG LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi garis singgung lingkaran..
Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMP Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMP Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 017/018-1. Nilai dari 16 + ( 1) : 7 {9 + [56 : ( 8)]}adalah.... (a) 5 14 (b) 10 (c) (d) -10 16 + ( 1) : 7 {9 + [56
PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
BAB 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR SOAL LATIHAN 1.1
BAB 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR SOAL LATIHAN 1.1 BAB 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR SOAL LATIHAN 1.1 A. Pilihan Ganda 1. Bentuk x + x 48 jika difaktorkan adalah A. (x 6)(x 8) B. (x + 8)(x 6) C. (x 4)(x 1)
OLIMPIADE MATEMATIKA SLTP TINGKAT KABUPATEN KOTA 2006
OLIMPIADE MATEMATIKA SLTP TINGKAT KABUPATEN KOTA 00 SOAL PILIHAN GANDA. Jumlah dua bilangan bulat yang berbeda adalah. Jika hasil bagi kedua bilangan tersebut adalah juga bilangan bulat, maka salah satu
LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-27
LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-27 Babak Penyisihan Tingkat SMP Minggu, 0 Oktober 2016 HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT
MATEMATIKA (Paket 2) Waktu : 120 Menit
MATEMATIKA (Paket 2) Waktu : 20 Menit (025) 77 2606 Website : Pilihlah jawaban yang paling tepat!. Hasil dari A. B. D. 8 5 8 2 2 8 2 adalah. 2. Hasil dari A. B. D. 8 adalah.. Bentuk sederhana dari A. 2
HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR P.O.
HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR P.O. BOX BLS 21 YOGYAKARTA55281 lmnas@ugm.ac.id http://lmnas.fmipugm.ac.id
LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran
LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu
Ringkasan Materi Matematika Untuk SMP Persiapan UN Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP
Lingkaran & Garis Singgung A. Unsur-Unsur Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut titik pusat lingkaran. Lambang lingkaran dengan
LAMPIRAN Data Penelitian Nilai Siswa
LAMPIRAN Data Penelitian Nilai Siswa No Parameter Satuan Baku mutu Metode analisis G43 67 44 53 51 G44 67 43 39 39 G45 68 37 45 52 G46 71 41 41 53 G47 61 33 45 52 G48 66 39 41 53 G49 67 44 40 42 G50 75
SOAL MATEMATIKA - SMP
SOAL MATEMATIKA - SMP OLIMPIADE SAINS NASIONAL TINGKAT KABUPATEN/KOTA KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA TAHUN 200
FAKTORISASI SUKU ALJABAR
1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR Pernahkah kalian berbelanja di supermarket? Sebelum berbelanja, kalian pasti memperkirakan barang apa saja yang akan dibeli dan berapa jumlah uang yang harus dibayar. Kalian
Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMP Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMP Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018-1. Nilai dari 16 + ( 21) : 7 {9 + [56 : ( 8)]}adalah.... (a) 5 14 (b) 10 (c) 2 (d) -10 2. Bentuk sederhana
OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI
OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI SESI III (ISIAN SINGKAT DAN ESSAY) WAKTU : 180 MENIT ============================================================
3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR Pada arena balap mobil, sebuah mobil balap mampu melaju dengan kecepatan (x + 10) km/jam selama 0,5 jam. Berapakah kecepatannya jika jarak yang ditempuh mobil tersebut 00
Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2010/2011 1. Diketahui A = 7x + 5 dan B = 2x 3. Nilai A B adalah A. -9x +2 B. -9x +8 C. -5x + 2 D. -5x +8 BAB II BENTUK ALJABAR A B = -7x
MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012
MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 013 CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 014 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : 1. 94 + 013 = a + b 013 = 61
Bab 1. Irisan Kerucut
Tahun Ajaran 01 01-013/Genap Bab 1. Irisan Kerucut e=0 e 1 A. Lingkaran Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik (0,0) Pada segitiga siku-siku, siku, menurut dalil phytagoras berlaku : c =
Pembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12
Pembahasan Soal UN Matematika SMP Tahun Ajaran 2010/2011 Paket 12 Tim Pembahas : Th. Widyantini Untung Trisna Suwaji Wiworo Choirul Listiani Estina Ekawati Nur Amini Mustajab PPPPTK Matematika Yogyakarta
UJIAN NASIONAL SMP/MTs TAHUN PELAJARAN 2004/2005
UJIAN NASIONAL SMP/MTs TAHUN PELAJARAN 004/005 Mata Pelajaran : MATEMATIKA Hari/Tanggal : RABU, 8 JUNI 005 Waktu : 0 MENIT PETUNJUK UMUM. Periksa dan bacalah soal-soal sebelum kamu menjawab. Tulis nomor
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Pelatihan-osn.com Konsultan Olimpiade Sains Nasional contact person : ALJABAR
ALJABAR 1. Diberikan a 4 + a 3 + a 2 + a + 1 = 0. Tentukan a 2000 + a 2010 + 1. 2. Diberikan sistem persamaan 2010(x y) + 2011(y z) + 2012(z x) = 0 2010 2 (x y) + 2011 2 (y z) + 2012 2 (z x) = 2011 Tentukan
SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2004 TINGKAT PROVINSI
SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2004 TINGKAT PROVINSI Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
didapat !!! BAGIAN Disusun oleh :
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2012 TIM OLIMPIADE MATEMATIKAA INDONESIA 2013 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
KUMPULAN SOAL MATEMATIKA KELAS VIII (BSE DEWI N)
KUMPULAN SOAL MATEMATIKA KELAS VIII (BSE DEWI N) Kumpulan Soal Matematika Kelas VIII (BSE Dewi N) Faktorisasi Suku Aljabar A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. 1. Pada bentuk aljabar 2x2 + 3xy y2
LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-27
LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-27 Babak Penyisihan Tingkat SMA Minggu, 0 Oktober HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR
SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 01 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 0 soal isian singkat dan tes
A. Menemukan Dalil Pythagoras
A. Menemukan Dalil Pythagoras 1. Menemukan Dalil Pythagoras. Pada setiap segitiga siku-siku, luas daerah persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah luas daerah persegi pada sisi-sisi siku-sikunya
SILABUS (HASIL REVISI)
Sekolah : SMP... Kelas : VIII Mata Pelajaran : Matematika Semester : I(satu) SILABUS (HASIL REVISI) Standar Kompetensi : ALJABAR 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus Kompetensi
SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA
SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2015 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
![Menyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan](/thumbs/52/29781394.jpg "Menyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan")
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax² + bx + c = 0 x variabel; a,b,c konstanta ; a 0 Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut
SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011
SOAL DAN SOLUSI PEREMPATFINAL KOMPETISI MATEMATIKA UNIVERSITAS TARUMANAGARA 2011 (90menit) 1. Semua tripel (x, y, z) yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika ditambahkan dengan hasil kali kedua bilangan
Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Pembahasan Uji Coba KMNR 12 Kelas 9 SMP Versi Mr. Oes
Pembahasan Uji Coba KMNR 12 Kelas 9 SMP Versi Mr. Oes 1. Nilai dari 12:4+x16=... 12:4+x16= 3+3 = 323 (C) 2. Nilai 2+0+1+6 6 1 0 2 =... 2+0+1+6 = 9 = 3 (E) 6 1 0 2 3 3. Tiga per empat dari bilangan 1 adalah...
LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-25
LOMBA MATEMATIKA NASIONAL KE-5 Babak Penyisihan Tingkat SMP Minggu, 9 November 04 HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Prestasi itu diraih bukan didapat!!!
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 008 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika
DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI
DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI Segitiga 1. Beberapa sifat yang berlaku pada segitiga adalah : Jumlah sudut-sudut sembarang segitiga adalah 180 0 Pada segitiga ABC berlaku AC = BC B = A
Jikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5
Soal Babak Penyisihan OMITS 011 BAGIAN I. PILIHAN GANDA 1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan A. Bulat B. Asli C. Rasional
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 204 CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 205 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Disusun oleh : Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota
SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2012 TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A : ISIAN SINGKAT)
SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2012 TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A : ISIAN SINGKAT) BAGIAN A : ISIAN SINGKAT 1. Sebuah silinder memiliki tinggi dan volume. Luas permukaan bola terbesar yang mungkin
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2014 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : BAGIAN PERTAMA 1. ABC adalah segitiga sama
Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
SOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 2015 BIDANG MATEMATIKA
SOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 015 BIDANG MATEMATIKA BAGIAN A: SOAL ISIAN SINGKAT 1. Banyak faktor persekutuan dari 1515 dan 530 yang merupakan bilangan genap positip
MA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
PEDOMAN JAWABAN SOAL UJI COBA TES DIAGNOSTIK. b) Tidak ada
18 LAMPIRAN IV PEDOMAN JAWABAN SOAL UJI COBA TES DIAGNOSTIK No Soal 1 Perhatikan gambar berikut! Pedoman Jawaban Jawaban : a) 1. Lingkaran yang saling berpotongan: (iii). Lingkaran yang saling bersinggungan:
Berapakah nilai a? a. 25. d. 25 b. 15. e. 15 c. 10. Penyelesaian: Berarti bahwa 1, 3, 5, 7 dan 9 adalah akar-akar persamaan polinomial g(x) = 0.
KOMPETISI MATEMATIKA 07 TINGKAT SMA SE-SULUT SOLUSI BABAK SEMI FINAL Rabu, Februari 07 . Misalkan f(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx + dx + c dan f() = f(3) = f(5) = f(7) = f(9). Berapakah nilai a? a. 5 d.
KUMPULAN SOAL-SOAL OMITS
KUMPULAN SOAL-SOAL OMITS SOAL Babak Penyisihan Olimpiade Matematika ITS 2011 (OMITS 11) Tingkst SMP Se-derajat BAGIAN I.PILIHAN GANDA 1. Berapa banyak faktor positif/pembagi dari 2011? A. 1 B. 2 C. 3 D.
1. Diketahui fungsi : f mempunyai sifat f x 1 1 f x untuk setiap x. Jika f 2. 2, maka nilai fungsi f B. 2 C. 3 D E.
f x f mempunyai sifat f x f x untuk setiap x. Jika f, maka nilai fungsi f 06. Diketahui fungsi : 06 06. Perhatikan gambar berikut ini! Berapakah ukuran luas daerah yang diarsir jika diketahui ukuran luas
Soal Ulangan Umum Semester 1 Kelas VIII
Soal Ulangan Umum Semester 1 Kelas VIII A. Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang benar! 1. Salah satu factor dari x - xy 4y adalah cm a. (x - 4y)(x + 3y) b. (x + 4y)(x
Relasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP Babak 1 Persiapan Olimpiade Sains Provinsi dan Nasional
Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP Babak Persiapan Olimpiade Sains Provinsi dan Nasional. Diketahui dan y merupakan bilangan real positif yang memenuhi sistim persamaan berikut y y a b Jika, maka
KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8
KUMPULAN SOAL MATEMATIKA SMP KELAS 8 Dirangkum oleh Moch. Fatkoer Rohman Website: http://fatkoer.co.cc http://zonamatematika.co,cc Email: fatkoer@gmail.com 009 Evaluasi Bab 1 Untuk nomor 1 sampai 5 pilihlah
SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SMP PART 2. Departemen Matematika - Wardaya College MMXVIII-XII
SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SMP PART - Wardaya College MMXVIII-XII TIPE A. Andi dan Bobby berlari berlawanan arah dalam suatu lintasan melingkar. Keduanya berawal dari titik-titik yang saling berseberangan
MATEMATIKA. Pertemuan 2 N.A
MATEMATIKA Pertemuan 2 N.A smile.akbar@yahoo.co.id Awali setiap aktivitas dengan membaca Basmallah Soal 1 (Operasi Bentuk Aljabar) Bentuk Sederhana dari adalah a. b. c. d. Pembahasan ( A ) Soal 2 (Pola
PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN TAHUN 2016 BIDANG MATEMATIKA
PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN TAHUN 06 BIDANG MATEMATIKA BAGIAN A: PILIHAN GANDA 07 (06 6) 05. Nilai dari adalah....
PEMBAHASAN SOAL MATEMATIKA UN 2014 Jawaban : Pembahasan : (operasi bilangan pecahan) ( ) Jawaban : (A) Pembahasan : (perbandingan senilai) 36 buku 8 mm x x 3. 0 X buku 24 mm Jawaban : (C) Pembahasan :
SOAL PR ONLINE IX SMP MATA UJIAN: MATEMATIKA (KODE: P18) 1. Alas sebuah limas berbentuk segi-6. Banyak rusuk dan sisi limas berturutturut
Kode: P8 MATEMATIKA IX SMP SOAL PR ONLINE IX SMP MATA UJIAN: MATEMATIKA (KODE: P8). Alas sebuah limas berbentuk segi-6. Banyak rusuk dan sisi limas berturutturut (A) 7 dan. (C) 8 dan 8. dan 7. (D) 8 dan
PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN TAHUN 2018 PROVINSI SULAWESI SELATAN
PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN TAHUN 08 PROVINSI SULAWESI SELATAN 0. Pada suatu data terdapat 5 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah 55. Median dari data
Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008
Soal dan Pembahasan UN Matematika Program IPA 2008. Diketahui premis premis : () Jika hari hujan, maka udara dingin. (2) Jika udara dingin, maka ibu memakai baju hangat. (3) Ibu tidak memakai baju hangat
King s Learning Be Smart Without Limits. (4) Grafik Fungsi kuadrat: (3) Titik lain (jika diperlukan) X Y. (4) Grafik Fungsi kuadrat:
Nama Siswa : LEMBAR AKTIVITAS SISWA FUNGSI KUADRAT - Hubungkan titik-titik tersebut sehingga terbentuk kurva atau grafik yang mulus. Kelas : A. FUNGSI KUADRAT Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: y = f(x)
Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 2010
Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SNMPTN 010 1. Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama dengan pernyataan, Jika bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1 + bilangan ganjil adalah
B. 26 September 1996 D. 28 September 1996
1. Ditentukan A = {2, 3, 5, 7, 8, 11} Himpunan semesta yang mungkin adalah... A.{bilangan ganjil yang kurang dari 12} B.{bilangan asli yang kurang dari 12} C.{bilangan prima yang kurang dari 12} D.{bilangan