BAB II TINJAUAN PUSTAKA. level, model regresi tiga level, penduga koefisien korelasi intraclass, pendugaan

Transkripsi

1 6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada Bab II akan dibahas konsep-konsep yang menjadi dasar dalam penelitian ini yaitu analisis regresi, analisis regresi multilevel, model regresi dua level, model regresi tiga level, penduga koefisien korelasi intraclass, pendugaan parameter dalam pemodelan multilevel, pengujian signifikansi parameter, pemilihan model terbaik dalam pemodelan multilevel, koefisien determinasi, dan faktor-faktor yang memengaruhi hasil belajar. 2.1 Analisis Regresi Suatu peubah pada umumnya bersifat memengaruhi peubah lainnya, peubah pertama disebut peubah bebas (dependent variabel) dan peubah kedua disebut variabel respon (independent variabel). Apabila diketahui nilai variabel bebas, hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat secara kuantitatif dapat dimodelkan dalam suatu persamaan matematik yang sering disebut dengan analisis regresi (Sumertajaya & Mattjik, 1998). Berdasarkan variabel penjelas yang terlibat, analisis regresi dibedakan menjadi dua yaitu regresi linear sederhana dan regresi berganda Regresi Linear Sederhana Regresi linear sederhana adalah persamaan regresi yang menggambarkan hubungan antara satu variabel bebas yang biasa disimbolkan dengan X, dan satu variabel respon yang biasa disimbolkan dengan Y. Hubungan keduanya dapat 6

2 7 digambarkan sebagai suatu garis lurus, sehingga hubungan kedua variabel tersebut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan: Y i = β 0 + β 1 X 1 + ε i (2.1) dengan Y i adalah nilai variabel respons pada amatan ke- i, β 0 adalah parameter yang merupakan intersep, dan β 1 adalah parameter yang merupakan slope garis regresi yaitu perubahan rataan sebaran peluang bagi Y untuk setiap kenaikan X satu satuan (Sumertajaya & Mattjik, 1998). Selanjutnya untuk kasus lebih dari satu variabel bebas yang mempengaruhi variabel respon, digunakaan analisis regresi berganda Regresi Berganda Persamaan regresi berganda adalah persamaan regresi dengan lebih dari satu peubah bebas (X 1, X 2,, X p ) yang memengaruhi satu variabel respon (Y). Hubungan antara variabel-variabel tersebut dapat dirumuskan dalam bentuk persamaan: Y i = β 0 + β 1 X i1 + β 2 X i2 + + β p X ip + ε i ; i = 1,2,, n (2.2) Dalam notasi matriks, model regresi linear umum (2.2) adalah Y n 1 = X n p β (p+1) 1 + ε n 1 (2.3) dengan Y adalah vektor respons, β adalah vektor parameter, X adalah matriks konstanta, dan ε adalah vektor peubah acak normal bebas dengan nilai harapan E ε = 0 dan matriks ragam-peragam var ε = ς 2 I. Bentuk matriks dari persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:

3 8 Y 1 Y 2 = Y n X 11 X 21 X 2n X 1p X 2p X np β 0 β 1 β P + ε 1 ε 2 ε n (2.4) dengan β i adalah parameter ke i (i = 1,2,, n), Y i adalah nilai variabel respon dalam amatan ke-i, X i1, X i2,, X ip adalah variabel bebas, dan ε i adalah galat saling bebas dan menyebar normal N (0, ς 2 ) untuk i = 1, 2,, n. (Neter et al., 1997). Selanjutnya, untuk analisis yang melibatkan kelompok dan data yang dianalisis dibedakan pada beberapa level, digunakan analisis regresi multilevel. 2.2 Analisis Regresi Multilevel Pemodelan multilevel adalah pemodelan yang digunakan untuk menganalisis data dengan struktur data hirarki. Analisis regresi multilevel adalah struktur analisis yang mengindikasikan bahwa data yang dianalisis berada pada beberapa level, dengan data pada level yang rendah tersarang pada data yang levelnya lebih tinggi. Variabel respon pada analisis regresi multilevel diukur pada level terendah, sedangkan variabel bebas dapat didefinisikan pada setiap level. Analisis regresi multilevel melibatkan kelompok yang akan menghasilkan garis regresi sesuai banyaknya kelompok dan juga keragaman dalam kelompok serta interaksi yang mungkin terjadi pada peubah yang berbeda (Hox, 2010), model regresinya sebagai berikut: Y ij = β 0j + β 1j X ij + e ij (2.5) dengan Y ij adalah skor individu pada variabel bebas pada level satu, X ij adalah variabel bebas pada level satu, dan β 0j adalah intersep yang nantinya akan

4 9 menjadi variabel dependen pada level dua, β 1j adalah koefisien regresi (slope), dan e ij adalah galat prediksi pada level satu. Setiap kelompok j memiliki parameter β 0 dan β 1 sendiri-sendiri. Misalnya dimiliki dua kelompok maka persamaan regresinya adalah Kelompok 1 Kelompok 2 Y i1 = β 01 + β 11 X i1 + e i1 Y i2 = β 02 + β 12 X i2 + e i2 Dari kelompok 1 dan 2, didapatkan dua persamaan regresi yang dapat menghasilkan dua garis regresi. Dalam analisis regresi multilevel setiap subjek ke- i dapat dituliskan bentuk matriks dan vektor sebagai berikut: Y i = X i β + Z i U i + ε i (2.6) dengan X i β adalah efek tetap dan Z i U i + ε i adalah efek acak, Y i adalah vektor variabel respon, X i adalah matriks variabel bebas untuk parameter tetap, β adalah vektor parameter efek tetap, Z i adalah matriks variabel bebas untuk parameter acak, U i adalah vektor efek acak menyebar N (O, D), ε i adalah vektor galat menyebar N (O, Ri), D adalah matriks ragam-koragam untuk setiap efek acak dalam u i, dan R i adalah matriks koefisien korelasi untuk setiap efek acak dalam ε i (Hox, 2010) Model Regresi Dua Level Regresi dua level merupakan model regresi multilevel yang paling sederhana, karena datanya hanya terdiri dari dua level saja. Level satu pada model regresi dua level diartikan sebagai level terendah dan level dua sebagai level tertinggi.

5 10 Misal dalam model regresi dua level terdapat data yang memiliki j kelompok dan n j sebagai individu pada kelompok, dengan variabel respon Y ij, pada level terendah variabel bebas adalah X ij serta pada level kedua (kelompok) variabel bebas adalah S j. Persamaan regresi untuk setiap kelompok dapat dinyatakan sebagai: Y ij = β 0j + β 1j X ij + e ij (2.7) Koefisien regresi β 0 dan β 1 pada persamaan (2.7) mengindikasikan adanya keragaman kelompok antar koefisien regresi. Keragamaan kelompok antar koefisien regresi ini dapat dimodelkan dengan variabel bebas dan sisaan acak pada level kelompok yaitu: β 0j = γ 00 + γ 01 S j + u oj, (2.8) β 1j = γ 10 + γ 11 S j + u 1j. (2.9) Dengan menstubtitusikan persamaan (2.8) dan (2.9) ke persamaan (2.7), maka diperoleh persamaan (2.10): Y ij = γ 00 + γ 10 X ij + γ 01 S j + γ 11 S j X ij + u 1j X ij + u 0j + e ij. (2.10) Dari persamaan (2.7), didapatkan persamaan model regresi dua level. Pada umumnya ada lebih dari satu variabel bebas pada level terendah dan juga pada level yang lebih tinggi. Jika diasumsikan m(m = 1,2,, p) variabel bebas dalam X di level terendah dan q sebanyak n(n = 1,2,, q) variabel bebas dalam S di level yang lebih tinggi, maka dari persamaan (2.10) didapatkan persamaan yang lebih umum lagi sebagai berikut: Y ij = γ 00 + m γ m0 X mij + n γ 0n S nj + n m γ mn S nj X mij + m u mj X mij + u 0j + e ij (2.11)

6 11 dengan i = 0 1,2,, n j, j = 0, 1, 2,, o. Indeks n j merupakan banyaknya siswa di kelas ke j, γ adalah koefisien regresi, u adalah sisaan pada level kelompok dan e merupakan sisaan pada level individu (Hox, 2010) Model Regresi Tiga Level Untuk data tiga level pada analisis regresi multilevel, model regresinya dinamakan model regresi tiga level. Sebagai contoh penerapan tiga level, jika Y ijk merupakan variabel respon dalam siswa ke-i, kelas ke-j, dan sekolah ke-k, maka model regresi tiga level dapat dituliskan sebagai (Hox, 2010): Model level satu (siswa) Y ijk = β 0jk + β 1jk X ijk + e ijk. (2.12) Model level dua (kelas) β 0jk = γ 00k + γ 01k S ij + μ 0jk, (2.13) β 1jk = γ 10k + γ 11k S ij + μ 1jk. (2.14) Model level tiga (sekolah) γ 00k = γ γ 001 V t + w 00k, (2.15) γ 0jk = γ γ 011 V t + w 01k, (2.16) γ 10k = γ γ 101 V t + w 10k, (2.17) γ 11k = γ γ 111 V t + w 11k. (2.18) Dengan menstubtitusikan persamaan pada model level tiga dan model level dua kepersamaan model level satu, maka diperoleh persamaan regresi tiga level sebagai berikut:

7 12 Y ijk = γ γ 001 V t +γ 010 S ij + γ 011 V t S ij +γ 100 X ijk +γ 010 V t X ijk + γ 110 S ij X ijk + γ 111 V t S ij X ijk + w 01k S ij + w 10k X ijk +w 11k S ij X ijk + μ 1jk X ijk + w 00k + μ 0jk + e ijk (2.19) dengan i = 0 1,2,, n jk, j = 0, 1, 2,, n k, k = 0,1,2,..,. Indeks n jk merupakan banyaknya siswa di kelas ke j, di dalam sekolah ke k, dan n k merupakan banyaknya siswa dalam kelas ke k. 2.3 Penduga Koefisien Korelasi Intraklas pada Model Multilevel Menurut Steenbergen & Jones (2002) model regresi multilevel dapat diasumsikan menyebar normal dengan ketentuan sebagai berikut: 1. Rata rata sama dengan nol atau E µ oj = E µ 1j = E e ij = Ragam galat pada level satu adalah e ij = ς e 2, ragam galat pada level dua adalah Var µ oj = ς 2 μ 0, dan ragam galat pada level tiga adalah Var w oj = ς 2 w0. 3. Cov ( µ oj, e ij ) = Cov ( µ, e ij ) = 0. Regresi multilevel dapat digunakan untuk memberi nilai dugaan bagi korelasi intraclass (ρ), apabila data yang dimiliki adalah data dengan struktur hirarki yang sederhana. Korelasi intraclass yaitu korelasi antara dua unit level satu dalam level dua yang sama. Dalam data struktur hirarki dua unit level satu pada level dua yang sama cenderung mempunyai karakteristik yang hampir mirip dibandingkan dengan dua unit level satu pada level dua yang berbeda. Semakin tinggi nilai korelasi menunjukkan semakin miripnya dua unit level satu dari unit level dua yang sama dibandingkan pada unit level dua yang berbeda. Korelasi intraclass

8 13 menunjukkan proporsi keragaman yang dijelaskan oleh struktur kelompok dalam populasi, yang dapat juga diinterpretasikan sebagai korelasi harapan antara dua unit yang dipilih secara acak yang berada dalam kelompok yang sama (Hox, 2010). Model yang digunakan adalah model yang tidak memiliki variabel bebas dalam setiap levelnya, yang dikenal sebagai model yang hanya memilliki intersep. Jika tidak ada peubah bebas dalam level terendah pada model regresi dua level maka persamaan (2.7) menjadi : sedangkan persamaan (2.8) menjadi: Y ij = β oj + e ij. (2.20) β oj = γ 00 + µ oj. (2.21) Dengan mensubtitusikan persamaan (2.21) ke persamaan (2.20) dihasilkan persamaan: Y ij = γ 00 + µ 0j + e ij. (2.22) Berdasarkan persamaan (2.22) korelasi intraclass pada dua level dapat dituliskan sebagai: ρ = ς 2 μ 0 ς 2 μ 0 + ς 2. (2.23) e 2 2 dengan ς μ 0 adalah ragam dari galat level kedua (kelompok) dan ς e adalah ragam dari galat level satu (individu). Jika tidak ada variabel bebas dalam level terendah pada model regresi tiga level maka model dengan hanya intersep untuk persamaan (2.19) menjadi (Hox, 2010): Y ijk = γ w 0jk + µ ojk + e ijk. (2.24)

9 14 Korelasi intraclass pada tiga level dapat dituliskan sebagai: Korelasi intraclass sekolah (level tiga): ρ sekola = ς 2 w 0 ς 2 w 0 +ς μ ς e 2. (2.25) Korelasi intraclass kelas (level dua) yang tersarang pada level tiga: ρ kelas = ς w ς 2 μ ς 2. (2.26) e ς 2 w 0 +ς μ 0 Pada regresi level dua nilai korelasi intraclass sama dengan keragaman variabel respon yang dapat dijelaskan pada struktur kelompok, namun dalam regresi tiga level proporsi keragaman level dua didefinisikan sebagai: ρ kelas = ς 2 μ 0 ς 2 w 0 +ς μ ς e 2. (2.27) 2.4 Pendugaan Parameter dalam Pemodelan Multilevel Maximum likelihood (ML) adalah salah satu metode pendugaan parameter yang sering digunakan pada pemodelan multilevel. Estimasi ML diperoleh dengan memaksimalkan fungsi kemungkinan. Fungsi ML (β dan θ) dibangun dengan mengacu pada fungsi marginal dari variabel respon Y i. ML dalam analisisnya mengestimasi koefisien regresi, dan komponen varians fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai (West et al., 2007): f Y i β, θ = (2π) 1 2 det(v i ) 1 2 exp 0,5 Y i X i β 1 V i Y i X i β. (2.28) Prosedur ML menghasilkan penduga yang bias dari parameter acak. Hal ini menjadi penting dalam sampel yang kecil, dan dapat menghasilkan penduga yang tak bias apabila digunakan Restricted Maximum Likelihood (REML) (Goldstein, 1989). Estimasi θ dalam REML didasarkan pada optimalisasi dan

10 15 mengikuti fungsi REML log- likelihood. Fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai (West et al., 2007): l REML θ = 0,5 n p ln2π 0,5 ln det V i 0,5 i i r i V i 1 r i 0,5 i ln det X i V 1 i X i. (2.29) 2.5 Pengujian Signifikansi Parameter Pengujian signifikansi parameter ini bertujuan untuk mengetahui ada tidaknya pengaruh dari variabel bebas terhadap variabel respon, baik secara serentak maupun parsial. Pengujian signifikansi parameter β secara serentak menggunakan uji F, dan pengujian signifikansi parameter β secara parsial menggunakan uji t, seperti dibahas berikut ini Pengujian Signifikansi Parameter Secara Serentak (Simultan) Pengujian signifikansi parameter secara serentak menggunakan uji F, yang bertujuan untuk mengetahui adanya hubungan linear antara variabel respon dengan seluruh variabel bebas (x 1, x 2,, x k ) secara bersamaan (Neter et al., 1997), hipotesis uji adalah: H 0 β 1 = = β k = 0 (tidak ada satupun dari sekumpulan variabel bebas berpengaruh signifikan terhadap variabel respon) H 1 β i 0; i = 1,2,, k, (minimal ada satu variabel bebas yang berpengaruh signifikan terhadap variabel respon) Statistik uji yang digunakan adalah F 0 = KTR KTG. (2.31)

11 16 dengan F 0 adalah nilai F hitung, KTR adalah kuadrat tengah regresi, dan KTG 2 adalah kuadrat tengah galat. H 0 ditolak apabila F itung > χ α(k) dengan k adalah banyaknya variabel bebas yang ada di dalam model Pengujian Signifikansi Parameter Secara Parsial Pengujian secara parsial dilakukan apabila pengujian variabel bebas secara simultan tidak berpengaruh signifikan. Pengujian signifikansi parameter β secara parsial menggunakan statistik uji t (Neter et al., 1997), dengan hipotesis uji: H 0 : β k = 0 (tidak ada pengaruh signifikan antara variabel bebas dengan variabel respon) H 1 : β k 0 ; k = 1,2,, p (ada pengaruh signifikan antara variabel bebas dengan variabel respon) Statistik uji yang digunakan adalah t it = t 0 = β k SE (β k ) (2.32) dengan β k adalah nilai taksiran parameter β k, dan SE (β k ) adalah standar deviasi dari β k. Kriteria untuk pengujian parameter secara parsial adalah apabila H 0 benar maka statistik uji t akan mengikuti distribusi normal baku Z, sehingga pengujian secara individual bisa dilakukan dengan membandingkan nilai statistik uji tersebut dengan nilai Z tabel, sedangkan jika t it > Ζ α 2 maka H 0 ditolak. 2.6 Pemilihan Model Terbaik dalam Model Regresi Multilevel Menurut Hox (2010) dalam pembentukan model regresi multilevel terdapat beberapa langkah, yaitu: 1. Menyusun model tanpa variabel bebas (intersep acak).

12 17 2. Memilih struktur efek tetap (fixed effect) yaitu menyusun model dengan menambahkan seluruh variabel bebas pada setiap levelnya pada model. 3. Memilih efek kemiringan (slope) acak yang berpengaruh pada model. 4. Menyusun model dengan menambahkan interaksi variabel antar level yang signifikan 2.7 Koefisien Determinasi Nilai koefisien determinasi dalam analisis regresi multilevel dapat diperoleh pada setiap level (Hox, 2010). Kisaran nilai koefisien determinasi mulai dari 0% sampai 100% semakin besar nilai koefisien determinasi berarti model semakin mampu menerangkan perilaku variabel respon. Koefisien determinasi pada level satu dapat dirumuskan sebagai: R 2 1 = ς e0 2 ς 2 ep ς 2 (2.31) e0 2 dengan ς ep adalah penduga ragam galat level satu dengan p variabel bebas, dan 2 ς e0 adalah penduga ragam galat pada level satu tanpa variabel bebas. Koefisien determinasi pada level dua dapat dirumuskan sebagai: R 2 2 = ς µ 2 0 ς 2 µ 0p ς 2 (2.32) µ dengan ς u0 adalah penduga ragam galat level dua tanpa variabel bebas, dan ς u0p adalah penduga ragam galat level dua dengan p variabel bebas. Koefisien determinasi pada level tiga dapat dirumuskan sebagai: R 2 3 = ς w 2 0 ς 2 wp ς 2 (2.32) w 0

13 dengan ς w0 adalah penduga ragam galat level tiga tanpa variabel bebas, dan ς wp adalah penduga ragam galat level tiga dengan p variabel bebas. 2.8 Faktor-Faktor yang Memengaruhi Hasil Belajar Menurut Dulyono (1997) ada dua faktor yang dapat memengaruhi hasil belajar antara lain faktor internal dan faktor eksternal. Faktor internal (faktor yang berasal dari dalam diri) yaitu kesehatan, cara belajar, minat, motivasi, Intelegensi, dan bakat dan faktor eksternal (yang berasal dari luar diri) adalah keluarga, sekolah, masyarakat, dan lingkungan sekitar. 1. Faktor internal (faktor yang berasal dari dalam diri) yaitu kesehatan, cara belajar, minat, motivasi, kecerdasan, dan bakat. Cara belajar yang tidak memperhatikan teknik, faktor fisiologis, psikologis dan ilmu kesehatan akan memperoleh pengetahuan yang kurang. Minat dan motivasi juga akan turut memengaruhi hasil belajar. Minat timbul karena adanya daya tarik dari luar dan juga dari dalam sanubari sedangkan motivasi adalah daya penggerak. Seseorang yang mempunyai intelegensi yang baik akan mudah dalam proses belajar dan hasilnya akan baik dengan membuat seseorang menemukan bakatnya dalam proses belajar yang dilakukan. 2. Faktor eksternal (yang berasal dari luar diri) yaitu keluarga, sekolah, masyarakat, dan lingkungan sekitar. Orang tua yang ada dalam suatu keluarga dapat memengaruhi anak dalam proses pembelajaran serta hasil belajar. Keadaan dari lingkungan serta masyarakat sekitar juga dapat mempengaruhi seperti di sekolah yang merupakan salah satu tempat pendidikan formal sangat mempengaruhi tingkat keberhasilan anak.

14 19 Kualitas guru dengan metode pengajaran yang baik serta fasilitas yang baik akan turut mempengaruhi tingkat keberhasilan anak. Bila disekitar tempat tinggal keadaan masyarakat terdiri dari orang-orang yang bependidikan maka anak-anak akan termotivasi untuk belajar lebih giat lagi.