III. PEMBAHASAN. dimana, adalah proses Wiener. Kemudian, juga mengikuti proses Ito, dengan drift rate sebagai berikut: dan variance rate yaitu,

Transkripsi

1 4 masing menyatakan drift rate dan variance rate dari. Untuk roses stokastik yang didefinisikan ada ruang robabilitas (Ω,, berlaku hal berikut: Misalkan adalah roses Wiener ada (Ω,,. Integral stokastik adalah roses stokastik dengan bentuk: 0,,. (2) (Hull 2003) Definisi 20 Proses Ito Proses Ito adalah roses Wiener umum dengan dan menyatakan suatu fungsi dari eubah acak dan waktu. Proses Ito daat dinyatakan sebagai berikut:,,. (3) Lema 2 (Lema Ito) Misalkan roses memenuhi ersamaan (3) dan fungsi, adalah kontinu serta turunan-turunan,,, kontinu, maka, memenuhi ersamaan berikut:,,, dimana, adalah roses Wiener. Kemudian, juga mengikuti roses Ito, dengan drift rate sebagai berikut:,,, dan variance rate yaitu, Dimana, 1 2,.,,.,,. (Hull 2003) 2.5 Persamaan Riccati Persamaan Riccati meruakan ersamaan diferensial biasa yang memiliki tie:. 5 Persamaan di atas termasuk nonlinear dan meruakan ersamaan dengan enyelesaian yang unik. Untuk mencari solusi, maka ersamaan Riccati memerlukan solusi artikular. (Hille 1997) 1 2,,,, 4 III. PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dibahas beberaa model suku bunga, yaitu model Vasicek, model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) dan erluasan model CIR. Dalam karya ilmiah ini yang akan dibahas lebih lengka adalah erluasan model CIR. 3.1 Model Vasicek Dalam model Vasicek, model suku bunga yang diberikan adalah:, (6) dimana,, dan adalah konstanta. Kelemahan dari model ini adalah bahwa tingkat suku bunga daat bernilai negatif. Model Vasicek ini daat digunakan untuk menilai zero couon bond ada waktu dengan membayar $1 ada saat jatuh temo, dengan ersamaan harga obligasi sebagai berikut: dengan dan,,,, (7),, (8), ex,,. (9) (Bukti: lihat Rolski et al. 1999)

2 5 Dari ersamaan (6) model Vasicek di atas, daat dieroleh: (Bukti: Lamiran 1) 3.2 Model CIR Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) adalah model yang ertama kali menghilangkan kemungkinan dari suku bunga bernilai negatif. Model suku bunga yang diberikan adalah:. (11) Faktor standar deviasi dari model ini adalah, sehingga memastikan bahwa tingkat suku bunga tidak akan negatif. Dalam model ini, harga obligasi memiliki bentuk umum yang sama dengan model Vasicek yaitu:,,,, namun, fungsi, dan, berbeda, yaitu:,, , dengan 2. / 12, 13 (Bukti: lihat Rolski et al. 1999) 3.3 Perluasan Model CIR dan Penentuan Harga Zero Couon Bond Pada model CIR drift dan volatilitas konstan. Untuk lebih mendekati realitas, maka drift dan volatilitas ada erluasan model CIR meruakan fungsi dari waktu. Pada erluasan Model CIR ini, suku bunga 0 mengikuti roses berikut:, (14) dimana,, adalah komonen deterministik yang lebih besar dari nol dan meruakan fungsi dari, serta adalah roses Wiener. Dalam erluasan model CIR ada ersamaan (14), harga atau nilai dari zero couon bond memenuhi ersamaan diferensial sebagai berikut: (Bukti: Lamiran 2) Harga obligasi adalah harga yang didiskon dari embayaran yang akan diterima emegang obligasi selama masa keemilikannya. Misalkan, menyatakan harga ada waktu dari zero couon bond dengan waktu jatuh temo dan meruakan solusi dari ersamaan (15) dengan asumsi bahwa, 1 untuk semua. Berikut ini, yang diberikan adalah:, ex ;. 16 (Bukti: Lamiran 3) dimana fungsi memenuhi ersamaan Riccati yaitu: 1, 0. (17) Selanjutnya, diberikan, log, / menyatakan forward interest rate ada saat jatuh temo. Diketahui /, akan dieroleh:, log, /, dari ersamaan (16),, log ex. Selanjutnya, akan dieroleh:,, (18) dimana,,

3 6 selain itu, fungsi memenuhi:, 1. (19) Persamaan (19) di atas meruakan turunan dari ersamaan Riccati (17). Bukti: dari ersamaan (17), karena maka, 1, sehingga Penentuan Harga Zero Couon Bond ada Perluasan Model CIR dengan Struktur Waktu Awal Pada bagian sebelumnya telah dieroleh harga dari zero couon bond yang dieroleh secara umum. Berikut ini akan ditentukan harga zero couon bond dengan memberikan informasi awal yaitu dan. Menurut lema Ito, diberikan volatilitas dari zero couon bond dengan waktu jatuh temo dan forward interest rate dalam erluasan model CIR ada ersamaan (14) berturut-turut adalah dan. Untuk lebih jelasnya akan diberikan ada teorema berikut ini: Teorema 1: Untuk, minimal untuk mendekati yaitu: log log, 20 1, dimana, untuk log, dengan: = volatilitas dari sot rate = waktu eksekusi = waktu jatuh temo = waktu awal ( 0)., (22) 23 (Bukti: Lamiran 4) Dalam hubungannya dengan, ersamaan (20) juga daat dituliskan menjadi:. (24) Model erlusan CIR termasuk dalam kelas model akar kuadrat sederhana, sehingga model akar kuadrat sederhana daat dinyatakan sebagai berikut, untuk semua 1,. (25) Dinamika dari discount function atau fungsi diskon dalam model akar kuadrat sederhana daat diduga dengan mengikuti hasil dari struktur waktu awal. Fungsi diskon adalah nilai $1 yang didiskon sebagai fungsi dari waktu hingga embayaran. Berikut ini diberikan teorema untuk mencari rumus harga zero couon bond dengan menggunakan erluasan model CIR, dengan, Teorema 2: Untuk semua, 0 dan 0. Rumus berikut mengikuti model akar kuadrat sederhana yaitu:

4 7,,,, ex 26,, (27) dengan = harga dari obligasi ada waktu jatuh temo. = forward interst rate ada waktu jatuh temo. = suku bunga yang berlaku. (Bukti: Lamiran 5) Persamaan (26) di atas meruakan lanjutan dari rumus enetaan harga dari zero couon bond. Namun, ersamaan (26) ini memiliki erbedaaan dengan ersamaan (16), karena ersamaan (26) hanya menggunakan informasi dari forward interest rate ada waktu awal dan kurva volatilitas ada waktu, sedangkan ersamaan (16) menggunakan koefisien, dan. Penentuan harga obligasi yang dieroleh di atas adalah dalam bentuk rumus aljabar, oleh karena itu ada bagian selanjutnya akan dicari harga zero couon bond dengan menggunakan simulasi yang diselesaikan secara komutasi. IV. SIMULASI Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai teori-teori dan rumus aljabar yang berkaitan dengan enentuan harga zero couon bond. Selanjutnya, ada bagian ini akan diberikan simulasi yang akan menggambarkan harga zero couon bond ada erluasan model CIR. Simulasi ini terdiri dari tabel dan gambar grafik yang meruakan imlementasi dari enetaan harga zero couon bond. Untuk lebih memermudah contoh kasus, komonen stokastik dalam ersamaan model suku bunga diasumsikan 0. Persamaan dieroleh dengan menurunkan model suku bunga ada ersamaan (14) yaitu:. Asumsikan: 0, didaat, 1, 1, 1 ln,,. Saat 0, Jadi, 0 0, 0. 0, sehingga dieroleh, 0 1. Selanjutnya, dengan menggunakan ersamaan (11) - (26), dan memilih arameter-arameter: 1, 0,2, σcir 0,4, 0 0,1, dan diketahui bahwa 2. Parameter-arameter tersebut digunakan ada software Mathematica 7, sehingga akan dieroleh harga zero couon bond dari erluasan model CIR yang digambarkan dalam bentuk tabel dan grafik berikut.,

5 8 Tabel 1. Harga obligasi dari erluasan model CIR ada waktu jatuh temo 20 tahun t T Tabel di atas meruakan tabel harga zero couon bond dari erluasan model CIR dengan eriode jatuh temo 20 tahun. Dari tabel di atas daat disimulkan bahwa harga zero couon bond ada erluasan model CIR terus mengalami kenaikan dan akan terus naik mendekati 1 (nilai arinya) dari jangka waktu nol hingga jangka waktu jatuh temo. Berikut ini akan diberikan grafik-grafik hubungan antara harga zero couon bond ada erluasan model CIR dengan waktu jatuh temo yang bervariasi t t t t Gambar 1. Grafik harga obligasi erluasan model CIR dengan bervariasi

6 9 Gambar 1 di atas menunjukkan bahwa seluruh grafik harga zero couon bond dengan variasi waktu jatuh temo yaitu 5 tahun, 10 tahun, 20 tahun, dan 30 tahun. Dari grafik daat dilihat bahwa harga obligasi cenderung mengalami kenaikan dari tahun ke tahun hingga waktu jatuh temo dengan nilai ari sebesar 1. Selanjutnya akan diberikan contoh untuk memerlihatkan erbedaan harga obligasi tia waktunya. Misalkan, suku bunga 15%, dengan mengambil harga zero couon bond saat 4 ada masing-masing waktu jatuh temo yaitu dengan 5 harga obligasinya 0,855341, dengan 10 harga obligasinya 0,278148, dengan 20 harga obligasinya 0, , dengan 30 harga obligasinya 0, Berikut ini grafik hubungan antara harga obligasi saat 4 ada waktu jatuh temo yang berbeda yaitu: 0,8 Grafik hubungan harga obligasi dengan waktu jatuh temo 1 P 0,6 0,4 0, T Gambar 2. Grafik hubungan harga obligasi dengan waktu jatuh temo Gambar 2 di atas meruakan grafik hubungan antara harga zero couon bond saat 4 dengan waktu jatuh temo yang berbeda. Periode jatuh temo yang berbeda yaitu 5 tahun, 10 tahun, 20 tahun dan 30 tahun akan memberikan harga obligasi yang berbeda. Daat dilihat bahwa saat 4 harga obligasi yang diberikan berbeda-beda. Sehingga daat disimulkan bahwa semakin lama waktu jatuh temonya maka harga obligasi yang dieroleh akan semakin rendah. Selanjutnya diberikan contoh kasus untuk tertentu. Misalkan, suku bunga yang diberikan bervariasi dan mengambil harga zero couon bond (tabel ada lamiran 8), saat 5 ada masing-masing waktu jatuh temo yaitu dengan 1% harga obligasinya 0,177388, dengan 5% harga obligasinya 0,175036, dengan 10% harga obligasinya 0,172095, dengan 20% harga obligasinya 0, Sehingga akan dieroleh grafik hubungan antara harga zero couon bond dengan suku bunga yang berbeda-beda ada saat jatuh temo 10 tahun sebagai berikut:

7 10 P 0,178 0,176 0,174 0,172 0,17 0,168 0,166 0,164 Grafik harga obligasi dengan T=10 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 r Gambar 3. Grafik hubungan harga obligasi dengan suku bunga Gambar 3 di atas meruakan grafik hubungan antara harga obligasi dengan suku bunga yang berbeda dan waktu jatuh temo yang diberikan yaitu 10 tahun. Kesimulan dari gambar di atas adalah jika suku bunga meningkat maka harga obligasi yang dieroleh akan menurun. V. SIMPULAN Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) daat menghilangkan kemungkinan suku bunga bernilai negatif, sehingga memastikan bahwa tingkat bunga tidak akan negatif. Perluasan dari model CIR daat digunakan untuk menentukan harga zero couon bond (obligasi tana kuon). Rumus enetaan harga zero couon bond ada erluasan model CIR dieroleh dalam bentuk aljabar ada struktur waktu awal, dengan menyelesaikan solusi ersamaan diferensial yang diberikan sesuai dengan kondisi batas yang telah ditentukan. Harga obligasi ada erluasan model CIR cenderung mengalami kenaikan dari tahun ke tahun samai waktu jatuh temo. Harga obligasi berbanding terbalik dengan waktu jatuh temo dan suku bunga. Semakin lama waktu jatuh temonya maka semakin kecil ula harga obligasinya. Selain itu, jika suku bunga meningkat maka harga obligasi yang dieroleh akan menurun.