Penerapan Generalized Additive Model (GAM) pada Rata-rata Lama Sekolah Provinsi Jawa Tengah

Transkripsi

1 Peneraan Generalized Additive Model (GAM) ada Rata-rata Lama Sekolah Provinsi Jawa Tengah Rosalinda Nainggolan 1, Yudhie Andriyana 2, Achmad Bachrudin 3 Deartemen Statistika, Universitas Padjajaran, Bandung 1,2,3 rosalinda16001@mail.unad.ac.id ABSTRAK Untuk mengetahui hubungan antara variabel reson dan variabel rediktor dibutuhkan adanya suatu emodelan statistika yang teat. Model statistika meruakan ersamaan matematika untuk menggambarkan kondisi nyata suatu set data. Model linier adalah emodelan statistika yang umum digunakan untuk melihat hubungan antar variabal. Namun model linier memiliki beberaa kelemahan diantaranya yaitu asumsi normalitas ada variabel reson dan hubungan linier antar variabel yang diteliti. Oleh karena kondisi sesungguhnya daat bertolak belakang, maka Hastie dan Tibshirani (1986) memerkenalkan Generalized Additive Model (GAM). Metode tersebut daat dialikasikan ada set data yang tidak membutuhkan asumsi kenonlinearan dalam hubungan antara variabel reson dan rediktor serta tidak membatasi distribusi variabel reson hanya ada distribusi normal saja akan tetai distribusi-distribusi lain dalam keluarga eksonensial daat diergunakan dalam model ini. Selain itu GAM daat mengontrol sifat smooth suatu kurva, sehingga kurva terhindar dari sifat rigid dan over-fitting. Metode ini akan diterakan ada data rata-rata lama sekolah terhada variabel-variabel rediktornya dikarenakan ola hubungan yang terjadi berbeda-beda dan sulit diresifikasi. Kata kunci: RLS, GAM, Inverse Gaussian 1. PENDAHULUAN Rata-rata Lama Sekolah (RLS) sebagai salah satu indikator enyusun IPM daat mencerminkan caaian endidikan suatu wilayah, baik dari sarana rasarana, akses, hingga kualitas endidikan. RLS adalah rata-rata jumlah tahun belajar enduduk usia 25 tahun ke atas yang telah diselesaikan dalam endidikan formal (tidak termasuk tahun yang mengulang) [1]. Dalam uaya eningkatan angka RLS di suatu wilayah tentunya harus diketahui faktor-faktor aa yang memengaruhi RLS sehingga daat diambil suatu kebijakan yang teat sasaran untuk meningkatkan angka RLS seerti rasio beban ketergantungan, rasio murid guru SLTA, rasio murid sekolah SLTA, rasio jenis kelamin, PBRD er kaita, dan ersentase enduduk miskin. Dari enam rovinsi yang berada di ulau jawa, dimensi embentuk IPM rovinsi Jawa Tengah yaitu Rata-rata Lama Sekolah (RLS) dan Haraan Lama Sekolah (HLS) menduduki urutan terbawah, Angka Haraan Hidu (AHH) menduduki urutan ke-2, dan engeluaran er kaita di Jawa Tengah menduduki urutan ke-5. Penjelasan diatas menunjukan bahwa dimensi endidikan Provinsi Jawa Tengah menduduki osisi terendah dibandingkan dengan lima rovinsi lainnya di ulau Jawa. Artinya emerintah Provinsi Jawa Tengah erlu kerja keras untuk mengejar ketertinggalannya aalagi untuk memenuhi standar rata-rata lama sekolah yang disarankan UNDP sebesar 15 tahun. Data RLS di Jawa Tengah tahun 2016 terhada variabel rediktornya menunjukan adanya sebaran yang berbeda-beda. Dari resesifikasi yang dilakukan melalui scatter lot, sebaran data rasio beban ketergantungan terhada RLS menunjukan arah menurun, yang mengindikasikan bahwa beban ketergantungan yang rendah menyebabkan ersentase RLS yang semakin tinggi. Sebaran rasio murid guru, rasio murid sekolah, dan rasio jenis kelamin terhada 327

2 RLS menunjukan ola yang menyebar, sedangkan PRDB er kaita menumuk ada sisi kiri bawah. Dengan ola data seerti itu dierlukan fungsi emulus yang daat menjadikan kurva mengikuti ola data yang ada. Pola sebaran data yang sedemikian rua meruakan ermasalahan yang menjadikan metode linear biasa tidak cuku untuk memodelkan data RLS di Jawa Tengah tahun Perlu adanya metode yang daat mencaku fungsi emulus bagi variabel rediktor. Salah satu metode yang daat menangani hal tersebut adalah melalui metode Generalized Additive Models (GAM). Berdasarkan erumusan masalah diatas, adaun yang menjadi tujuan enelitian ini adalah menerakan Generalized Additive Models (GAM) untuk memodelkan rata-rata lama sekolah (RLS) tahun 2016 di Provinsi Jawa Tengah. Manfaat dari eneraan ini adalah dierolehnya engetahuan statistik mengenai Generalized Additive Models (GAM) dalam emodelan hubungan variabel reson dan beberaa variabel rediktor yang diduga kuat tidak memiliki hubungan linier. 2. METODE PENELITIAN 2.1 Generalized Linear Model (GLM) Dalam beberaa kasus di laangan menyatakan bahwa distribusi reson tidak selalu berdistribusi normal, meskiun saling bebas. Kondisi seerti ini daat diatasi dengan melakukan transformasi dari reson. Nelder dan Wedderburn (1972) mengembangkan model linier yang dikenal dengan Generalized Linear Model (GLM). Model ini memunyai cakuan distribusi yang lebih luas dibandingkan NLM, yaitu mengasumsikan bahwa reson berdistribusi keluarga eksonensial, termasuk distribusi normal [2]. GLM terdiri dari 3 komonen, yaitu: 1. Komonen acak, menentukan distribusi bersyarat dari variabel reson, dimana Y i saling bebas atau indeenden. Distribusi dari Y i adalah anggota dari keluarga eksonensial, seerti distribusi Normal, Binomial, Poisson, Gamma, atau distribusi dari keluarga Inverse-Gaussian. 2. Prediktor linier,untuk observasi i, i = 1,, n, misalkan x ij adalah nilai dari variabel enjelas x j, j = 1,,. Maka x i = x i1,, x i. Prediktor linear dari GLM menghubungkan arameter η i berhubungan dengan E(Y i ) keada variabel ejelas x 1,, x menggunakan kombinasi linear, sehingga η i = j=1 β j x ij, i = 1,, n. j=1 β j x ij sebagai rediktor linier yang mencerminkan bahwa ersamaan tersebut linier dalam arameter. 3. Fungsi link, yaitu fungsi yang mentransformasikan eksektasi dari variabel reson, μ i = E(Y i ), i = 1,, n dengan rediktor linier. Sehingga model GLM daat ditulis sebagai berikut: Y iid i Keluarga Eksonesial(μ ~ i, ) dengan g(μ i ) = η i = β 0 + β 1 x i1 + + β x i ; i = 1,, n, dan adalah arameter disersi. Kemudian model diatas daat ditulis kembali dalam bentuk vektor: Y iid ~ Keluarga Eksonesial(μ, ) η = g(μ) = Xβ Berdasarkan uraian diatas, GLM memiliki keterbatasan yaitu hanya mamu mencocokkan model dengan variabel reson berdistribusi keluarga eksonensial dengan rediktor linier. 328

3 2.2 Generalized Additive Model (GAM) GAM ertama kali dikembangkan oleh Hastie dan Tibshirani ada tahun 1986 (Hastie dan Tibshirani) [3]. GAM meruakan erluasan model aditif umum dengan memodelkan Y sebagai kombinasi aditif fungsi univariat dari variabel enjelas. Metode ini mengakomodasi adanya engaruh nonlinear dari variabel rediktor tana harus mengetahui bentuk engaruh secara ekslisit. Pengaruh nonlinear tersebut daat dierbaiki dengan melakukan emulusan ada struktur hubungan antara variabel reson dan variabel rediktor. Selain meruakan erluasan dari model aditif GAM juga erluasan dari GLM yang mengasumsikan variabel reson Y berdistribusi keluarga eksonensial yang memiliki fungsi keekatan eluang: f(y i ; θ i ; φ) = ex ( y iθ i c(θ i ) + d(y a(φ) i, φ)) dimana θ i disebut arameter kanonik dan disebut φ disebut arameter disersi. Jika a(φ) = 1, d(y i, φ) = d(y i ), maka dimiliki bentuk natural distribusi keluarga eksonensial f(y i ; θ i ) = ex d(y i ) ex [y i θ i c(θ i )]. E(y i x i ) = μ i = c (θ i ), ini menyatakan hubungan yang enting antara θ i dan μ i yaitu θ i = (c ) 1 (μ i ) = g(μ i ) kemudian dihubungkan dengan variabel rediktor melalui fungsi enghubung (link function) η i, sehingga dieroleh bentuk umum GAM adalah sebagai berikut: Y iid i EF(μ ~ i, ) g(μ i ) = η i = β 0 + f 1 (x i1 ) + + f j (x ij ) + ε i ; i = 1,2, n ; j = 1,2,, (1) dimana f j adalah fungsi enghalus nonarametrik ada kovariat x j, untuk j = 1,..., dan EF menunjukkan berasal dari distribusi keluarga eksonensial. Persamaan (1) juga daat dituliskan secara umum sebagai: g(μ) = η = β 0 + f j (X j ) + ε ; j = 1,2,, j=1 Regresi Kubik Slines Menurut Fan dan Yao [4] Slines meruakan otongan olinomial yang tersegmen terhubung ada titik yang menunjukkan terjadinya erubahan-erubahan erilaku kurva ada interval-interval yang berbeda. Titik enghubung tersebut disebut knot. Secara umum sline dengan orde m=0,1,2, dan 3 yang masing-masing disebut constant, linier, quadratic dan cubic. Sehingga fungsi cubic sline dengan titik-titik knot k 1, k 2,, k s, secara umum daat disajikan sebagai berikut: f(x i ) = β 0 + β 1 x i + + β m x i m + + β ms (x i k s ) + m untuk i = 1,2,, n Maka secara umum, jika dimiliki model Y = f(x) + ε, diformulasikan: s fungsi cubic sline f(x) b k (x)β k k=1 Dimana s adalah banyaknya knot; b k (x) adalah fungsi basis ke-k untuk regresi sline kubik, dan β k adalah arameter yang tidak diketahui. Sehingga f (x) = s k=1 b k (x)β k = b (x) T β Dimana b (x) adalah vektor turuan kedua dari fungsi basis. Ketika f (x) adalah skalar maka akan sama dengan nilai transosenya, sehingga [f (x)] 2 = β T b (x)t b (x)β = β T S(x)β (2) Oleh karenanya J(f) = β T S(x)dx β = β T H β, sehingga dengan dimilikinya suatu basis, kita akan selalu daat mengevaluasi matrik koefisien H yang mengijinkan enalti J(f) 329

4 ditulis sebagai bentuk kudratik dari vektor b (dimana matriks H tidak bergantung ada nilai b). Kemudian masalah estimasi adalah daat dicaai dengan meminimumkan n {y i f(x i )} 2 + λ f (x) 2 i=1 Dimana λ adalah arameter yang mengatur erimbangan (trade-off) antara data dan kemulusan model. Memilih basis untuk f menjadikan desain matrik X dan matriks enalti H dihitung seerti yang dijelaskan sebelumnya. Sehingga ermasalahan fitting daat ditulis: y Xb 2 + λβ T H β Generalized Additive Model Cubic Slines Model umum GAM ada ersamaan (1.4) dan Cubic Sline untuk satu variabel ada ersamaan (1.5), ditulis kembali g(μ) = η = β 0 + j=1 f j (X j ) + ε ; j = 1,2,,, maka dengan menginut unsur basis maka daat dituliskan menjadi: l 1 g(μ) = η = β 0 + b k (x)β k + + b k (x)β k + ε ; j = 1,2,, (3) k=1 l j k=1 Kemudian model diatas daat ditulis kembali dalam bentuk vektor: Y iid ~ Keluarga Eksonesial(μ, ) η = g(μ) = Xβ X adalah desain matriks untuk model aditif yang dibentuk seerti ada ersamaan (3) dengan menggunakan emulus, g adalah fungsi link emulus monoton. Kemudian ermasalahan fitting diatas daat diselesaikan dengan memaksimumkan enalized-log likelihood [5]: l = l(y; β) 1 2 λ jβ j T H j β j n i=1 j=1 Dimana λ j > 0 dan l(y; β) = {[y i η i + c(η i )] + d(y i )}, η i adalah elemen ke-i dari g(μ) = η dan menurut ersamaan (2) H j = b (x)t b (x). Wood (2002) menyatakan solusi untuk memaksimumkan enalized likelihood daat dicaai dengan menggunakan iteratively reweighted least square (IRLS) sehingga dieroleh nilai estimasi β [5] : β [t+1] = {[X T W [t] X S] 1 X T W [t] z [t] } dengan W [t] adalah matriks enimbang yang memunyai elemen w ii 1 V(μ i [t] )g (μi [t] ), S = blockdiag(0, λ 1 H 1,, λ H ), dan z [t] = Xβ [t] + g (μ i [t] ) (y μ t ) Tahaan Penelitian Tahaan enelitian yang dilakukan untuk menyelesaikan tujuan enelitian adalah sebagai berikut: 1. Memersiakan data, yaitu menentukan variabel reson dan variabel rediktor yang akan digunakan. 2. Membuat scatter lot yang menjelaskan hubungan antar variabel reson dan variabel rediktor. 3. Menentukan distribusi bagi variabel reson secara emiris dengan nilai AIC terkecil dari seluruh ilihan distribusi yang berada ada rentang (0,tak hingga)[6]. Dengan dasar AIC terkecil hasil emodelan diyakini adalah model terbaik. 330

5 4. Menentukan resesifikasi model berdasarkan ola data ada scatter lot. 5. Pembentukan model melalui tahaan: a. Membentuk basis ada masing-masing rediktor dengan knot fixed. b. Basis yang terbentuk ada setia variabel rediktor diberikan enalti. c. Mengkombinasikan setia variabel rediktor yang sudah diberikan erlakuan emulusan sehingga terbentuk model Generalized Additive Model (GAM) cubic sline. 6. Mengestimasi arameter koefisien model bagi setia variabel rediktor. 7. Memilih model terbaik berdasarkan ukuran AIC dan MSE terkecil. 3. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 3.1 Sumber Data Data yang digunakan dalam enelitian ini adalah data sekunder yang dieroleh dari ublikasi Badan Pusat Statistika (BPS) tahun Pada enelitian ini yang dijadikan unit observasi adalah Kabuaten/Kota di Provinsi Jawa Tengah sebanyak 35 Kabuaten/Kota. Data yang digunakan adalah RLS sebagai variabel reson (Y) dan faktor-faktor endukung seerti rasio beban ketergantungan, rasio murid guru SLTA, rasio jenis kelamin, rasio murid sekolah SLTA, PBRD er kaita, dan ersentase enduduk miskin di kabuaten/kota di Provinsi Jawa Tengah sebagai variabel rediktor (X). 3.2 Rata-Rata Lama Sekolah Rata-rata lama sekolah adalah jumlah tahun belajar enduduk usia 25 tahun ke atas yang telah diselesaikan dalam endidikan formal (tidak termasuk tahun yang mengulang) [1]. Ratarata angka RLS di Jawa Tengah adalah sebesar 7,45 tahun. Artinya enduduk yang berusia 25 tahun keatas di Jawa Tengah rata-rata lama bersekolah 7 samai dengan 8 tahun. Namun terdaat tiga kota yang nilainya jauh berada diatas nilai kabuaten/kota yang lain. Ketiga kota tersebut adalah kota Magelang, kota Surakarta dan kota Semarang, dengan angka masing-masing sebesar 10,29, 10,37, dan 10,49 tahun. (a) (b) Gambar 1. a) Boxlot Rata-rata lama sekolah ; b) scatter lot hubungan variabel ekslantori dan variabel reson 331

6 3.3 Pemodelan Pemodelan Generalized Additive Models (GAM) dilakukan dengan terlebih dahulu mengetahui aakah suatu variabel reson mengikuti distribusi keluarga eksonensial. Sesuai dengan tahaan enelitian akan untuk mengetahui variabel reson berdistribusi keluarga eksonensial adalah dengan menggunakan cara embentukan model regresi sederhana melalui distribusi yang akan memberikan Akaike Information Criterion (AIC) terkecil [6]. Adaun hasil olah dieroleh hasil seerti ada tabel 1. Tamak bahwa distribusi Inverse Gaussian memberikan hasil AIC terkecil, mengindikasikan bahwa variabel reson mengikuti distribusi inverse gaussian akan memberikan hasil model yang terbaik. Inverse Gaussian adalah distribusi yang termasuk dalam distribusi keluarga eksonensial sehingga metode GAM daat diterakan ada data. Selanjutnya adalah menetakan knot untuk masing-masing variabel reditor. Karena dilakukannya enalized regression sline maka ermasalahan enematan knot daat dihindari [5]. Dalam hal ini enulis menentakan knot bagi setia variabel rediktor adalah sama yaitu sebanyak 4 knot equidistant. Penetaan knot disini akan dilanjutkan dengan otimasi ada nilai enalti yaitu arameter emulus untuk setia variabel rediktor. Kemudian emodelan GAM daat dilakukan yang selanjutnya akan dieroleh nilai nilai estimasi β. Tabel 1. Ukuran AIC dari model regresi berdasarkan distribusi reson dengan rentang [0, ] Distribusi AIC Inverse Gaussian 81,5428 Weibull 85,5407 Gamma 86,0569 Log Normal 86,2892 Inverse Gamma 86,5491 Generalized Gamma 87,3044 Generalized Inverse Gaussian 88,1313 Normal 91,2495 Exonential 223,9910 Pareto 226,2534 Pada enelitian ini selain menerakan Generalized Additive Models (GAM) dilakukan ula emodelan dengan menggunakan metode Normal Linear Model (NLM) dan Generalized Linear Model (GLM) sebagai erbandingan. Adaun hasil emodelan ditunjukan ada tabel dibawah: Table 2. Nilai MSE dan R-Square ada reduced model Metode MSE R-Square AIC (1) (2) (3) (4) LM 0,5602 0, ,0412 GLM 0,4400 0, ,8673 GAM 0,2856 0, ,7458 Tabel 2. Menunjukkan bahwa GAM adalah model terbaik berdasarkan ukuran-ukuran emilihan model. Melalui rosedur stewise, hanya emat variabel saja yang daat dimasukkan ke dalam model GAM yang terbentuk. Ke-emat variabel tersebut adalah rasio beban ketergantungan, rasio murid guru ada tingkat SLTA, rasio jenis kelamin, dan PDRB er kaita 332

7 Dalam Eubank (1988) disebutkan bahwa ukuran kinerja enduga fungsi regresi daat ditentukan diantaranya dengan rataan kuadrat sisaan (MSE) [7]. Tamak bahwa MSE terkecil dihasilkan dengan menggunakan metode Generalized Additive Models yaitu sebesar 0,2856. R- Square yang dihasilkan juga lebih besar dari kedua metode lainnya yaitu sebesar 0,8573, artinya bahwa ke-emat variabel yang masuk dalam model mamu menjelaskan hubungannya terhada rata-rata lama sekolah sebesar 85,73%. 4. KESIMPULAN Pada enelitian ini disimulkan bahwa kinerja Generalized Additive Models lebih otimal dibandingkan dengan Generalized Linear Model dan Linear Model. Ini dibuktikan erbandingan nilai MSE Generalized Additive Models lebih kecil dariada MSE Generalized Linear Model dan Linear Model. Ini dikarenakan endekatan Generalized Additive Models daat mengatasi data yang memunyai sebaran tidak linier dan variabel reson yang berdistribusi keluarga eksonensial. Adaun yang menjadi saran untuk enelitian selanjutnya adalah daat membandingkan beberaa basis emulus untuk mendaatkan model yang terbaik dan daat ula memertimbangkan adanya engaruh dari arameter scale dan shae dalam hal ini adalah varians dan skewness serta kurtosis dengan menggunakan metode Generalized Additive Model Location, Scale and Shae (GAMLSS) 5. DAFTAR PUSTAKA [1] htt://im.bs.go.id/age/im [2] Nelder, J.A. dan Wedderburn, R.W.M., Generalized linear models, Journal of the Royal Statistical Society, A135, [3] Hastie, T. J. dan Tibshirani. Generalized Additive Model 4th ed. Chaman dan Hall, London [4] Fan, J dan Yao, Q. Nonliniear Time Series Nonarametric and Parameteric Method. Canada: Sringer Science [5] Wood, Simon N dan Augustin, Nicole H., GAMs with integrated model selection using enalized regression slines and alications to environmental modelling. Ecological Modelling [6] Stasinooulos DM, Rigby RA,et al, Flexible Regression and Smoothing Using GAMLSS in R, CRC Press [7] Eubank, R. Sline Smoothing and Nonarametric Regression. Marcel Dekker, New York