Analisis Gerak Osilator Harmonik Dengan Gaya pemaksa Bebas Menggunakan Metode Elemen Hingga Dewi Sartika junaid 1,*, Tasrief Surungan 1, Eko Juarlin 1

Transkripsi

1 Analisis Gerak Osilaor Harmonik Dengan Gaya pemaksa Bebas Menggunakan Meode Elemen Hingga Dewi Sarika junaid 1,*, Tasrief Surungan 1, Eko Juarlin 1 1 Jurusan Fisika FMIPA Universias Hasanuddin, Makassar 9245, Indonesia Absrak. Karakerisik gerak osilaor harmonik dapa dipahami melalui analisis persamaan diferensial yang menyajikannya, yang secara umum diselesaikan menuru hasil analiik. Namun demikian unuk menyelesaikan persamaan diferensial gerak osilaor harmonik dengan gaya pemaksa bebas idaklah mudah. Salah sau cara yang dapa digunakan unuk mengaasi masalah ini adalah dengan menggunakan analisis numerik misalnya menggunakan Meode elemen hingga. Dalam peneliian ini, kode numerik disusun menggunakan pake aplikasi Malab, sehingga gerak osilaor harmonik dengan gaya pemaksa bebas lebih mudah dipahami karakerisiknya. Dengan pake aplikasi Malab pengaruh perubahan nilai konsana redaman dan gaya eksernal dapa dengan mudah divisualisasikan dalam benuk grafik. Hasil numerik yang diperoleh menunjukkan kesesuaian dengan hasil analiik. Kaa kunci : gaya eksernal, gerak osilaor harmonik, konsana redaman, Meode elemen hingga. Absrac. Harmonic oscillaor characerisic can be undersood hrough he analysis of differenial equaions ha se before, which is generally solved by analyic mehods. Neverheless differenial equaions of he harmonic oscillaor under he influence of an arbirary ime-dependen exernal force is no easy. One way ha can be used o overcome his problem is by using numerical analysis, i.e., analysis using finie elemen mehod. In his research, he numeric code execued in Malab, so he damped harmonic oscillaor under he influence of an arbirary ime-dependen exernal force is easier o undersand. Wih he applicaion package Malab effecs of changes in damping consans and exernal force can be visualized in he form of graphs wih ease. The obained resuls are in a good agreemen wih analyical resuls. Keywords : exernal force, moion harmonic oscillaor, he damping consan, he finie elemen mehod. PENDAHULUAN Perkembangan ilmu pengeahuan dan eknologi, menjadikan hampir semua fenomena fisis dapa disimulasikan melalui kompuer. Simulasi kompuer dibua unuk memudahkan manusia mempelajari, mengamai, dan meramalkan fenomena fisis yang mungkin erjadi. Pada prinsipnya simulasi dapa dilakukan dengan berbagai cara, misalnya dengan gambar, grafik, derean angkaangka, aau visualisasi menggunakan kompuer. Salah sau masalah fisis yang dapa disimulasikan dengan kompuer adalah osilaor harmonis. Osilaor harmonik merupakan salah sau masalah pening yang dapa diselidiki dalam fisika. Masalah ini ada dalam mekanika klasik sera dalam kuanum. Solusi umum Osilaor harmonik dengan gaya eksernal berganung waku dapa diperoleh melalui memperimbangkan gaya eksernal ersebu. Pemberian gaya eksernal pada osilaor harmonik akan menimbulkan fenomena resonansi. Menyelesaikan solusi eksak persamaan Osilaor harmonik yang umumnya menggunakan persamaan diferensial idaklah mudah. Keidakmampuan mendapakan solusi eksak dapa dihubungkan pada permasalahan kompleks geomeri dalam persamaan diferensial eraur aau kesulian yang imbul pada masalah nilai baas. Unuk mengaasi masalah ersebu, diambil langkah pendekaan numerik. Salah sau meode numerik yang dapa digunakan adalah Meode Elemen Hingga (MEH) dengan eknik pendekaan residu erbobo (Galerkin dan Leas Square). Dalam penyelesaiannya, MEH memerlukan perhiungan yang sanga banyak dan berulang dari persamaan yang sama, sehingga memerlukan sarana pake aplikasi kompuer yaiu Malab.

2 LANDASAN TEORI 1. Osilaor Harmonik Seiap gerak yang erjadi secara berulang dalam selang waku yang sama disebu gerak periodik. Benuk sederhana dari gerak periodik adalah benda yang berosilasi pada ujung pegas. Osilaor harmonik adalah sebuah masssa yang dihubungkan dengan pegas dimana salah sau ujungnya erika dan ujung lainnya bebas bergerak bersama massa [1]. Keika gaya disipaif seperi gesekan dan hambaan udara diabaikan, gaya oal akan berbanding langsung dengan simpangan massa erhadap posisi keseimbangannya dengan arah yang berlawanan. (1) Dimana [2] Pada kasus sisem yang berosilasi sederhana, sisem akan berosilasi selamanya. Teapi pada sisem eredam, sisem akan berheni berosilasi. Sisem mengalami redaman oleh adanya gesekan udara yang mengakibakan berkurangnya ampliudo gerak pada sisem osilaor. Adanya redaman membua energi mekanik erdisipasi sehingga oal gaya yang bekerja pada massa dalam sisem eredam adalah, [3] Apabila kedua ruas persamaan dibagi dengan m akan diperoleh Dengan adalah koefisien redaman. [4] (2) (3) (4) Gerak harmonik eredam erbagi dalam iga kelompok yakni, 1. Redaman kriis (criical damped) erjadi jika. Pada keadaan ini, sisem idak akan berosilasi lagi, eapi akan kembali pada posisi keseimbangan anpa berosilasi keika diberi simpangan kemudian dilepaskan. 2. Redaman kurang (under damped) erjadi jika. Pada kondisi ini sisem akan berosilasi namun dengan ampliudo yang akan semakin berkurang dengan berambahnya waku. 3. Redaman lebih (over damped) erjadi jika. Pada keadaan ini sisem idak akan berosilasi lagi, namun sisem akan kembali pada posisi keseimbangan lebih lamba jika dibandingkan dalam kasus eredam kriis. [5] Benuk osilasi erakhir yang muncul dalam masalah prakis adalah osilaor harmonik erkendali aau osilasi paksaan, yaiu keika osilaor dikendalikan oleh gaya eksernal yang berganung waku. Unuk memperahankan osilasi suau sisem osilaor, energi berasal dari sumber luar harus diberikan pada sisem yang besarnya sama dengan energi disipasi yang diimbulkan oleh medium peredamnya. [6] Dengan d/d, persamaan (5) dapa diuliskan menjadi, Dengan akar-akar sebagai beriku, Solusi persamaan analiik persamaan (5) dapa diuliskan seperi beriku, (5) (6) (7) (8) [ { } ]. [1] (9)

3 Pemecahan solusi persamaan osilaor harmonik yang mengandung formulasi maemais kompleks sanga rumi unuk mendapakan solusi eksaknya, sehingga digunakan penyelesaian numerik salah saunya yaiu Meode eleman hingga (MEH). 1. Meode Elemen Hingga Meode elemen hingga merupakan meode numerik yang berujuan memperoleh pendekaan dari suau persamaan diferensial parsial dan persamaan inegral yang dihasilkan dari hasil diskriisasi benda koninum sehubungan dengan, (1) Meode Elemen hingga memiliki beberapa meode pendekaan dan dua dianaranya adalah meode Leas square dan Galerkin. Cara kerja kedua meode pendekaan ini hampir sama. Perbedaanya erleak dalam mencari bera sisa W i. [7] (11) (12) Persamaan (11) merupakan bera sisa unuk meode Leas square dan persamaan (12) merupakan bera sisa meode Galerkin. [8] METODOLOGI PENELITIAN Dalam peneliian ini dilakukan analisis persamaan gerak osilaor harmonik dengan adanya gaya pemaksa bebas yang bersesuaian dengan persamaan (5) dengan menggunakan Meode Elemen Hingga pada perangka lunak Malab. Langkah perama yang dilakukan yakni menginpu semua parameer yang erdapa pada persamaan (5). Langkah kedua menenukan fungsi coba yang diberi simbol u. langkah keiga menenukan fungsi Residual (R). Langkah keempa menenukan bera sisa W i menggunakan persamaan (11) unuk meode Leas square dan (12) unuk meode pendekaan Galerkin. Berikunya melakukan inegrasi dengan menggunakan persamaan(1), kemudian melakukan analisis hasil dengan membandingkan hasil analiik dan numerik yang didapakan dari hasil plo(,u). HASIL DAN PEMBAHASAN Keakuraan dari solusi pendekaan berganung pada pemilihan fungsi cobanya (u). unuk mendapakan fungsi coba yang epa erdapa syara-sayara yang harus dipenuhi yakni, 1. Turunan eringgi fungsi coba idak boleh bernilai. Dalam peneliian ini berari. 2. Syara awal memenuhi aau Dari persyaraan fungsi coba di aas, didapakan benuk umum fungsi coba yaiu: a. Jika sisem berupa osilaor harmonik sederhana maka fungsi cobanya adalah, (13a) b. Jika sisem berupa osilaor harmonik eredam maka fungsi cobanya adalah, (13b) c. Jika sisem berupa oasilaor harmonik yang memiliki gaya eksernal maka fungsi cobanya adalah, (13c) Dalam peneliian ini dienukan nilai C erbaik lalu nilai a dihiung secara MEH. Nilai C dan D didapakan dengan memanfaakan Curve Fiing pada Malab 28A. Keberadaan suku sinusoidal dan suku eksponensial berganung pada kurva osilasi harmonik eoriik. Unuk menghiung kesalahan

4 simpangan x() simpangan x() simpangan x() pada hasil numerik erhadap analiik digunakan nilai raa-raa dari analiik dan numeriknya. Grafik MEH dan analiik diplo menggunakan Malab dan nilai raa-raa dicari sehubungan dengan, (14) Dimana. (15) Dari hasil analisis menunjukkan bahwa hasil MEH yang didapakan mendekai hasil analiiknya. Hal ersebu dapa diliha pada gambar Grafik Analiik dan MEH Dengan b= Dan F()= b= A b= LS b= G (a) Grafik Analiik dan MEH Dengan b= Dan F()= b=.1 A b=.1 LS b=.1 G (b) Grafik Analiik dan MEH Dengan b=.7 Dan F()= b=.7 A b=.7 LS b=.7 G (c) Gambar 1. Gabungan grafik hubungan simpangan erhadap waku analiik dengan F()= menggunakan MEH unuk masing-masing (a) redaman (b) redaman.1 (c) redaman.7.

5 simpangan x() Grafik Analiik dan MEH Dengan b= Dan F()=2*sin(w) A LS G Gambar 2. Gabungan grafik Analiik dan MEH hubungan simpangan erhadap waku unuk b= dan F()=F sin(ω) Pada gambar 1 erliha hasil analisis MEH unuk meode Galerkin dan Leas square hampir sama dengan analiiknya dengan nilai raa-raa yang didapakan.1275 unuk gambar (a) dan.96 unuk gambar (b) sehubungan dengan persamaan (14). Hasil menunjukkan bahwa ampliudo gerak harmonik dengan redaman idaklah eap, akan eapi ampliudo geraknya menurun sebagai fungsi waku. Gambar 2 menunjukkan hasil analisis MEH dan analiik memiliki pola gejala resonansi yang sama. Hasil analiik diunjukkan oleh garis hiam, hasil Leas square diunjukkan oleh garis berwarna magena, dan hasil Galerkin diunjukkan oleh garis berwarna hijau. Pada gambar 2 dapa erliha pemberian gaya pemaksa sebesar F sin(ω) pada osilaor yang bergerak secara harmonis anpa adanya redaman menyebabkan ampliudo semakin besar dengan nilai raa-raa MEH erhadap hasil analiiknya adalah Fenomena ini dikenal dengan gerak osilaor harmonis erpaksa aau resonansi. Gejala resonansi erjadi jika sisem osilaor harmonik diberikan gaya luar. KESIMPULAN Berdasarkan hasil peneliian yang elah dilakukan dapa disimpulkan bahwa Meode elemen hingga dapa digunakan unuk menyelesaikan persamaan gerak osilaor harmonic dengan pemaksa bebas. Hasil analisis menunjukkan bahwa semakin besar redaman yang diberikan pada suau sisem osilaor harmonik semakin kecil pula ampliude geraknya, dan jika diberikan gaya pemaksa idak sama dengan maka akan menimbulkan gejala resonansi. REFERENSI -2 [1] G. Flores-Hidalgo, F.A. Barone. The One Dimensional Damped Forced Harmonic Oscillaor Revisied. hp://arxiv.org/pdf/ pdf. Diakses 15 Okober 212. [2] Moavenne.S Finie Elemen Analysis (Theory and Applicaion Wih ANSYS). Prenice Hall. Inc: New Jersey. [3] Drs. Purbo Suwarsono,M.Si. Osilasi. Diakses 15 November 212. [4] Aam P.A Inroducion o Classical Mechanics (Firs Ediion). Prenice Hall. Inc: New Jersey. [5] Ahmad Fauzi. Analisis Gerak Harmonik Teredam (Damped Harmonic Moion) Dengan Spreadshee EXCEL. hp:// Diakses anggal 15 November 212. [6] P. Tri Kunoro, Bambang Murdaka E.J. 29. Fisika Dasar unuk Mahasiswa Ilmu Kompuer dan Informaika. ANDI Yogyakara: Yogyakara.

6 [7] Uaja. Meode Elemen Hingga Unuk Menyelesaikan Persamaan Difusi Neuron Sau Dimensi Dua Grup. hp:// digilib.baan.go.id/e-prosiding/lksn_28/arikel/a4-uaja.pdf. Diakses 16 November 212. [8] Young W.Kwon dan Hyochoong Bang The Finie Elemen Mehod Using MATLAB. CRC Press: New York.