Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Analisa Kestabilan Lyapunov

Transkripsi

1 Institut Teknologi Seuluh Noember Surabaya Analisa Kestabilan Lyaunov

2 Contoh Soal Ringkasan Latihan

3 Contoh Soal Ringkasan Latihan Sistem Keadaan Kesetimbangan Kestabilan dalam Arti Lyaunov Penyajian Diagram Kestabilan, Kestabilan Garis Lurus dan Ketidakstabilan Kediinitan Matrik Bentuk Kuadrat Lyaunov Metode Kedua Lyaunov Analisa Kestabilan Sistem Linier

4 Pengantar Suatu sistem yang dikendalikan, baik dengan strategi engendalian konvensional (P, I, D, PI, PD, PID) mauun dengan strategi engendalian yang lain, memerlukan kondisi kestabilan. Kondisi kestabilan daat dilihat dari hasil reson waktu (erormansi dalam domain waktu), mauun reson dalam domain rekuensi. Untuk sistem linier dengan arameter konstan daat digunakan analisa kestabilan menggunakan kriteria Nyquist, mauun Routh, dsb. Sebuah sistem non linier dan atau sistem arameter berubah daat dimodelkan dalam bentuk ersamaan keadaan (state sace). Analisa kestabilan daat dilakukan dengan metode kedua Lyaunov (Metode langsung Lyaunov) berdasarkan bentuk ersamaan keadaan.

5 Sistem Beberaa deinisi kestabilan yang berkaitan dengan teorema Lyaunov, bisa ditinjau berdasarkan suatu sistem yang dideinisikan sebagai : Dengan : vektor keadaan (n-vektor), (,t) adalah n vektor dengan komonen adalah ungsi :,,..., n dan t. Persamaan di atas memunyai enyelesaian yang unik, dengan tergantung ada kondisi awal. Penyelesaian dinyatakan :, t t ;, t (Pers. ) (Pers. )

6 Keadaan Kesetimbangan Jika sistem dinyatakan berada ada kondisi kesteimbangan berada ada keadaan e dengan, t untuk semua t e Sistem dalam keadaan kestimbangan, jika sistem ini linier dan tidak berubah terhada waktu. Jika (,t) = A, maka terdaat hanya satu keadaan setimbang ada saat A adalah nonsingular. Jika A singular maka akan didaat kondisi kesetimbangan yang tak berhingga.

7 Kestabilan Lyaunov Jika sebuah bola dengan jari jari k terhada kondisi kesteimbanga e, e k e adalah norma Euclidian, (Pers. ) Misalkan S(ε) terdiri atas semua titik, sedemikian hingga : e / e e... n ne Dan bila juga S(ε) teridi dari titik sedemikian hingga : e ; t t, e untuk semua t > t. (Pers. 4) (Pers. 5) (Pers. 6)

8 Kestabilan dalam Arti Lyaunov Keadaan kesetimbangan e dari sistem disebut stabil sesuai Lyaunov jika untuk setia S(ε), ada S(δ), sehingga trayektori dengan titik awal didalam S(δ) tidak meninggalkan S(ε) dengan membesarnya waktu t menuju tak terhingga. Bilangan real δ tergantung ada ε dan ada umumnya juga bergantung ada t, maka keadaan kesetimbangan tersebut disebut stabil uniorm.

9 Kestabilan Asimtotik Keadaan kesetimbangan e dari sistem yang dinyatakan oleh ( e,t) = untuk sembarang t disebut stabil asimtotik jika keadaan tersebut stabil Lyaunov dan setia kondisi dengan titik awal didalam S(δ) tana meninggalkan S(ε), konvergen ke e dengan membesarnya t menuju tak berhingga.

10 Kestabilan Asimtotik Global Jika keadaan asimtotik berlaku untuk semua keadaan titik awal trayektori, maka keadaan kesetimbangan tersebut stabil asimtotik global. Keadaan kesetimbangan e dari sistem disebut stabil asimtotik global jika keadaan setimbang tersebut stabil, dan jika setia jawab konvergen ke e dengan membesarnya waktu t menunju tak hingga. Syarat yang erlu untuk kestabilan asimtotik global adalah bahwa hanya ada satu keadaan kesetimbangan dalam seluruh keadaan

11 Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan. Gambar: Kondisi yang menggambarkan ergerakan erluru setimbang stabil Terlihat ada gambar, menunjukkan lintasan eluru dari kondisi awal dengan batas keadaan awal S(δ). Kondisi setimbang stabil sesuai hukum Lyaunov.

12 Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan. Kondisi keadaan setimbang secara garis lurus ergerakan eluru dari titik awal ada daerah batas keadaan awal S(δ) menuju ke daerah ini kembali, ergerakan ini dikatakan sebagai kondisi setimbang secara garis lurus

13 Penyajian Diagram Kestabilan dan Ketidakstabilan. Kondisi tidak stabil ergerakan eluru dari kondisi awal menuju keluar dari batas kesetimbangan S(ε) menunjukkan bahwa kondisi setimbang tidak stabil.

14 Kediinitan Matrik Deinisi : A dikatakan deinit ositi, jika T A >, untuk A dikatakan deinit negati, jika T A <, untuk A dikatakan semi deinit ositi, jika T A >, untuk R n (*) A dikatakan semi deinit negati, jika T A <, untuk R n (*) (*) daat terjadi bila T A = untuk Deinisi : (Kriteria Sylvester) A deinit ositi bila A i > untuk i =,,,...n A deinit negati A <, A >, A <, A 4 >,... dst atau A i = (-) i

15 Kediinitan Matrik Deinisi : A deinit osisi jika semua nilai karakteristiknya ositi A deinit negati jika semua nilai karakteristiknya negati A semi deinit osisi jika semua nilai karakteristiknya ositi dan ada yang bernilai nol A semi deinit negati jika semua nilai karakteristiknya negati dan ada yang bernilai nol Deinit Positi akan memberikan keastian minimum Deinit Negati akan memberikan keastian maksimum

16 Kediinitan Matrik Fungsi Lyaunov V() meruakan ungsi skalar yang deinit ositi (bernilai ositi) di daerah Ω bila V() untuk semua kondisi yang tidak nol di daerah Ω dan juga harus memenuhi V() =. Sedangkan untuk ungsi Lyaunov yang bergantung ada waktu V(,t) adalah deinit ositi didaerah Ω, jika ungsi itu dibatasi dari bawah oleh ungsi deinit ositi yang tidak berubah terhada waktu Hubungan tersebut dinyatakan dalam : V(,t) > V() untuk semua t > t. V(,t) = untuk semua t > t

17 Bentuk kuadrat Lyaunov Beberaa contoh dari ungsi skalar Lyaunov yang menunjukkan siat siat seerti disebutkan diatas, Deinit ositi : Semi deinit osisi : Deinit negati : Indeiniti : 4 V ( ) V ( ) V ( ) V ( )

18 X meruakan vektor bernilai real, dan P adalah matriks simetri bernilai real. Bentuk kuadrat Lyaunov Ringkasan Contoh Soal Latihan Pengantar Untuk memahami bahwa ungsi skalar dari Lyaunov, menunjukkan suatu kondisi kestabilan, maka dinyatakan dalam bentuk kuadrat, dalam ersamaan berikut, n nn n n n n n T V ) ( P

19 . Ringkasan Contoh Soal Latihan Pengantar Jika adalah n vektor bernilai komleks dan P adalah sebuah matriks Hermitian, maka bentuk kuadrat komleks dikatakan sebagai bentuk Hermitian. Bentuk Hermitian Lyaunov n nn n n n n n V * ) ( P

20 Metode kedua Lyaunov Teorema : Jika diketahui, suatu sistem dinyatakan dalam bentuk :, t Dimana : (,t) = untuk sembarang t. Jika ada suatu arameter V(,t) yang memunyai turunan arsial ertama kontinyu dan memenuhi syarat : V(,t) deinit ositi V (, t) deinit negati Maka keadaan kesetimbangan di titik asal adalah stabil asimtotik secara uniorm. Jika ternyata V(,t) ~ untuk. ~, maka keadaan kesetimbangan di titik asal adalah stabil asimtotik global secara uniorm.

21 Metode kedua Lyaunov Teorema : Jika diketahui, suatu sistem dinyatakan dalam bentuk :, t untuk sembarang t.jika ada suatu arameter V(,t) yang memunyai turunan arsial ertama kontinyu dan memenuhi syarat : V(,t) deinit ositi V (, t) deinit negati V ( t ;, t, t) tidak terjadi nol ada t t, untuk t dan dimana Φ(t,., t ) menyatakan trayektori atau jawab dengan titik awal di ada t, maka keadaan kesetimbangan di titik asal dari sistem adalah stabil asimtotik global secara uniorm.

22 Analisa Kestabilan Sistem Linier Analisa kestabilan sistem linier arameter konstan dengan metode Lyaunov, bila sistem tersebut dinyatakan dalam bentuk : Diilih suatu kemungkinan ungsi Lyaunov sebagai berikut : Turunan dari ungsi Lyaunov dinyatakan : V T T P P T T A P PA T T T T A P. PA T A P PA T Q A V ( ) T P

23 Analisa Kestabilan Sistem Linier Teorema 4 : Bila sebuah sistem dinyatakan dengan : A Syarat erlu dan dan syarat cuku agar keadaan kesetimbangan = stabil asimtotik global adalah jika diberikan setia matrik Hermitian deinit ositi (simetri nyata) Q, maka terdaat suatu matrik Hermitian deinit ositi (simetri nyata) P sedemikian rua sehingga : T A P PA Q. Fungsi skalar T P adalah suatu ungsi Lyaunov dari sistem tersebut.

24 Analisa Kestabilan Sistem Linier Teorema: Jika V T Q tidak menjadi nol seanjang setia trayektori maka Q daat diilih berua matrik semi deinit ositi. Jika diilih suatu matrik deinit ositi sembarang, yaitu Q (atau suatu matrik semi deinit ositi sembarang Q jika V tidak menjadi nol seanjang setia trayektori) dan enyelesaian ersamaan matrik : T A P PA Q Untuk menentukan P, maka syarat erlu dan syarat cuku agar keadaan kesetimbangan = stabil asimtotik adalah bahwa P harus deinit. ositi Hasil akhir tidak bergantung ada matrik tertentu Q yang diilih, dengan syarat bahwa Q deinit ositi (semi deinit negati, tergantung kasusnya).

25 Analisa Kestabilan Sistem Linier T Untuk menentukan elemen dari matrik P, maka disamakan A P matrik dan Q elemen demi elemen. Ini menghasilkan n(n+)/ ersamaan linier untuk enentuan elemen elemen ij ji dari P. Jika eigenvalue dari A dinyatakan dengan λ, λ,... λ n masing masing diulang sebanyak kerangkaannya sebagai akar ersamaan karekteristik, dan jika untuk setia jumlah dua akar : λ j + λ k, maka elemen elemen P daat ditentukan secara unik. Perhatikan bahwa jika matrik A menyatakan suatu sistem stabil, maka jumlah λ j + λ k selalu tidak nol. Dalam menentukan ada atau tidak. adanya suatu matrik Hermitian deinit ositi atau matrik simetri nyata P, akan lebih mudah kalau diilih Q = I, dimana I adalah matrik identitas. Selanjutnya elemen elemen P dari T A P PA I dan matrik P tersebut kemudian dieriksa aakah deinit ositi atau tidak. PA

26 Contoh Soal Ringkasan Contoh Soal Latihan Pengantar Suatu sistem dinyatakan dalam bentuk model berikut : dan y(t) = C(t) Dimana : d(t) adalah disturbance Jika diberikan : Cari matrik F agar sistem dengan u(t) = F (t) menjadi tidak lagi sensiti terhada disturbance. t d t t t E B A,,, E C B A T

27 Contoh Soal Penyelesaian Dari model tersebut di atas : Atau t A BFt Edt y(t) = C (t) Penyelesaian dari ersamaan terakhir : y t At Bt Edt A( t) BF ( t) Ed( t) A BF ( t) Ed( t) ABFt ABFt t e ) e Ed t ( d Atau ABFt ABFt t Ce ) C e Ed t ( d (Pers. 6) (Pers. 7) (Pers. 8) (Pers. 9) (Pers. )

28 Contoh Soal Penyelesaian Agar sistem tidak sensiti terhada disturbance maka : C t e ABFt Ed d [ ] Untuk sistem dinamik yang dinyatakan dalam (Pers. 7) state adalah controllable jika dan hanya jika col s[q], ˆ Dimana Q = C[E (A+BF)E (A+BF) E... (A+BF) n- E] ˆ C t e ABFt Ed y(t) adalah bebas terhada eek d(t) hanya bila dienuhi : Q = C[E (A+BF)E (A+BF) E ] = [ ] yang ekivalen dengan ersamaan di atas dan asangan (A+BF, E) adalah unobservale. d ˆ (Pers. ) (Pers. )

29 Contoh Soal Penyelesaian Ringkasan Contoh Soal Latihan Pengantar ditentukan bahwa F = [ ] CE E BF A C = = E BF C A

30 Contoh Soal Penyelesaian Atau : Dengan substitusi ada ersamaan terakhir dieroleh : 4 6 Disini jika diambil =, dieroleh = - dan = -. Atau : F = [- - ].

31 Ringkasan Sebuah sistem non-linier dan atau sistem arameter berubah daat yang dimodelkan dalam ersamaan ruang keadaan (state sace), daat dianalisis kestabilannyadengan menggunakan metode kedua Lyaunov (Metode langsung Lyaunov). Metode Lyaunov tidak memerlukan untuk menyelesaikan ersamaan ruang keadaan untuk mengetahui kestabilan sistem engendalian. Metode ini daat memeriksa aakah sistem dalam keadaan terkendali secara semurna atau terkendali sebagian.

32 Latihan Ringkasan Contoh Soal Latihan Pengantar Suatu sistem dinyatakan dalam bentuk model berikut : dan y(t) = C(t) Dimana : d(t) adalah disturbance Jika diberikan : Cari matrik F agar sistem dengan u(t) = F (t) menjadi tidak lagi sensiti terhada disturbance.,,, 5 7 E C B A T t d t t t E B A

33 SEKIAN & TERIMAKASIH