KAJIAN PERBANDINGAN ARAH RATA-RATA DATA SIRKULAR (STUDI KASUS: DATA WAKTU KEDATANGAN PASIEN IGD)

Transkripsi

1 KAJIAN PERBANDINGAN ARAH RATA-RATA DATA SIRKULAR (STUDI KASUS: DATA WAKTU KEDATANGAN PASIEN IGD) EKA PUTRI NUR UTAMI DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 211

2 RINGKASAN EKA PUTRI NUR UTAMI. Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular (Studi Kasus: Data Waktu Kedatangan Pasien IGD). Pembimbing: I MADE SUMERTAJAYA dan AHMAD ANSORI MATTJIK. Perkembangan analisis data saat ini masih bertumpu pada analisis untuk data linear. Disisi lain, untuk kasus-kasus tertentu pengukuran dilakukan secara sirkular. Data sirkular adalah data hasil pengukuran yang nilai-nilainya berulang secara periodik. Beberapa contoh data sirkular yaitu, hari, tanggal, bulan, jam, arah mata angin, letak geografis dan lain-lain. Dalam penelitian ini akan dikaji waktu kedatangan pasien Instalasi Gawat Darurat (IGD). Pelayanan IGD seharusnya dikelola secara baik dan teratur, hal ini karena kedatangan pasien tidak dapat diperkirakan sehingga memungkinkan terjadi penumpukan pasien. Oleh karena itu untuk memaksimalkan pelayanan perlu diketahui waktu sibuk kedatangan pasien. Penelitian ini betujuan untuk menerapkan penggunaan prosedur statistika sirkular pada data waktu kedatangan pasien IGD di empat rumah sakit yaitu rumah sakit AZRA, Karya Bakti, PMI dan rumah sakit Salak. Metode yang diterapkan untuk membandingkan arah rata-rata sirkular adalah dengan pendekatan ANOVA dan metode nonparametrik. Hasil deskripsi statistik menunjukkan masing-masing rumah sakit memiliki arah rata-rata yang beragam. Arah rata-rata untuk rumah sakit AZRA adalah pukul 19:33 atau berada pada 293 o, sedangkan untuk Karya Bakti, PMI dan Salak berturut-turut pada pukul 15:2, 16:49, dan 15:47 atau arah rata-rata berada pada 23 o, 252 o dan 237 o. Nilai konsentrasi yang dihasilkan kecil yaitu berkisar antara Pengujian kecocokan sebaran von Mises dengan QQ-plot dan uji Rayleigh menunjukkan keempat data rumah sakit menyebar von Mises dan pengujian kesamaan konsentrasi menunjukkan tidak terdapat perbedaan nilai konsentrasi pada keempat rumah sakit. Sebelum melakukan perbandingan arah rata-rata, tabel kontingensi digunakan untuk menguji hubungan antara kategori rumah sakit dengan frekuensi kedatangan. Hasil pengujian tabel kontingensi menunjukkan terdapat hubungan antara jenis rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien. Nilai konsentrasi keempat rumah sakit kurang dari 1 sehingga untuk perbandingan arah rata-rata digunakan uji rasio likelihood. Hasil uji rasio likelihood dan metode non parametrik menunjukkan terdapat perbedaan arah rata-rata waktu kedatangan pasien. Uji parsial menunjukkan terdapat kesamaan arah rata-rata waktu kedatangan antara rumah sakit AZRA dengan PMI dan antara rumah sakit Karya Bakti dengan rumah sakit Salak. Kata Kunci : Data Sirkular, Arah Rata-Rata, von Misses, ANOVA Sirkular,

3 KAJIAN PERBANDINGAN ARAH RATA-RATA DATA SIRKULAR (STUDI KASUS: DATA WAKTU KEDATANGAN PASIEN IGD) EKA PUTRI NUR UTAMI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 21

4 Judul Skripsi : Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular (Studi Kasus: Data Waktu Kedatangan Pasien IGD) Nama : Eka Putri Nur Utami NIM : G1476 Menyetujui: Pembimbing I Pembimbing II Dr.Ir. I Made Sumertajaya, M.Si NIP Prof. Dr.Ir Ahmad Ansori Mattjik, M.Sc NIP Mengetahui : Ketua Departemen Statistika, Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.S NIP Tanggal Lulus:

5 KATA PENGANTAR Puji syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa karena berkat limpahan rahmat dan karunia Tuhan saya dapat menyelesaikan karya tulis ini yang berjudul Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular (Studi Kasus: Data Waktu Kedatangan Pasien IGD). Sesungguhnya penyelesaian tugas akhir ini semuanya adalah berkat kemudahan dan pertolongan dari-nya. Karya tulis ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana statistika pada fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam. Tidak lupa saya ucapkan terima kasih kepada semua pihak-pihak yang telah membantu dan membimbing saya untuk menyelesaikan laporan ini, yaitu : 1. Bapak Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si dan Bapak Prof. Dr. Ir. A.A Mattjik, M.Sc selaku dosen pembimbing skripsi yang telah banyak membantu dalam penyelesaian skirpsi ini. 2. Bapak Dr.Ir. Aji Hamim Wigena, M.Si yang telah bersedia menjadi dosen penguji. 3. Pihak Dinas Kesehatan, RS AZRA, RS Karya Bakti, RS PMI, dan RS Salak yang telah membantu perolehan data dan informasi guna mendukung penelitian ini. 4. Keluarga yang selalu memberikan dukungan disetiap saat, serta adik-adik tersayang. 5. Semua pihak yang belum disebutkan namun telah memberikan masukan dan membantu hingga tersusunnya laporan skripsi ini. Penulis sadar karya tulis ini masih jauh dari kesempurnaan untuk itu mohon saran dan kritik. Demikian laporan ini dibuat agar dapat memberikan manfaat bagi semua pihak. Bogor, Agustus 211 Penulis

6 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 21 Januari 1989 sebagai anak sulung dari tiga bersaudara dari pasangan Isman dan Nuryah. Penulis menyelesaikan sekolah dasar pada tahun 21 di SDN Bhayangkari Bogor, dan menyelesaikan sekolah menengah pertama pada tahun 24 di SLTP Negeri 1 Bogor. Pada tahun 27 penulis menyelesaikan sekolah menengah atasnya di SMA Negeri 1 Bogor. Tahun 27 penulis memasuki perguruan tinggi di Institut Pertanian Bogor dengan memilih Mayor Statistika di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menjadi mahasiswa penulis aktif dalam himpunan keprofesian Gamma Sigma Beta sebagai Kepala Departement of Science pada periode kepengurusan 21. Selain itu penulis juga aktif mengikuti kegiatan Lingkung Seni Sunda Gentra Kaheman sebagai anggota.

7 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI... v DAFTAR TABEL... vi DAFTAR GAMBAR... vi DAFTAR LAMPIRAN... vi PENDAHULUAN LATAR BELAKANG... 1 TUJUAN... 1 TINJAUAN PUSTAKA Data Sirkular... 1 Deskripsi Statistik Data Sirkular Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular METODOLOGI Bahan... 6 Metode... 6 HASIL DAN PEMBAHASAN Statistika Deskriptif Sirkular... 6 Uji Kecocokan Sebaran Von Mises... 9 Uji Kesamaan Parameter Konsentrasi... 1 Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan... 1 Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 12

8 DAFTAR TABEL Halaman 1 Tabel Kontingensi Tabel Pendekatan ANOVA Statistika Deskriptif Waktu Kedatangan Pasien Uji Kecocokan Rayleigh Tabel Pendekatan ANOVA Sirkular Hasil Uji Parsial DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Contoh Sebaran Data Sirkular Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius Contoh Jarak antara Dua Titik pada Data Sirkular Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien AZRA Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Karya Bakti Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien PMI Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Salak Diagram Lingkaran Asal Pasien IGD DAFTAR LAMPIRAN 1 Diagram Pencar untuk Waktu Kedatangan Pasien Histogram Sirkular Pengujian Sebaran Von Mises Tabel Frekuensi Kedatangan Masing-Masing Rumah Sakit Tabel Tabel Hasil Perhitungan... 17

9 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perkembangan analisis data saat ini masih bertumpu pada analisis untuk data linear. Disisi lain, untuk kasus-kasus tertentu pengukuran dilakukan secara sirkular. Beberapa ilustrasi data sirkular yaitu arah migrasi hewan, arah angin, waktu kedatangan pasien, waktu terjadinya kecelakaan dan lainlain. Data yang diukur dalam statistika sirkular berupa sudut sehingga analisis yang dilakukan sedikit berbeda dengan data linear. Hal ini menunjukkan pentingnya kajian analisis data sirkular. Analisis data sirkular awalnya dimulai pada pertengahan abad ke-18. Pada tahun 1767, seorang pendeta John Mitchell FRS mengamati posisi antar bintang. Mitchell ingin membuktikan bahwa arah bintangbintang tersebut menyebar seragam. Menggunakan konsep statistika sirkular Mitchell menemukan bahwa jumlah pasangan bintang yang berdekatan terlalu banyak. Berdasarkan hal ini Mitchell menyimpulkan bahwa pasangan bintang-bintang secara fisik tertata gaya tarik gravitasi (Fisher 1993). Salah satu kesalahan yang dapat terjadi jika data sirkular dianalisis menggunakan metode linear yaitu pada arah rata-rata. Gambar 1 menunjukkan contoh dari kesalahan tersebut. Garis putus-putus menunjukkan ratarata dengan metode linear, sedangkan garis penuh adalah arah rata-rata sirkular. Pada Gambar 1 rata-rata linear berada di sekitar 18 o sedangkan data pengamatan berada di sekitar o. Dalam penelitian ini akan dikaji waktu kedatangan pasien Instalasi Gawat Darurat (IGD). Pelayanan IGD seharusnya dikelola secara baik dan teratur, hal ini karena kedatangan pasien tidak dapat diperkirakan sehingga memungkinkan terjadi penumpukan pasien. Oleh karena itu, perlu dilakukan penelitian untuk mengetahui waktu sibuk kedatangan pasien. Setelah itu pihak rumah sakit dapat melakukan perencanaan sumber daya manusia dengan baik. Berdasarkan situs Dinas Kesehatan Kota Bogor, dalam lingkungan kota Bogor terdapat 9 rumah sakit yang diakui oleh pemerintah kota Bogor termasuk rumah sakit bersalin. Rumah sakit AZRA, Karya Bakti, Palang Merah Indonesia (PMI) dan Salak merupakan beberapa rumah sakit umum yang banyak mendapatkan perhatian dan kunjungan dari masyarakat. Berdasarkan hal ini rumah sakit tersebut dipilih sebagai objek penelitian. 27 o Gambar 1 Contoh sebaran data sirkular. Tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Menerapkan penggunaan konsep statistika sirkular untuk mengetahui deskripsi statistik data sirkular setiap rumah sakit. 2. Melakukan perbandingan arah ratarata antar rumah sakit. TINJAUAN PUSTAKA Data Sirkular Data sirkular adalah data hasil pengukuran yang nilai-nilainya berulang secara periodik. Suatu nilai akan kembali ditemukan setelah menemui satu periode/putaran penuh. Definisi karakteristik peubah sirkular sendiri adalah data pada awal dan akhir skala pengukuran saling bertemu (Martin 28). Data sirkular dapat direpresentasikan ke dalam bentuk sudut dalam lingkaran. Pengukuran ini dapat digambarkan melalui pengukuran sudut atau posisi titik pada keliling lingkaran, dengan memilih arah nol sebagai titik acuan. Setiap titik pengamatan dapat dinyatakan sebagai koordinat kartesius (X, Y) atau dalam koordinat polar (r, θ), dimana r merupakan jarak titik pusat ke titik pengamatan dan θ merupakan arah perpindahan dalam satuan sudut (Jammalamadaka & SenGupta 21). Titik dalam koordinat polar dapat diubah ke dalam koordinat kartesius, begitupun sebaliknya, dengan x= r cos θ, y = r sin θ. Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius tersebut dapat dilihat pada Gambar 2. o 18 o 9 o

10 2 r sin θ Y O Gambar 2 Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius. Menurut Mardia (2), jenis data sirkular dibedakan menjadi dua yaitu : 1. Data sirkular jenis arah Merupakan data terjadinya sesuatu hal yang diukur dalam arah atau derajat. Contohnya adalah arah angin, arah migrasi burung dan arah navigasi. 2. Data sirkular jenis waktu Data yang merupakan data terjadinya sesuatu hal yang diukur dalam satuan waktu, dapat berupa jam dalam satu hari, hari dalam satu bulan, atau bulan dalam satu tahun. Dalam perhitungannya data sirkular jenis waktu harus diubah ke dalam sudut. Penggambaran Data Sirkular Sebuah data akan mudah dianalisis apabila dapat digambarkan dalam sebuah grafik. Menurut Fisher (1993), representasi data sirkular dalam bentuk grafis sangat penting. Bentuk grafis yang biasa digunakan untuk data sirkular adalah: 1. Diagram pencar Diagram yang menggambarkan titik-titik secara sederhana dalam suatu lingkaran. 2. Histogram, dalam data sirkular histogram dapat dibuat seperti pada data linear dengan respon sudut sebagai koordinat X. Histogram yang dibuat dapat berupa histogram sirkular dan Rose Diagram. a. Histogram sirkular Histogram seperti pada data linear dengan menyatukaan koordinat X menjadi lingkaran. b. Rose diagram/diagram mawar Histogram dimana masing-masing kelompok digambarkan sebagai sektor. Area setiap sektor menunjukkan frekuensi kelompok. r r cos θ θ P X Deskripsi Statistik Data Sirkular Arah Rata-Rata Perhitungan untuk mencari rata-rata data sirkular berbeda dengan prosedur perhitungan rata-rata pada data linear. Rata-rata data sirkular diperoleh dengan memperlakukan data sebagai vektor satuan. Oleh karena itu dalam statistika sirkular dikenal adanya nilai vektor resultan R. Rumus dari R adalah: n n R= ( i=1 cos θ i, i=1 sin θ i )= (C, S) dimana θ 1, θ 2,..., θ n merupakan satu set observasi sikular yang diukur berdasarkan sudut, dan menghasilkan R = R = C 2 + S 2 memperlihatkan panjang dari vektor resultan R. Vektor resultan adalah jumlah dari dua vektor atau lebih. Dalam statistika sirkular juga dikenal adanya panjang vektor rata-rata (R) yang diperoleh dari : R = R n Arah dari vektor resultan R yang menjelaskan arah rata-rata sirkular dilambangkan dengan θ, dimana: θ = arctan*(s/c), akan bernilai: 1. arctan (S/C) jika C>, S 2. π/2, jika C=, S> 3. arctan (S/C) + π jika C< 4. arctan (S/C) + 2π jika C, S< 5. tidak terdefinisi jika C= dan S= Definisi inverse kuadran spesifik dari tangen diperlukan karena tan(θ) = tan(θ+π), dan arctan didefinisikan berada pada ( π 2 2 Sembarang θ memiliki dua inverse. Untuk mengatasi masalah ini definisi arah rata-rata sebelumnya dapat memberikan inverse yang bernilai unik dan tepat pada {,2π} yang akan dihitung berdasarkan nilai C dan S (Jammalamadaka & SenGupta 21). Selang Kepercayaan Arah Rata-Rata Metode yang digunakan untuk menentukan standar eror dari arah rata-rata sirkular yang mengikuti ditribusi normal sirkular adalah dengan mencari 1 ς μ = nr к sehingga selang kepercayaan 1%(1-α) untuk arah rata-rata data sirkular adalah [θ arcsin z α/2 ς μ, θ + arcsin z α/2 ς μ ].

11 3 Ragam Sirkular Salah satu ukuran yang juga berguna dalam deskripsi statistik data sirkular adalah ukuran sebaran atau keragaman. Nilai keragaman sirkular diukur berdasarkan ukuran jarak sirkular antara sembarang dua titik data pada keliling lingkaran. Ukuran jarak ini didefinisikan sebagai panjang busur terkecil dari dua panjang busur yang menghubungkan titik-titik tersebut. Misalkan terdapat dua titik sembarang A dengan sudut α dan titik B dengan sudut β, maka jarak antar kedua titik merupakan busur terpendek dalam lingkaran. Gambar 3 menunjukkan busur ANB lebih pendek daripada busur ASB maka jarak antara A dan B adalah panjang busur ANB. Dengan demikian jarak dari dua titik pada keliling lingkaran tidak akan melebihi dari π. Gambar 3 Contoh jarak antara dua titik pada data sirkular Berdasarkan ilustrasi ini maka jarak sirkular untuk kedua titik A dan B adalah: d (α,β) = ( 1- cos (α-β)) Definisi ini dapat digunakan untuk mencari ukuran sebaran data sirkular. Dengan pendekatan pengukuran jarak dalam lingkaran, maka nilai dari ragam contoh adalah V= n R = 1 - R Nilai V adalah ukuran penyebaran contoh, dan pada statistika linear sama dengan s 2. Standar deviasi pada data sirkular adalah: v = {-2 log (1-V)} 1/2 = [2(1-R)] 1/2 α Titik sudut dalam arah yang sama mengindikasikan pemusatan yang besar, nilai R dapat sebesar n. Sebaliknya data yang menyebar merata pada sekeliling lingkaran mengindikasikan tidak adanya pemusatan, R dapat mendekati nilai (Jammalamadaka dan β SenGupta 21). Artinya semakin besar nilai keragaman sirkular maka semakin besar pula sebaran data dan semakin kecil konsentrasi data terhadap arah rata-ratanya. Konsentrasi Nilai konsentrasi menunjukkan seberapa besar data menuju suatu arah tertentu. Nilai konsentrasi dilambangkan dengan к yang ditentukan dengan formula sebagai berikut (Fisher 1993): к = 2R + R R R + 1 R 3 4R 2 + 3R.43 (1 R ) (1) (2) (3) di mana persamaan (1) digunakan jika R<.53, persamaan (2) jika.53 R <.85 sedangkan persamaan (3) digunakan jika R.85. Uji Khi Kuadrat Tujuan dilakukannya pengujian ini adalah untuk mengetahui hubungan antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien. Pengujian dapat dilakukan dengan mengelompokkan waktu-waktu kedatangan dan menghitung frekuensinya. Setelah itu frekuensi dari masing-masing rumah sakit dibuat tabel kontingensi 4xc yang dapat dilihat pada Tabel 1. Hipotesis: H : tidak terdapat hubungan antara antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien. H1 : terdapat hubungan antara antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien. Tabel 1 Tabel Kontingensi Total sampel 1 n n 1c M 1 sampel M 2 sampel M 3 sampel 4 n n 4c M 4 Total N 1 N 2 N 3 N 4 N dengan: e ij = M in j N ( i= 1,..4; j=1,2,,c)

12 4 χ 2 = i,j n ij e ij 2 e ij dimana: e ij = nilai harapan setiap sel hipotesis nol akan ditolak jika nilai χ 2 lebih besar dari χ 2 α, artinya terdapat hubungan antara baris dan kolom. Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk membandingkan arah ratarata data sirkular yaitu dengan pendekatan ANOVA sirkular dan metode nonparametrik. Metode nonparametrik yang dapat dilakukan salah satunya metode menurut Fisher (1993). ANOVA Sirkular Pendekatan Analysis of Variance (ANOVA) sirkular adalah suatu metode statistika sirkular yang digunakan untuk menguji kesamaan dari dua atau lebih arah rata-rata. Hipotesis yang ingin diuji adalah: H : µ 1 =...=µ p dimana µ i adalah arah rata-rata untuk masingmasing sampel. Pendekatan tabel ANOVA untuk analisis berdasarkan arah rata-rata (Watson dan Williams 1956) dalam Jammalamadaka dan SenGupta (21) dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 Pendekatan ANOVA Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Antar p R Sampel p-1 i R i=1 Dalam Sampel N-p p i=1(n i R i ) Total N-1 (N - R ) Kuadrat Tengah JK antar sampel/db JK dalam sampel/db dimana N=n n p menunjukkan ukuran sampel gabungan. Asumsi yang harus dipenuhi adalah sebaran data mengikuti sebaran von Mises dan parameter konsentrasi memiliki nilai yang sama untuk masing-masing populasi. Pendekatan ANOVA pada Tabel 2 memiliki : F hitung = KT antar sampel /KT dalam sampel Hipotesis nol akan ditolak jika F hitung > F (p-1, N-p, α/2) untuk к>2. Bila 1 < к < 2 maka dapat dilakukan pendekatan menggunakan F = F (1 + 3 ) 8к dengan pendekatan sebaran F yang sama. Nilai к adalah dugaan parameter konsentrasi keseluruhan. Simulasi menunjukkan pendekatan ini dapat dipenuhi untuk к 1. Sedangkan untuk nilai к < 1 dapat dilakukan pengujian dengan rasio likelihood (Mardia 2), dimana U = 2 N 1 p R i i=1 2 R 2 c = к2 + p 2nк 2 sehingga hipotesis nol akan ditolak jika nilai cu lebih besar dari χ 2 p-1,α Sebaran von Mises/ Normal Sirkular Pendekatan ANOVA berlaku untuk data normal sirkular. Sebaran ini adalah sebaran yang paling sering digunakan dalam statistika sirkular dan menjadi dasar parametrik statistika inferensia data sirkular. Sebaran ini dikenal sebagai sebaran von Mises yang ditemukan oleh von Mises pada tahun Fungsi kepekatan peluang sebaran von Mises adalah 1 f ( θ;µ,к ) = 2πI к eк cos ( θ-µ ), < θ < 2π I adalah fungsi termodifikasi Bessel yaitu : I (к) = 1 2π 2π e k cos θ dθ µ adalah arah rata-rata di mana µ< 2π, sedangkan к adalah parameter konsentrasi dimana к. Uji Formal untuk Sebaran von Mises Lemma Neyman-Pearson dalam Mardia (2) menyatakan uji Rayleigh paling kuat jika menggunakan hipotesis alternatif data menyebar normal sirkular. Hipotesis: H: Sebaran data mengikuti sebaran seragam sirkular. H1: Sebaran data mengikuti sebaran von Mises atau normal sirkular Statistik uji yang digunakan adalah: Z = nr 2 Jika nilai statistik uji lebih besar dari Z α,n, maka hipotesis nol ditolak yang artinya sebaran data mengikuti sebaran normal.

13 5 Grafik Kecocokan Sebaran von Mises Metode yang digunakan untuk mengevaluasi sebaran von Mises adalah QQplot), dengan mencari z i = sin 1 2 (θ i - µ) i= 1,...,n lalu nilai z i disusun berdasarkan nilai terkecil sampai terbesar sehingga z (1)... z (n). Setelah itu membuat plot (sin( 1 2 q 1), z (1) ),..., (sin( 1 q n), z (n) ). Jika data mengikuti sebaran 2 von Mises, plot mengikuti garis lurus (,) dengan kemiringan 45 o (Fisher Pengujian Untuk Parameter Konsentrasi Pengujian kesamaan dua atau lebih ratarata populasi memerlukan asumsi parameter konsentrasi к bernilai sama. Pengujian dilakukan dengan hipotesis: H : к 1 = к 2 =...= к p H1: paling sedikit 1 dari к i berbeda dari yang lain ( i= 1,..,p). Statistik uji: dan F p = p N p i=1 n i d i d 2 p p 1 n i d ij d 2 i=1 j =1 d ij = sin(θ ij θ i ) j=1,..,n i d i= d = n i d ij j =1 n i p n i di i=1 N Maka H ditolak jika F p > F(p-1, N-p,α/2) dimana: p = menyatakan banyaknya kelompok n i = menyatakan ukuran sampel yang ke-i (i= 1,...,p) N = total keseluruhan data θ i = menyatakan rata-rata sirkular untuk kelompok ke-i. Metode Nonparametrik Dalam keadaan tertentu dimungkinkan cukup alasan untuk menduga bahwa sebaran yang mendasari data identik. Selain itu model parametrik yang didasari sebaran von Mises mungkin tidak dapat memberikan deskripsi yang memadai mengenai data atau distribusi yang tidak tepat. Secara nonparametrik untuk menguji arah rata-rata dua atau lebih sampel dapat dilakukan dengan beberapa metode. Untuk sampel yang besar terdapat beberapa metode diantaranya adalah metode P dan M. 1. Metode P : dilakukan jika δ maks δ min 4. Dengan statistik uji: Y p = 2(N-R P )/δ dimana: p n i δ i 1=1 δ = N δ i = (1-ρ 2 )/2R 2 ρ 2 = 1 n n i=1 R p = C p 2 + Sp 2 C p = S p = p i=1 n i p i=1 n i cos 2 (θ i θ ) cos μ i sin μ i 2. Metode M : dilakukan jika δ maks > 4. δ min Dengan statistik uji: p 1 Y p = 2( i=1 - R ς 2 M ) i dimana C M = S M = p cos μ i i=1 ς 2 i p sin μ i i=1 ς 2 i R M = C M 2 + SM 2 Hipotesis nol akan ditolak jika nilai 2 Y p > χ p 1 ( α ) atau Y 2 p < χ 2 p 1 (1 α ). Jika 2 hipotesis nol ditolak artinya paling sedikit terdapat satu dari µ i berbeda dari yang lain. Uji Arah Rata-Rata Dua Sampel Pengujian lanjut setelah uji ANOVA belum ditemukan dalam konsep statistika sirkular. Oleh karena itu untuk mengetahui arah rata-rata 2 kelompok yang berbeda dilakukan uji parsial 2 kelompok berdasarkan arah rata-rata yang berdekatan. Hipotesis: H: µ 1 =µ 2 H1: µ 1 µ 2 Statistik uji: F = к N 2 (R 1+ R 2 R) N R 1 R 2 Metode di atas digunakan jika sebaran data menyebar von Mises dengan nilai к>2 dan memiliki nilai yang sama untuk kedua sampel.

14 6 Untuk nilai 1< к <2 maka dapat dilakukan pendekatan menggunakan F = F ( к ) dengan pendekatan sebaran F yang sama. Sedangkan jika nilai к yang didapat kurang dari 1 maka dilakukan perhitungan dengan menggunakan pendekatan uji rasio likelihood seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. METODOLOGI Bahan Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang didapat dari 4 rumah sakit di kota Bogor pada bulan Maret 211. Rumah sakit tersebut adalah: 1. Rumah Sakit Azra 2. Rumah Sakit Palang Merah Indonesia 3. Rumah Sakit Karya Bakti 4. Rumah Sakit Salak Data yang didapat berupa waktu kedatangan pasien Instalasi Gawat Darurat, dan asal tempat tinggal (kecamatan). Metode Perangkat lunak yang digunakan untuk data sirkular ini adalah Oriana trial version. Langkah - langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah : 1. Mentransformasi data waktu kedatangan pasien dalam satuan jam ke dalam satuan sudut atau derajat dengan persamaan θ = 36o x t T Untuk mengubah jam (t dalam jam) dalam siklus 1 hari maka T=24 jam. Begitu pula sebaliknya untuk mentransfromasi satuan sudut menjadi waktu dengan mengkonversi balik persamaan; 2. Membuat analisis deskripsi statistik sirkular masing-masing rumah sakit; 3. Melihat hubungan antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien dengan menggunakan table kontingensi; 4. Menghitung ANOVA dengan prosedur statistika sirkular yang meliputi Pengujian kecocokan sebaran Von Misses, jika data mengikuti sebaran Von Misses, analisis dapat dilanjutkan. Pengujian kesamaan parameter konsentrasi keempat rumah sakit; Menghitung tabel ANOVA; Jika nilai konsentrasi yang dihasilkan kecil akan dilakukan konversi nilai F untuk nilai 1< к <2. Sedangkan jika nilai к <1 pengujian dilakukan dengan uji rasio likelihood. 5. Menghitung perbandingan arah rata-rata waktu kedatangan dengan metode nonparametrik jika δ maks 4, digunakan δ min metode P sedangkan jika δ maks > 4, δ min digunakan metode M; dan 6. Pengujian parsial arah rata-rata waktu kedatangan pasien di rumah sakit berdasarkan arah rata-rata rumah sakit yang berdekatan. HASIL DAN PEMBAHASAN Statistika Deskripsi Sirkular Hasil transformasi data waktu kedatangan ke dalam bentuk sudut menghasilkan 1 o yang mewakili 4 menit. Penggambaran data sirkular dilakukan dengan diagram pencar dan histogram sirkular. Hasil ini dapat dilihat pada Lampiran 1 dan 2. Selain itu deskripsi statistik untuk waktu kedatangan pasien IGD di rumah sakit dapat dilihat pada Tabel 3. Pada Tabel 3, waktu kedatangan pasien IGD empat rumah sakit kota Bogor memiliki rata-rata sirkular dan selang kepercayaan yang berbeda-beda. Rata-rata sirkular menunjukkan arah rata-rata dari data yang ada atau arah tempat berkumpulnya data. Rata-rata sirkular waktu kedatangan untuk rumah sakit AZRA pada pukul 19:33 atau berada pada 293 o, sedangkan untuk Karya Bakti, PMI dan Salak berturut-turut pada pukul 15:2, 16:49, dan 15:47 atau arah ratarata berada pada 23 o, 252 o dan 237 o. Selain itu dapat dilihat median yang dihasilkan masing-masing rumah sakit tidak berbeda jauh dengan arah rata-ratanya. Nilai panjang dari vektor rata-rata (R) dapat dilihat pada Tabel 3. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya nilai R ini menjelaskan ukuran pemusatan dari data sirkular. Nilai R yang kecil dan mendekati nol mengindikasikan nilai pemusatan data yang kecil. Nilai R pada data waktu kedatangan pasien di 4 rumah sakit kurang dari 1. Hal ini menjelaskan nilai pemusatan data yang kecil. Panjang vektor rata-rata yang bernilai positif dapat diartikan arah rata-ratanya merupakan arah rata-rata sirkularnya. Pada Tabel 3 nilai ragam sirkular masingmasing rumah sakit beragam. Nilai ragam berkisar antara Nilai ragam

15 7 untuk rumah sakit AZRA adalah.694 dan untuk rumah sakit Karya bakti, PMI dan Salak berturut-turut adalah.748,.812 dan.745. Besarnya nilai keragaman menunjukkan terjadinya penyebaran yang cukup besar untuk data waktu kedatangan pasien IGD. Nilai konsentrasi yang dihasilkan kecil padahal semakin besar konsentrasi data akan semakin terkonsentrasi di sekitar arah rataratanya. Pada Tabel 3 nilai konsentrasi berkisar antara Rumah sakit AZRA, Karya Bakti, PMI dan Salak memiliki konsentrasi berturut-turut sebesar.643,.52,.382 dan.528. Nilai konsentrasi data keempat rumah sakit kurang dari satu padahal untuk melakukan uji F pada uji pendekatan ANOVA diperlukan konsentrasi lebih dari 2. Hal ini berarti hanya terdapat sedikit data yang berada di sekitar arah rata-rata. Selang kepercayaan untuk arah rata-rata digunakan selang kepercayaan 95 %. Selang kepercayaan terlebar adalah pada rumah sakit AZRA yaitu berada pada pukul 16:53 sampai dengan pukul 22:13 atau 253 o sampai dengan 333 o. Selang kepercayaan seharusnya menunjukkan selang waktu sibuk untuk masing-masing rumah sakit. Namun karena nilai konsentrasi yang dihasilkan kecil, selang kepercayaan ini menjadi kurang kuat untuk menentukan waktu sibuk kedatangan pasien. Pada Tabel 3 juga dapat dilihat nilai median, standar deviasi dan standar eror. Arti dari nilai-nilai ini tidak berbeda dengan statistika linear pada umumnya. Rose diagram atau diagram mawar setiap rumah sakit dapat dilihat pada Gambar 4, 5, 6, dan 7. Skala yang digunakan pada diagram ini adalah frekuensi relatif terhadap frekuensi maksimum. Frekuensi terbesar akan memiliki nilai 1 pada diagram mawar. Berdasarkan diagram mawar terlihat bahwa banyaknya pasien datang terjadi sore hari menjelang malam hari. Hal ini mungkin disebabkan oleh pelayanan poliklinik yang tutup sore hari. Diagram mawar pada Gambar 4, 5, 6, dan 7 menunjukkan frekuensi dan arah rata-rata dengan selang kepercayaan dalam statistika sirkular. Garis penuh menunjukkan arah ratarata dan selang kepercayaan data berdasarkan konsep statistika sirkular, sedangkan garis panah putus-putus adalah arah rata-rata dengan prosedur statistika linear. Berdasarkan gambar dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan arah rata-rata antara prosedur statistika sirkular dengan statistika linear. Tabel 3 Statistika Deskriptif Waktu Kedatangan Pasien Rumah Sakit Azra Karya Bakti PMI Salak Jumlah pengamatan Arah rata-rata (θ ) 19:33 (293 o ) 15:2 (23 o ) 16:49 (252 o ) 15:47 (237 o ) Panjang vektor rata-rata (R) Median 2:15(33 o ) 15:2 (23 o ) 17: (255 o ) 15:5 (237 o ) Konsentrasi Ragam Sirkular Standar Deviasi Sirkular 5:52 (88 o ) 6:2 (95 o ) 6:59 (15 o ) 6:18 (95 o ) Standard Error arah rata-rata 1:21(2 o ) :17 (4 o ) :21 (5 o ) :19 (5 o ) 95% Selang Kepercayaan (-/+) 16:53 (253 o ) 14:45 (221 o ) 16:8 (242 o ) 15:9 (227 o ) Untuk (θ ) 22:13 (333 o ) 15:55 (239 o ) 17:31 (263 o ) 16:25 (246 o )

16 8 Gambar 4 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien AZRA Gambar 6 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien PMI Gambar 5 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Karya Bakti Gambar 7 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Salak

17 9 Pie Chart of kecamatan 23,1% AZRA Karya Bakti 1,3% 12,8% 16,4% 5,1% 5,1% 46,4% 43,6% 21,7% 1,6% 5,1% 2,7% 6,1% Kategori Bogor Barat Bogor Selatan Bogor Tengah Bogor Timur Bogor Utara Kab Bogor Tanah Sareal 1,7% PMI 7,1% 6,7% 8,4% 23,9% Salak 8,2% 8,% 4,4% 9,5% 12,2% 4,9% 17,4% 3,4% 12,5% Gambar 8. Diagram Lingkaran Asal Pasien IGD Deskripsi asal tempat tinggal pasienpasien IGD dapat dilihat pada Gambar 8. Asal tempat tinggal pasien dikelompokkan berdasarkan kecamatan-kecamatan di kota Bogor dan untuk kecamatan di kabupaten Bogor digolongkan ke dalam kabupaten Bogor. Berdasarkan Gambar 8 dapat dilihat mayoritas pasien IGD berasal dari kabupaten Bogor untuk rumah sakit Salak, PMI dan Karya Bakti. Sedangkan untuk rumah sakit AZRA mayoritas berasal dari kecamatan Bogor Utara. Banyaknya pasien yang berasal dari Kabupaten Bogor dapat disebabkan oleh pengelompokkan asal pasien kabupaten Bogor yang tidak dibagi ke dalam beberapa kecamatan. Terlepas dari pasien asal kabupaten Bogor, terlihat bahwa mayoritas pasien IGD berasal dari daerah di sekitar rumah sakit. Misalnya untuk rumah sakit Karya Bakti yang berada di Bogor Barat, sebanyak 21.7% pasien berasal dari kecamatan Bogor Barat. Uji Khi-Kuadrat Pengelompokkan yang dilakukan adalah dengan selang 2 o sehingga didapatkan 18 kelompok. Tetapi ketika diuji didapatkan 25% sel dengan nilai harapan kurang dari 5. Untuk mengatasi hal ini maka dilakukan pengelompokkan ulang dengan selang masing-masing kategori 4 o dan didapatkan 9 kategori. Selanjutnya uji khi-kuadrat sudah memenuhi syarat dengan 13.9% sel yang nilai harapannya kurang dari 5. Pada pengujian dihasilkan nilai statistik uji Karena nilai statistik uji lebih besar dari χ 2.5,24 = maka hipotesis nol dapat ditolak. Hal ini berarti terdapat hubungan antara jenis rumah sakit dengan frekuensi waktu kedatangan pasien. Uji Kecocokan Sebaran von Mises Hasil uji kecocokan sebaran von Mises dilakukan dengan von Mises Q-Q plot dan uji Rayleigh. Hasil uji kecocokan sebaran von Mises dengan Q-Q plot masing-masing rumah sakit dapat dilihat pada Lampiran 3. Pada Q-Q plot untuk ke-4 rumah sakit menunjukkan sebaran data mengikuti garis lurus (,) dengan kemiringan 45 o maka dapat dikatakan waktu kedatangan pasien di 4 rumah sakit mengikuti sebaran normal sirkular atau von Mises. Pengujian formal sebaran von Mises menggunakan uji Rayleigh. Hasil uji Rayleigh dapat dilihat pada Tabel 4. Untuk ke-4 rumah sakit uji Rayleigh menghasilkan nilai-p yang kurang dari alpha 5% artinya hipotesis nol dapat ditolak dan menerima hipotesis alternatif yaitu data mengikuti sebaran von Mises. Tabel 4 Uji Kecocokan Rayleigh. Rumah Sakit Statistik Uji Nilai-P Azra Karya Bakti <. PMI <. Salak <.

18 1 Uji Kesamaan Parameter Konsentrasi Uji kesamaan konsentrasi menghasilkan nilai F hitung =.8654, karena nilai F hitung ini lebih kecil dari F(3, 3954,.5) = maka tidak tolak H, artinya tidak ada perbedaan parameter konsentrasi untuk rumah sakit AZRA, Karya Bakti, PMI dan salak. Berdasarkan hasil ini maka analisis perbandingan arah rata-rata waktu kedatangan pasien dengan menggunakan pendekatan ANOVA dapat dilakukan. Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular ANOVA Sirkular Hasil perhitungan pendekatan ANOVA sirkular untuk waktu kedatangan pasien dapat dilihat pada Tabel 5. Tabel 5 Tabel Pendekatan ANOVA Sirkular. Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah Rumah Sakit Galat Total Berdasarkan Tabel 5 F hitung yang dihasilkan adalah Karena nilai к yang dihasilkan kecil tidak dapat dilakukan keputusan berdasarkan nilai F. Oleh karena itu dilakukan pendekatan keputusan untuk к<1 dengan uji rasio likelihood. Berdasarkan uji rasio likelihood didapatkan nilai cu sebesar Nilai ini lebih besar dari X 2 3,.5 = maka hipotesis nol dapat ditolak. Dapat disimpulkan bahwa minimal terdapat 1 rumah sakit yang memiliki arah rata-rata waktu kedatangan yang berbeda. Metode Nonparametrik Metode ini tetap dilakukan sebagai perbandingan walaupun berdasarkan Q-Q plot diketahui data menyebar von Mises,. Berdasarkan hasil δ maks /δ min diperoleh nilai sebesar 3.99 sehingga digunakan metode P. Hasil perhitungan dengan metode P menghasilkan nilai Y p sebesar Nilai Y p lebih besar dari χ 2 3,.25 = maka hipotesis nol dapat ditolak yang artinya minimal terdapat satu rumah sakit yang memiliki arah rata-rata waktu kedatangan yang berbeda. Keputusan uji nonparametrik ini sebanding dengan keputusan yang diperoleh pada uji rasio likelihood sebelumnya. Uji Arah Rata-Rata Berpasangan Uji berpasangan arah rata-rata dilakukan untuk mengetahui perbedaan arah rata-rata setiap rumah sakit. Tabel 6 dihasilkan berdasarkan uji rasio likelihood karena к<1. Pada Tabel 6 didapatkan hasil bahwa rumah sakit Karya Bakti dan rumah sakit Salak memiliki arah rata-rata yang sama serta rumah sakit PMI memiliki arah rata-rata yang sama dengan rumah sakit AZRA. Tabel 6 Hasil Uji Parsial. Rumah Sakit Karya Bakti Salak PMI AZRA Arah Rata-rata 15:2 ( 23) A 15:47 ( 237) A 16:49 ( 252) B 19:33 ( 293) B KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Arah rata-rata yang menunjukkan pusat waktu sibuk kedatangan pasien untuk rumah sakit AZRA, Karya Bakti, PMI dan Salak berturut-turut terjadi pada pukul 19:33, 15:2, 16:49 dan pukul 15:47. Sedangkan berdasarkan diagram mawar dapat dilihat secara umum waktu kedatangan pasien IGD banyak terjadi pada sore hari menjelang malam. Nilai ragam dan konsentrasi masingmasing rumah sakit berturut-turut adalah sebagai berikut: rumah sakit AZRA (.694;.643), rumah sakit Karya Bakti (.748;.52), rumah sakit PMI (.812;.382) dan rumah sakit Salak (.745;.528). Hasil arah rata-rata dengan prosedur linear berbeda dengan prosedur sirkular. Rata-rata linear berada diantara nilai maksimum dengan minimum sedangkan dalam konsep sirkular tidak ada titik maksimum dan titik minimum. Terdapat hubungan yang signifikan antara frekuensi waktu kedatangan pasien dengan jenis rumah sakit. Rumah sakit AZRA dan PMI memiliki kesamaan arah rata-rata waktu kedatangan. Demikian juga rumah sakit Karya Bakti dan Salak memiliki kesamaan arah rata-rata waktu kedatangan.

19 11 Saran Berdasarkan penelitian ini maka untuk penelitian selanjutnya disarankan agar menambahkan peubah-peubah lain yang berkaitan dengan waktu kedatangan pasien IGD. Contohnya peubah jenis keluhan atau jenis penyakit. DAFTAR PUSTAKA Fisher NI Statistical Analysis of Circular Data. Cambridge: Cambridge University Press. Jammalamadaka SR, SenGupta A. 21. Topics in Circular Statistics. Singapore: World Scientific. Mardia KV, Jupp PE. 2. Directional Statistics. West Sussex : John Wiley & Sons. Martin GK. 28. Circular Statistics. Article Alley. circular-statistics html [17 Januari 211]

20 L A M P I R A N 12

21 13 Lampiran 1. Diagram Pencar Waktu Kedatangan Pasien Row Data Plot Rumah Sakit AZRA Row Data Plot Rumah Sakit Karya Bakti Row Data Plot Rumah Sakit PMI Row Data Plot Rumah Sakit Salak

22 14 Lampiran 2. Histogram Sirkular Rumah Sakit AZRA Rumah Sakit Karya Bhakti 2% 1% 15% 8% 6% 1% 4% 5% 2% 27 2% 2% 5% 5% 1% 1% 15% 15% % 1% 2% 2% 4% 4% 6% 6% 8% 8% 9 5% 2% 4% 1% 6% 15% 8% 2% 1% Rumah Sakit PMI Rumah Sakit Salak 1% 1% 8% 8% 6% 6% 4% 4% 2% 2% 27 1% 8% 6% 4% 2% 2% 4% 6% 8% 1% % 8% 6% 4% 2% 2% 4% 6% 8% 1% 9 2% 2% 4% 4% 6% 6% 8% 8% 1% 1% 18 18

23 Sample Quantiles Sample Quantiles Sample Quantiles Sample Quantiles 15 Lampiran 3. Pengujian Sebaran Von Mises 1 waktu kedatangan - azra,5 -, ,5,5 1 Von Mises Quantiles waktu kedatangan - karya bhakti 1,5 -, ,5,5 Von Mises Quantiles waktu kedatangan - PMI 1,5 -, ,5,5 Von Mises Quantiles waktu kedatangan - salak 1,5 -, ,5,5 Von Mises Quantiles 1

24 16 Lampiran 4 Tabel Frekuensi Kedatangan Masing-Masing Rumah Sakit Azra Karya Bakti PMI Salak Frequency Frek % Frek % Frek % Frek % 1 : - <1: :2 - <2: :4 - <4: : - <5: :2 - <6: :4 - <8: : - <9: :2 - <1: :4 - <12: : - <13: :2 - <14: :4 - <16: : - <17: :2 - <18: :4 - <2: : - <21: :2 - <22: :4 - <: Total

25 17 Lampiran 5. Tabel Tabel Hasil Perhitungan a. Uji Persamaan Konsentrasi Rumah sakit ni di AZRA Karya Bhakti PMI Salak keseluruhan 3958 d = b. Metode Nonparametrik perbandingan arah rata-rata untuk 2 sampel atau lebih dengan metode P: Rumah sakit n i r δ i μ i C S AZRA Karya Bhakti PMI Salak keseluruhan 3958 δ = c. Uji Parsial Menggunakan Rasio Likelihood Rumah sakit/statistika uji Karya Bakti Salak PMI AZRA Karya Bakti Salak PMI AZRA