JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No., 33-40, Aprl 00, ISSN : 40-858 KLASIFIKASI INTERAKSI GELOMBANG PERMUKAAN BERTIPE DUA SOLITON Sutmn dan Agus Rusgyono Jurusan Matematka FMIPA UNDIP Abstrak Pada tulsan n dseldk, masalah klasfkas nteraks gelombang bertpe dua solton Kadomtsev-Petvashvll (KP). Dsn danalss berdasarkan parameter nteraks dua solus solton bak melalu harga eksak maupun proses pelmtan. Proses pelmtan n dlakukan untuk mengetahu resonans dantara dua solton. Selanjutnya resonans solton n dkaj untuk mendapatkan solton yang baru. Kata kunc : nteraks, solton, fase, resonans. PENDAHULUAN Berbaga kajan yang berhubungan dengan nteraks dua gelombang bertpe solton secara eperment telah dlakukan oleh (Peterson, 000), (Jamaludn,997). Dalam fenomena alam nteraks dua gelombang yang bertpe dua solton yang berupa hasl foto d panta Orgon telah dpotret oleh Toedtemeter (M.J. Ablowtz & H.Segur, 98). Pada tulsan n akan dbahas beberapa klasfkas secara analts yang berkenaan dengan nteraks dua gelombang yang bertpe solton yang dmodelkan dar persamaan Kadomtsev-Petvashvl (KP). Persamaan KP n sebaga model dasar yang merupakan model gelombang panjang dua dmens. Secara analts nteraks dua solton KP dkaraktersas oleh parameter yang berkatan dengan koefsen nteraks dar dspers relas dua sollton. Berdasarkan koefsen nteraks n akan dapat dbedakan beberapa klasfkas nteraks dua solton KP. Dasumskan bahwa solus dua solton dar persamaan KP telah dperoleh. Untuk memudahkan analss, tanpa mengurang perumuman dasumskan sudut-sudut nteraks ndvdu dua solton n adalah smetrs. 33
Klasfkas Interaks Gelombang (Sutmn dan Agus Rusgyono) Penulsan paper n dmula dengan solus dua solton KP pada seks dua, kemudan menjelaskan dalam katannya dengan klasfkas nteraks secara detal pada seks tga. Gambaran secara fss dberkan pada seks berkutnya.. SOLUSI DUA SOLITON DARI PERSAMAAN KP Dalam bentuk normal persamaan KP dnyatakan : ( U UU + U ) + 3UU 0..... (.) t + y dmana U U (, y, t) adalah fungs permukaan bernla rl. Persamaan (.) n merupakan generalsas dua dmens.dar persaamaan (.). dapat dperoleh melalu metode Hrota, dengan melakukan transformas varabel : (ln f ) U (ln f ) (.) dengan syarat batas, berlaku U (, y, t) 0. Melalu transformas (.) n, maka persamaan (.) dapat dtuls menjad: f ( f t + f ) f ( ft + f ) 3( f f f ) + 3( ff yy f y ) 0..(.3) Selanjutnya melalu operator dervatf Hrota D (lhat []), persamaan (.3) dapat dnyatakan oleh : ( D 4 + D D + 3D ). f. f t y 0.(.4) Solus untuk f yang merepresentaskan dua solton ( lhat pada [3]) dnyatakan oleh : f (, y, t) Φ + e e + Ae Φ Φ+ Φ (.5) Dmana Φ µ ( + y c t),, adalah varabel fase dar masng-masng ρ solton dengan c 4µ + 3ρ, dan A D( µ, ρ ρ, c c ) D( µ + µ, ρ + ρ, c + c ) 4 ) 4 + µ ) ( ρ ρ ) ( ρ ρ )..(.6) Operator D ddefnskan dengan D( a, b, c) b 4 ac 4a 3 yang menyatakan relas dspers untuk solus solton dar persamaan KP, jka berlaku D ( a, b, c) 0. Solus dkatakan reguler jka µ dan A postp. 34
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No., 33-40, Aprl 00, ISSN : 40-858 Solus dua Solton dar persamaan KP dmana f dberkan pada (.5) dapat dpandang sebaga nteraks dua solton KP, dengan µ : parameter yang berkenaan dengan tngg ndvdu gelombang ke dengan, ρ : sudut-sudut nteraks gelombang ke c : kecepatan perambatan fase solton ke ρ ρ ρ Jka sudut-sudut nteraks dambl smetrs maka berlaku > 0. Sehngga koefsen nteraks dapat dtuls menjad ) ρ A..(.7) + µ Untuk selanjutnya akan djelaskan bahwa klasfkas nteraks dua solton bergantung pada faktor A yang berkenaan dengan pergeseran fase log A. 3. INTERAKSI DUA SOLITON Selanjutnya akan djelaskan secara detal nteraks antara dua solton dengan menggunakan persamaan (.5). Interaks n dapat dklasfkaskan menurut tpenya, bergantung pada harga A. Yatu 0<A<, A> dan A<0. Jka 0<A< akan terjad pergeseran fase postp, sedangkan jka A> pergeseran fase dkatakan negatf (Petterson, 000). Untuk kasus 0 < A <, solus (.5) menyatakan nteraks dua solton yang reguler. Untuk A>> dua solton membentuk solton vrtual. Pada keadaan resonans ( ), solton vrtual menjad suatu solton sebenarnya, yang merupakan dua solton menggabung setelah bertumbukan satu dengan yang lan, atau suatu solton memecah menjad dua solton. Untuk kasus 0<A<, dperoleh suatu tpe baru tentang nteraks soltonsolton menghaslkan solton ketga jka tu mendekat solton yang lebh rendah. Solton ketga bergerak mengejar dan menumbuk dengan solton yang lebh rendah. Solton yang lebh rendah mengubah energ dengan salah satu yang lebh tngg dengan mengarbsorbs solton ketga. 35
Klasfkas Interaks Gelombang (Sutmn dan Agus Rusgyono) Untuk kasus A< 0 dua solton akan menjad sngular setelah bertumbukan satu dengan yang lan. Berkut adalah peta perubahan fase yang dtunjukkan sebaga suatu fungs blangan gelombang µ dan µ. µ A 0<A< A ) A + µ ) ρ ρ A < 0 ρ A0 A > 0<A< 0 ρ A ± A µ Dengan memperhatkan harga parameter A sebaga fungs dar blangan gelombang µ dan µ, yang dnyatakan oleh persamaan (.7) dengan mengasumskan bahwa sudut-sudut nteraks smetrs terhadap sumbu Y. Selanjutnya dapat dnyatakan kembal bahwa A + µ Ada beberapa kasus yang berlaku untuk harga A yang membedakan klasfkas profl nteraks type dua solton dar persamaan KP, sebaga berkut :. Kasus untuk A 0 Maka berlaku 0, mengakbatkan µ ρ atau µ µ ρ. 36
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No., 33-40, Aprl 00, ISSN : 40-858. Kasus untuk A In mengakbatkan + µ 0 atau hmpunan penyelesaannya adalah µ + µ ρ dan µ + µ ρ. Tetap karena sfat dar solton KP berlaku µ > µ 0 > Dan ρ > 0. Maka hmpunan penyelesaan untuk kasus A adalah µ µ ρ +. 3. Kasus untuk A Dperoleh atau + µ ) + ρ + µ 0 Sehngga berlaku µ 0 dan hmpunan penyelesaannya adalah µ 0 atau µ 0. 4. Kasus untuk A > 4 Untuk n dnyatakan kembal > + µ 4µ µ atau > 0 ( + µ )(( µ + µ ) + ρ) Hmpunan penyelesaan dar ketaksamaan n adalah : µ µ 0, µ + µ < ρ µ + µ < ρ +, Karena sfat type soltonkp maka µ µ 0 dan µ + µ < ρ tdak +, +. memenuh syarat sehngga penyelesaannya adalah µ µ < ρ 5. Kasus A < 0 Dperoleh ketaksamaan < 0 karena µ > µ > 0 + µ Dengan mengasumskan sudut nteraks relatf kecl sedemkan sehngga + berlaku µ µ > ρ maka dperoleh penyelesaan ketaksamaan tersebut yatu ρ < µ < ρ 37
Klasfkas Interaks Gelombang (Sutmn dan Agus Rusgyono) 4. RESONANSI SOLITON berkut : Jka menganalss solus dua solton, kta dapat mendefnskan sebaga 0.5log A. Dar defns menunjukkan bahwa semakn besar A (yatu A 0 atau A ), semakn besar daerah nteraks dua solton. Pada pelmtan A, panjang daerah nteraks menjad tak hngga. Daerah nteraks n dapat dnyatakan sebaga resonans solton. Akan dperkenalkan notas varabel fase yang dtuls sebaga : φ µ ν y ω t + δ ;,.....(3.) Dasumskan bahwa ν ν. Selanjutnya akan duj perlaku persamaan (.) untuk harga-harga A tertentu. Ada tga kasus yang berbeda, 0 < A <<, A >> dan A Dalam kasus 0 < A <<, ep( φ ) dan ep( φ ) adalah sangat besar darpada Aep( φ + φ ) dan karenanya tu ( ) U U.5 ) sec h ( φ φ )...(3.3) 0 Karena untuk A 0 berkenaan dengan D µ, ν ν, ω ω ) 0 ( ( ) U pada persamaan (3.6) memenuh relas dspers untuk solton KP. maka Secara sama bla A>>, Aep( φ + φ ) dan sangat lebh besar dar pada ep( φ ) dan ep(φ ) Oleh karena telah dketahu : U U (+ ) Karena untuk.5 + µ ) sec h ( φ + φ ).(3.4) 0 A berkenaan dengan D µ + µ, ν + ν, ω + ω ) 0 maka ( ( + ) U pada persamaan (3.4) adalah relas dspers untuk solton KP. Solus Solton pada persamaan (3.3) dan (3.4) serng dkatakan solton vrtual, dan resonans solton dengan persamaan (3.3) dan (3.) dkatakan resonans mnus dan resonans plus. Untuk menyeldk dan manganalss secara detal kasus n akan dtuls dalam paper berkutnya. 38
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No., 33-40, Aprl 00, ISSN : 40-858 Gambar a Gambar b Gambar c Keterangan : Gambar a adalah kasus A 0 Gambar b adalah kasus untuk A >> Gambar c adalah kasus untuk 0 < A << 5. KESIMPULAN Dalam menganalss secara teorts, masalah nteraks dua solton mash bersfat open problem. Berdasarkan hasl analss sementara karaktersas nteraks dua solton n dtunjukkan oleh parameter koefsen nteraks A, dmana parameter n adalah parameter perubahan fase dar masng-masng solton. 39
Klasfkas Interaks Gelombang (Sutmn dan Agus Rusgyono) Interaks dua solton n akan dkatakan solton yang nyata jka memenuh syarat relas dspers. Penuls akan mengembangkan analss nteraks dua solton n pada paper berkutnya. Juga akan dseldk perlaku nteraks tga solton DAFTAR PUSTAKA. A. Jamaluddn, I.Yuwono, Jafar and Ong Chee Tong, Kadomtsev- Petvashvl (KP) Wave Identfcaton From Laboratory Observatons, RWS Report, P4M-ITB, August 997.. E. Cahyono, E. Van Groesen, E. Soewono & S. Subarnah, Genus Two Solton to Kadomtsev-Petvashvl Equaton, Dfferental Equaton Theory, Numercs and Apllcatons, Kluwer Academcs Publsher, 996, 33-43. 3. E. Soewono, Two Solton Interactons of the Kadomtsev-Petvashvl (KP I, II), 995 (Unpublshed). 4. M. J. Ablowtz & H. Segur, Solton and Iverse Scatterng Transform, SIAM, Phladelpha, 98. 5. P. Peterson and E. Van Groesen, A Drect and Invers Problem for wave crests modeled by Interacton of two soluton, Physca D, July, 000, 4 (3-4) : 36-3. 40