PENDAHULUAN Latar Belakang Perkembangan analisis data saat ini masih bertumu ada analisis untuk data linear. Disisi lain, untuk kasus-kasus tertentu engukuran dilakukan secara sirkular. Beberaa ilustrasi data sirkular yaitu arah migrasi hewan, arah angin, waktu kedatangan asien, waktu terjadinya kecelakaan dan lainlain. Data yang diukur dalam statistika sirkular berua sudut sehingga analisis yang dilakukan sedikit berbeda dengan data linear. Hal ini menunjukkan entingnya kajian analisis data sirkular. Analisis data sirkular awalnya dimulai ada ertengahan abad ke-8. Pada tahun 767, seorang endeta John Mitchell FRS mengamati osisi antar bintang. Mitchell ingin membuktikan bahwa arah bintangbintang tersebut menyebar seragam. Menggunakan konse statistika sirkular Mitchell menemukan bahwa jumlah asangan bintang yang berdekatan terlalu banyak. Berdasarkan hal ini Mitchell menyimulkan bahwa asangan bintang-bintang secara fisik tertata gaya tarik gravitasi (Fisher 993). Salah satu kesalahan yang daat terjadi jika data sirkular dianalisis menggunakan metode linear yaitu ada arah rata-rata. Gambar menunjukkan contoh dari kesalahan tersebut. Garis utus-utus menunjukkan ratarata dengan metode linear, sedangkan garis enuh adalah arah rata-rata sirkular. Pada Gambar rata-rata linear berada di sekitar 80 o sedangkan data engamatan berada di sekitar 0 o. Dalam enelitian ini akan dikaji waktu kedatangan asien Instalasi Gawat Darurat (IGD). Pelayanan IGD seharusnya dikelola secara baik dan teratur, hal ini karena kedatangan asien tidak daat dierkirakan sehingga memungkinkan terjadi enumukan asien. Oleh karena itu, erlu dilakukan enelitian untuk mengetahui waktu sibuk kedatangan asien. Setelah itu ihak rumah sakit daat melakukan erencanaan sumber daya manusia dengan baik. Berdasarkan situs Dinas Kesehatan Kota Bogor, dalam lingkungan kota Bogor terdaat 9 rumah sakit yang diakui oleh emerintah kota Bogor termasuk rumah sakit bersalin. Rumah sakit AZRA, Karya Bakti, Palang Merah Indonesia (PMI) dan Salak meruakan beberaa rumah sakit umum yang banyak mendaatkan erhatian dan kunjungan dari masyarakat. Berdasarkan hal ini rumah sakit tersebut diilih sebagai objek enelitian. 70 o Gambar Contoh sebaran data sirkular. Tujuan Tujuan dari enelitian ini adalah :. Menerakan enggunaan konse statistika sirkular untuk mengetahui deskrisi statistik data sirkular setia rumah sakit.. Melakukan erbandingan arah ratarata antar rumah sakit. TINJAUAN PUSTAKA Data Sirkular Data sirkular adalah data hasil engukuran yang nilai-nilainya berulang secara eriodik. Suatu nilai akan kembali ditemukan setelah menemui satu eriode/utaran enuh. Definisi karakteristik eubah sirkular sendiri adalah data ada awal dan akhir skala engukuran saling bertemu (Martin 008). Data sirkular daat direresentasikan ke dalam bentuk sudut dalam lingkaran. Pengukuran ini daat digambarkan melalui engukuran sudut atau osisi titik ada keliling lingkaran, dengan memilih arah nol sebagai titik acuan. Setia titik engamatan daat dinyatakan sebagai koordinat kartesius (X, Y) atau dalam koordinat olar (r, θ), dimana r meruakan jarak titik usat ke titik engamatan dan θ meruakan arah erindahan dalam satuan sudut (Jammalamadaka & SenGuta 00). Titik dalam koordinat olar daat diubah ke dalam koordinat kartesius, begituun sebaliknya, dengan x= r cos θ, y = r sin θ. Hubungan antara koordinat olar dengan koordinat kartesius tersebut daat dilihat ada Gambar. 0 o 80 o 90 o
r sin θ Y O Gambar Hubungan antara koordinat olar dengan koordinat kartesius. Menurut Mardia (000), jenis data sirkular dibedakan menjadi dua yaitu :. Data sirkular jenis arah Meruakan data terjadinya sesuatu hal yang diukur dalam arah atau derajat. Contohnya adalah arah angin, arah migrasi burung dan arah navigasi.. Data sirkular jenis waktu Data yang meruakan data terjadinya sesuatu hal yang diukur dalam satuan waktu, daat berua jam dalam satu hari, hari dalam satu bulan, atau bulan dalam satu tahun. Dalam erhitungannya data sirkular jenis waktu harus diubah ke dalam sudut. Penggambaran Data Sirkular Sebuah data akan mudah dianalisis aabila daat digambarkan dalam sebuah grafik. Menurut Fisher (993), reresentasi data sirkular dalam bentuk grafis sangat enting. Bentuk grafis yang biasa digunakan untuk data sirkular adalah:. Diagram encar Diagram yang menggambarkan titik-titik secara sederhana dalam suatu lingkaran.. Histogram, dalam data sirkular histogram daat dibuat seerti ada data linear dengan reson sudut sebagai koordinat X. Histogram yang dibuat daat berua histogram sirkular dan Rose Diagram. a. Histogram sirkular Histogram seerti ada data linear dengan menyatukaan koordinat X menjadi lingkaran. b. Rose diagram/diagram mawar Histogram dimana masing-masing kelomok digambarkan sebagai sektor. Area setia sektor menunjukkan frekuensi kelomok. r r cos θ θ P X Deskrisi Statistik Data Sirkular Arah Rata-Rata Perhitungan untuk mencari rata-rata data sirkular berbeda dengan rosedur erhitungan rata-rata ada data linear. Rata-rata data sirkular dieroleh dengan memerlakukan data sebagai vektor satuan. Oleh karena itu dalam statistika sirkular dikenal adanya nilai vektor resultan R. Rumus dari R adalah: n n R= ( cos θ i, sin θ i )= (C, S) dimana θ, θ,..., θ n meruakan satu set observasi sikular yang diukur berdasarkan sudut, dan menghasilkan R = R = C + S memerlihatkan anjang dari vektor resultan R. Vektor resultan adalah jumlah dari dua vektor atau lebih. Dalam statistika sirkular juga dikenal adanya anjang vektor rata-rata (R) yang dieroleh dari : R = R n Arah dari vektor resultan R yang menjelaskan arah rata-rata sirkular dilambangkan dengan θ 0, dimana: θ 0 = arctan*(s/c), akan bernilai:. arctan (S/C) jika C>0, S 0. π/, jika C=0, S>0 3. arctan (S/C) + π jika C<0 4. arctan (S/C) + π jika C 0, S<0 5. tidak terdefinisi jika C=0 dan S=0 Definisi inverse kuadran sesifik dari tangen dierlukan karena tan(θ) = tan(θ+π), dan arctan didefinisikan berada ada ( π Sembarang θ memiliki dua inverse. Untuk mengatasi masalah ini definisi arah rata-rata sebelumnya daat memberikan inverse yang bernilai unik dan teat ada {0,π} yang akan dihitung berdasarkan nilai C dan S (Jammalamadaka & SenGuta 00). Selang Keercayaan Arah Rata-Rata Metode yang digunakan untuk menentukan standar eror dari arah rata-rata sirkular yang mengikuti ditribusi normal sirkular adalah dengan mencari ς μ = nr к sehingga selang keercayaan 00%(-α) untuk arah rata-rata data sirkular adalah [θ 0 arcsin z α/ ς μ, θ 0 + arcsin z α/ ς μ ].
3 Ragam Sirkular Salah satu ukuran yang juga berguna dalam deskrisi statistik data sirkular adalah ukuran sebaran atau keragaman. Nilai keragaman sirkular diukur berdasarkan ukuran jarak sirkular antara sembarang dua titik data ada keliling lingkaran. Ukuran jarak ini didefinisikan sebagai anjang busur terkecil dari dua anjang busur yang menghubungkan titik-titik tersebut. Misalkan terdaat dua titik sembarang A dengan sudut α dan titik B dengan sudut β, maka jarak antar kedua titik meruakan busur terendek dalam lingkaran. Gambar 3 menunjukkan busur ANB lebih endek dariada busur ASB maka jarak antara A dan B adalah anjang busur ANB. Dengan demikian jarak dari dua titik ada keliling lingkaran tidak akan melebihi dari π. 0 Gambar 3 Contoh jarak antara dua titik ada data sirkular Berdasarkan ilustrasi ini maka jarak sirkular untuk kedua titik A dan B adalah: d (α,β) = ( - cos (α-β)) Definisi ini daat digunakan untuk mencari ukuran sebaran data sirkular. Dengan endekatan engukuran jarak dalam lingkaran, maka nilai dari ragam contoh adalah V= n R = - R Nilai V adalah ukuran enyebaran contoh, dan ada statistika linear sama dengan s. Standar deviasi ada data sirkular adalah: v = {- log (-V)} / = [(-R)] / α Titik sudut dalam arah yang sama mengindikasikan emusatan yang besar, nilai R daat sebesar n. Sebaliknya data yang menyebar merata ada sekeliling lingkaran mengindikasikan tidak adanya emusatan, R daat mendekati nilai 0 (Jammalamadaka dan β SenGuta 00). Artinya semakin besar nilai keragaman sirkular maka semakin besar ula sebaran data dan semakin kecil konsentrasi data terhada arah rata-ratanya. Konsentrasi Nilai konsentrasi menunjukkan seberaa besar data menuju suatu arah tertentu. Nilai konsentrasi dilambangkan dengan к yang ditentukan dengan formula sebagai berikut (Fisher 993): к = R + R 3 + 5 R 6 0.4 +.39R + R 3 4R + 3R 0.43 ( R ) () () (3) di mana ersamaan () digunakan jika R<0.53, ersamaan () jika 0.53 R <0.85 sedangkan ersamaan (3) digunakan jika R 0.85. Uji Khi Kuadrat Tujuan dilakukannya engujian ini adalah untuk mengetahui hubungan antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan asien. Pengujian daat dilakukan dengan mengelomokkan waktu-waktu kedatangan dan menghitung frekuensinya. Setelah itu frekuensi dari masing-masing rumah sakit dibuat tabel kontingensi 4xc yang daat dilihat ada Tabel. Hiotesis: H0 : tidak terdaat hubungan antara antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan asien. H : terdaat hubungan antara antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan asien. Tabel Tabel Kontingensi Total samel n...... n c M samel............ M samel 3............ M 3 samel 4 n 4...... n 4c M 4 Total N N N 3 N 4 N dengan: e ij = M in j N ( i=,..4; j=,,,c)
4 χ = i,j n ij e ij e ij dimana: e ij = nilai haraan setia sel hiotesis nol akan ditolak jika nilai χ lebih besar dari χ α, artinya terdaat hubungan antara baris dan kolom. Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular Terdaat beberaa metode yang daat digunakan untuk membandingkan arah ratarata data sirkular yaitu dengan endekatan ANOVA sirkular dan metode nonarametrik. Metode nonarametrik yang daat dilakukan salah satunya metode menurut Fisher (993). ANOVA Sirkular Pendekatan Analysis of Variance (ANOVA) sirkular adalah suatu metode statistika sirkular yang digunakan untuk menguji kesamaan dari dua atau lebih arah rata-rata. Hiotesis yang ingin diuji adalah: H0 : µ =...=µ dimana µ i adalah arah rata-rata untuk masingmasing samel. Pendekatan tabel ANOVA untuk analisis berdasarkan arah rata-rata (Watson dan Williams 956) dalam Jammalamadaka dan SenGuta (00) daat dilihat ada Tabel. Tabel Pendekatan ANOVA Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Antar R Samel - i R Dalam Samel N- (n i R i ) Total N- (N - R ) Kuadrat Tengah JK antar samel/db JK dalam samel/db dimana N=n +...+n menunjukkan ukuran samel gabungan. Asumsi yang harus dienuhi adalah sebaran data mengikuti sebaran von Mises dan arameter konsentrasi memiliki nilai yang sama untuk masing-masing oulasi. Pendekatan ANOVA ada Tabel memiliki : F hitung = KT antar samel /KT dalam samel Hiotesis nol akan ditolak jika F hitung > F (-, N-, α/) untuk к>. Bila < к < maka daat dilakukan endekatan menggunakan F = F ( + 3 ) 8к dengan endekatan sebaran F yang sama. Nilai к adalah dugaan arameter konsentrasi keseluruhan. Simulasi menunjukkan endekatan ini daat dienuhi untuk к. Sedangkan untuk nilai к < daat dilakukan engujian dengan rasio likelihood (Mardia 000), dimana U = N R i R c = - 8 к + nк sehingga hiotesis nol akan ditolak jika nilai cu lebih besar dari χ -,α Sebaran von Mises/ Normal Sirkular Pendekatan ANOVA berlaku untuk data normal sirkular. Sebaran ini adalah sebaran yang aling sering digunakan dalam statistika sirkular dan menjadi dasar arametrik statistika inferensia data sirkular. Sebaran ini dikenal sebagai sebaran von Mises yang ditemukan oleh von Mises ada tahun 98. Fungsi keekatan eluang sebaran von Mises adalah f ( θ;µ,к ) = πi 0 к eк cos ( θ-µ ), 0 < θ < π I 0 adalah fungsi termodifikasi Bessel yaitu : I 0 (к) = π 0 π e k cos θ dθ µ adalah arah rata-rata di mana 0 µ< π, sedangkan к adalah arameter konsentrasi dimana к 0. Uji Formal untuk Sebaran von Mises Lemma Neyman-Pearson dalam Mardia (000) menyatakan uji Rayleigh aling kuat jika menggunakan hiotesis alternatif data menyebar normal sirkular. Hiotesis: H0: Sebaran data mengikuti sebaran seragam sirkular. H: Sebaran data mengikuti sebaran von Mises atau normal sirkular Statistik uji yang digunakan adalah: Z = nr Jika nilai statistik uji lebih besar dari Z α,n, maka hiotesis nol ditolak yang artinya sebaran data mengikuti sebaran normal.
5 Grafik Kecocokan Sebaran von Mises Metode yang digunakan untuk mengevaluasi sebaran von Mises adalah QQlot), dengan mencari z i = sin (θ i - µ) i=,...,n lalu nilai z i disusun berdasarkan nilai terkecil samai terbesar sehingga z ()... z (n). Setelah itu membuat lot (sin( q ), z () ),..., (sin( q n), z (n) ). Jika data mengikuti sebaran von Mises, lot mengikuti garis lurus (0,0) dengan kemiringan 45 o (Fisher 993. Pengujian Untuk Parameter Konsentrasi Pengujian kesamaan dua atau lebih ratarata oulasi memerlukan asumsi arameter konsentrasi к bernilai sama. Pengujian dilakukan dengan hiotesis: H0 : к = к =...= к H: aling sedikit dari к i berbeda dari yang lain ( i=,..,). Statistik uji: dan F = N n i d i d n i d ij d j = d ij = sin(θ ij θ i ) j=,..,n i d i= d = n i d ij j = n i n i di N Maka H0 ditolak jika F > F(-, N-,α/) dimana: = menyatakan banyaknya kelomok n i = menyatakan ukuran samel yang ke-i (i=,...,) N = total keseluruhan data θ i = menyatakan rata-rata sirkular untuk kelomok ke-i. Metode Nonarametrik Dalam keadaan tertentu dimungkinkan cuku alasan untuk menduga bahwa sebaran yang mendasari data identik. Selain itu model arametrik yang didasari sebaran von Mises mungkin tidak daat memberikan deskrisi yang memadai mengenai data atau distribusi yang tidak teat. Secara nonarametrik untuk menguji arah rata-rata dua atau lebih samel daat dilakukan dengan beberaa metode. Untuk samel yang besar terdaat beberaa metode diantaranya adalah metode P dan M.. Metode P : dilakukan jika δ maks 4. Dengan statistik uji: Y = (N-R P )/δ 0 dimana: n i δ i = δ 0 = N δ i = (-ρ )/R ρ = n n R = C + S C = S = n i n i cos (θ i θ ) cos μ i sin μ i. Metode M : dilakukan jika δ maks > 4. Dengan statistik uji: Y = ( - R ς M ) i dimana C M = S M = cos μ i ς i sin μ i ς i R M = C M + SM Hiotesis nol akan ditolak jika nilai Y > χ ( α ) atau Y < χ ( α ). Jika hiotesis nol ditolak artinya aling sedikit terdaat satu dari µ i berbeda dari yang lain. Uji Arah Rata-Rata Dua Samel Pengujian lanjut setelah uji ANOVA belum ditemukan dalam konse statistika sirkular. Oleh karena itu untuk mengetahui arah rata-rata kelomok yang berbeda dilakukan uji arsial kelomok berdasarkan arah rata-rata yang berdekatan. Hiotesis: H0: µ =µ H: µ µ Statistik uji: F = к N (R + R R) N R R Metode di atas digunakan jika sebaran data menyebar von Mises dengan nilai к> dan memiliki nilai yang sama untuk kedua samel.
6 Untuk nilai < к < maka daat dilakukan endekatan menggunakan F = F ( + 3 8к ) dengan endekatan sebaran F yang sama. Sedangkan jika nilai к yang didaat kurang dari maka dilakukan erhitungan dengan menggunakan endekatan uji rasio likelihood seerti yang telah dijelaskan sebelumnya. METODOLOGI Bahan Data yang digunakan dalam enelitian ini adalah data sekunder yang didaat dari 4 rumah sakit di kota Bogor ada bulan Maret 0. Rumah sakit tersebut adalah:. Rumah Sakit Azra. Rumah Sakit Palang Merah Indonesia 3. Rumah Sakit Karya Bakti 4. Rumah Sakit Salak Data yang didaat berua waktu kedatangan asien Instalasi Gawat Darurat, dan asal temat tinggal (kecamatan). Metode Perangkat lunak yang digunakan untuk data sirkular ini adalah Oriana trial version. Langkah - langkah yang dilakukan dalam enelitian ini adalah :. Mentransformasi data waktu kedatangan asien dalam satuan jam ke dalam satuan sudut atau derajat dengan ersamaan θ = 360o x t T Untuk mengubah jam (t dalam jam) dalam siklus hari maka T=4 jam. Begitu ula sebaliknya untuk mentransfromasi satuan sudut menjadi waktu dengan mengkonversi balik ersamaan;. Membuat analisis deskrisi statistik sirkular masing-masing rumah sakit; 3. Melihat hubungan antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan asien dengan menggunakan table kontingensi; 4. Menghitung ANOVA dengan rosedur statistika sirkular yang meliuti Pengujian kecocokan sebaran Von Misses, jika data mengikuti sebaran Von Misses, analisis daat dilanjutkan. Pengujian kesamaan arameter konsentrasi keemat rumah sakit; Menghitung tabel ANOVA; Jika nilai konsentrasi yang dihasilkan kecil akan dilakukan konversi nilai F untuk nilai < к <. Sedangkan jika nilai к < engujian dilakukan dengan uji rasio likelihood. 5. Menghitung erbandingan arah rata-rata waktu kedatangan dengan metode nonarametrik jika δ maks 4, digunakan metode P sedangkan jika δ maks > 4, digunakan metode M; dan 6. Pengujian arsial arah rata-rata waktu kedatangan asien di rumah sakit berdasarkan arah rata-rata rumah sakit yang berdekatan. HASIL DAN PEMBAHASAN Statistika Deskrisi Sirkular Hasil transformasi data waktu kedatangan ke dalam bentuk sudut menghasilkan o yang mewakili 4 menit. Penggambaran data sirkular dilakukan dengan diagram encar dan histogram sirkular. Hasil ini daat dilihat ada Lamiran dan. Selain itu deskrisi statistik untuk waktu kedatangan asien IGD di rumah sakit daat dilihat ada Tabel 3. Pada Tabel 3, waktu kedatangan asien IGD emat rumah sakit kota Bogor memiliki rata-rata sirkular dan selang keercayaan yang berbeda-beda. Rata-rata sirkular menunjukkan arah rata-rata dari data yang ada atau arah temat berkumulnya data. Rata-rata sirkular waktu kedatangan untuk rumah sakit AZRA ada ukul 9:33 atau berada ada 93 o, sedangkan untuk Karya Bakti, PMI dan Salak berturut-turut ada ukul 5:0, 6:49, dan 5:47 atau arah ratarata berada ada 30 o, 5 o dan 37 o. Selain itu daat dilihat median yang dihasilkan masing-masing rumah sakit tidak berbeda jauh dengan arah rata-ratanya. Nilai anjang dari vektor rata-rata (R) daat dilihat ada Tabel 3. Seerti yang telah dijelaskan sebelumnya nilai R ini menjelaskan ukuran emusatan dari data sirkular. Nilai R yang kecil dan mendekati nol mengindikasikan nilai emusatan data yang kecil. Nilai R ada data waktu kedatangan asien di 4 rumah sakit kurang dari. Hal ini menjelaskan nilai emusatan data yang kecil. Panjang vektor rata-rata yang bernilai ositif daat diartikan arah rata-ratanya meruakan arah rata-rata sirkularnya. Pada Tabel 3 nilai ragam sirkular masingmasing rumah sakit beragam. Nilai ragam berkisar antara 0.694 0.8. Nilai ragam