BAB II PERTIDAKSAMAAN CHERNOFF

Transkripsi

1 BAB II PERTIDAKSAMAAN CHERNOFF.1 Pendahuluan Di lapangan, yang menjadi perhaian umumnya adalah besar peluang dari peubah acak pada beberapa nilai aau suau selang, misalkan P(a<<b) aau P (>b) aaupun P ( a). Jika fungsi peluang dari dikeahui dengan pasi, hal ini idak menjadi masalah. Bahkan unuk beberapa disribusi, seperi binomial, poisson, normal, dan χ sudah diabelkan. Teapi dalam prakek, yang sering erjadi fungsi peluang idak dikeahui dan informasi yang ada mengenai disribusi ini sanga erbaas. Misalkan yang dapa dikeahui hanya parameer raaan µ aau variansi σ. Unuk mengaasi ini, sering dipakai peridaksamaan Chebyshev, yaiu Var( ) σ P(( E[ ]) a ) aau P(( µ ) a ) (.1) a a Persamaan ini memberikan hampiran pada baas aas unuk peluang dari (-µ) idak kurang dari a, dengan a sembarang. Jika µ dan σ juga idak dikeahui, peridaksamaan ini masih bisa dipakai, dengan mensubsiusi µ dan σ masing-masing oleh raaam sampel dan variansi sampel S. n 1 Meskipun demikian, perlu dipelajari lebih dalam mengenai hampiran ini, baik erhadap hasil eksak aaupun erhadap peridaksamaan lainnya. Hal ini akan dipelajari di bawah ini, eapi sebelumnya akan dibahas peridaksamaan Markov, yang sering dianggap sebagai dasar dari peridaksamaan Chebyshev.. Peridaksamaan Markov Tidak dikeahui siapa yang perama kali mengemukakan peridaksamaan Markov ini. Akan eapi, di beberapa lieraur disebukan bahwa nama peridaksamaan ini diambil dari nama salah seorang maemaikawan Rusia bernama Andrey Markov. Dalam Ross, Inroducion o Probabiliy Models, hal 73, diuliskan 5

2 Definisi peridaksamaan Markov Unuk seiap 0 dengan a > 0 E[ ] P( a) (.) a Menginga unuk membukikan peridaksamaan (.) harus dilakukan pada peubah acak diskri dan koninu, maka buki peridaksamaan ini dapa dipelajari pada Lampiran A.1. Menginga pula definisi fungsi kehidupan (survival funcion) S(x), yaiu S(x) = 1- P( x ), Dapa dikaakan bahwa ernyaa peridaksamaan (.) di aas bisa membanu perhiungan fungsi kehidupan. Fungsi S(x) ini sanga bermanfaa jika peubah acak adalah usia dari makhluk hidup aau masa hidup barang elekronik. Dalam Tugas Akhir ini, fungsi kehidupan idak dibahas erlalu dalam. Selanjunya sebagai conoh aplikasi peridaksamaan Markov, andaikan dikeahui bahwa banyaknya barang yang diproduksi sebuah pabrik dalam 1 minggu mempunyai raaan 50. Maka peluang bahwa pada minggu ini produksi pabrik ersebu lebih dari 75 adalah sebagai beriku E [ ] µ 50 P ( > 75) = = = Seperi elah diuliskan di Bab I, di bawah ini akan dijelaskan penggunaan peridaksamaan Markov dari suau disribusi yang dikeahui fungsi peluangnya unuk membandingkan hampiran baas aas peridaksamaan Markov dengan nilai sebenarnya. Hasil ini akan menjadi masukan unuk mempelajari kelebihan dan kekurangan peridaksamaan Markov. Conoh.1 Misalkan ada 10 ibu hamil ua dengan kondisi yang hampir sama. Andaikan pula mereka belum ahu jenis kelamin dari masing-masing janinnya. Jika peubah acak menyaakan banyaknya anak perempuan yang akan lahir, maka ~ binomial (10, 1 ). Di bawah ini elah dihiung nilai P( a) unuk beberapa nilai a dan hasilnya sebagai beriku: 6

3 P ( a) eksak P ( a) sebenarnya dari Peridaksamaan Markov P ( 1) P ( ) P ( 3) P ( 4) P ( 5) P ( 6) P ( 7) P ( 8) P ( 9) Tabel 1 Hasil akhir P ( a) dari Peridaksamaan Markov Tabel perbandingan P ( a) eksak dan hampiran dari peridaksamaan Markov unuk disribusi binomial (10,1/) Tanpa menginga bahwa besar oal peluang idak lebih dari 1, maka peridaksamaan Markov memberikan nilai yang cukup memuaskan hanya unuk a = 4, 5. Unuk yang lainnya, hasil perhiungan jauh lebih besar, umumnya 1,5 kali nilai sebenarnya. Teapi, jika nilai baas aasnya lebih dari 1 dan digani oleh 1, maka nilai baas yang cukup memuaskan adalah unuk a = 1,..., 5. Conoh. Sebagai pendamping, di bawah ini dihiung hampiran Markov unuk peubah acak koninu. Misalkan suau perusahaan membua bola lampu yang umurnya mengikui disribusi normal µ = 5 (dalam puluhan jam) dan σ =10 (dalam rausan jam). P ( a) P ( a) sebenarnya dari Hasil akhir P ( a) eksak Peridaksamaan Markov P ( 1) P ( ) P ( 3) dari Peridaksamaan Markov 7

4 P ( a) eksak P ( a) sebenarnya dari Peridaksamaan Markov P ( 4) P ( 5) P ( 6) P ( 7) P ( 8) P ( 9) Tabel Hasil akhir P ( a) dari Peridaksamaan Markov Tabel perbandingan P ( a) eksak dan hampiran dari peridaksamaan Markov unuk disribusi normal (5,10) Unuk disribusi koninu normal pun, idak jauh berbeda dengan hasil di aas. Dari Tabel 1 dan Tabel dapa disimpulkan bahwa peridaksamaan Markov memberikan baas aas yang cukup jauh dari nilai sebenarnya. Dalam peridaksamaan (.) parameer yang erliba hanyalah ukuran pemusaan µ. Sehingga jika ada dua peubah acak, masing-masing mempunyai disribusi yang berbeda, misalkan variansi berbeda jauh, eapi raaan µ sama, maka hampiran peridaksamaan Markovnya akan sama. Hal ini enu akan sanga menyesakan jika dierapkan di lapangan, khususnya dalam menganalisa daa. Unuk iu peridaksamaan (.), perlu dimodifikasi dengan melibakan parameer lain yang lebih represenaif dari disribusi. Dari sudi singka di aas dapa disimpulkan bahwa peridaksamaan Markov cukup mudah unuk digunakan, eapi 1. Hanya berlaku erbaas unuk peubah acak non-negaif. Pada beberapa nilai a, hampiran yang diberikan sanga jauh dari nilai sebenarnya. 3. Baas aas dari peridaksamaan Markov bisa bernilai lebih dari 1, dengan kaa lain hampiran yang diberikan over-esimae. 4. Dua peubah acak dimana masing-masing disribusi peluangnya berlainan akan mempunyai baas aas yang sama. 8

5 Sebagai ambahan, jika di lapangan ingin dipakai peridaksamaan ini, eapi E [ ] = µ idak dikeahui, maka µ dapa diaksir oleh raaan sampel (raaan arimaika) yaiu..3 Peridaksamaan Chebyshev Pada 1850 Pafnuy Chebyshev mengusulkan Peridaksamaan Chebyshev sebagai beriku (liha Sheldon Ross, 1997, A Firs Course in Probabiliy, halaman 396) Unuk seiap dengan a > 0 aau Var( ) a ) P(( E[ ]) (.3) a 1 P( µ kσ < < µ + kσ ) 1 (.4) k Pembukian peridaksamaan ini dapa dilha di Lampiran A. Peridaksamaan Chebyshev ini ernyaa dibenuk dari peridaksamaan Markov dengan mengambil peubah acaknya adalah ( µ), kemudian a diulis sebagai k, sehingga benuk kuadranya adalah k, dan menginga bahwa E[(-µ) ] = Var () = σ. Terliha bahwa peridaksamaan ini memperbaiki peridaksamaan Markov yang hanya berlaku unuk peubah acak non-negaif. Jadi Pafnuy Chebyshev menemukan bahwa bagian luas anara dua nilai yang seangkup erhadap nilai raaan µ berkaian dengan simpangan baku σ. Karena luas di bawah kurva disribusi peluang aau dalam hisogram peluang berjumlah 1, maka luas anara dua bilangan sembarang menyaakan peluang peubah acak yang bersangkuan mendapa nilai anara kedua bilangan ersebu. Peridaksamaan ini memberikan aksiran enang peluang bahwa suau peubah acak mendapa nilai dalam jarak k simpangan baku dari harga raaannya unuk seiap bilangan k real [1]. Dari definisi di aas dapa pula kia benuk peridaksamaan Chebyshev unuk sau sisi. (Liha Sheldon Ross, 1997, A Firs Course in Probabiliy, halaman 41). P( σ µ a) dengan a > 0 (.5) σ + a 9

6 Dengan menggunakan peridaksamaan ini akan lebih mudah unuk membandingkan penggunaan dari peridaksamaan Markov dan Chebyshev. Terliha pula di aas, dibandingkan dengan peridaksamaan Markov, jika ada dua peubah acak yang raaannya sama, eapi variansinya berbeda maka baas aasnya pun akan berbeda. Peridaksamaan Chebyshev dapa digunakan unuk sebarang peubah acak. Hal ini erliha dari benuknya yang dikuadrakan. Ini merupakan salah sau keunggulannya. Selain iu, dalam banyak kasus akan memberikan baas yang lebih baik dibandingkan peridaksamaan Markov karena dalam perhiungannya menggunakan variansi dari peubah acak yang memberikan informasi mengenai penyebaran aau keragaman daa. Sebagai bahan perbandingan pula akan diberikan abel perbandingan nilai P ( µ a) secara eksak dengan nilai P ( µ a) yang diperoleh dengan menggunakan peridaksamaan Markov dan Chebyshev dengan kasus yang sama seperi Conoh.1 P ( µ a) eksak Hasil P ( µ a) dari P. Markov P ( 5 1) P ( 5 ) P ( 5 3) P ( 5 4) Tabel 3 Hasil P ( µ a) dari P.Chebyshev Tabel perbandingan P ( a) eksak dan hampiran dari peridaksamaan Chebyshev unuk disribusi binomial (10, 1/) Terliha dari Tabel 3, pada kasus ini, baas aas dari peridaksamaan Markov dan peridaksamaan Chebyshev hampir sama, meskipun jauh dari nilai eksaknya. Keduanya menghasilkan hasil yang selalu over esimaed. Akan eapi, hasil dari peridaksamaan Chebyshev lebih kecil dari peridaksamaan Markov. Teapi perlu diperhaikan, bahwa sudi banding anara Markov dan Chebyshev di aas, hanya dilakukan pada beberapa nilai, menginga syara besar a pada peridaksamaan (.5) harus posiif. Nilai aksiran Markov unuk a = 1,,..., 5 idak bisa dibandingkan dengan hampiran Chebyshev. Hal ini disebabkan sifa seangkup dari peridaksamaan Chebyshev. 10

7 Unuk kasus koninu, seperi pada Conoh., di bawah ini diberikan pula hasil perhiungan dari peridaksamaan Chebyshev kemudian dibandingkan dengan peridaksamaan Markov P ( µ a) Eksak Hasil P ( µ a) Dari P. Markov P ( 5 1) P ( 5 ) P ( 5 3) P ( 5 4) Hasil P ( µ a) dari P.Chebyshev Tabel perbandingan P E a (( [ ]) ) Tabel 4 eksak dan hampiran dari peridaksamaan Chebyshev unuk disribusi normal (5,10) Terliha dari Tabel 4, pada kasus ini, baas aas dari peridaksamaan Markov dan Chebyshev hampir sama, meskipun jauh dari nilai eksaknya. Keduanya menghasilkan hasil yang selalu over-esimaed. Akan eapi, hasil dari peridaksamaan Chebyshev lebih kecil dari peridaksamaan Markov kecuali unuk P ( 5 1). Sama halnya dengan peridaksamaan Markov, peridaksamaan Chebyshev juga erbaas di 1 karena menghampiri nilai peluang. Oleh karena iu, hasil sebenarnya dari peridaksamaan Chebyshev yang lebih dari 1 dapa digani menjadi bernilai 1. Dari abel 3 dan 4 dapa disimpulkan bahwa peridaksamaan Chebyshev dapa menghampiri nilai P ( µ a) dengan cukup deka dengan nilai sebenarnya. Dapa diperhaikan juga karena nilai variansi cukup besar, hasil baas dari peridaksamaan Chebyshev unuk a yang kecil kurang begiu deka dengan nilai sebenarnya. Dapa dikaakan bahwa peridaksamaan Chebyshev lebih baik dibandingkan peridaksamaan Markov. Akan eapi, hal ini belum menjadikan peridaksamaan ini selalu menghasilkan nilai yang paling baik karena raaan dan variansi belum menggambarkan disribusi secara keseluruhan.. 11

8 Dari sudi singka di aas dapa diambil beberapa kesimpulan mengenai peridaksamaan Chebyshev, yaiu 1. Peridaksamaan ini adalah perbaikan dari peridaksamaan Markov, khususnya unuk sembarang disribusi. Pada beberapa nilai a, hampiran yang diberikan masih cukup jauh dari nilai sebenarnya, baas aas bisa lebih dari Meskipun elah memasukkan fakor variansi, eapi jika ada dua peubah acak dimana masing-masing disribusi peluangnya berlainan, eapi raaan dan variansinya sama, maka baas aas dari peridaksamaan Chebyshev pada masing-masing peubah acak ersebu akan bernilai sama Sebagai ambahan, jika di lapangan ingin dipakai peridaksamaan ini, eapi E [ ] = µ dan variansi idak dikeahui, maka µ dan σ masing dapa diaksir oleh raaan sampel (raaan arimaika) dan variansi sampel S. n 1 Lalu bagaimana jika diinginkan peridaksamaan yang dapa menghasilkan nilai hampiran yang lebih deka dengan nilai sebenarnya? Di dalam dunia informaika mulai dikenal peridaksamaan Chernoff..4 Peridaksamaan Chernoff Peridaksamaan Chernoff ini dikemukakan oleh Herman Chernoff, seorang maemaikawan Amerika, pada ahun 195 [8]. Peridaksamaan ini menggunakan fungsi pembangki momen dalam perhiungannya, karena iu banyak pendapa bahwa peridaksamaan ini menghasilkan nilai yang lebih akura, deka dengan nilai sebenarnya karena fungsi pembangki momen cukup mewakili informasi disribusi secara keseluruhan. Hal ini disebabkan sifa fungsi pembangki momen yang sau-sau pada dengan disribusinya. Misal M () = E e adalah fungsi pembangki momen unuk variabel acak. Maka unuk 0 dan a > 0, dengan menggunakan peridaksamaan Markov dapa diperoleh a P ( a) = Pe { e} a E e e 1

9 Sedangkan unuk < 0 dan a > 0 diperoleh a P ( a) = Pe { e} a E e e Peridaksamaan ini dikenal dengan sebuan Chernoff bounds. ( ) a ( ) ( ) a ( ) P a e M, unuk seiap > 0 P a e M, unuk seiap < 0 (liha Ross, 1997, A Firs Course in Probabiliy, hal 415) (.6) Karena Chernoff bounds memenuhi semua nilai baik posiif aau negaif, dapa dicari nilai a baas dari P( a) dengan menggunakan yang dapa meminimumkan e M( ). Benuk peridaksamaan (.6) di aas merupakan benuk umum dari peridaksamaan Chernoff..5 Peridaksamaan Chernoff unuk Beberapa Disribusi Telah disebukan sebelumnya bahwa peridaksamaan Chernoff menggunakan fungsi pembangki momen yang berfungsi sau-sau dengan fungsi disribusi. Oleh karena iu, benuk peridaksamaan Chernoff akan berbeda unuk seiap disribusi. Di sini akan dibahas pembenukan peridaksamaan Chernoff unuk beberapa disribusi. A. Disribusi Geomerik (G(p)) Beriku ini akan diberikan pembenukan peridaksamaan Chernoff unuk disribusi Geomerik,G(p). Fungsi pembangki momen unuk disribusi ini mengandung fungsi eksponensial dan juga benuk pecahan sehingga perhiungan maemaisnya akan cukup suli. Fungsi pembangki momen unuk disribusi geomerik dapa diberikan sebagai beriku, M ( ) = E[ e ] M( ) = = e x= 1 = pe = pe e x= 1 n= 0 p(1 p) ( e (1 p)) ( e (1 p)) p (1 p) x 1 n (.7) 13

10 P ( a) e E e (.8) a Benuk peridaksamaan (.8) di aas mengandung e a di sebelah kanannya. Hal ini akan menyulikan perhiungan, unuk iu ln-kan peridaksamaan ersebu, menginga ln adalah suau ransformasi yang bersifa mengawekan kemonoonan. Jadi peridaksamaan ini dapa diubah menjadi ln P( a) a + ln E e p a + ln e (1 p) (.9) Selanjunya harus dicari yang paling opimal agar baas aas P ( a ) dapa dihampiri dengan baik. Tiik ini dicari dengan meminimumkan ruas kanan dari peridaksamaan (.9). Dengan menurunkan fungsi di ruas kanan ersebu erhadap dan menyamadengankannya dengan 0, bisa didapakan yang paling sederhana yaiu p a + ln e (1 p) = 0 ( a + ln p ln( e (1 p))) = 0 a e + = 0 e (1 p ) ( a 1) e = a(1 p) e a(1 p) = ( a 1) a(1 p) = ln ( a 1) a(1 p) = ln. Selanjunya ini akan menghasilkan a 1 P( a) e a. e p (1 p) = e a(1 p) ln a. a 1 e p a(1 p) ln a 1 (1 p) Jadi a(1 p) p( a 1) P ( a). a 1 1 p a (.10) 14

11 Jadi benuk peridaksamaan (.10) merupakan benuk peridaksamaan Chernoff unuk disribusi geomerik (G(p)) B. Disribusi Binomial (B(n,p)) Fungsi pembangki momen unuk disribusi binomial (B(n.p)) dapa diberikan sebagai beriku n M ( ) = [(1 p) + pe ] Fungsi pembangki momen ersebu dapa disubsiusikan ke dalam benuk peridaksamaan (.8) sehingga diperoleh a n P ( a) e [(1 p) + pe] (.11) Benuk peridaksamaan (.11) di aas mengandung a e di sebelah kanannya. Hal ini akan menyulikan perhiungan, unuk iu ln-kan peridaksamaan ersebu, menginga ln adalah suau ransformasi yang bersifa mengawekan kemonoonan. Jadi peridaksamaan ini dapa diubah menjadi ln P ( a) a + n.ln((1 p) + kemudian akan dicari yang opimal dengan menurunkan fungsi yang ada di sebelah kanan peridaksamaan erhadap ( a + n.ln((1 p) + pe )) = 0 npe. a + = 0 (1 p) + pe a(1 p) e = p( n a) a(1 p) Sehingga didapa yang opimal adalah = ln p( n a) pe ) Nilai yang elah diperoleh disubsiusikan ke dalam benuk peridaksamaan (.11) a P ( a) e [(1 p) + pe] pn ( a) n(1 p) a(1 p) n a a n (.1) Jadi benuk peridaksamaan (.1) merupakan benuk Peridaksamaan Chernoff unuk disribusi binomial (B(n,p)) 15

12 C. Disribusi Poisson (P(λ)) Fungsi pembangki momen unuk disribusi Poisson (P(λ)) dapa diberikan sebagai beriku M( ) = e λ( e 1) Fungsi pembangki momen ersebu dapa disubsiusikan ke dalam benuk peridaksamaan (.8) sehingga diperoleh P( a) e a λ ( e e 1) (.13) Benuk peridaksamaan (.13) di aas mengandung a e di sebelah kanannya. Hal ini akan menyulikan perhiungan, unuk iu ln-kan peridaksamaan ersebu, menginga ln adalah suau ransformasi yang bersifa mengawekan kemonoonan. Jadi peridaksamaan ini dapa diubah menjadi ln P( a) a + λ ( e kemudian akan dicari yang opimal dengan menurunkan fungsi yang ada di sebelah kanan peridaksamaan erhadap ( a + λ( e 1)) = 0 a+ e λ = 0 a e = λ a Sehingga didapa opimal adalah = ln λ 1) Nilai yang elah diperoleh disubsiusikan ke dalam benuk peridaksamaan (.13) a ln a λ a P ( a) e + λ ( ) 1 λ (.14) λ a a e ( a λ ) Jadi benuk peridaksamaan (.14) merupakan benuk peridaksamaan Chernoff unuk disribusi Poisson (P(λ)) 16

13 D. Disribusi Normal (N(µ,σ )) Fungsi pembangki momen unuk disribusi normal (N(µ,σ )) dapa diberikan sebagai beriku M ( ) = e µ +σ Fungsi pembangki momen ersebu dapa disubsiusikan ke dalam benuk peridaksamaan (.8) sehingga diperoleh P( µ +σ a) e a. e (.15) Benuk peridaksamaan (.15) di aas mengandung a e di sebelah kanannya. Hal ini akan menyulikan perhiungan, unuk iu ln-kan peridaksamaan ersebu, menginga ln adalah suau ransformasi yang bersifa mengawekan kemonoonan. Jadi peridaksamaan ini dapa diubah menjadi µ + σ ln P ( a) a+ kemudian akan dicari yang opimal dengan menurunkan fungsi yang ada di sebelah kanan peridaksamaan erhadap µ + σ ( a + ) = 0 µ a+ + σ = 0 a µ = σ Nilai yang elah diperoleh disubsiusikan ke dalam benuk peridaksamaan (.15) µ + σ µ + σ a+ a P ( a) e. e = e e 4 a( µ a) µ 8σ (.16) Jadi benuk peridaksamaan (.16) merupakan benuk peridaksamaan Chernoff unuk disribusi normal (N(µ,σ )). 17

14 E. Disribusi Gamma (G(α,β)) Fungsi pembangki momen unuk disribusi gamma (G(α,β)) dapa diberikan sebagai beriku M ( ) = (1 β) α dengan < 1 β Fungsi pembangki momen ersebu dapa disubsiusikan ke dalam benuk peridaksamaan (.8) sehingga diperoleh a P( a) e.(1 β) α (.17) Benuk peridaksamaan (.17) di aas mengandung a e di sebelah kanannya. Hal ini akan menyulikan perhiungan, unuk iu ln-kan peridaksamaan ersebu, menginga ln adalah suau ransformasi yang bersifa mengawekan kemonoonan. Jadi peridaksamaan ini dapa diubah menjadi ln P ( a) a+ ln(1 β) α kemudian akan dicari yang opimal dengan menurunkan fungsi yang ada di sebelah kanan peridaksamaan erhadap a α ( e (1 β) ) = 0 αβ a + = 0 1 β, dengan < a αβ = aβ 1 α = β a 1 β Nilai yang elah diperoleh disubsiusikan ke dalam benuk peridaksamaan (.17) 1 α a β a α 1 α P ( a) e. 1 β β a 1 dengan <, α > 0, a > 0 -(.18) αβ a α β αβ β e a Jadi benuk peridaksamaan (.18) merupakan benuk Peridaksamaan Chernoff unuk disribusi gamma (G(α,β)) 18

15 Dari uraian Sub-Bab.5 ini dapa disajikan dalam benuk abel benuk-benuk peridaksamaan Chernoff unuk beberapa disribusi Disribusi Peridaksamaan Chernoff Binomial (n,p) p( n a) n(1 p) P ( a) a(1 p) n a a n Poisson (λ) Gamma (α,β) Normal (µ,σ ) P a λ ( a λ) P ( a) e a αβ a α β αβ ( a) e. dengan P a 1 <, α > 0, a > 0 β 4a( µ a) µ 8σ ( a) e Tabel 5 Tabel Peridaksamaan Chernoff unuk Beberapa Disribusi Peridaksamaan Chernoff dikaakan memberikan nilai peluang dari peubah acak dalam suau selang yang cukup deka dengan nilai sebenarnya karena menggunakan fungsi pembangki momen dari disribusi peubah acak ersebu, yang mana fungsi pembangki momen iu berfungsi sau-sau dengan fungsi disribusi. Pembenukan peridaksamaan Chernoff dengan ahapan di aas hanya berlaku unuk suau populasi yang elah dikeahui disribusi daanya. Sebaliknya jika disribusi dari idak dikeahui disribusinya, peridaksamaan Chernoff ini masih bisa dierapkan, dengan cara: 1. Mencari disribusi dengan melalui meode pencocokan (fiing disribuion, kemudian memakai disribusi pilihan ini sebagai informasi unuk menenukan fungsi pembangki momennya. Melalui cara ini, bisa memungkinkan lebih dari sau disribusi yang bisa erpilih. Unuk iu dibuuhkan uji kecocokan anaara daa dan disribusi yang dipilih.. Menenukan fpm aksiran, dengan menganggap daa sebagai peubah acak diskri. Cara ini sanga suli, karena sanga erganung dari daa dan juga pengelompokkan yang dipilih. 19

16 .6 Penggunaan Peridaksamaan Chernoff Unuk membandingkan penggunaan keiga peridaksamaan, dapa dilakukan perhiungan unuk disribusi binomial dan normal seperi Conoh.1 dan.. Penggunaan keiga peridaksamaan unuk Conoh.1 dapa diberikan dalam abel perbandingan nilai P ( µ a) secara eksak dengan nilai P ( µ a) yang diperoleh dengan menggunakan Peridaksamaan Markov, Chebyshev, dan Chernoff unuk suau disribusi binomial (10, 1/). P ( µ a) eksak Hasil P ( µ a) dari P. Markov Hasil P ( µ a) dari P.Chebyshev P ( 5 1) P ( 5 ) P ( 5 3) P ( 5 4) Tabel 6 Hasil P ( µ a) dari P.Chernoff Tabel perbandingan P( µ a) eksak dan hampiran dari peridaksamaan Chernoff unuk disribusi binomial (10, 0.5) Selain iu, akan dibandingkan pula penggunaan peridaksamaan Markov, Chebyshev, dan Chernoff unuk Conoh. sebagai beriku P ( µ a) Eksak Hasil P ( µ a) dari P. Markov Hasil P ( µ a) dari P.Chebyshev P ( 5 1) P ( 5 ) P ( 5 3) P ( 5 4) Tabel 7 Hasil P ( µ a) dari P.Chernoff Tabel perbandingan P( µ a) eksak dan hampiran dari peridaksamaan Chernoff unuk disribusi normal (5,10) Selain benuk umum Peridaksamaan Chernoff yang disebukan pada peridaksamaan (.4) dan benuk-benuk peridaksamaan unuk beberapa disribusi yang disajikan dalam Tabel 5, 0

17 ada sau eorema yang menyangku benuk peridaksamaan Chernoff unuk peubah acak binomial, yaiu sebagai beriku : Teorema 1 Jika merupakan peubah acak binomial dengan ekspekasi E[ ], P[ > (1 + δ ) E[ ]] < e δ E[ ] 3 P [ < (1 δ ) E [ ]] < e dengan 0 < δ 1 δ E[ ] Pembukian eorema ini erdapa pada Lampiran A.3 Benuk peridaksamaan ini cukup banyak diaplikasikan dalam perhiungan, eruama dalam dunia kompuasi karena berlaku unuk peubah acak diskri. Selain iu benuknya pun mudah unuk digunakan. Beriku ini merupakan conoh penggunaannya Conoh.3: Dalam suau permainan anara dua orang, peluang orang perama menang adalah /3. Permainan ersebu dilakukan sebanyak 30 kali. Berapakah peluang erjadinya orang perama menang idak lebih dari seengah permainan? Dalam menyelesaikan permasalahan ini dapa digunakan benuk Peridaksamaan Chernoff dalam eorema 1 Misalkan adalah peubah acak binomial yang menyaakan banyaknya kemenangan dalam permainan. E [ ] = np. = 30. = 0 3 P ( < 15) = P ( > (1 δ )0) maka P ( < 15) < e (1/ 4).0 3 P ( > 15) < δ = selanjunya dapa dilakukan perhiungan 4 dengan menggunakan peridaksamaan Chebyshev didapakan P ( < 15) < 0.66 Pada conoh.3 ini dapa diliha bahwa peridaksamaan Chebyshev malah memberikan baas yang lebih baik. Dapa diperkirakan bahwa yang berperan dalam permasalahan ini adalah 1

18 parameer δ. Unuk iu akan diberikan conoh lainnya yang memberikan nilai parameer δ yang deka dengan 1. Conoh.4: Dengan permainan yang serupa seperi conoh 1, berapa peluang erjadinya orang perama menang idak lebih dari 1/6 permainan? 3 Peridaksamaan Chernoff pada eorema 1 akan menghasilkanδ = sehingga e 16 P ( < 5) < = dengan menggunakan Peridaksamaan Chebyshev dapa diperoleh P< ( 5) < 0.09 Dapa disimpulkan bahwa unuk δ yang mendekai 1 Peridaksamaan Chernoff menghasilkan baas yang lebih baik dibandingkan Peridaksamaan Chebyshev. Selain iu, conoh kasus lain yang menunjukkan keakuraan peridaksamaan Chernoff adalah pada kasus sebagai beriku Conoh.5: Dengan permainan yang serupa seperi conoh 1, eapi permainan dilakukan sebanyak 300 kali. Berapa peluang erjadinya orang perama menang idak lebih dari seengah permainan? Peridaksamaan Chernoff pada eorema 1 akan menghasilkan P( < 150) < 0.066, sedangkan Peridaksamaan Chebyshev menghasilkan P ( < 150) < Dapa disimpulkan pula bahwa unuk n yang besar, Peridaksamaan Chernoff akan menghasilkan baas yang lebih baik..7 Skema Penggunaan Peridaksamaan Teori saisika inferensi erdiri aas meode unuk menarik inferensi aau rampaan mengenai populasi [1]. Dalam melakukan saisika inferensi ini di lapangan ada beberapa kemungkinan yang erjadi. Kemungkinan perama, disribusi dari populasi dikeahui secara penuh aau menyeluruh. Hal ini akan memudahkan karena perhiungan peluang dapa langsung dilakukan dengan menggunakan fungsi disribusinya. Akan eapi, bagaimana halnya dengan populasi yang hanya dikeahui sebagian informasinya? Misalnya hanya dikeahui raaannya saja aau

19 variansinya saja. Dalam hal ini peridaksamaan dapa berperan. Skema penggunaan peridaksamaan dapa diliha di bawah ini, POPULASI f (x) Dikeahui secara menyeluruh Hanya dikeahui sebagian informasi Mis: raaan dan variansi Peluang suau selang ((P(=c) aau P(a<<b)) dicari dengan peridaksamaan fiing disribuion Markov Chebyshev Chernoff P( a) dapa dihiung secara eksak dengan menggunakan f (x) 3

20 BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI 3.1 Pendahuluan Pada bab sebelumnya elah dibahas mengenai peridaksamaan Chernoff dengan erlebih dahulu diberi pemaparan mengenai dua peridaksamaan yang sudah cukup sering dipergunakan yaiu peridaksamaan Markov dan peridaksamaan Chebyshev. Telah disebukan bahwa peridaksamaan Chernoff memberikan baas yang paling deka dengan nilai sebenarnya. Unuk membandingkan baas yang dihasilkan oleh keiga peridaksamaan ersebu pada suau populasi dapa dilakukan sebuah simulasi. Simulasi dilakukan dengan mengenerae daa unuk sebuah disribusi kemudian menghiung nilai peluang suau selang erenu dengan menggunakan frekuensi relaif yang dihiung dari daa ersebu (anpa meliha disribusinya). Hasil perhiungan secara eksak akan dibandingkan dengan hasil perhiungan dengan menggunakan keiga benuk peridaksamaan. Beriku ini hasil simulasi unuk disribusi binomial dan disribusi normal: 3. Simulasi unuk Disribusi Binomial Pada simulasi perama unuk suau daa berdisribusi binomial (10, 0.30) di-generae sebanyak 300 daa, sebagai beriku Frekuensi frekuensi relaif Frekuensi relaif komulaif hampiran peluang binomial (10, 0.3) (sumber: Walpole)

21 BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI Frekuensi frekuensi relaif Frekuensi relaif komulaif hampiran peluang binomial (10, 0.3) (sumber: Walpole) Tabel 8 Daa Simulasi 1 Disribusi penyebaran daa simulasi 1 ersebu dapa digambarkan dalam hisogram beriku: Hisogram Daa Simulasi frekuensi x Gambar 1 Hisogram Daa Simulasi 1 selain iu saisik dari daa ersebu dapa disajikan sebagai beriku : Univariae Saisics Variable 1 Coun 300 Sum 958 Average 3.19 Median 3 Mode 3 Minimum 0 Maximum 8 Range 8 Sandard Deviaion

22 BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI Variance.97 Skewness Kurosis Tabel 9 Tabel Informasi Saisik unuk Daa Simulasi 1 Dari informasi di aas dapa diliha bahwa range daa cukup besar. Hal ini juga menyebabkan daa ersebar cukup luas. Tiik puncak dari daa berada di sekiar raaan, sehingga kemiringan dari grafik daa pun cukup kecil. Dalam melakukan simulasi penggunaan peridaksamaan pada disribusi daa ini diambil nilai peluang salah sau selang yaiu P( 4). Nilai peluang secara eksak dapa dihiung dengan menggunakan frekuensi relaifnya P( 4) = 1 P( = < 4) = 1 [ P( = 3) + P( = ) + P( = 1) + P( = 0)] (3.) Kemudian dengan menggunakan peridaksamaan dapa diperoleh hasil sebagai beriku Peridaksamaan Markov: E[ ] 3.19 P ( 4) = = (3.3) 4 4 Peridaksamaan Chebyshev: σ P( ) σ + (0.81).97 P( ), P( 4) 0.77 (3.4) Dalam menghiung baas aas peridaksamaan Chernoff P( 4) erdapa sediki kesulian dalam mencari benuk fungsi pembangki momen hampirannya. Perlu banuan kompuer dalam mencari fungsi ersebu. Fungsi pembangki momen hampirannya ersebu dihiung dengan menggunakan kompuasi sehingga didapakan hasil peridaksamaan Chernoff sebagai beriku: P ( 4) 0.74 (3.5) 6

23 BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI Dari simulasi daa yang erdisribusi binomial (10, 0.30) ini dapa diunjukkan bahwa peridaksamaan Chernoff menghasilkan baas yang paling baik, mendekai nilai sebenarnya. Hal ini bisa diakibakan karena jumlah daanya yang cukup banyak aau karena penyebaran daanya yang cukup besar. Simulasi lain dilakukan unuk beberapa nilai p, misalnya unuk p=0.5 dengan daa sebagai beriku : Frekuensi frekuensi relaive Tabel 10 Tabel Daa Simulasi Binomial (10, 0.5) Peridaksamaan Chernoff juga memberikan baas yang paling akura pada simulasi ini. Simulasi lain juga dilakukan unuk disribusi dari peubah acak koninu, yaiu disribusi normal. Hasil simulasi ersebu dapa diliha sebagai beriku 3.3 Hasil Simulasi unuk Disribusi Normal Pada simulasi perama unuk disribusi normal di-generae daa sebanyak 00 dengan mean ) (µ = 7 dan sandar deviasi ( ) σ = Selang nilai engah Frekuensi Frekuensi relaive frekuensi relaive komulaif

24 BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI Selang nilai engah Frekuensi Frekuensi relaive frekuensi relaive komulaif Tabel 11 Daa Simulasi Daa menah unuk simulasi ini dapa diliha pada lampiran C. Disribusi penyebaran daa simulasi ersebu dapa digambarkan dalam hisogram beriku: Hisogram Daa Simulasi frekuensi x Gambar Hisogram Daa Simulasi Dengan saisik yang diperoleh dari daa ersebu sebagai beriku : Univariae Saisics Variable 1 Coun 00 Sum 1, Average Median Minimum.100 Maximum

25 BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI Range Sandard Deviaion Variance Skewness Kurosis Tabel 1 Tabel Informasi Saisik Daa Simulasi Dari informasi di aas dapa dikeahui bahwa range daa cukup besar. Hal ini juga menyebabkan daa ersebar cukup luas. Tiik puncak dari daa berada di sekiar raaan, sehingga kemiringan dari grafik daa pun cukup kecil. Dalam melakukan simulasi penggunaan peridaksamaan pada disribusi daa koninu ini diambil nilai peluang salah sau selang yaiu P( 7). Nilai peluang secara eksak dapa dihiung dengan menggunakan frekuensi relaifnya P ( 7) = 1 P ( < 7) = 0.45 (3.6) aau jika kia menggunakan abel disribusi normal [1] bisa didapakan P ( 7) = 1 P ( < 7) = 0. 5 Kemudian dengan menggunakan peridaksamaan dapa diperoleh hasil sebagai beriku Peridaksamaan Markov : P( P( E[ ] 7) 7 (3.7) ) = Peridaksamaan Chebyshev: P ( σ ) σ + ( ) P ( 7) = (3.8) Dalam menghiung baas aas peridaksamaan Chernoff P( 7) erdapa sediki kesulian dalam mencari benuk fungsi pembangki momen hampirannya. Perlu banuan 9

26 BAB III SIMULASI PENGGUNAAN PERTIDAKSAMAAN PADA DISTRIBUSI kompuer dalam mencari fungsi ersebu. Fungsi pembangki momen hampirannya ersebu dihiung dengan menggunakan kompuasi dan akan didapakan hasil peridaksamaan Chernoff sebagai beriku: P ( 7) (3.9) Simulasi lain dilakukan unuk beberapa disribusi normal lainnya dan menghasilkan hal yang serupa. Peridaksamaan Chernoff menghasilkan baas yang paling akura mendekai nilai sebenarnya. Dari simulasi ini dapa diunjukkan bahwa unuk beberapa kasus pada disribusi binomial dan normal, peridaksamaan Chernoff selalu menghasilkan baas aas dari nilai peluang P( a) yang lebih akura dibandingkan peridaksamaan Markov dan Chebyshev. Meskipun dalam perhiungannya lebih suli dikerjakan dibandingkan dengan kedua peridaksamaan lainnya. 30