Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... (a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) (e) 3 Jawaban : (c) penyelesaian : Karena u tegak lurus pada v maka u v = 0. Sehingga. Pernyataan berikut yang benar adalah... (a) Jika sin x = sin y maka x = y u u = 0 (a,, 1) (a, a, 1) = 0 a a + 1 = 0 (a 1) = 0 a = 1 (b) Untuk setiap vektor u, v, w berlaku u ( v w) = ( u v) w (c) Jika b f(x)dx = 0 maka f(x) = 0 a (d) Ada fungsi f sehingga lim f(x) f(c) untuk suatu c x c (e) 1 cos x = cos x Jawaban : (d) (a) Salah. Ambil x = 0 dan y = 360. Karena sin 0 = 0 dan sin 360 = 0. Tetapi 0 360 (b) Salah. Operasi u ( v w) tidak terdefenisi karena v w = skalar. Sehingga operasi ( u v) w tidak terdefenisi. (c) Salah. Ambil a = 1 dan b = 1 serta f(x) = x. Maka 1 xdx = 0. Terbukti 1 bahwa f(x) = x bukan f(x) = 0. Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 011 1

(d) Benar. Misalkan f(x) = { x, x 0 1, x = 0 Sehingga terbukti bahwa lim f(x) f(c) x c (e) Salah. Karena cos x = 1 + cos x dan c = 0. Sehingga lim = 0 dan f(0) = 1. x 0 cos x = 1 + cos x 3. Luas daerah dibawah y = x + 8x dan diatas y = 6x serta terletak di kuadran I adalah... (a) 0 ( x + 8x)dx + 6 (x x )dx (b) 0 ( x + 8x)dx + 6 ( x + x + )dx (c) 0 ( x + 8x)dx + 8 6 ( x + x + )dx (d) 6 (6x )dx + 8 6 ( x + 8x)dx (e) 0 (6x )dx + 6 ( x + 8x)dx Jawaban : (b) Perhatikan gambar di bawah ini! 16 1 y = x + 8x y = 6x 1 10 8 6 0 6 8 10 y = x + 8x dan y = 6x. Sehingga x + 8x = 6x x x = 0 (x 6)(x + ) Titik potong kedua kurva adalah x = atau x = 6. Sedangkan titik potong garis y = 6x dengan sumbu x adalah di x =. Perhatikan bahwa luas yang dimaksud adalah daerah yang diarsir. Pada batas (0, ) adalah fungsi y = x + 8x sedangkan pada batas (, 6) adalah kurva perpotongan y = x + 8x dan y = 6x. Sehingga Luasnya adalah 0 ( x + 8x)dx + 6 ( x + x + )dx. sin 35 cos 0 cos 35 sin 0 =... Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 011

(a) cos 5 (b) sin 5 (c) cos 95 (d) cos 75 (e) sin 75 Jawaban : (c) sin 35 cos 0 cos 35 sin 0 = sin(35 0) = sin( 5) Ingat bahwa cos(90 α) = sin α cos(90 ( 5)) = cos(95) 5. Diketahui suku banyak f(x) bersisa jika dibagi (x+1), bersisa 3 bila dibagi (x ). Sedangkan suku banyak g(x) bersisa 3 jika dibagi (x + 1) dan bersisa bila dibagi (x ). Jika h(x) = f(x) g(x) maka sisa h(x) jika dibagi oleh x x adalah... (a) x (b) 3x (c) 3x + (d) x + (e) 5x Jawaban : (a) Misalkan sisa pembagian tersebut adalah ax + b. Dengan menggunakan teorema sisa diperoleh f( 1) =, f() = 3, g( 1) = 3, g() =, dengan h(x) = f(x) g(x). Ingat bahwa h(x)=hasil bagi pembagi + sisa, Sehingga kita peroleh bahwa : h(x) = H(x) (x x ) + (ax + b) = H(x) (x + 1)(x ) + (ax + b) h(x) = f( 1) g( 1) = 6 h( 1) = a + b h(x) = f() g() = 6 h() = a + b Sehingga kita peroleh dua buah persamaan a + b = 6 dan a + b = 6. Jika kita eliminasi maka kita dapatkan a = dan b =. Jadi sisa pembagiannya adalah x. 6. Prisma tegak segitiga sama sisi ABC.EF G dengan panjang AB = s dan AD = t. Jika titik G terletak ditengah-tengah sisi EF, maka panjang AG adalah... (a) t 3s (b) t + 3s (c) t + s (d) t s Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 011 3

(e) t + s Jawaban : (b) Perhatikan gambar dibawah ini! F G D E t C A s B ( s DG = s ) = s s 3s = = s 3 AG = AD + DG ( s ) = t + 3 = t + 3s 7. Jika 0 < x < π memenuhi sin x + sin x =, maka nilai cos x adalah... (a) 1 (b) 3 (c) 1 (d) 0 (e) 1 Jawaban : (d) Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 011

Jika sin x = 1 maka x = π sin x + sin x = sin x + sin x = 0 (sin x + )(sin x 1) = 0 sin x = (Tidak mungkin) atau sin x = 1 sehingga cos x = 0. 8. Delapan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah... (a) 56 (b) 58 (c) 6 (d) 8 (e) 96 Jawaban : (a) penyelesaian : Dengan mudah kita bisa menebak bahwa segitiga yang dibentuk dari titik-titik tersebut dapat kita hitung dengan menggunakan kombinasi. Cr n = n! r!(n r)! C8 3 = 8! 3!(8 3)! = 8! 3! 5! = 8 7 6 5! 3! 5! C8 3 = 56 9. Panitia jalan sehat akan membuat sebuah kupon bernomor yang terdiri atas empat angka yang disusun oleh angka-angka 0, 1, 3, 5, dan 7. Jika angka pertama atau angka terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah... (a) 600 (b) 605 (c) 610 (d) 60 (e) 65 Jawaban : (a) Kita misalkan A adalah kejadian angka pertama atau terakhir tidak 0. Maka A c adalah kejadian angka pertama dan terakhir nol. Sehingga A c = 5 5 = 5. Jumlah kupon keseluruhan adalah = 5 5 5 5 = 65. Maka A = Jumlah Seluruh Kupon A c = 65 5 = 600 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 011 5

10. Vektor u = i + b j + c k tegak lurus w = i j + 3 k dan u = w, maka nilai b memenuhi... (a) 13b 3b + 0 = 0 (b) 13b + 3b 0 = 0 (c) 13b 3b 0 = 0 (d) 13b + 3b + 0 = 0 (e) 3b 10b 0 = 0 Jawaban : (c) Karena u w, maka u w = 0. u w = 0 (, b, c) (,, 3) = 0 8 b + 3c = 0 3c = b 8 u = 16 + b + c w = + + 9 = 17 u = w 16 + b + c = 17 16 + b + c = 17 b + c = 5 (kita Kalikan 9) 9b + 9c = 68 9b + (3c) = 68 9b + (b 8) = 68 9b + b 3b + 6 = 68 13b 3b 0 = 0 11. Diberikan kurva y = x 3 + x x + 5. Jika garis singgung kurva di titik (a, b) sejajar garis y 3x = 0, maka nilai b yang mungkin adalah... (a) 1 (b) 10 (c) 9 (d) 8 (e) 7 Jawaban : (e) y = x 3 + x x + 5 = y = 3x + x 1 Misalkan gradien garis singgung tersebut adalah m, maka kita mendapatkan y = 3x + y = 3. Gradien garis singgung tersebut adalah 3, maka f (a) = 3a + a 1 = 3 = 3a + a 1 = 3a + a = 0 (3a )(a + ) = 0 Maka kita dapatkan a = 3 dan a =. Jika a =, maka f( ) = ( )3 + ( ) ( ) + 5 b = 7. Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 011 6

1. Grafik y = f (x) ditunjukkan seperti gambar berikut. y = f (x) 0 Pernyataan yang benar adalah... (a) Fungsi f mempunyai titik minimum (0, 1) (b) Fungsi f naik pada interval (0, ) (c) Titik minimum lokal f terjadi di x = (d) Fungsi f bernilai positif pada selang (, ) (e) Titik minimum lokal terjadi di x = Jawaban : (e) Dari gambar pada soal kita dapatkan data sebagai berikut: Fungsi f naik pada interval (, ) dan (, ) Fungsi f turun pada interval (, ) Maksimum lokal terjadi pada titik x = Minimum lokal terjadi pada titik x = 13. Diberikan lingkaran dengan persamaan (x 5) + (y 1) = 1. Jarak minimal titik pada lingkaran tersebut ke titik asal adalah... (a) 1 (b) 3 (c) (d) 1 (e) 1 Jawaban : (d) Perhatikan lingkaran berikut ini! Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 011 7

5 0 15 10 P 5 O 10 5 0 5 10 15 0 Pusat lingkaran diatas adalah P (5, 1) dengan R = 1. Panjang OP = 5 + 1 OP = 169 OP = 13. Jarak minimal titik pada lingkaran tersebut ke titik asal O adalah R OP = 1 13 = 1 1. Bola dengan diameter 8 cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah... (a) 1 (b) 16 (c) 16 (d) 18 (e) 18 Jawaban : (c) Perhatikan gambar berikut : B C D x E A Dari kerucut terbalik diatas kita lihat bahwa tinggi kerucut adalah AB. Kita misalkan AD = x sehingga AB = t = x +. Misalkan juga BC = r. Sekarang kita cari panjang AE. AE = AD DE AE = x 16 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 011 8

Sekarang kita perhatikan bahwa ADE sebangun dengan ABC. mendapatkan hubungan AE DE = AB BC x 16 = x + BC BC = x + 16 x 16 Sehingga kita r = x + 16 x 16 Kita tahu bahwa Rumus umum Volume kerucut adalah V = 1 3 π r t. Sehingga kita dapatkan V = 1 3 π r t = 1 ( x + 3 π (x + ) x 16) = 1 ( (x + 16) ) 3 π (x + ) (x 16) = 1 ( 3 π (x + ) ) (x + ) (x )(x + ) V = 16 3 π ( (x + ) (x ) Kemudian kita mencari turunan pertama dari fungsi diatas yaitu: V = 16 ( ) (x + ) 3 π (x ) V = 16 ( ) (x + )(x ) (x + ) 3 π (x ) = 16 ( x 3 π 3 (x ) + 8x + 16) (x ) = 16 ( x ) 3 π 8x 8 (x ) Agar volume yang diperoleh minimum, maka haruslah V = 0 sehingga ( 16 x ) 3 π 8x 8 (x ) = 0 ) x 8x 8 = 0 (x 1)(x + ) = 0 x = 1 atau x = Untuk x = AB = t = x + AB = 0 (Tidak Mungkin tingginya 0) Untuk x = 1 AB = t = 1 + AB = 16. atau dengan kata lain bahwa tinggi kerucut tersebut dengan volume terkecil yang mungkin adalah t = 16 cm 15. Diketahui vektor u = (1, 3a + 1, ) dan v = (a 3 3a, 3, 0) dengan < a <. Nilai maksimum dari u v adalah... (a) 7 (b) 8 (c) 3 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 011 9

(d) 1 (e) Jawaban : (b) u = (1, 3a + 1, ) v = (a 3 3a, 3, 0) Kita misalkan u v = T (a) T (a) = u v 1 T (a) = 3a + 1 a3 3a 3 0 T (a) = a 3 3a + 3( 3a + 1) + 0 = a 3 3a 9a + 3 Agar T maksimum maka haruslah T = 0 sehingga T (a) = a 3 3a 9a + 3 T (a) = 3a 6a 9 3a 6a 9 = 0 a a 3 = 0 (a + 1)(a 3) = 0 a = 1 atau a = 3 Untuk a = 3 maka kita dapatkan T (3) = (bukan nilai maksimum) Untuk a = 1 maka kita dapatkna T ( 1) = 8. Jadi dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dari u v adalah 8 Tulisan ini ditulis dengan menggunakan L A TEX. Apabila ada kritik dan saran silahkan hubungi saya di alfysta@yahoo.com atau my blog di http://www.alfysta.wordpress.com Selamat Belajar Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 011 10