Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Transkripsi

1 Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaratno Sudirham i

2 Hak cita ada enulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darublic, Bandung fdg- edisi Juli htt:// Alamat os: Kanaakan D-, Bandung, 45. Fa: (6) () 547 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

3 BAB Integral () (Macam Integral, Pendekatan umerik) Dalam bab sebelumna, kita memelajari salah satu bagian utama kalkulus, aitu kalkulus diferensial. Berikut ini kita akan membahas bagian utama kedua, aitu kalkulus integral. Dalam engertian sehari-hari, kata integral mengandung arti keseluruhan. Istilah mengintegrasi bisa berarti menunjukkan keseluruhan atau memberikan total ; dalam matematika berarti menemukan fungsi ang turunanna diketahui. Misalkan dari suatu fungsi f() ang diketahui kita diminta untuk mencari suatu fungsi sedemikian rua sehingga dalam rentang nilai tertentu, misalna a< < b, dienuhi ersamaan d f () (.) d Persamaan seerti (.) ini, ang menatakan turunan fungsi sebagai fungsi (dalam beberaa hal ia mungkin juga meruakan fungsi dan ) disebut ersamaan diferensial. Sebagai contoh: d 5 6 d d d 6 d d Pembahasan ang akan kita lakukan hana mengenai bentuk ersamaan diferensial seerti contoh ang ertama... Integral Tak Tentu Suatu fungsi F() dikatakan sebagai solusi dari ersamaan diferensial (.) jika dalam rentang a< < b ia daat diturunkan dan daat memenuhi df( ) f ( ) (.) d Perhatikan bahwa jika F() memenuhi (.) maka F ( ) K dengan K adalah suatu nilai tetaan sembarang, juga akan memenuhi (.) sebab

4 d [ F( ) K] d df( ) dk d d Jadi secara umum daat kita tuliskan df( ) d (.) f ( ) d F( ) K (.4) ang kita baca: integral f() d adalah F() ditambah K. Persamaan (.) daat ula kita tulisan dalam bentuk diferensial, aitu df ( ) f ( ) d ang jika integrasi dilakukan ada ruas kiri dan kanan akan memberikan df ( ) f ( ) d (.5) Jika kita bandingkan (.5) dan (.4), kita daat menimulkan bahwa df ( ) F( ) K (. 6) Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetaan. Integral semacam ini disebut integral tak tentu; masih ada nilai tetaan K ang harus dicari. Kita ambil dua contoh untuk inegrasi integrasi tak tentu ini ) Cari solusi ersamaan diferensial d 5 d Kita tuliskan ersamaan tersebut dalam bentuk diferensial d 5 Menurut relasi (9.4) dan (9.5) di Bab-9, Oleh karena itu 5 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral 4 d( ) 5 d 4 d d d( ) K ). Carilah solusi ersamaan d d Kita tuliskan dalam bentuk diferensial 4 d d dan kita kelomokkan eubah dalam ersamaan ini sehingga ruas kiri

5 mengandung hana eubah tak bebas dan ruas kanan hana mengandung eubah bebas. Proses ini kita lakukan dengan membagi kedua ruas dengan. / d d Ruas kiri memberikan diferensial d( ) d memberikan diferensial d d, sehingga ( / ) d d Jika kedua ruas diintegrasi, dieroleh / K K atau / K K K / / dan ruas kanan Dua contoh telah kita lihat. Dalam roses integrasi seerti di atas terasa adana keharusan untuk memiliki kemamuan menduga jawaban. Beberaa hal tersebut di bawah ini daat memeringan uaa endugaan tersebut.. Integral dari suatu diferensial d adalah ditambah konstanta sembarang K. d K. Suatu konstanta ang berada di dalam tanda integral daat dikeluarkan ad a d. Jika bilangan n, maka integral dari n d dieroleh dengan menambah angkat n dengan menjadi (n ) dan membagina dengan (n ). n n d K, jika n n Penggunaan Integral Tak Tentu. Dalam integral tak tentu, terdaat suatu nilai K ang meruakan bilangan nata sembarang. Ini berarti 5

6 bahwa integral tak tentu memberikan hasil ang tidak tunggal melainkan banak hasil ang tergantung dari beraa nilai ang dimiliki oleh K. Dalam emanfaatan integral tak tentu, nilai K dieroleh dengan menerakan aa ang disebut sebagai sarat awal atau kondisi awal. Kita akan mencoba memahami melalui engamatan kurva. Jika kita gambarkan kurva kita akan mendaatkan kurva bernilai tunggal seerti Gb...a. Akan tetai jika kita melakukan integrasi d tidak hana satu kurva ang daat memenuhi sarat akan tetai banak kurva seerti ada Gb...b; kita akan mendaatkan satu kurva jika K daat ditentukan. i K i 5 5 K K a) b) Gb... Integral tak tentu memberikan banak solusi. Sebagai contoh kita akan menentukan osisi benda ang bergerak dengan keceatan sebagai fungsi waktu ang diketahui. Keceatan sebuah benda bergerak dinatakan sebagai v at t, dengan v adalah keceatan, a adalah erceatan ang dalam soal ini bernilai, t waktu. Kalau osisi awal benda adalah s ada waktu t, tentukanlah osisi benda ada t 4. Kita ingat engertian-engertian dalam mekanika bahwa keceatan ds adalah laju erubahan jarak, v ; sedangkan erceatan adalah laju dt dv erubahan keceatan, a. Karena keceatan sebagai fungsi t dt diketahui, dan kita akan mencari osisi (jarak), maka kita gunakan relasi ds v ang memberikan ds vdt dt 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral K

7 sehingga integrasina memberikan t s atdt K,5t K Kita terakan sekarang kondisi awal, aitu s ada t. K ang memberikan K Dengan demikian maka s sebagai fungsi t menjadi s,5t sehingga ada t 4 osisi benda adalah s 4 7 Luas Sebagai Suatu Integral. Kita akan mencari luas bidang ang dibatasi oleh suatu kurva f (), sumbu-, garis vertikal, dan. Sebagai contoh ertama kita ambil fungsi tetaan seerti terlihat ada Gb... f() A A Gb... Mencari luas bidang di bawah. Jika luas dari samai adalah A, dan kita bisa mencari fungsi ertambahan luas A aitu ertambahan luas jika bertambah menjadi, maka kita daat menggunakan fungsi ertambahan tersebut mulai dari samai untuk memeroleh A aitu luas dari samai. Pertambahan luas ang dimaksud tentulah A A atau f ( ) Jika dierkecil menuju nol maka kita daatkan limit lim Dari (.8) kita eroleh A da d f ( ) (.7) (.8) A da d K (.9) 7

8 Kondisi awal (kondisi batas) adalah A untuk. Jika kondisi ini kita terakan ada (.9) kita akan memeroleh nilai K aitu sehingga K atau K (.) A (.) Kita mendaatkan luas A (ang dihitung mulai dari ) meruakan fungsi. Jika erhitungan diteruskan samai kita eroleh A ( ) (.) Inilah hasil ang kita eroleh, ang sudah kita kenal dalam lanimetri ang menatakan bahwa luas segi emat adalah anjang kali lebar ang dalam kasus kita ini anjang adalah ( ) dan lebar adalah. Bagaimanakah jika kurva ang kita hadai bukan kurva dari fungsi tetaan? Kita lihat kasus fungsi sembarang dengan sarat bahwa ia kontinu dalam rentang seerti digambarkan ada Gb... f() f( ) f() A A Gb... Fungsi sembarang kontinu dalam a b Dalam kasus ini, A bisa memiliki dua nilai tergantung dari aakah dalam menghitungna kita memilih A f() atau A f( ). Namun kita akan memunai nilai A f ( ) f ( ) f ( ) (.) dengan adalah suatu nilai ang terletak antara dan. Jika kita buat mendekati nol kita akan memunai A f ( ) f ( ) f ( ) (.4) Dengan demikian kita akan mendaatkan limit 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

9 lim Dari sini kita eroleh A A da d f ( ) (.5) da f ( ) d F( ) K (.6) Dengan memasukkan kondisi awal A untuk dan kemudian memasukkan nilai kita akan memeroleh A F( ) F( ) F( ) ] (.7).. Integral Tentu Integral tentu meruakan integral ang batas-batas integrasina jelas. Konse dasar integral tentu adalah luas bidang ang diandang sebagai suatu limit. Kita akan menghitung luas bidang ang dibatasi oleh suatu kurva f(), sumbu-, garis, dan, aitu luas bagian ang diarsir ada Gb..4.a. Sebutlah luas bidang ini A. Bidang ini kita bagi dalam n segmen dan kita akan menghitung luas setia segmen dan kemudian menjumlahkanna untuk memeroleh A. Jika enjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seerti tergambar ada Gb..4.b, kita akan memeroleh luas ang lebih kecil dari dari luas ang kita harakan; sebutlah jumlah luas segmen ini A b (jumlah luas segmen bawah). Jika enjumlahan luas segmen kita lakukan dengan menghitung luas segmen seerti tergambar ada Gb..4.c, kita akan memeroleh luas ang lebih besar dari dari luas ang kita harakan; sebutlah jumlah luas segmen ini A a (jumlah luas segmen atas). Kedua macam erhitungan tersebut di atas akan mengakibatkan terjadina error. Antara A b dan A a ada selisih seerti terlihat ada Gb..4.d. Jika k adalah suatu nilai di antara kedua batas segmen kek, aitu antara k dan ( k ), maka berlaku f ( ) f ( ) f ( ) (.8) k k k 9

10 f() (a) k k n f() (b) k k n f() (c) k k n f() (d) k k n Gb..4. Menghitung luas bidang di bawah kurva. Jika ertidaksamaan (.8) dikalikan dengan k ang ang cuku kecil dan bernilai ositif, maka f ( k ) k f ( k ) k f ( k ) k (.9) Jika luas segmen di ruas kiri, tengah, dan kanan dari (.9) kita jumlahkan dari samai n (aitu sebanak jumlah segmen ang kita buat), kita akan memeroleh Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

11 n n n f ( k ) k f ( k ) k f ( k ) k (.) k k k Ruas aling kiri adalah jumlah luas segmen bawah, A b ; ruas aling kanan adalah jumlah luas segmen atas, A a ; ruas ang di tengah adalah jumlah luas segmen ertengahan, kita namakan A n. Jelaslah bahwa Ab An Aa (.) Nilai A n daat diakai sebagai endekatan ada luas bidang ang kita cari. Error ang terjadi sangat tergantung dari jumlah segmen, n. Jika n kita erbesar menuju tak hingga dan semua k menuju nol, maka luas bidang ang kita cari adalah A lim Ab lim An lim Aa (.) k k k Jadi aabila kita menghitung limitna, kita akan memeroleh nilai limit ang sama, aakah kita menggunakan enjumlahan segmen bawah, atau atas, atau ertengahanna. Limit ang sama ini disebut integral tertentu, dituliskan A f ( ) d (.) Integral tertentu (.) ini terkait dengan integral tak tentu (9.) A f ( ) d F( ) ] F( ) F( ) (.4) Jadi untuk memeroleh limit bersama dari enjumlahan segmen bawah, enjumlahan segmen atas, mauun enjumlahan segmen ertengahan dari fungsi f() dalam rentang, kita cuku melakukan: a. integrasi untuk memeroleh F ( ) f ( ) d ; b. masukkan batas atas untuk mendaat F(); c. masukkan batas bawah untuk mendaat F(); d. kurangkan erolehan batas bawah dari batas atas, F() F(). Walauun dalam embahasan di atas kita mengambil contoh fungsi ang bernilai ositif dalam rentang, namun embahasan itu berlaku ula untuk fungsi ang dalam rentang semat bernilai negatif. Kita hana erlu mendefinisikan kembali aa ang disebut dengan A dalam embahasan sebelumna. Pendefinisian ang baru ini akan berlaku umum, aitu

12 A adalah luas bidang ang dibatasi oleh f () dan sumbu- dari samai, ang meruakan jumlah luas bagian ang berada di atas sumbu- dikurangi dengan luas bagian ang di bawah sumbu-. Agar lebih jelas kita mengambil contoh ada Gb.. Kita akan menghitung luas antara dan sumbu- dari samai. Bentuk kurva dierlihatkan ada Gb..5. Di sini terlihat bahwa dari samai kurva berada di atas sumbu- dan antara samai kurva ada di bawah sumbu-. Untuk bagian ang di atas sumbu- kita memunai luas 4 A a ( ) d 6 (,5 54),75 4 Untuk kurva ang di bawah sumbu- kita daatkan 4 A b ( ) d 6,5 54 (),75 4 Luas ang kita cari adalah luas bagian ang berada di atas sumbu- dikurangi dengan luas bagian ang di bawah sumbu- A - Gb..5. Kurva Aa Ab -,75 (,755) 67,5 Contoh ini menunjukkan bahwa dengan engertian ang baru mengenai A, formulasi A f ( ) d F( ) F( ) ) teta berlaku untuk kurva ang memiliki bagian baik di atas mauun di bawah sumbu-. Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

13 Dengan demikian maka untuk bentuk kurva seerti ada Gb..6. kita daatkan A A A A A4 ang kita eroleh dari A f ( ) d F( ) F( ) ) f() A A 4 A A Gb..6. Kurva memotong sumbu- di beberaa titik. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Kita akan menghitung luas bidang di antara kurva f ( ) dan f ( ) ada batas antara dan. Kurva ang kita hadai sudah barang tentu harus kontinu dalam rentang. Kita tetakan bahwa kurva f ( ) berada di atas f ( ) meskiun mungkin mereka memiliki bagian-bagian ang berada di bawah sumbu-. Perhatikan Gb..7. Gb..7. Menghitung luas bidang antara dua kurva. Rentang kita bagi dalam n segmen, ang salah satuna dierlihatkan ada Gb..7. dengan batas kiri dan batas kanan ( ), dimana ( ) / n.

14 Luas segmen daat didekati dengan A segmen { f ( ) f( ) } (.5) ang jika kita jumlahkan seluruh segmen akan kita eroleh n A segmen { f ( ) f( ) } (.5) Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga menuju nol kita samai ada suatu limit n A lim Asegmen { f( ) f( ) } d (.6) Kita lihat beberaa contoh. ). Jika 4 dan beraakah luas bidang antara dan dari samai. A ({ 4 ( ) } d 6] 8 ( ) Hasil ini dengan mudah dijakinkan menggunakan lanimetri. Luas ang dicari adalah luas ersegi anjang dengan lebar 6 dan anjang 5. ). Jika dan 4 berakah luas bidang ang dibatasi oleh dan. Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi aitu nilai ada erotongan antara dan. 4, Perhatikan bahwa adalah fungsi angkat dua dengan titik uncak minimum ang berada ada osisi [,]. Oleh karena itu bagian kurva ang membatasi bidang ang akan kita cari luasna, berada di di bawah (4 ) A 4 d Jika kita terbalik dalam memandang osisi terhada kita akan melakukan kesalahan: 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

15 ) ( * - d A ). Jika dan beraakah luas bidang ang dibatasi oleh dan. Terlebih dulu kita erhatikan karakter fungsi-fungsi ini. Fungsi adalah fungsi kuadrat dengan titik uncak maksimum ang memotong sumbu- di. Fungsi adalah garis lurus melalui titik asal [,] dengan kemiringan negatif, ang berarti ia menurun ada arah ositif. Dengan demikian maka bagian kurva ang membatasi bidang ang akan kita cari luasna berada di atas. Batas integrasi adalah nilai ada erotongan kedua kurva. 8 ; 8 atau 4,5 4 8 ) ( d A Peneraan Integral Tentu. Pembahasan di atas terfokus ada enghitungan luas bidang di bawah suatu kurva. Dalam raktik kita tidak selalu menghitung luas melainkan menghitung berbagai besaran fisis, ang berubah terhada waktu misalna. Perubahan besaran fisis ini daat ula divisualisasi dengan membuat absis dengan satuan waktu dan ordinat dengan satuan besaran fisis ang dimaksud. Dengan demikian seolah-olah kita menghitung luas bidang di bawah kurva. Berikut ini dua contoh dalam kelistrikan. ). Sebuah iranti menera daa W ada tegangan konstan V. Beraakah energi ang disera oleh iranti ini selama 8 jam?

16 Daa adalah laju erubahan energi. Jika daa diberi simbol dan energi diberi simbol w, maka dw ang memberikan w dt dt Perhatikan bahwa eubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari wktu kita buat, maka batas atasna adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi ang disera selama 8 jam adalah 8 8 w dt dt t 8 Watt.hour [Wh],8 kilo Watt hour [kwh] 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral 8 ). Arus ang melalui suatu iranti berubah terhada waktu sebagai i(t),5 t amere. Beraakah jumlah muatan ang diindahkan melalui iranti ini antara t samai t 5 detik? Arus i adalah laju erubahan transfer muatan,. d i sehingga dt idt Jumlah muatan ang diindahkan dalam 5 detik adalah 5 5 5,5,5 idt,5,65 coulomb tdt t Pendekatan umerik. Dalam embahasan mengenai integral tentu, kita fahami bahwa langkah-langkah dalam menghitung suatu integral adalah:. Membagi rentang f() ke dalam n segmen; agar roses erhitungan menjadi sederhana buat segmen ang sama lebar,.. Integral dalam rentang dari f() dihitung sebagai n f ( ) d lim f ( k ) k k dengan f( k ) adalah nilai f() dalam interval k ang besarna akan sama dengan nilai terendah dan tertinggi dalam segmen k jika menuju nol.

17 Dalam alikasi raktis, kita tentu bisa menetakan suatu nilai sedemikian rua sehingga jika kita mengambil f( k ) sama dengan nilai terendah atauun tertinggi dalam k, hasil erhitungan akan lebih rendah atauun lebih tinggi dari nilai ang diharakan. Namun error ang terjadi masih berada dalam batas-batas toleransi ang daat kita terima. Dengan cara ini kita mendekati secara numerik erhitungan suatu integral, dan kita daat menghitung dengan bantuan komuter. Sebagai ilustrasi kita akan menghitung kembali luas bidang ang dibatasi oleh kurva dengan sumbu- antara dan. Luas ini telah dihitung dan menghasilkan A 67, 5. Kali ini erhitungan A ( ) d akan kita lakukan dengan endekatan numerik dengan bantuan komuter. Karena ang akan kita hitung adalah luas antara kurva dan sumbu-, maka bagian kurva ang berada di bawah sumbu- harus dihitung sebagai ositif. Jika kita mengambil nilai,5 maka rentang akan terbagi dalam 4 segmen. Perhitungan menghasilkan A 4 ( k k Error ang terjadi adalah sekitar,5%. k ) 67, ,4 Jika kita mengambil,5 maka rentang akan terbagi dalam segmen. Perhitungan menghasilkan A ( k k Error ang terjadi adalah sekitar,%. k ) 67, ,5 Jika kita masih mau menerima hasil erhitungan dengan error,%, maka hasil endekatan numerik sebesar 67,4 cuku memadai. Perhitungan numerik di atas dilakukan dengan menghitung luas setia segmen sebagai hasilkali nilai minimum atauun nilai maksimum masing-masing segmen dengan. Satu alternatif lain untuk menghitung luas segmen adalah dengan melihatna sebagai sebuah traesium. Luas setia segmen menjadi 7

18 ( f ( min ) f ( )) / Asegmen k kmaks (.7) Perhitungan endekatan numerik ini kita lakukan dengan bantuan komuter. Kita bisa memanfaatkan rogram alikasi ang ada, atauun menggunakan sread sheet jika fungsi ang kita hadai cuku sederhana. Soal-Soal:. Carilah titik-titik erotongan fungsi-fungsi berikut dengan sumbu- kemudian cari luas bidang ang dibatasi oleh kurva fungsi dengan sumbu-. ;. Carilah luas bidang ang dibatasi oleh kurva dan garis berikut. Luas antara kurva dan garis 4 Luas antara kurva dan garis. Carilah luas bidang ang dibatasi oleh dua kurva berikut. 4 dan.. Volume Sebagai Suatu Integral 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral 5 dan 5 Di sub-bab sebelumna kita menghitung luas bidang sebagai suatu integral. Berikut ini kita akan melihat enggunaan integral untuk menghitung volume. Balok. Kita ambil contoh sebuah balok seerti tergambar ada Gb..8. Balok ini dibatasi oleh dua bidang datar aralel di dan. Balok ini diiris tiis-tiis dengan tebal irisan sehingga volume balok, V, meruakan jumlah dari volume semua irisan. Gb..8. Balok Jika A() adalah luas irisan di sebelah kiri dan A( ) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan V adalah Volume balok V adalah A( ) V A( )

19 V A( ) dengan A () adalah luas rata-rata irisan antara A() dan A( ). Aabila cuku tiis dan kita mengambil A() sebagai engganti A () maka kita memeroleh endekatan dari nilai V, aitu V A( ) Jika menuju nol dan A() kontinu antara dan maka A( ) V lim A( ) d (.8) o Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-. Satu kerucut daat dibaangkan sebagai segitiga ang berutar sekitar salah satu sisina. Sigitiga ini akan menau satu volume kerucut seerti terlihat ada Gb..9. Segitiga OPQ, dengan OQ O P Q berimit dengan sumbu-, berutar mengelilingi sumbu-. Gb..9. Rotasi Segitiga OPQ mengelilingi sumbu- Formula (.8) daat kita terakan disini. Dalam hal ini A() adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(); sedangkan r() memiliki ersamaan garis OP. h h h V A( ) d π[ r( ) ] d πm d (.9) dengan m adalah kemiringan garis OP dan h adalah jarak O-Q. Formula (.9) akan memberikan volume kerucut πm h π(pq/oq) h h Vkerucut πr (.) dengan OQ h dan r adalah nilai PQ ada h. Bagaimanakah jika OQ tidak berimit dengan sumbu-? Kita akan memiliki kerucut ang terotong di bagian uncak. Volume kerucut 9

20 terorong demikian ini dieroleh dengan menesuaikan ersamaan garis OP. Jika semula ersamaan garis ini berbentuk m berubah menjadi m b dengan b adalah erotongan garis OP dengan sumbu-. Rotasi Bidang Sembarang. Jika f() kontinu ada a b, rotasi bidang antara kurva fungsi ini dengan sumbu- antara a b sekeliling sumbu- akan membangun suatu volume benda ang daat dihitung menggunakan relasi (.). f() a b Gb... Rotasi bidang mengelilingi sumbu- Dalam menghitung integral (.8) enesuaian harus dilakukan ada A() dan batas-batas integrasi. A( ) π r( ) π f ( ) ( ) ( ) b π a sehingga V ( f ) ) Gabungan Fungsi Linier. Jika f() ada (.) meruakan gabungan fungsi linier, kita akan mendaatkan situasi seerti ada Gb... ( d (.) Gb... Fungsi f() meruakan gabungan fungsi linier. Fungsi f() kontinu bagian demi bagian. Pada Gb... terdaat tiga rentang dimana fungsi linier kontinu. Kita daat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian. Fungsi f() Memotong Sumbu-. Formula (.9) menunjukkan bahwa dalam menghitung volume, f() dikuadratkan. Oleh karena itu jika ada bagian fungsi ang bernilai negatif, dalam enghitungan volume bagian ini akan menjadi ositif..4. Panjang Kurva Pada Bidang Datar Jika kurva f () kita bagi dalam n segmen masing-masing selebar, maka l dalam segmen tersebut adalah Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral a b

21 l PQ Salah satu segmen dierlihatkan ada Gb... Ada satu titik P ang terletak ada kurva di segmen ini ang terletak antara P dan Q di mana turunan fungsi (P ), ang meruakan garis singgung di P, sejajar dengan PQ. Menggunakan engertian (P ) ini, l daat dinatakan sebagai l [( ( P )) ] ( (P )) f() Q P l a b Gb... Salah satu segmen ada kurva f (). Setia segmen memiliki (P ) masing-masing aitu k, dan l masing-masing aitu l k. Jika n dibuat menuju, anjang kurva dari a ke b adalah n n n lab lk ( k) lim lim lim ( k ) n n k k k atau b d lab d (.) a d Perlu kita ingat bahwa anjang suatu kurva tidak tergantung dari osisi sumbu koordinat. Oleh karena itu (.) daat ditulis juga sebagai b d lab d a d dengan a dan b adalah batas-batas eubah bebas.

22 .5. ilai Rata-Rata Suatu Fungsi Untuk fungsi f () ang kontinu dalam rentang nilai rata-rata fungsi ini didefinisikan sebagai ( rr ) f ( d ) (.) (Penulisan ( rr ) untuk menatakan nilai rata-rata fungsi ) Definisi (.) daat kita tuliskan ( rr ) ( ) f ( ) d (.4) Ruas kanan (.4) adalah luas bidang antara kurva fungsi f () dengan sumbu- mulai dari samai. Ruas kiri (.4) daat ditafsirkan sebagai luas segi emat dengan anjang ( ) dan lebar ( rr ). Namun kita erlu hati-hati sebab dalam menghitung ruas kanan (.4) sebagai luas bidang antara kurva fungsi f () dengan sumbu bagian kurva ang berada di bawah sumbu- memberi kontribusi ositif ada luas bidang ang dihitung; sedangkan dalam menghitung nilai ratarata (.) kontibusi tersebut adalah negatif. Sebagai contoh, kita ambil fungsi. Luas bidang antara dengan sumbu- dari samai adalah ositif, A 67,5 (telah ernah kita hitung). Sementara itu jika kita menghitung nilai rata-rata fungsi ini dari samai hasilna adalah ( rr ) karena bagian kurva ang berada di atas dan di bawah sumbu- akan saling meniadakan. Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

23 Referensi. Catatan-catatan enulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun , sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.. George B Thomas, Calculus And Analtic Geometr, addison Wesle, 956, buku egangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN ,. 4. Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Elektrik, e-book,. 5. Sudaratno Sudirham, Mengenal Sifat Material, e-book,.