Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.

Transkripsi

1 Logaritma adalah operasi matematika ang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Rumus dasar logaritma: b c = a ditulis sebagai b log a = c (b disebut basis) Beberapa orang menuliskan b log a = c sebagai log ba = c. Di Indonesia, kebanakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi b log a daripada log ba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi log ba Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti e log a, log a sebagai ganti 10 log a dan ld a sebagai ganti 2 log a. Pada kebanakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e. Logaritma ac = b ª log b = c a = basis b = bilangan ang dilogaritma c = hasil logaritma Sifat-sifat Logaritma ª log a = 1 ª log 1 = 0 ª log aⁿ = n ª log bⁿ = n ª log b ª log b c = ª log b + ª log c ª log b/c = ª log b ª log c ªˆⁿ log b m = m/n ª log b ª log b = 1 b log a ª log b b log c c log d = ª log d ª log b = c log b c log a Basis ang sering dipakai atau paling banak dipakai adalah basis 10, e dan 2.

2 Logaritma (ang sering disingkat log ) pertama kali ditemukan oleh John Napier seorang warga skotlandia dan Joost Burgi warga swiss. Pada awalna logaritma ang mereka temukan berbeda satu sama lain dan juga berbeda dengan logaritma ang dikenal saat ini. John Napier menghitung dengan metode aljabar, sedang Joost Burgi menganalisis dengan pendekatan geometri. Logaritma versi John Napier dipublikasikan tahun 1614 sedang versi Joost Burgi dipublikasikan tahun Logaritma ang didefinisikan sebagai eksponen (pangkat) dikembangkan oleh John Wallis pada 1685 dan Johann Bernoulli pada Sedangkan logaritma ang dikenal saat ini merupakan kombinasi teori Napier dan Henr Biggs pada tahun Beberapa manfaat Logaritma antara lain, dipakai dalam fungsi penghitung kekuatan gempa, tingkat kebisingan suara (satuan : desibel), menghitung tingkat pertumbuhan (manusia maupun bakteri) dan menghitung usia fosil FUNGSI LOGARITMA DAN GRAFIK FUNGSI LOGARITMA A. Pengertian Logaritma Logaritma adalah operasi matematika ang merupakan kebalikan atau invers dari eksponen atau pemangkatan. Perhatikan hal berikut. 23 = 8 34 = = 16 Jika ruas kiri dipertukarkan tempatna dengan ruas kanan dan sebalikna menjadi: 8 = 23 ; 81 =34 ; 16 = 42 8 = 23 dapat ditulis sebagai 2log 8 = 3 81 = 34 dapat ditulis sebagai 3log 81 = 4 16 = 42 dapat ditulis sebagai 4log 16 = 2 (2log 8 dibaca logaritma dari 8 dengan bilangan pokok 2 ) Hal ini berarti mencari logaritma suatu bilangan positif b dengan bilangan pokok a sama dengan mencari pangkat dari b dalam bilangan pokok a tersebut. Secara umum rumus dasar logaritma dapat ditulis: alog b = c b = ac a disebut bilangan pokok (basis) logaritma, a > 0, a 1, a є R

3 b disebut numerus, aitu bilangan ang akan dicari logaritmana, b > 0, b є R c disebut hasil logaritma B. Fungsi Logaritma Apabila terdapat fungsi eksponen f ang memetakan bilangan real x ke ax (ditulis f(x) = ax, dengan a > 0 dan a 1), inversna adalah fungsi logaritma g ang mengawankan bilangan real x ke ªlog x (ditulis g(x) = ªlog x). Misalkan diketahui fungsi f(x) = 3x dengan daerah asal (domain) Df = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. Hubungan antara x dengan f(x) = 3x dapat dilihat dalam tabel berikut. Tabel 1 X f(x) = 3x 1/27 1/9 1/ Pada tabel terlihat adana korespondensi satu-satu antara x dan f(x) = 3x. Sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif. Karena f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif, terdapat fungsi invers f-1 ang memetakan setiap anggota {1/27, 1/9, 1/3, 1, 3, 9, 27} dengan tepat satu anggota {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} seperti diperlihatkan pada table berikut. Tabel 2 f(x)= 3x 1/27 1/9 1/ g(x) Jika fungsi invers dari f(x) = 3x disebut fungsi g(x). Dengan demikian, g(x) dapat ditentukan sebagai berikut. = f(x) = 3x log = x logx log = x log 3 x = log log 3 x = 3log f-1 () = 3log f-1 (x) = 3log x

4 Jadi, invers dari f(x) = 3x adalah g(x) = f-1(x) = 3log x ang merupakan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 3. Berdasarkan uraian diatas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi ang memetakan setiap x bilangan real dengan aturan g(x) = alog x, x > 0, a > 0, a 1. Contoh : 1. Diketahui f(x) = 5log x. Tentukan f(x) + f (5/x) 1-2 5log x Penelesaian: f (5/x) = 5log 5/x 1-2 5log 5/x = 5log 5 5log x 1-2 (5log 5 5log x) = 1-5log x 1-2 (1 5log x) = 1 5log x log x = 1 5log x log x f(x) + f(5/x) = 5log x + 1 5log x 1-2 5log x log x = 5log x _ 1 + 5log x 1-2 5log x 1-2 5log x = log x 1-2 5log x = _ 1-2 5log x 1-2 5log x

5 = - 1 Dengan cara ringkas, dapat dikerjakan sebagai berikut. Karena pada fungsi logaritma berlaku f (x/) = f(x) - f(), maka f(x) + f(5/x) = f(x) + f(5) - f(x)= f(5). Jadi, f(x) + f(5/x) = f(5) = 5log 5 = 1 = log Diketahui f(x) = 4log (x2-8x + 16). Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan : a. sumbu X b. sumbu Y Penelesaian: a. Titik potong dengan sumbu X. Saratna f(x) = 0. Oleh karena itu, f(x) = 4log (x2 8x + 16) 0 = 4log (x2 8x + 16) 4log (x2 8x + 16) = 4log 1 x2 8x + 16 = 1 x2 8x + 15 = 0 (x 5)(x 3) = 0 x = 5 atau x = 3 Jadi, titik potongna dengan sumbu X adalah (5, 0) dan (3, 0). b. Titik potong dengan sumbu Y saratna, x = 0. Oleh karena itu, f(x) = 4log (x2 8x + 16) = 4log (02 8(0) + 16) = 4log 16 = 4log 42 = 2 Jadi, titik potongna dengan sumbu Y adalah (0, 2). C. Grafik Fungsi Logaritma Untuk menggambar grafik fungsi logaritma, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.

6 Langkah 1 : Buatlah tabel ang menghubungkan x dengan = f(x) = alog x, aitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga dapat ditentukan. Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x, ) ang diperoleh dari langkah 1 pada bidang Cartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva ang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma. Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut. 1. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1 Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi = f(x) = 2log x. Penelesaian: Langkah 1 : Tabel fungsi = f(x) = 2log x adalah sebagai berikut. Tabel 3 X ⅛ f(x) = 2log x Langkah 2 : Grafikna adalah sebagai berikut. = 2log x x Gambar 1 2. Gambarlah grafik fungsi = f(x) = 3log x. Penelesaian: Tabel fungsi = f(x) = 3log x adalah sebagai berikut. Tabel 4

7 X /3 1/9 1/27 f(x) = 3log x Grafikna adalah sebagai berikut. = 3log x x Gambar 2 Dari Gambar 1 dan Gambar 2 tampak bahwa domain fungsi f(x) = 2log x dan fungsi f(x) = 3log x adalah himpunan bilangan real positif atau Df = { x x > 0, x є R }, sedangkan range-na adalah himpunan bilangan real. Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma = f(x) = alog x, dengan a > 1, merupakan fungsi naik karena untuk x1 x2 maka alog x1 alog x2. [1] 2. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1 Grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1 dapat digambarkan dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai = alog x dapat ditentukan. Kemudian, pasangan nilai tersebut digambar dalam diagram Cartesius dan dihubungkan dengan sebuah kurva mulus. Contoh : Gambarlah grafik fungsi logaritma = f(x) =.log x. Penelesaian: Buat tabel f(x) =.log x terlebih dahulu.

8 Tabel 5 X ⅛ f(x) = ½log x Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik ang diperoleh pada tabel, lalu menghubungkanna dengan sebuah kurva mulus, kita dapatkan grafik fungsi f(x) =.log x seperti pada gambar berikut x 3 =.log x Gambar 3 Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma f(x) = alog x dengan 0 < a < 1 adalah fungsi turun karena x1 x2 maka alog x1 alog x2. [2] Coba gambar grafik seperti contoh-contoh di atas, untuk fungsi a. f(x) = 3log x c. f(x) = ⅓log x; b. f(x) = 4log x d. f(x) =.log x. c. Pernahkah fungsi f(x) = alog x, untuk a > 1 merupakan fungsi turun? Dan pernahkah fungsi f(x) = alog x, untuk 0 < a < 1 menjadi fungsi naik? 3. Grafik Fungsi f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x Jika grafik = f(x) = 2log x dan grafik fungsi = g(x) =.log x digambarkan dalam satu bidang koordinat, gambar grafikna adalah sebagai berikut. 3 = 2log x x -3

9 =.log x Gambar 4 Dari gambar 4, dapat dikatakan bahwa: a. Grafik fungsi logaritma f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x simetri terhadap sumbu X. Hal ini berarti bahwa fungsi g(x) = 1/alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = alog x terhadap sumbu X atau sebalikna. b. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x melalui titik (1, 0). c. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x selalu barada di sebelah kanan sumbu Y. d. Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau D = (0, ) dan daerah hasilna adalah R = (-, ). e. Fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) = 1/alog x merupakan fungsi turun. f. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatina. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut.[3] 4. Grafik Fungsi f(x) = ax dan g(x) = alog x Jika grafik fungsi = f(x) = 2x dan = g(x) = 2log x, serta grafik = f(x) = (1/2)x dan = g(x) =.log x digambarkan dalam satu bidang koordinat Cartesius, maka hasilna adalah sebagai berikut. Grafik fungsi = f(x) = 2x dan = g(x) = 2log x Tabel 6 X f(x) = 2x

10 8 = 2x = x 4 = 2log x 2 0 x Gambar 5 Grafik fungsi = f(x) = (1/2)x dan = g(x) =.log x Tabel 7 x F(x) = (1/2)x = (1/2)x 8 = x x Gambar 6 =.log x Dengan memperhatikan contoh di atas, kita mendapatkan beberapa hal menarik tentang

11 grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x sebagai berikut. a. Grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x simetri terhadap garis = x. hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = ax terhadap garis = x atau sebalikna. b. Fungsi eksponen f(x) = ax merupakan fungsi invers dari fungsi logaritma g(x) = alog x atau sebalikna.