PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL DIFUSI NON HOMOGEN SATU DIMENSI

Transkripsi

1 ISSN: Vol. V, No. II, April 6 ERSAMAAN DIFFERENSIAL ARSIAL DIFUSI NON HOMOGEN SATU DIMENSI Rukmono Budi Uomo endidikan Maemaika FKI UMT [email protected] Absrak Dalam peneliian kali ini, akan diuraikan eori ersamaan Differensial arsial (D) Difusi non homogen sau dimensi. eneliian akan dilakukan dengan mengulas erlebih dahulu sediki eori enang D Difusi homogen sau dimensi besera solusinya, kemudian menguraikan eori D Difusi non homogen besera solusinya. D Difusi non homogen sau dmensi dikembangkan berdasarkan eori D Difusi homogen sau dimensi yakni dengan mencari solusi parikulirnya. Dalam pencarian solusi parikulir, akan dilibakan berbagai auran yang erkai seperi auran Leibniz dan fungsi Dirac Dela. Kaa kunci: D Difusi non hmomogen, Auran Leibniz, Fungsi Dirac Dela endahuluan ersamaan Differensial arsial (D) Difusi menjelaskan persebaran panas pada posisi aau U,. Berdasarkan hal ersebu, misalkan sebuah pipa lurus berbenuk abung berisikan cairan ak bergerak yang mengandung za kimia aau poluan dan menyebar melewai cairan ersebu. Dalam hal ini ingin diselidiki konsenrasi poluan pada posisi saa saa. Dalam hal lain yang serupa misalnya sebaang logam dipanasi pada salah sau bagian ujungnya, akan diselelidiki persebaran panas ersebu disepanjang baang logam ersebu. Kedua conoh di aas merupakan gambaran aau ilusrasi dari D Difusi. D Difusi berdasarkan sifa kehomogenannya dibagi aas dua, yakni D Difusi homogen dan D Difusi non homogen. Berdasarkan syara baasnya, D Difusi juga dibagi aas dua, yakni D Difusi dengan syara baas Dirichlec yang berkorespondensi dengan perluasan fungsi ganjil dan D Difusi dengan syara baas Neumaan yang berkorespondensi dengan peluasan fungsi genap. D Difusi homogen memberi ari bahwa sisem diasumsikan homogen aau anpa adanya gangguan dari luar yang memperngaruhi sisem ersebu, sedangkan D anas non homogen memberi ari bahwa sisem memperhaikan adanya gangguan dari luar erhadap sisem ersebu. Gangguan pada sisem unuk D Difusi non homegen dapa berupa penambahan aau pengurangan suhu aau empraur. Gangguan sisem yang berupa penambahan suhu disebu Source, seangkan gangguan yang berupa penambahan suhu disebu Sink. Halaman

2 ISSN: Vol. V, No. II, April 6 D Difusi non homogen dikembangkan berdasarkan eori D difusi homogen, yakni dengan mencari solusi parikulirnya. Berdasarkan hal ersebu, dalam ulisan ini, unuk membahas eori D Difusinon homogeny bersera pencarian solusinya, akan dijelaskan erlebih dahulu mengenai D Difusi homogen. Dengan demikian diharapkan alur penjabaran eori D Difusi non homogeny besera solusinya dapa ersrukur dan runu. D Difusi Homogen pada selang Halaman Tinjauan Teoriis, diawali dengan memperhaika fenomena sebuah cairan ak bergerak yang mengisi sebuah pipa aau abung lurus. Berdasarkan hal ersebu akan diselidiki konsenrasi za kimia yang menyebar melewai cairan ersebu pada posisi Konsenrasi poluan pada posisi saa pari D Difusi. Unuk mencari solusi dinoasikan dengan U, U, saa. yang merupakan solusi enu saja perama kali harus dicari erlebih dahulu mengenai ersamaan Difusi yang dimaksud. Massa dari suau poluan saa didefinisikan dengan Kemudian apabila persamaan diperoleh benuk sebagai beriku, M U d ersebu diurunkan erhadap variabel waku maka akan dm d U, d ersamaan merepresenasikan perubahan konsenrasi za iap sauan waku. Hukum Fick menyaakan bahwa laju poluan yang masuk (fluks) sebanding dengan negaif gradien konsenrasi. Dalam maemaik, Hukum Fick ini dapa diuliskan sebagai dm d ku, ku, 3 Dengan memandang benuk persamaan dan3,akan diperoleh persamaan sebagai beriku,,, U d ku ku,, k U U ku, d 4

3 ISSN: Vol. V, No. II, April 6 4 ersamaan merupakan D Difusi homogen yang dapa diuliskan kembali sebagai U ku U ku Lebih lanju akan dicari solusi D Difusi pada Inerval, ersebu. Benuk umum persamaan Difusi dalam inerval, dinyaakan sebagai Benuk U, inerval dicari solusi U ku,,, U pada persamaan yang merepresenasikan solusi U, 5 pada persamaan Sebelum dilakukan pencarian solusi sifa invarian dengan 5 U,, kelima sifa ersebu anara lain: 5. U, 4 5 merupakan syara awal unuk D Difusi pada U, saa. Apabila U, merupakan solusi persamaan solusi bagi persamaan ersebu.. Turunan-urunan dari fungsi, 3. Berdasarkan sifa invarian nomer, jika bernilai 5. Lebih lanju, akan pada persamaan,dikenalkan erlebih dahulu 5 merupakan solusi persamaan yang diunjukkan pada persamaan 5 U seperi U, U dan U dan, maka U y, U juga merupakan juga merupakan solusi. U merupakan solusi persamaan maka juga berlaku sifa superposisi yakni U Ujuga merupakan solusi D ersebu 4. Inegral dari suau benuk solusi D Difusi juga merupakan solusi dan 5. Benuk U, a a juga merupakan solusi yang disebu sifa dilaasi. Dalam sifa invarian di aas, apabila S, adalah solusi D Difusi, maka berdasarkan sifa invarian nomer, S y, juga solusi D ersebu. Lebih lanju dibenuk fungsi,, U S y y dy Berdasarkan persamaan 6, dapa diemukan nilai U dan U S y y dy 6,, 7 U sebagai beriku : 5, Halaman 3

4 ISSN: Vol. V, No. II, April 6 U, S y, ydy Dilain pihak, misalkan diberikan suau fungsi syara awal Misalkan dibenuk Q, G Karena Q kq Q, dengan Q,,, 4k 4 ' '' Q kq G G, maka persamaan 8 yang memenuhi persamaan difusi dengan 9. Berdasarkan hal ersebu dapa diuliskan kembali sebagai beriku 4 ' '' '' ' G G G G dan merupakan ersamaan Differensial Biasa homogen orde. Dari persamaan umumq, adalah, solusi 4k Q, C e dp C Dengan memandang syara awal pada persamaan 9, maka akan dienukan solusi khusus dari D Difusi pada inerval. Berdasarkan syara awal yang diberikan dapa diperlihakan bahwa. Jika, maka nilai Q,, dengan demikian diperoleh persamaan. Jika 3 C e dp C C C, maka nilai Q,, dengan demikian diperoleh persamaan Dari persamaan 3 dan 4 C e dp C C C 4 diperoleh nilai C danc dan. Berdasarkan hal ersebu, solusi khusus D anas pada inerval adalah Halaman 4

5 ISSN: Vol. V, No. II, April 6 Lebih lanju didefinisikan S, Dengan meliha persamaan berdasarkan persamaan 6 4k Q, e dp Q, 5, maka berdasarkan hal ersebu diperoleh 4k S, e, 4 k 6 adalah 6, maka solusi penyelesaian D Difusi pada inerval y 4k U, e ydy 4 k 7 Meode eneliian Meode yang dilakukan dalam penelian ini adalah sudi pusaka aau kajian eoriis. enjabaran eori D Difusi non homogen sau dimensi dilakukan dengan mengembangkan eori dari D Difusi homogen sau dimensi. Teori D Difusi non homogen sau dimensi diadopsi dari ulisan Rukmono Budi Uomo yang dimua pada Jurnal Silogisme Universias Muhammadiyah onorogo (UMO) erbian bulan okober ahun 6 volume dengan judul ersamaan Differensial arsial Difusi Homogen ada Selang, dengan Kondisi Baas Dirichle dan Neumann. Jurnal Silogisme UMO ini dapa diunduh pada laman Lebih lanju berdasarkan jurnal ersebu dikembangkan eori D Difusi non homogen meski anpa kondisi Dirichle aaupun Neumann. Sumber lain yang digunakan dalam penulisan ini juga berupa buku anara lain buku D dari Deparemen FMIA ITB, dan buku arial Differenial Equaion karya Srauss. Hasil dan embahasan Berdasarkan eori D Difusi homogen pada selang, dalam injauan eoriis di aas, dapa dikembangkan D Difusi non homogeny dengan benuk umum sebagai beriku dengan syara awal U,,,, 8 U ku f Halaman 5

6 ISSN: Vol. V, No. II, April 6 Ide aau gagasan unuk menenukan solusi D Difusi non homogen ini diadopsi dari solusi ersamaan Differensial Biasa (DB) non homogen, yakni missal diberikan DB orde sau non homegen sebagai beriku y Ay h Solusi DB orde sau pada persamaan y 9 9 diselesaikan dengan meode fakor penginegralan yakni e Ad e A, maka berdasarkan hal ersebu diperoleh solusi sebagai beriku A As A y e e h s ds ce Dengan memandang syara awalu,, maka solusi sebagai beriku dapa diuliskan kembali A A( s) y e e h s ds A Dengan e A( s) merupakan bagian dari solusi homogen dan e bagian dari solusi parikulir. Lebih lanju definisikan A solusi y Halaman 6 pada persamaan S dapa diuliskan kembali sebagai beriku A y S e S s h s ds e h s ds merupakan, berdasarkan hal ersebu U S y y dy, Inga solusi fundamenal dari D Difusi homogen yakni,, maka dugaan awal solusi D Difusi non homogen sesuai dengan persamaan 8 dengan kondisi awal U, adalah sebagai beriku,,,, U S y y dy S y s f y s dyds 3 Misalkan S y, ydy, maka berdasarkan hal ersebu persamaan 3 dapa diuliskan kembali sebagai beriku,, 4 U s f s ds

7 ISSN: Vol. V, No. II, April 6 erhaikan bahwa U, 4 pada persamaan ini masih merupakan dugaan aas solusi D Difusi non homogen. Berdasarkan hal ersebu unuk memasikan bahwa persamaan 4 U, pada benar-benar solusi dari D anas non homogeny ersebu, maka harus dibukikan bahwa bagian parikulir dari persamaan memenuhi benuk 4 U, k U, f, Unuk membukikan hal ini diperlukan auran Leibniz. erhaikan bahwa U s f, s ds s yakni,, U s f s ds s f, sds lim s f, s f, s s s f, sds lim s f, s 6 Dengan menginga bahwa,,, 6 dapa diuliskan kembali sebagai beriku s f s S y s f y s dy, maka persamaan 5 d d U S y, sf y, sdyds lim S y, sf y, sdy s S y, sf y, sdyds lim S y, f y, sdy 7 Lebih lanju karena, S y y dy merupakan solusi homogen dari D Difusi non homogen, maka dari persamaan 7 dapa diperoleh S y, ydy k S y, ydy Aau dapa diuliskan kembali sebagai Susbiusikan persamaan S y k S y,, 8 kedalam persamaan 8 7, sehingga diperoleh Halaman 7

8 ISSN: Vol. V, No. II, April 6 U,, lim,, k S y f y s dyds S y f y s dy 9 Dengan menginga fungsi Dirac Dela yakni yf ydy f 9 dapa diuliskan kembli sebagai beriku 3 ersamaan U k U f, k S y f y s dyds f f, k U,,, 3 dapa diuliskan kembali sebagai U k U f, 3, maka persamaan Yang membukikan kebenaran dugaan solusi parikulir D Difusi non homogen sesuai persamaan 8 adalah 5. Berdasarkan hal ersebu solusi D Difusi non homogen sesui persamaan,,,, U S y y dy S y s f y s dyds 3 4k Aau dengan menginga bahwa S, e, maka persamaan diuliskan kembai sebagai 4 k 3 di aas dapa y 4k 4ks 33 y U, e y dy e f y, s dyds 4 k 4 k s Simpulan dan Saran Kesimpulan yang dapa diulis dari peneliian ini dijelaskan sebagai beriku: Halaman 8

9 ISSN: Vol. V, No. II, April 6. D Difusi dapa dikaakan sebagai suau persamaan differensial parsial yang menjelaskan penyebaran konsenrasi za poluan pada suau cairan didalam pipa lurus. Solusi U, menjelaskan banyaknya konsenrasi poluasn pada posisi saa.. Benuk umum D Difusi homogen pada inerval, diunjukkan pada persamaan 5dengan solusinya U, diunjukkan pada persamaan 7 3. Benuk umum D Difusi non homogen pada inerval, diunjukkan pada 8 U persamaan dengan solusinya diunjukkan pada persamaan Lebih lanju saran yang diberikan kepada pembaca yang erarik menelii hal serupa, dapa penulis sampaikan sebagai beriku:,. erlu dikembangkan benuk umum D Difusi Non homogen pada inerval, dengan syara baas Dirichle yang berkorespondensi dengan perluasan fungsi ganjil besera solusim penyelesaiannya. erlu dikembangkan benuk umum D Difusi Non homogen pada inerval, dengan syara baas Neumann yang berkorespondensi dengan perluasan fungsi genap besera solusi penyelesaiannya 33 Dafar usaka Deparemen Maemaika ITB.. ersamaan Differensial arsial. Bandung: FMIA ITB inchover & Rubinsen. 5. An Inroducion o arial Differenial Equaions. London: Cambridge Universiy ress Srauss, A., Waler. 8. arial Differenial Equaions: an Inroducion. USA: John Wiley & Sons Uomo, Rukmono. Budi. (6) ersamaan Differensial arsial Difusi Homogen ada selang, Dengan Kondisi Baas Dirichle dan Neumann. Jurnal Silogisme UMO Okober 6 Volume nomer ISSN: Hp:// Halaman 9