Uomo, R. B. Jurnal Pendidian Maemaia STKIP Garu METODE NUMERIK STEPEST DESCENT TERINDUKSI NEWTON DALAM PEMECAHAN MASALAH OPTIMISASI TANPA KENDALA INDUCTED NEWTON STEEPEST DESCENT AS A NUMERICAL METHOD TO SOLVE OPTIMIZATION PROGRAM WITHOUT CONSTRAIN Rumono Budi Uomo Universias Muhammadiyah Tangerang Tanggerang, Indonesia Rumono.budi.u@mail.ugm.ac.id Absra Peneliian eoriis ini mengaji mengenai meode numeri Sepes Descen erindusi Newon. Peneliian ini dilauan dengan cara memahami erlebih dahulu mengenai meode numeri Sepes Descen Newon, emudian mengonsrusi meode baru disebu dengan Sepes Descen erindusi Newon. Pada maalah ini uru diseraan pula conoh perhiungan numeri anara eiga meode ersebu besera analisis perhiungannya. Kaa Kunci: Meode Sepes Descen, Newon, Meode Sepes Descen erindusi Newon Absrac This research is invesigaing numerical mehod of Seepes Descen induced of Newon. Seps of his research can be described as follows: Firs, he auhor has o undersand he definiion and algorihm of Seepes Descen and Newon mehods. Afer ha, he second, auhor consrucing he new mehod called by Seepes Descen induced newon. In his paper, auhor also conaining examples of numerical couning among ha hree mehods and analyze hem self. Keyword: Seepes Descen, Newon, Seepes Descen Induced Newon. I. PENDAHULUAN Tida selamanya solusi analii dari suau permasalahan maemaia hususnya opimisasi dapa diemuan. Terag diemuan endala cuup rumi sehingga solusi analii ida mudah diemuan. Berdasaran hal ersebu solusi numeri merupaan sesuau hasil cuup realisis unu dicari mesi hasilnya merupaan hampiran. Meode numeri merupaan suau meode pendeaan (approximaion) dari solusi sejai, arenanya erdapa besarnya anga esalahan (eror) dihasilan oleh perhiungan numeri []. Kesalahan ini lebih sering diaibaan bai arena pemoongan suu aau pembulaan nilai. Masalah opimisasi merupaan persoalan banya menggunaan meode numeri dalam mencari solusi penyelesaian aala solusi analii suli diemuan. Menuru endalanya (consrain), masalah opimisasi dibagi yani masalah opimisasi dengan endala anpa endala, segan menuru variabel bebasnya masalah opimisasi juga dibagi aas dua, yani masah opimisasi dengan varibel bebas banya variabel bebas. Meode numeri unu menyelesaian masalah opmisasi dengan Jurnal Mosharafa, Volume 5 Nomor Sepember 6 8 p-issn: 86-8, e-issn: 5-88
Uomo, R. B. endala dapa menggunaan meode Kuhn-Tucer, segan unu masalah opimisasi anpa endala dengan variabel bebas dapa menggunaan meode Golden Rasio, Fibonacci, Bisesi, Dichoomus Secan. Lebih lanju unu menyelesaian masalah opmisasi dengan lebih dari variabel bebas dapa menggunaan meode Asial, Newon, Hoo and Jeeves, Sepes Descen, Arah Konjugasi, Roosenberg []. Maalah ini membahas mengenai meode numeri Seepes Descen erindusi newon. Peneliian dilauan dengan memahami erlebih dahulu mengenai meode numeri Seepes Descen Newon emudian memformulasian meode baru disebu dengan meode Seepes Descen erindusi Newon. Dalam maalah ini juga aan diberian conoh perhiungan numeri unu eiga meode ersebu besera analisisnya. II. KAJIAN TEORI A. Definisi Ruang Veor Himpunan a osong V merupaan ruang veor apabila x, y, z V a, b R sedemiian hingga memenuhi asioma-asioma sebagai beriu: [] i. x y V ii. x y y x iii. x y z x y z iv. V V V v. x V x x vi. ax V a x y ax ay vii. viii. a b x ax bx Jurnal Pendidian Maemaia STKIP Garu ix. ab x abx x. x x B. Definisi Norm Diberian Ysembanrang, dua buah veor. Sembarang bilangan riil dinamaan norm dari apabila memenuhi asioma-asioma sebagai beriu: i. ii. a iii. a a, a R iv. Y Y C. Definisi Kombinasi Linear [] Misalan i, i m veor-veor di V maa disebu ombinasi linear dari veor-veor i jia m ai i D. Definisi Bebas Linear [] Veor i, i m anggoa-anggoa V disebu a bebas linear jia hanya jia erhadap bilangan-bilangan riil a semuanya nol sedemiian hingga m i a i i. Apabila pembua nol hanya a, maa veor-veor ersebu i diaaan bebas linear. E. Definisi Hubungan Veor [] Diberian dua buah veor Y, { x, x,..., x n dengan Y y y y n i {,,...,. Pernyaaan beriu adalah benar 88 Jurnal Mosharafa, Volume 5 Nomor Sepember 6 p-issn: 86-8, e-issn: 5-88
Uomo, R. B. i. Y jia hanya jia xi yi ii. i, i,,..., n Y jia hanya jia xi yi i, i,,..., n iii. Y jia hanya jia xi yi i, i,,..., n F. Definisi Bola Terbua [] Diberian sera. Himpunan ( ) * + merupaan perseiaran dari x aau disebu bola erbua dengan pusa x radius. G. Definisi Tii Dalam [] Tii disebu ii dalam (inerior poin) dari himpunan jia sehingga B x,. H. Definisi Tii Baas [] Tii disebu ii baas (boundary poin) dari himpunan jia seiap seiar dari x memua beberapa ii berada di beberapa ii ida berada di. I. Definisi Komplemen [] Jia, maa himpunan memua semua ii-ii ada di namun ida dari disebu omplemen dari. J. Definisi Himpunan Teruup [5] Himpunan disebu himpunan erbua jia seiap ii dari merupaan ii inerior dari. Lebih lanju himpunan Y Jurnal Pendidian Maemaia STKIP Garu merupaan himpunan eruup jia omplemen dari himpunan erbua. K. Definisi Terbaas Ke Aas [5] Himpunan S diaaan erbaas e bawah jia dengan semua omponennya berhingga sedemiian sehingga x S, y x, sebalinya S diaaan erbaas e aas. L. Definisi Benu Kuadrai [5] F( ) c x c x... c x c x x nn n c x x... c x x..., dengan c ij R, i, j n disebu fungsi benu uadrai dengan n variabel x, x,..., x n M. Definisi Kondisi Kuadrai [6] Benu uadrai A disebu posiif (negaif) defini jia A ( ) unu semua erdapa seurangnya sau veor a nol sedemiian hingga A. Apabila ida memenuhi eduanya, maa benu uadrai ersebu diaaan indefinie. N. Definisi Minimum Global [6] Fungsi Fx ( ) diaaan memilii minimum global di x dalam S jia f ( x) f ( x ). O. Definisi Minimum Loal [6] Fungsi Fx ( ) diaaan memilii minimum loal (relaif) di x dalam S jia erdapa seiar dari x Jurnal Mosharafa, Volume 5 Nomor Sepember 6 89 p-issn: 86-8, e-issn: 5-88
Uomo, R. B. f ( x) f ( x ) sedemiian hingga seiap x di dalam perseiaran ersebu. unu P. Definisi Dere Taylor [] Dere Taylor unu fungsi F( ) { x, x,..., x n dengan sebagai didefinisian ' ( ) F( x) F( ) F( ) H( )( x) dengan merupaan suu berderaja besar, H( ) mari Hessian didefinisian sebagai F F F x x x x xn F F F H xx x xxn..... F F F xnx xnx x n Syara perlu agar merupaan ii esrim dari fungsi F( adalah ) F( ) dengan F( ) didefinisian sebagai F F F F( ),,..., x x xn Q. Algorima Sepes Descen [] Diberian Z F F x x x n fungsi ( ) (,,., ) aan { x, x,., x n dienuan nilai meminimalan fungsi F( ) ersebu. i. Ambil n { x, x,., xn R sembarang ii awal ò suau onsana posiif menyaaan besarnya esalahan eror dioleransi. Jurnal Pendidian Maemaia STKIP Garu Z Z Z,,, x x xn gradien fungsi Z saa, emudian ii. Dibenu Z enuan unu Z sera lauan unu Z iii. Jia Z, maa ierasi berheni, sebalinya ierasi dilanjuan iv. Cari dengan cara mencari ii Z d yani dengan esrim cara menderivaifan fungsi Z d menyama- denganan nol dengan arah pencarian d Z v. Nilai dienuan dengan d R. Algorima Newon [] Tahapan-ahapan dalam meode Newon analog dengan Sepes Descen, yani diberian fungsi Z F F x x x n ( ) (,,., ) aan { x, x,., x n dienuan nilai meminimalan fungsi F( ) ersebu. Lauan langah i sampai iii dalam Sepes Descen, namun Nilai adalah H Z dengan H merupaan invers meri Hessian eia. Lebih lanju ierasi berheni eia Z. III. PEMBAHASAN Berdasaran algorima Sepes Descen Newon, aan diembangan suau 9 Jurnal Mosharafa, Volume 5 Nomor Sepember 6 p-issn: 86-8, e-issn: 5-88
Uomo, R. B. Jurnal Pendidian Maemaia STKIP Garu meode baru disebu Meode Sepes Descen erindusi Newon. A. Algorima Sepes Descen Terindusi Newon Diberian fungsi aan Z F F x x x n ( ) (,,., ) { x, x,., x n dienuan meminimalan fungsi F( ) ersebu. i. Ambil n { x, x,., xn R ii sembarang ii awal ò suau onsana posiif menyaaan besarnya esalahan eror diolerasnsi. Z Z Z Z,,, x x xn Tenuan unu Z sera Z ii. Dibenu iii. Jia Z, maa ierasi berheni, sebalinya ierasi dilanjuan. iv. Cari dengan cara mencari ii Z d yani esrim fungsi dengan cara menderivaifan fungsi Z d menyama- denganan nol dengan arah pencarian d H Z B. Conoh Numeri Tenuan nilai { x, x meminimalan Z( x, x ) x x x x dengan menggunaan meode Sepes Descen Newon dengan oleransi esalahan ò. C. Solusi dengan Sepes Descen Ambil sebarang i awal {, R. Berdasaran masalah opimisasi di aas dapa dienuan Z,. Karena norm Jurnal Mosharafa, Volume 5 Nomor Sepember 6 9 p-issn: 86-8, e-issn: 5-88 Z maa ierasi dilanjuan. Arah pencarian d Z, berdasaran hal ersebu dapa diperoleh. Apabila dicari, maa diperoleh nilai, Z, Z dengan. Ierasi berheni sehingga nilai x, x meminimalan masalah opimisasi di aas adalah,. Karena Z hal ini mengindiasian bahwa solusi numeri ini sama dengan solusi analiinya. D. Solusi dengan Newon Ambil sebarang i awal {, R. Berdasaran masalah opimisasi di aas dapa dienuan. Karena norm Z, Z maa ierasi dilanjuan.dibenu maris Hessian H. Berdasaran hal ersebu H H. Berdasaran hal diaas aan diperoleh Z H. Dengan, cara sama dapa dicari {, dengan nilai gradien Z, Z.Ierasi berheni sehingga
Uomo, R. B. Jurnal Pendidian Maemaia STKIP Garu nilai x, x meminimalan masalah opimisasi di aas adalah,. Dari solusi diperoleh melalui Sepes Descen Newon dengan pengambilan ii awal sama aan menghasilan solusi numeri ideni dengan solusi analii. E. Solusi dengan Sepes Descen Terindusi Newon Ambil sebarang ii awal {, R. Berdasaran masalah opimisasi di aas dapa dienuan.karena nilai norm Z, Z maa ierasi dilanjuan. Arah d H Z, dengan demiian diperoleh pencarian 5 9. Berdasaran hal ersebu diperoleh, Z,..dengan Karena Z, maa ierasi dilanjuan. Dengan analog diperoleh H H dengan H Z,. Berdasaran hal ersebu diperoleh, dengan gradien norm Z Z, Karena Z., maa ierasi berheni sehingga solusi nilai x, x 9 Jurnal Mosharafa, Volume 5 Nomor Sepember 6 p-issn: 86-8, e-issn: 5-88 meminimalan masalah opimisasi di aas adalah,. Berrdasaran hal di aas pula, maa solusi numeri dalam solusi ini idenic dengan solusi analiinya. F. Conoh Numeri Pang embali conoh numeri. Apabila diambil nilai {, R,penyelesaian aan dilauan dengan iga meode. G. Penyelesian dengan Sepes Descen Berdasaran hal ersebu diperoleh dengan nilai norm Z, Z 5. Karena norm masih lebih besar dari, maa ierasi dilanjuan. Arah pencarian d Z, berdasaran hal 5 ersebu dapa diperoleh. Apabila 98 dicari, maa aan diperoleh 6, dengan nilai gradien 99 99 Z.,.9 nilai norm Z.98, maa berdasaran hal ersebu ierasi dilanjuan. Dengan cara analog, maa aan diperoleh nilai d Z.,.9 berdasaran hal ersebu dapa diperoleh.9. Lebih lanju dengan caa sama diperoleh nilai.,.5 dengan gradien Z.,.8
Uomo, R. B. nilai norm Z.. Proses dilanjuan diperoleh d Z.,.8 sera nilai.5. Berdasaran hal ersebu diperoleh, dengan nilai gradien Z Z,. Berdasaran hal ersebu ierasi berheni solusi numerinya juga merupaan solusi analii. H. Penyelesian dengan Newon Diambil {, R Berdasaran hal ersebu diperoleh Z, dengan Z 5 ierasi dilanjuan. Lebih lanju dibenu mari Hessian H H. Berdasaran hal ersebu Z H, diperoleh nilai {, sehingga dengan nilai gradien Z, Z sehingga ierasi dilanjuan. Dengan langah sama diperoleh nilai Z H, sera dengan Z {, sehingga ierasi berheni. Berdasaran hal ersebu solusi numeri dengan Newon adalah {, sealigus merupaan solusi analii. Jurnal Pendidian Maemaia STKIP Garu I. Penyelesian dengan Sepes Descen Terindusi Newon Diambil {, R Berdasaran hal ersebu diperoleh Z, dengan Z 5. Berdasaran hal ersebu ierasi dilanjuan dengan langah analog diperoleh 5 nilai.6,.6 dengan nilai gradien Z.55,.9 nilai norm Z.99. Lebih lanju diperoleh nilai.96 dengan nilai norm Z.6,.5.55. Kemudian diperoleh dengan Z {, sehingga ierasi sop. Solusi numeri dengan meode ini ideni dengan solusi analii. IV. PENUTUP Dari peneliian elah dilauan, erdapa beberapa hal dapa disimpulan:. Dalam suau masalah opimisasi dua variabel anpa enda dengan nilai awal erenu, solusi numeri Sepes Descen aan menghasilan solusi sama dengan Newon, dalam langah ierasi sama. Dalam hal erenu pula solusi numeri ini ideni dengan solusi analii pada masalah opimisasi dibahas dalam maalah ini. Jurnal Mosharafa, Volume 5 Nomor Sepember 6 9 p-issn: 86-8, e-issn: 5-88
Uomo, R. B.. Dalam nilai awal erenu dalam suau masalah opimisasi, solusi numeri dihasilan oleh meode Sepes Descen erindusi Newon aan menghasilan nilai sama dengan solusi dihasilan oleh edua meode di aas mesipun memerluan ierasi lebih panjang. Hal ini diarenaan nilai pada meode Sepes Descen diindusi dengan d H Z. Adaalanya meode Sepes Descen lebih bai dari Newon hal ini dapa diliha pada conoh edua yani dengan soal sama seperi conoh sau, namun ii awal berbeda.. Dari conoh dua, meode Sepes Descen erindusi membuuhan ierasi lebih panjang dari dua meode sebelumnya. Hal ini diarenaan aya indusi dari Newon epada Sepes Descen unu mengganian arah pencarian d pada Sepes Descen d Jurnal Pendidian Maemaia STKIP Garu [] Howard Anon, Aljabar Linier, Penerjemah Panur Silaban, Jaara: Erlangga, 99. [] Edwin K. P. Chong, An Inroducion o Opimizaion, USA: John Wiley & Sons, Inc.. [5] S. Bazaraa. Mochar, Nonlinear Programming Theory and Algorihms, London: Willey Inerscience, 6. [6] Yoshiazu Sawaragi, Theory of muliobjecive opimizaion, London: Academic Press Inc. 985. [] Rumono Budi Uomo, (6, Mei), Maeri Ajar Meode Numeri FKIP UMT, hp://www.fip.um.ac.id/download s. RIWAYAT HIDUP PENULIS Rumono Budi Uomo, M.Sc. Lahir di Tangerang 6 Sepember 99. Penulis merupaan alumnus S Maemaia Undip (), S Maemaia UGM (5) searang selain beerja sebagai Dosen di Prodi Pendidian Maemaia UMT, Penulis juga mahasiswa program Dooral Maemaia ITB.Nama Penulis dilengapi dengan gelar. UCAPAN TERIMA KASIH Ucapan erima penulis sampaian epada Universias Muhammadiyah Tangerang aas segala duungan sehingga paper ini dapa erselesaian. DAFTAR PUSTAKA [] Rinaldi Munir, Meode numeric, Bandung: Informaia, 8. [] Salmah. Dia Opimisasi. Yogyaarya: FMIPA UGM,. 9 Jurnal Mosharafa, Volume 5 Nomor Sepember 6 p-issn: 86-8, e-issn: 5-88