Distribusi Sampel & Statistitik Terurut Sampel Acak, Rataa sampel, X-bar, Variasi sampel, S, Teorema Limit Pusat, Distribusi t,, F Statistik Terurut MA 3181 Teori Peluag 11 November 014 Utriwei Mukhaiyar
Beberapa defiisi Suatu populasi terdiri atas keseluruha pegamata yag mejadi perhatia. Sampel adalah suatu himpua bagia dari populasi. Misalkalah X 1, X,..., X merupaka peubah acak bebas yag masig-masig berdistribusi peluag f(x). X 1, X,..., X didefiisika sebagai sampel acak ukura dari populasi f(x) da distribusi peluag gabugaya sebagai, f(x 1, x,..., x ) = f(x 1 ), f(x ),..., f(x ) Setiap fugsi dari peubah acak yag membetuk suatu sampel acak disebut statistik. Cotoh statistik : rataa sampel ( ), variasi sampel (S ),... X
Rataa da Variasi Sampel Bila X 1, X,..., X merupaka suatu sampel acak ukura, maka rataa sampel diyataka oleh statistik, 1 Xi i 1 da variasi sampel oleh statistik, X 1 1 S ( X ) 1 1 1 i X xi xi i i1 i1 Simpaga baku sampel diyataka dega S didefiisika sebagai akar positif variasi sampel.
Distribusi sampel Distribusi peluag suatu statistik disebut distribusi sampel. Simpaga baku distribusi sampel suatu statistik disebut galat baku dari statistik tersebut.
Distribusi sampel dari rataa, Misalka sampel acak berukura diambil dari populasi ormal dega rataa da variasi. tiap pegamata X i, i = 1,,...,, dari sampel acak tersebut aka berdistribusi ormal yag sama dega populasi yag diambil sampelya. E X E X E X 1 1 i i i 1 i1 1 1 E X1... E X X 1 1 Var X Var Xi Var X i i1 i1 1 1 Var X 1... Var X
Teorema Limit Pusat Bila X rataa sampel acak ukura yag diambil dari populasi dega rataa da variasi yag berhigga, maka betuk limit dari distribusi, Z / bila, ialah distribusi ormal baku N(0,1). X
Distribusi sampel dari selisih dua rataa, Bila sampel bebas ukura 1 da diambil secara acak dari dua populasi, diskrit maupu kotiu, masig-masig dega rataa 1 da da variasi 1 da, maka distribusi sampel dari selisih rataa, X1 X, berdistribusi hampir ormal dega rataa da variasi berturut-turut adalah, sehigga, X X 1 1 X Z X 1 da X 1 X 1 1 1 1 X1 X 1 Secara hampira merupaka peubah ormal baku.
Distribusi sampel dari (-1)S / Bila S variasi sampel acak ukura diambil dari populasi ormal dega variasi, maka statistik X 1S berdistribusi khi kuadrat dega derajat kebebasa = -1.
Distribusi - t Misalka Z peubah acak ormal baku da V peubah acak khikuadrat dega derajat kebebasa. Bila Z da V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila diberika oleh, h t T Z V 1 1 t 1, t Ii dikeal dega ama distribusi-t dega derajat kebebasa.
Distribusi F Misalka U da V dua peubah acak bebas masig-masig berdistribusi khi kuadrat dega derajat kebebasa 1 da. Maka distribusi peubah acak, Diberika oleh, h f F U 1 V Ii dikeal dega ama distribusi-f dega derajat kebebasa 1 da. 1 1 1 1 f 1 1 f 1 1 1, 0 f
STATISTIK TEURUT Misal sampel acak X 1, X,..., X Berukura yag mempuyai fugsi peluag f(x) utuk. Jika Y 1 adalah ilai terkecil dari (X 1, X,..., X ), Y adalah ilai terkecil kedua dari (X 1, X,..., X ),, Y k adalah ilai terkecil ke-k dari (X 1, X,..., X ),, Y adalah ilai terbesar dari (X 1, X,..., X ) Maka aka berlaku hubuga sebagai berikut: Y 1 < Y <... < Y k <... < Y Dalam hal ii, Y i, i = 1,,, diamaka statistik terurut ke-i dari sampel acak X 1, X,..., X.
Fugsi peluag gabuga Fugsi peluag gabuga dari Y 1, Y,..., Y :! f ( y1 ) f ( y)... f ( y) a y1... y b g( y1, y,..., y) 0 utuk laiya Cotoh: Misal X 1, X,..., X sampel acak dari distribusi N(μ, σ. Tetuka fugsi peluag gabuga dari Y 1, Y,..., Y dega Y 1 < Y <... < Y.
Cotoh (Solusi): Diketahui : f(x = 1 σ π e x μ σ, < x < g( y, y,..., y )! f ( y ) f ( y )... f ( y ) 1 1 ( y1 ) y 1 1! e e ( ) 1 ( yi ) i1 e, y... y 1 1
Distribusi dari Y 1 Misal X 1, X,..., X adalah sampel acak berukura. Jika Y 1 adalah ilai terkecil dari (X 1, X,..., X ), maka fugsi peluag dari Y 1 = mi (X 1, X,..., X adalah: g ( y ) 1 1 1 F( y 1 1) f ( y1) a y1 b 0 y1 yag lai
Cotoh Misal Y 1 < Y < Y 3 < Y 4 < Y 5 merupaka statistik terurut dari sampel acak berukura 5 yag berdistribusi dega fugsi peluag: Tetuka P(Y 1 <! x e x 0 f( x) 0 x laiya
Cotoh (Solusi) 5 5 x F( y ) f ( x) dx e dx 1 e 5 f ( y ) F '( y ) e y 5 5 y 5 0 y y 5 4 4 5( 5) 5 ( 5) ( 5) 5(1 ) y 5 y5 g y F y f y e e P Y e e dy y5 4 y5 ( ) 5(1 ) 0,5 5 5
Distribusi dari Y Misal X 1, X,..., X adalah sampel acak berukura. Jika Y adalah ilai terbesar dari (X 1, X,..., X ), maka fugsi peluag dari Y = max(x 1, X,..., X adalah: g ( y ) F( y ) 1 f ( y) a y b 0 y yag lai
Cotoh Misal Y 1 < Y < Y 3 < Y 4 < Y 5 merupaka statistik terurut dari sampel acak berukura 5 yag berdistribusi dega fugsi peluag: Tetuka P(Y 5 >! x e x 0 f( x) 0 x laiya
Cotoh (Solusi) P(Y 5 > = 5 1 e y 5 4 e y 5dy 5 = 0,5
Distribusi dari Y k Misal X 1, X,..., X adalah sampel acak berukura. Jika Y k adalah ilai terkecil ke-k dari (X 1, X,..., X ), maka fugsi peluag dari g k y k adalah: g ( y ) F( y ) 1 f ( y) a y b 0 y yag lai
Cotoh Misal Y 1 < Y < Y 3 < Y 4 < Y 5 merupaka statistik terurut dari sampel acak berukura 5 yag berdistribusi dega fugsi peluag: Tetuka P(Y 4 1! x e x 0 f( x) 0 x laiya
Cotoh (Solusi) y F y 4 = 4 e x dx 0 = 1 e y 4 f y 4 = F y 4 = e y 4 g 4(y 4 = 0 F(y 3 4 1 F(y 4 f(y 4 = 0( 1 e y 4 3 e y 4 1 P(Y 4 1 = 0 1 e y 4 3 e y 4dy 4 = 0,13
Referesi Dekkig F.M., et.al., A Moder Itroductio to Probability ad Statistics, Lodo : Spriger, 005. Devore, J.L. ad Peck, R., Statistics The Exploratio ad Aalysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Hogg, et.al., Itro. to Mathematical Statistics 6 th ed., Pearso: New Jersey, 005. Wackerly, et.al., Mathematicsl Statistics ad Its Applicatio 7 th Ed., USA: Thomso, 008. Walpole, Roald E., et.al, Statistitic for Scietist ad Egieerig, 8th Ed., 007. Wild, C.J. ad Seber, G.A.F., Chace Ecouters A first Course i Data Aalysis ad Iferece, USA: Joh Wiley&Sos,Ic., 000. 3