BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini aan diemuaan beberapa onsep dasar yang beraian dengan analisis runun wau, dianaranya onsep enang esasioneran, fungsi auoorelasi dan fungsi auoorelasi parsial, macam-macam model linear pada runun wau, langah-langah ieraif dalam pembenuan model Box-Jenins, sera prinsip parsimoni.. Kesasioneran Kesasioneran daa merupaan ondisi yang diperluan dalam analisis runun wau, arena dapa memperecil eeliruan model. Jia daa ida sasioner, maa harus dilauan ransformasi sasionerias. Gejala non-sasioner diunjuan oleh adanya rend pada plo daa runun wau, jia rendnya linier maa ransformasi dilauan melalui proses diferensi (selisih daa-daa yang beruruan). Sedangan jia ida linier, maa erlebih dahulu harus dilauan ransformasi linierias rend melalui proses logarima naural. Berdasaran desripsinya, benu esasioneran ada dua, yaiu sasioner ua (sricly saioner) aau sasioner orde perama (primary saioner) dan sasioner lemah (wealy saioner) aau sasioner orde edua (secondary saioner). Isilah sasioner digunaan unu sasionerias inga dua dan mengharapan asumsi normalias erpenuhi.

2 Ciri-ciri dari sasioner lemah adalah raa-raa hiung, yaiu: E(Z ) = µ, dan ovariansnya adalah onsan sera auoovariansnya merupaan fungsi dari lag, ρ = f(). Sedangan eidasasioner daa dilasifiasian aas iga benu, yaiu: ) Tida sasioner dalam reraa hiung, jia rend ida daar (ida sejajar sumbu wau) dan daa ersebar pada pia yang melipu secara seimbang rendnya. ) Tida sasioner dalam varians, jia rend daar aau hampir daar api daa ersebar membangun pola melebar aau menyempi yang melipu secara seimbang rendnya (pola erompe). ) Tida sasioner dalam reraa hiung dan varians, jia rend ida daar dan daa membangun pola erompe. Unu mempermudah dalam memahami ciri-ciri dari sasioner, disajian plo daa di bawah ini :. Unu daa ida sasioner dalam reraa hiung (rend nai aau urun) Case Number Value cres Gambar.

3 . Unu daa ida sasioner dalam varians Case Number Value ozone Gambar.. Unu daa ida sasioner dalam reraa hiung dan varians Case Number Value connec Gambar.. Fungsi Auoorelasi dan Auoorelasi Parsial.. Fungsi Auoorelasi Auoorelasi adalah hubungan yang erjadi anara anggoa-anggoa dari serangaian observasi yang diuruan menuru wau. Jia ida erdapa auoorelasi dalam daa, maa dapa disimpulan bahwa daa ersebu random aau ida erdapa suau pola apapun. Dalam proses sasioner dipenuhi sifa: ( ) (, ) E Z dan ov Z Z µ γ = = (.) dimana µ dan γ unu semua adalah onsan. Disini µ adalah reraa proses

4 iu dan γ auoovarian pada lag. Proses ini mempunyai variansi onsan, yaiu: unu semua bilangan bula, berlau : Karena Var (Z) = σ z = γ (.) γ = γ (.) γ = Cov (Z, Z - ) = Cov (Z -, Z ) = Cov (Z -, Z -+ ) = Cov (Z, Z -(-) ) = γ - sehingga yang perlu dienuan adalah nilai-nilai γ unu. Himpunan { :,,... } γ = disebu fungsi auoovarian. Auoorelasi pada lag didefinisian sebagai: ov( Z, Z ) γ ρ = = (.) [ Var( Z ). Var( Z )] / γ dan independen dengan sala penguurannya. Fungsi auoorelasi (fa), dibenu dengan himpunan { :,,... } ρ = dengan ρ =. Pada praenya, nilai ρ diasir oleh r, yaiu : r C ˆ γ ov( Z, Z ) = = = = C Var Z Var Z = / ˆ γ [ ( ). ( )] n ( Z Z )( Z Z ) n = ( Z Z ) (.) dengan: r Z = oefisien auoorelasi unu lag dari periode e = raa-raa dari nilai observasi Z = observasi pada periode wau Z = observasi pada periode wau -

5 Gambar. adalah conoh dari suau fungsi auoorelasi (fa) dari suau daa runun wau. Gambar. Fungsi auoorelasi pada suau daa Z Unu menguji apaah suau daa runun wau yang digunaan berauoorelasi digunaan saisi Q Box-Pierce. Langahnya sebagai beriu: ) Hipoesis H : ρ = ρ = = ρ = H : minimal ada sau ρ (Tida erdapa auoorelasi pada daa) (Terdapa auoorelasi pada daa) ) Saisi Uji = m ( ) (.) = Q n r a ) Krieria Uji Tola H jia nilai Q lebih besar dari χ abel, dengan araf nyaa % dan deraja ebebasan (m-p-q) dengan m = jumlah lag yang diuji n = jumlah pengamaan p = jumlah parameer yang diasir dari model auoregresif (jenjang AR)

6 q = jumlah parameer yang diasir dari model raa-raa bergera (jenjang MA) r = auoorelasi sampel... Fungsi Auoorelasi Parsial Seperi halnya auoorelasi yang merupaan fungsi aas lagnya, yang hubungannya dinamaan fungsi auoorelasi, auoorelasi parsial juga merupaan fungsi aas lagnya, dan hubungannya dinamaan fungsi auoorelasi parsial (fap). Fungsi auoorelasi parsial (fap) menunjuan inga eeraan anara Z dan Z dengan syara menghilangan pengaruh dari lag,, dan seerusnya sampai -. Fungsi auoorelasi parsial diulis dengan noasi { φ ; =,, K}, yani himpunan auoorelasi parsial unu berbagai lag. Koefisien auoorelasi parsial lag e dapa dienuan dengan, φ = (.) P P

7 dimana P adalah maris auoorelasi, dan P adalah P dengan olom ρ ρ erahir digani dengan M, aau rumus di aas bisa juga diulis sebagai beriu: ρ φ = ρ ρ K ρ ρ ρ ρ K ρ ρ M M M M M ρ ρ ρ K ρ ρ ρ ρ K ρ ρ ρ ρ K ρ ρ M M M M M ρ ρ ρ K ρ. (.). Macam-Macam Model Linier pada Runun Wau Salah sau pengelompoan model-model runun wau dapa diberian sebagai beriu (Rosadi, ): a) Model sasioner, yani suau model yang semua sifa saisinya ida berubah dengan pergeseran wau (yani bersifa ime invarian). Dalam apliasi, sifa saisi yang sering menjadi perhaian adalah raa-raa, variansi sera uuran eeraan yani fungsi ovariansi, suau model yang memenuhi sifa ini disebu sebagai proses sasioner lemah. Pada model sasioner, sifa-sifa saisinya pada masa yang aan daang dapa diramalan berdasaran daa hisoris yang elah erjadi di masa yang lalu. Beberapa model sasioner (hususnya sering disebu model linear dan homosedasi) dianaranya model Auoregressive (AR), model Moving Average (MA), dan Auoregressive-Moving Average (ARMA), dan lain-lain.

8 Model non-sasioner, yani model yang ida memenuhi sifa model sasioner di aas. Beberapa model nonsasioner dianaranya model Inegraed Auoregressive (ARI), model Inegraed Moving Average (IMA), model Auoregressive Inegraed-Moving Average (ARIMA), dan lain-lain... Model Sasioner... Model Auoregressive (AR) Benu umum model AR inga p aau AR (p) yaiu: Z = φz + φz φpz p + a dimana iid ~ (, a ) a N σ (.) Persamaan di aas dapa diulis dengan φ ( B) Z = a dengan p ( B) = B B... pb (.) φ φ φ φ... Model Moving Average (MA) Benu umum model MA inga q aau MA (q) adalah: Z = a + θ a + θ a + + θ a ; dimana... q q iid ~ (, a ) a N σ (.) Persamaan di aas dapa diulis dengan: Z B a dengan B B B B q = θ ( ) ; θ ( ) = + θ + θ θq (.)... Model Auoregressive-Moving Average (ARMA) Benu umum proses ARMA adalah: Z = φ Z + φ Z φ Z + a + θ a + θ a θ a (.) p p q q aau φ( B) Z = θ ( B) a (.)

9 Model ARMA dapa diulis sebagai model MA yaiu: Z = Ψ ( B) a aaupun sebagai model AR, yaiu: π ( B) Z = a, dimana Ψ = = ( B) φ ( B) θ ( B) dan π ( B) θ φ( B) Pada umumnya penenuan model peramalan semenara didasaran pada fungsi auoorelasi (fa) dan fungsi auoorelasi parsial (fap) mengiui auran sebagaimana dijelasan sebagai beriu (Wei, William. W. S., ):. Proses AR(p) yaiu jia fa menurun perlahan secara esponensial aau membenu gelombang sinus dan fap erpoong seelah lag p.. Proses MA(q) yaiu jia fa erpoong seelah lag q aau fap menurun perlahan secara esponensial aau membenu gelombang sinus.. Proses ARMA (p,q) yaiu fa erpoong seelah lag (q-p) dan fap erpoong seelah lag (p-q)... Model Non-Sasioner Pada sub bab sebelumnya, elah disajian model-model unu daa yang sasioner. Sedangan pada enyaaannya, ebanyaan daa runun wau adalah ida sasioner. Pada sub bab ini aan diperenalan model-model unu daa yang non-sasioner, sealigus cara unu mensasionerannya. Unu dere daa yang non-sasioner, maa harus dilauan penyelisihan (differensi). Cara yang digunaan dalam melauan differensi adalah dengan menggunaan operaor differensi yaiu = ( B).

10 beriu : Misal W = Z Z -, maa differensi perama dari Z didefinisian sebagai Z = W = Z Z - Sedangan differensi edua dan seerusnya didefinisian sebagai beriu : Z = W = differensi edua dari Z M d d- Z = W = differensi e-d dari Z (.) Differensi ini dilauan erus sampai diperoleh daa yang sasioner, aan eapi pada umumnya dua ali differensi sudah membua daa menjadi sasioner.... Model Inegraed Auoregressive ARI (,) Model ARI (,) mempunyai benu: ( φ ) Z = + Z φ Z + a - - (.) dimana φ < dan W = φ W + a adalah proses AR() yang sasioner dengan - W = Z Z... Model Inegraed Moving Average IMA (,) Model IMA (,) ini mewaili banya runun wau, eruama yang muncul dalam bidang eonomi dan bisnis. Dalam benu persamaan differensi, model IMA (,) diulis sebagai beriu : Z = Z + a θ a (.) - - dimana W a θ a - = adalah proses MA() yang sasioner dengan W = Z Z.

11 ... Model Auoregressive Inegraed Moving Average ARIMA (p,d,q) Meode Box-Jenins sering disebu meode Auoregressive Inegraed Moving Average (ARIMA). Meode ARIMA adalah meode gabungan auoregresi dengan raa-raa bergera. Meodologi ARIMA diembangan oleh George Box dan Gwilym Jenins () oleh arena iu pemodelan dan peramalan ARIMA sering disebu dengan meode Box-Jenins. Meode ARIMA dalam pemodelannya menggunaan pendeaan ieraif pada idenifiasi suau model yang mungin dari model umum. Model yang erpilih emudian diperisa erhadap daa hisoris unu meliha apaah model secara aura menjelasan daa. Jia model yang diperoleh belum memuasan, maa prosesnya aan diulangi dengan merancang model baru unu memperbaiinya. Proses ieraif berlanju hingga model yang paling bai diperoleh. Meode Box-Jenins unu menganalisis daa runun wau menggunaan operaor bac shif, B yang didefinisian oleh: BZ = Z (.) dan operaor diferensi, yang didefinisian oleh: Z = Z Z (.) Hubungan eduanya dinyaaan dengan: = B.) Suau runun wau Z diaaan mengiui model Inegraed Auoregressive Moving Average, jia model dari Z adalah ARIMA (p,d,q).

12 ARIMA (p,d,q) adalah model runun wau yang non-sasioner, api seelah dilauan differensi e-d, misal yang sasioner. W d = Z menghasilan model ARMA (p,q) Secara umum model ARIMA (p,d,q) dapa diurunan dari ARMA (p,q) W = φ W + φ W φ W + a θ a... θ a - - p -p - q -q (.) dengan W = Z Z - (unu d=) sehingga model. dapa diulis menjadi : ( φ ) φ φ ) Z φ - φ ) φ Z = + Z + ( ( p p Z -p pz p + a + θ a θ a (.) - q -q aau ( ) Z + φ Z + ( φ φ ) Z φ p Z p = a + θ a θ a (.) - - q -q aau (- B)( + φ + φ + + φ ) Z = θ ( B) a (.) p dengan ( ) Ψ B = ( B) φ( B) (.) dinamaan operaor auoregresif erubah berderaja. Sedangan unu operaor auoregresif erubah berderaja d adalah : ( ) Ψ B = (-B) d φ (B) (.) Model dengan persamaan (.) iulah yang dinamaan dengan model ARIMA(p,,q).

13 . Langah-Langah Ieraif Dalam Pembenuan Model Box-Jenins Adapun langah-langah dalam pembenuan model Box-Jenins (ARIMA) adalah : ) Posulasian las umum model ) Idenifiasi model yang diselidii ) Esimasi parameer dalam model ) Verifiasi model ) Penggunaan model yang coco unu peramalan.. Prinsip Parsimoni Dapa diliha bahwa dalam model peramalan berisi onsana-onsana aau parameer-parameer yang nilainya erenu dan harus diesimasi dari daa. Menenuan nilai esimasi dari parameer-parameer ersebu adalah sesuau yang pening. Fungsi uama dari prinsip parsimoni adalah dalam esimasi nilai parameer-parameer ersebu. Secara sederhana dapa diaaan bahwa prinsip parsimoni menginginan parameer-parameer dalam model dinyaaan dalam benu yang sederhana (variabelnya ida erlalu banya). Aau dengan aa lain, prinsip parsimoni menyaaan model yang lebih eonomis lebih disenangi daripada model dengan parameer banya. Aan lebih jelas eia melihanya pada sebuah conoh. Sebagai ilusrasi, disajian conoh sederhana beriu. Diberian model peramalan dalam benu Z m ( η η η η ) = L + X (.) m

14 eia berhadapan dengan persamaan seperi di aas, maa sudah cuup persamaan ersebu dinyaaan dalam benu beriu. ( ξ ) Z X + = (.) Persamaan erahir hanya memua sebuah parameer, yaiu cuup unu menggani m parameer pada persamaan sebelumnya. Inilah yang disebu dengan prinsip parsimoni.